1. MECHANIKA. (1.1.1) i. 2/ Suma zewnętrznych momentów sił działających na ciało wynosi zero (1.1.2). (1.1.2)

Transkrypt

1 Mechania. MECHANIKA Mechania - t idee dnszące się d zzumienia i pisu wszelieg uchu. Wpwadzne tu pjęcia i wielści dają pstawy innym działm fizyi az mechanice technicznej. Mechania nie jest jednlitą dziedziną, i ta: Mechania lasyczna zawiea idee, tóe znajdują zastswanie d pisu zjawis zachdzących w sali czasu i pzestzeni blisiej człwiewi, t znaczy pzebiegają w czasie zbliżnym d czasu życia człwiea, w pzestzeni zbliżnej d jeg zmiaów, (czyli c najwyżej ila zędów więcej lub mniej). Mechania wantwa zawiea idee pzydatne w pisie zjawis pzebiegających w sali badz ótich dcinów czasu, w bębie badz małych zmiaów. Mechania elatywistyczna zawiea idee w bębie zjawis w sali dużych szybści i pzyśpieszeń. Pzy czym matematyczne idee mechanii elatywistycznej i mechanii wantwej nie są spzeczne z mechanią lasyczną - są d niej gólniejsze. Dydatya mechanii lasycznej sfmułwanej pzez Newtna wyształciła tzy części: statyę, inematyę i dynamię. Statya zajmuje się ciałami pzstającymi w bezuchu, a matematycznie są t ównania wyniające z bilansu sił i mmentów sił (zdział.). Kinematya t pisywanie uchu az wielściami ptzebnymi d analizy uchu (zdział.). Dynamia umżliwia pisanie uchu na bazie znajmści zładów sił i mmentów sił (zdział.). Rys... Działy mechanii. Rzłączne tatwanie inematyi i dynamii ma pzyczynę wyłącznie dydatyczną (stpniwanie tudnści), ja że dynamia bejmuje swim zaesem ównież inematyę (ys..). Matematya w inematyce t głównie óżniczwanie (częściw taże całwanie). Natmiast matematya w dynamice t pzede wszystim całwanie az eślanie stałych całwania na pdstawie waunów bzegwych (zdział.). NEWTON Isaac (64-77 W zdziale Mechania zważany jest jeden dzaj ciała fizyczneg była sztywna. Mechania innych ciał ja: mateiały plastyczne, pzedmity elastyczne, płyny ściśliwe i nieściśliwe, ciecze lepie, a taże media specjalne (np ciełe yształy, fesmay) mże być zważana dpie p zapznaniu się z mechanią były sztywnej (niniejszy pdęczni tych zagadnień nie uwzględnia)... Statya Statya zajmuje się analizą waunów, pzy jaich ciała pzstają w bezuchu. Chdzi bilans sił i mmentów sił: / Suma zewnętznych sił działających w ieunu śda masy ciała wynsi ze (..). / Suma zewnętznych mmentów sił działających na ciał wynsi ze (..). n i n i F 0 (..) i M 0 (..) Reguła.. az eguła.. dstaczają ównań, tóych związanie zawiea infmacje waunach pzstawania ciała (czy uładu ciał) w stanie statycznym (w bezuchu)... Kinematya Pdstawwym zagadnieniem w inematyce jest identyfiacja płżenia. W pzypadu uchu pstępweg jest t wet wsazujący płżenie puntu (np. śda masy) w pzestzeni (zdział...), natmiast w uchu btwym jest t ąt btu były (zdział..). Z płżenia mżna wyznaczyć szeeg wielści, np.: pędść, szybść, pzemieszczenie, dgę, pzyśpieszenie, szybść śednią, pędść śednią itd. i

2 Mechania... Kinematya w uchu pstępwym Dział inematya w uchu pstępwym uczy umiejętnści wyznaczania wielści inematycznych z upzedni zidentyfiwaneg płżenia (diagam na ys...). Rys.... Wielści inematyczne.... Płżenie Płżenie (t) t wetwa funcja czasu, pisująca uch puntu w pzestzeni. Pcząte płżenia znajduje się w pczątu uładu współzędnych, niec płżenia (stzała) wsazuje miejsce, gdzie w danym mmencie znajduje się punt (ys. ). Płżenie (t) mżna złżyć na sładwe x, y i z. Każda z tych sładwych daje się pzedstawić ja współzędna (x(t), y(t) lub z(t)) pmnżna pzez właściwy wes (i wzdłuż si x, j wzdłuż si y, wzdłuż si z): x x(t) i ; y y(t) j ; z z(t) Z teg względu płżenie (t) zapisuje się w pstaci sumy pszczególnych sładwych: (t) x(t) i + y(t) j + z(t) (...) Rys.... Płżenie. Współzędne x(t), y(t), z(t) (tzy funcje czasu) - z matematyczneg puntu widzenia - stanwią uład ównań paametycznych pisujący ształt zywej t uchu puntu. Płżenie, chciaż pisuje uch bietu idealneg czyli tzw. puntu mateialneg, nadaje się taże d pisu uchu tanslacyjneg były sztywnej. Ruch tanslacyjny występuje wtedy, gdy wszystie punty były puszają się p taich samych, ównległych tach (ys....). Rys.... Ruch tanslacyjny.

3 Mechania... Pzemieszczenie Pzemieszczenie (t t ) - wet, tóeg pcząte dtya miejsca, gdzie punt znajduje się w mmencie t, a niec w miejscu - gdzie punt znajduje się w mmencie t. Wet ów, t óżnica płżenia ńcweg i płżenia pczątweg (ys....). (t t ) (t ) (t ) (...) Rys.... Pzemieszczenie.... Pędść śednia Pędść śednia vś (t t ) w czasie d t d t t pzemieszczenie w czasie d t d t pzez czas weg pzemieszczania. ( t t ) vś ( t t ) (...) t t...4. Pędść Pędść (angielsie velcity ) pchdna płżenia względem czasu. v (t) jest wetwą funcją czasu eślającą szybść zmiany płżenia, czyli d(t) v(t) (...4.) Rys Pędść. d(t) d[x(t) i + y(t) j + z(t) ] dx(t) v(t) i + v x (t) i + v y (t) j + v z (t) dy(t) dz(t) j + (...4.) Z definicji pędści wynia, że jej ieune i zwt są taie same ja ieune i zwt elementaneg pzemieszczenia d. Zatem pędść jest wetem w ażdej chwili stycznym d tu uchu.

4 4 Mechania...5. Szybść Szybść v(t) (angielsie speed ) jest mdułem pędści: v(t) v (...5.) Pna, w wypadu gdy znana jest funcja dgi s(t) w zależnści d czasu, szybść mże być wyliczna z pchdnej dgi. ds(t) v(t) (...5.) Opeacyjna definicja szybści pzyjmuje pstać: Szybść w języu angielsim eśla słw speed, natmiast pędść velcity. v(t) + dx(t) dy(t) dz(t) ( ) + ( ) ( ) (...5.)...6. Dga Dga t długść tu, p jaim punt pusza się w eślnym czasie. W czasie d mmentu t d mmentu t punt pzebywa dgę ówną całce z szybści względem czasu w ganicach d t d t. t dx(t) dy(t) dz(t) s(t t ) ( ) + ( ) + ( (...6.) ) t Rys Dga. W matematyce istnieje pjęcie hdgaf, tóe eśla gemetyczne miejsce ńców wetów funcji wetwej, dmieznych z jedneg nieuchmeg puntu w pzestzeni (np. z pczątu współzędnych). Zatem dga t hdgaf płżenia. Zagadnienie dgi wat taże pównać z zagadnieniem długści łuu zywej w matematyce Szybść śednia Szybść śednia v ś w czasie d t d t t dga pzez czas, w jaim zstała pzebyta. s(tt ) v (t t ) (...7.) ś t t...8. Pzyśpieszenie Pzyśpieszenie a (t) szybść zmiany pędści (p angielsu: The acceleatin vect is the ate f change f the velcity ). dv(t) a(t) (...8.)...9. Pzyśpieszenie styczne Uwaga! Najpiew definicja mdułu pzyśpieszenia styczneg a s (t), czyli szybści (szybść t angielsie ate ) zmiany szybści v(t) (w tym pzypadu szybść t angielsie speed ; The acceleatin is the ate f change f the speed ): dv(t) a s (t) (...9.)

5 Mechania 5 Wes pzyśpieszenia styczneg jest tżsamy z wesem pędści(pnieważ wet pzyśpieszenia styczneg jest ównległy d weta pędści), zatem pzyśpieszenie styczne mżna wyazić następując: dv(t) a (t) v s (...9.) v...0. Pzyśpieszenie dśdwe Pzyśpieszenie dśdwe a d (t) jest pstpadłe d tu uchu. Suma pzyspieszenia styczneg i pzyspieszenia dśdweg t pzyspieszenie (wypadwe). Z teg względu pzyspieszenie dśdwe eśla następująca zależnść: a d (t) a(t) a s (t) (...0.)... Pmień zywizny Wyażenie na pmień zywizny zstał ustalne w paciu dświadczenie nabyte pdczas zważania uchu p ęgu. Teia uchu p ęgu Płżenie w uchu p ęgu wyaża się następując: (t) R csωt i + R sinωt j (...) Rys..8. Ruch p ęgu. Pędść pchdna płżenia - w uchu p ęgu pzyjmuje pstać: d(t) v (t) Rω sinωt i + Rω csωt j (...) dv(t) a(t) Rω csωt i Rω sinωt j (t) ω (...) Natmiast pzyśpieszenie pchdna pędści wyaża się następując: Zatem pzyśpieszenie ma ieune tai sam c płżenie, ale pzeciwny zwt, i jest siewane w ieunu d śda ęgu. Gdyby nie był t uch jednstajny, pzyspieszenie miałby inny ieune. W uchu p ęgu pędść jest pstpadła d płżenia, c mżna łatw spawdzić bliczając ilczyn salany tych wetów, i pzenując się, że wynsi n ze. W uchu jednstajnym p ęgu płżenie jest tżsame z pmieniem zywizny. Psługując się mdułami pmienia zywizny, pędści i pzyśpieszenia mżna sfmułwać następujący związe: v a ω (...4) Ugólniając wyażenie (...4) na dwlny uch zywliniwy tzymuje się: v v a ρω ρ (...5) a Uwzględniając fat, że wes pmienia zywizny ma zwt pzeciwny d zwtu wesa pzyśpieszenia, tzymujemy: v a d ρ(t) ( ) (...6) a d a d Pzyład nfiguacji pzestzennej płżenia, pzyśpieszeń, pędści i pmienia zywizny w uchu zywliniwym pzedstawiny jest na ys....

6 6 Mechania Rys.... Płżenie, pzyśpieszenia: a, a, a, pędść v, pmień zywizny ρ.... Kinematya w uchu btwym Ruch btwy pisywany jest w uładzie współzędnych biegunwych. W uładzie tym wszystie punty bacającej się były puszają się z tą samą pędścią ątwą, ta ja w uchu pstępwym wszystie punty puszają się z tą samą pędścią (liniwą). W niniejszym zdziale ganiczn się d uchu btweg wół nieuchmej si.... Płżenie ątwe Płżenie ątwe ϕ (t) jest wetem watści ównej ątwi, jai bóciła się była względem si biegunwej (ys....). Kieune teg weta jest tai sam ja ś btu, natmiast zwt wyznacza się zgdnie z egułą śuby pawsętnej. d s Rys.... Płżenie ątwe.... Pędść ątwa Pędść ątwa ω (t) jest szybścią zmian płżenia ątweg (wyażenie...). d ϕ ω(t) (...)... Pzyśpieszenie ątwe Pzyśpieszenie ątwe ε (t) jest szybścią zmian pędści ątwej (wyażenie...). dω ε(t) (...)

7 Mechania 7 Pzyład w zaesie inematyi uchu pstępweg Dane jest płżenie v (t) A t i + B cs(c t + D) j + E e gdzie A, B, D i E stałe. Wyznaczyć pędść, pzyśpieszenie i pędść śednią w czasie d t d t. Rzwiązanie: d(t) Definicja pędści: v(t) d F t v(t) (A t i + B cs(c t + D) j + E e ) F t A i BC sin(ct + D) j + EF e dv(t) Definicja pzyspieszenia: a(t) d F t a(t) (A i BC sin(ct + D) j + EF e ) F t i BC cs(ct + D) j + EF e (t ) (t) Definicja pędści śedniej: vś (t t ) t t A t v ś (t A t t A t ) i + B cs(c t + D) t t ) B (cs(ct i + i + B cs(c t + D) t t j + E e F t j + E e F t F t F t F t ( t t + D) cs(ct e t t t + D) E (e j + t t ).. Dynamia... Dynamia w uchu pstępwym W dynamice stsuje jest zasadę Newtna wyażającą pgląd, że ciał masie m pusza się z pzyśpieszeniem a ppcjnalnym d pzyłżnej siły F, a współczynniiem ppcjnalnści jest dwtnść masy. Jest t teść tzw. II zasady dynamii Newtna. W zasadzie tej mieści się taże I zasada dynamii Newtna, pnieważ ja łatw zauważyć gdy F 0 wówczas a 0, czyli ciał pusza się cały czas z pędścią pczątwą. Matematycznie wspmniana II zasada jest zapisywana następując: a(t) F(t) (..) Biąc pd uwagę pwyższą zasadę newtnwsiej dynamii az definicję pzyśpieszenia tzymujemy następujące ównanie óżniczwe: dv(t) m F(t) dv(t) m F(t) (..) Pzeem bwiązywała tzw. mechania aystteleswsa, w jaiej załadan, że ciał pusza się tyl wówczas, gdy pzyłżna jest d nieg siła. System Aysttelesa nie był zmatematyzwany stswan w nim lasyczną speulację lgiczną. m

8 8 Mechania Aystteles (84- p.n.e) W ezultacie bustnneg scałwania ównania (..) tzymujemy wyażenie na pędść (pzyład pniżej). Pzyład w bębie dynamii w uchu pstępwym Na masę m działa siła F A t, gdzie A jest stałą. Wyznaczyć zależnść pędści d czasu jeżeli pędść pczątwa wynsi v. Rzwiązanie: dv(t) A t m p bustnnym scałwaniu v(t) + C m A t + C pdstawiając C C C tzymujemy: v(t) m A t + C W chwili pczątwej v v, zatem v(t 0) A 0 + m C C v i wyażenie na szybść pzyjmuje pstać funcji: m A t v v(t) + Pwyższe związanie jest azją d pzypmnienia gólnej zasady dnśnie gemetycznej intepetacji funcji i ównania. Mianwicie: linia na wyesie dnsi się d funcji, natmiast punt na tej linii d ównania. W fizyce wszystie wyażenia są funcjami lub ównaniami. Wzy wpwadza się dpie w inżynieii pszczególnych dziedzin technicznych i pzydniczych. P wyznaczeniu v (t) mżna ustalić płżenie (t) pd wauniem, że znane jest płżenie pczątwe (t 0). Jesteśmy w stanie t uczynić zystając z definicji pędści, z tóej wynia: d(t) v(t) (..)

9 Mechania 9 Pzyład w zaesie dynamii w uchu pstępwym Na masę m działa siła F A t, gdzie A jest stałą. Wyznaczyć zależnść płżenia d czasu jeżeli pędść pczątwa wynsi v a współzędna pczątwa x. Rzwiązanie: Najpiew wyznaczamy pędść ta ja w zadaniu.. v(t) m A t + v Następnie adaptujemy definicję pędści d waunów zadania, tzn. płżenie zastępujemy współzędną, pnieważ mamy d czynienia z uchem jednwymiawym wystaczy psługiwać się współzędną usytuwaną wzdłuż ieunu uchu. dx v(t) dx ( m A t + v ) P bustnnym scałwaniu: x A t + v t + C m 6 x m A 0 + v 0 + C 6 C x x (t) A t + v t + x m 6 Pzyład w zaesie dynamii w uchu pstępwym t D masy 0 g pzyłżn siłę F 0 e i + 0 sin(t) j + 50 t Wyznaczyć płżenie, jeżeli Rzwiązanie.: a m F t a e i + sin(t) j + 5 t v ( e t v i + j i + sin(t + ) j + 5 t ) t 5 v ( e + A) i + [ cs(t) + B] j + [ t + C] A B C + A + B C t 5 v ( e + ) i + [ cs(t) + ] j + [ t ] ( i + j {( t 5 e + ) i + [ cs(t) + ] j + [ t ] } t 4 e D E F 5 4 t + D) i + [ sin(t) + t + E] j + [ t t F] t 5 4 ( e + t + ) i + [ sin(t) + t + ] j + [ t t ] Zasada zachwania pędu Zasada zachwania pędu jest inną fmą newtnwsiej zasady dynamii. D stwiedzenia teg pwadzi następujące zumwanie plegające na pzeształcaniu zasady dynamii: a(t) m F(t) (...) dv(t) m F(t) (...) m dv(t) F(t) (...) Ilczyn masy i elementanej zmiany pędści eśln ja elementaną zmianę pędu.

10 0 Mechania dp(t) F(t) (...4) Pwyższy zapis dczytuje się ta: elementana zmiana pędu jest ówna ilczynwi siły i elementanemu czaswi działania tej siły. Zapis...4 mżna spwadzić d fmy...5: dp(t) F(t) (...5) Pwyższe ównanie dczytuje się w spsób następujący: szybść zmiany pędu ciała lub uładu ciał jest ówna wypadwej sile zewnętznej. Jeżeli wypadwa siła zewnętzna jest ówna zeu, czyli pawa stna w ównaniu (...5) ówna jest zeu, wtedy pęd nie zmienia się (pnieważ óżniczwana wielść musi być wielścią stałą, s pchdna wynsi ze) c stanwi teść zasady zachwania pędu.... Dynamia w uchu btwym Newtnwsa zasada dynamii w dniesieniu d uchu btweg pzyjmuje następującą pstać: ε(t) M(t) (...) I gdzie: ε (t) pzyśpieszenie ątwe, I mment bezwładnści, M (t) mment siły Pzyśpieszenie ątwe, mment bezwładnści i mment siły dtyczą tej samej si btu.... Zasada zachwania mmentu pędu Zasada zachwania mmentu pędu t nsewencja pzeształcenia zasady dynamii (...) w uchu btwym: dω M(t) (...) I I dω M(t) (...) Ilczyn mmentu bezwładnści i elementanej zmiany pędści ątwej stanwi elementaną zmianę mmentu pędu. v dl M(t) (...4) dl M(t) (...5) Z ównania (...5) wypwadza się wnise analgiczny ja w pzypadu zasady zachwania pędu, mianwicie: z fatu M (t) 0 wynia, że L cnst c stanwi teść zasady zachwania mmentu pędu. Wat zauważyć, że ażde wiujące ciał (wiujące czyli bdazne mmentem pędu) musi zmieniać swój mment pędu w ieunu pzyłżneg zewnętzneg mmentu siły. Np. zabawa-bą p wpływem mmentu siły ciężści nie pzewaca się, lecz niec weta mmentu pędu w ażdej chwili pzemieszcza się w ieunu mmentu siły ciężści. W efecie, niec ów zaeśla ąg, a cały wet mmentu pędu pwiezchnię bczną dwócneg d góy stża. Efet zmiany ieunu weta mmentu pędu pd wpływem zewnętzneg mmentu siły zwane jest pecesją..4. Paca Pjęcie pacy występuje we wszystich działach fizyi i pzyjmuje óżne fmy. W ażdym pzypadu jest t adaptacja gólnej definicji pacy (zdział.4.)..4.. Ogólna definicja pacy Paca wynana pzez siłę pdczas elementaneg pzemieszczenia t ilczyn salany siły F( ) az elementaneg pzemieszczenia d. dw F() d (.4..) Rys Gaficzny mentaz d definicji pacy. Adaptacja gólnej definicji pacy d szczególnych pzypadów czyni ją zwyle pstszą. Na pzyład, jeżeli siła działa stale w tym samym ieunu i pzemieszczenie dbywa się ównież w tym ieunu, wówczas:

11 Mechania dw F(x) dx (.4..) gdzie x znacza współzędną usytuwaną w ieunu działania siły..4.. Paca w uchu btwym Paca wynana pzez mment siły pdczas elementaneg pzemieszczenia ątweg t ilczyn salany mmentu siły i elementaneg pzemieszczenia ątweg. dw M( ϕ) dϕ (.4..) Należy pamiętać, że jednstą ϕ jest adian, tóy - z lei - zgdnie z definicją miay ąta jest wyażny ja m/m (met na met)..4.. Paca pądu eletyczneg Definicja pacy w dniesieniu d pacy wynywanej pzez pzemieszczającą ładuni siłę pla eletyczneg pzyjmuje pstać: dw u(t) i(t) (.4..) gdzie: u(t) napięcie eletyczne; i(t) natężenie pądu eletyczneg. Rzwinięcie zagadnienia znajduje się w zdz Paca gazu Gaz zpężając się wynuje pacę. Elementana paca wynana pzez gaz pdczas elementanej zmiany jeg bjętści wyaża się następując: dw p(v) dv (.4.4.) gdzie: p(v) t zależnść ciśnienia d bjętści; dv - elementana zmiana bjętści.