Matematyczne Metody Chemii I
|
|
- Sylwia Andrzejewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL /09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz Mazur, Marcin Makowski, Lukasz Pi ekoś Projekt wspó lfinansowany przez Unie Europejska w ramach Europejskiego Funduszu Spo lecznego
2 2 Motto Every attempt to employ mathematical methods in the study of chemical questions must be considered profoundly irrational and contrary to the spirit of chemistry. If mathematical analysis should ever hold a prominent place in chemistry an aberration which is happily almost impossible it would occasion a rapid and widespread degeneration of that science. A. Comte (1830)
3 3 Wyk lad 1 Wst ep
4 4 Plan zaj eć Wst ep Literatura Powtórzenie wiadomości Liczby zespolone Macierze Permutacje Kwaterniony
5 5 Wst ep Na kursie omawiane sa podstawy algebry liniowej i teorii reprezentacji ilustrowane przyk ladami zastosowań do zagadnień krystalografii spektroskopii chemii kwantowej chemii organicznej i nieorganicznej To nie jest kurs matematyki waski zakres materia lu pominiete matematycznie interesujace zagadnienia aplikatywne podejście Ale nie jest to kurs spektroskopii czy mechaniki kwantowej tylko matematyczne podstawy interpretacja chemiczna i fizyczna na innych kursach
6 6 Literatura Materia ly to ilustracja do wyk ladu a nie podr ecznik Literatura: A. Herdegen, Wyk lady z algebry liniowej i geometrii A. Staruszkiewicz, Algebra i geometria A. Kowalska, Zastosowania teorii grup w fizyce F. A. Cotton, Teoria grup. Zastosowania w chemii M. T. Pawlikowski, Wst ep do teoretycznej spektroskopii molekularnej. Teoria grup
7 7 Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: Definicja Liczby zespolone I z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Powyższy zbiór z wyżej określonymi dzia laniami nazywamy cia lem liczb zespolonych i oznaczamy (C, +, ). Definicja Jeżeli z = (x, y), to liczbe rzeczywista x nazywamy cześci a rzeczywista, zaś liczbe rzeczywista y cześci a urojona liczby zespolonej z i piszemy x = Rz, y = Iz lub x =Rez, y =Imz.
8 8 Liczby zespolone II Liczby zespolone postaci (x, 0) (o zerowej cz eści urojonej) utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczbe (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy i. Ma ona te w lasność, że i 2 = 1. Latwo sprawdzić, że z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Stad otrzymujemy zapis z = x + iy (postać kanoniczna liczby zespolonej). Definicja Sprz eżeniem liczby zespolonej z = (x, y) nazywamy liczb e z = z := x iy. Modu lem liczby zespolonej nazywamy liczb e z := x 2 + y 2. Zachodzi równość z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2.
9 9 Liczby zespolone III Definicja Pamietaj ac, że x = z cos ϕ i y = z sin ϕ otrzymujemy postać trygonometryczna liczby zespolonej: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Potegowanie liczb zespolonych u latwia wzór de Moivre a: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Definicja Pierwiastkiem algebraicznym stopnia n liczby zespolonej z nazywamy zbiór (n-elementowy) postaci: n z := {w C : w n = z}
10 10 Liczby zespolone IV Zachodzi nastepuj acy wzór Eulera: Stad wynikaja zależności cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ = eiϕ e iϕ 2i oraz postać wyk ladnicza liczby zespolonej z = z e iϕ W szczególności, dla x = π otrzymujemy najpi ekniejszy wzór matematyki: e iπ + 1 = 0
11 11 Permutacje I Rozważmy zbiór skończony E := {1,..., n}, n 1 oraz zbiór S n := {σ : E E : σ bijekcja}. Definicja Elementy zbioru S n (czyli bijekcje zbioru skończonego) nazywamy permutacjami. Permutacje zapisujemy symbolem: σ = ( 1... n a 1... a n ), gdzie σ(j) = a j. Zbiór S n z dzia laniem sk ladania (mnożenia) permutacji tworzy grupe (nieprzemienna dla n 3), która oznaczamy (S n, ).
12 12 Permutacje II Definicja Niech a 1, a 2,..., a k bedzie uk ladem k n liczb. Permutacje ϱ określona wzorem: ϱ(a i ) = a i+1, dla i = 1,..., k 1, ϱ(a k ) = a 1 ϱ(j) = j, dla j / {a 1, a 2,..., a k } nazywamy cyklem k-elementowym i zapisujemy skrótowo ϱ = (a 1,..., a k ). Liczbe k nazywamy d lugościa cyklu ϱ. Cykl dwuelementowy nazywamy transpozycja.
13 13 Definicja Permutacje III Cykle ϱ 1 = (a 1,..., a k ) i ϱ 2 = (b 1,..., b l ) nazywamy cyklami roz l acznymi, gdy {a 1,..., a k } {b 1,..., b l } =. Twierdzenie Każda permutacja ze zbioru S n jest cyklem lub z lożeniem cykli roz l acznych. Rozk lad permutacji na cykle roz l aczne jest jednoznaczny. Każda permutacja jest iloczynem transpozycji. Rozk lad taki nie musi być jednoznaczny a transpozycje nie musza być roz l aczne. Jeżeli w pewnym rozk ladzie permutacji σ na transpozycje liczba transpozycji jest parzysta, to jest też taka w dowolnym rozk ladzie na transpozycje tej permutacji.
14 14 Permutacje IV Definicja Permutacje σ S n, w której rozk ladzie wystepuje parzysta (nieparzysta) liczba transpozycji nazywamy permutacja parzysta (nieparzysta). Liczbe sgn (σ) := ( 1) k, gdzie k jest liczba transpozycji w rozk ladzie permutacji σ nazywamy znakiem permutacji σ. Dzieki wcześniejszej uwadze znak permutacji jest dobrze określony (nie zależy od wyboru rozk ladu permutacji σ na transpozycje).
15 15 Macierze Macierz A jest symetryczna, jeżeli A = A T antysymetryczna, jeżeli A = A T hermitowska, jeżeli A = A + unitarna, jeżeli A 1 = A + ortogonalna, jeżeli jest rzeczywista i unitarna
16 16 Wyk lad 2 Grupy
17 17 Plan zaj eć Dzia lanie wewn etrzne Definicja grupy
18 18 Definicja Dzia lanie wewn etrzne Dzia laniem wewn etrznym na zbiorze A nazywamy (dowolne) odwzorowanie f : A A A. Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzia lanie wewn etrzne cz esto określa si e jako dzia lanie. Notacja Przy zapisie dzia lań cz esto używana jest notacja infiksowa. Wtedy a f b := f (a, b). Przy zapisie infiksowym najcz eściej oznacza si e dzia lania symbolami zamiast literami, np. : A A A a b := (a, b).
19 19 Dzia lanie l aczne Definicja Dzia lanie : A A A jest l aczne jeżeli a, b, c A : ( (a, b), c) = (a, (b, c)) czy też, w notacji infiksowej Przyk lad a, b, c A : (a b) c = a (b c) Sk ladanie odwzorowań jest dzia laniem l acznym Odejmowanie liczb ca lkowitych jest dzia laniem wewnetrznym, ale nie jest dzia laniem l acznym
20 20 Definicja Dzia lanie f : A A A jest przemienne jeżeli czy też, w notacji infiksowej Przyk lad a, b A : f (a, b) = f (b, a) a, b A : a b = b a Dzia lanie przemienne Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest dzia laniem przemiennym Iloczyn wektorowy jest dzia laniem wewn etrznym w R 3, ale nie jest dzia laniem przemiennym Odejmowanie liczb ca lkowitych jest dzia laniem wewn etrznym, ale nie jest dzia laniem przemiennym
21 21 Element neutralny I Definicja Elementem neutralnym wzgl edem dzia lania : A A A nazywamy e A jeżeli Przyk lad a A : a e = e a = a. 0 jest elementem neutralnym dla dodawania liczb 1 jest elementem neutralnym dla mnożenia liczb macierz jednostkowa jest elementem neutralnym dla mnożenia macierzy kwadratowych odwzorowanie identycznościowe jest elementem neutralnym dla sk ladania odwzorowań
22 22 Element neutralny II Twierdzenie Jeżeli element neutralny dzia lania istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Za lóżmy, że istnieja dwa różne elementy neutralne e 1, e 2 A dzia lania : A A A. Wtedy e 1 = e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 2
23 23 Element odwrotny I Definicja Elementem odwrotnym do elementu a A wzgl edem dzia lania : A A A nazywamy b A jeżeli a b = b a = e gdzie e A jest elementem neutralnym. Przyk lad Elementem odwrotnym jest (o ile istnieje) liczba przeciwna dla dodawania liczb liczba odwrotna dla mnożenia liczb macierz odwrotna dla mnożenia macierzy kwadratowych odwzorowanie odwrotne dla sk ladania odwzorowań
24 24 Twierdzenie Element odwrotny II Jeżeli dzia lanie jest l aczne, to element odwrotny (o ile istnieje) jest wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Niech b 1, b 2 A bed a różnymi elementami odwrotnymi do elementu a A wzgledem dzia lania : A A A. Wtedy b 1 = b 1 e = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) b 2 = e b 2 = b 2 gdzie e jest elementem neutralnym. Notacja W przypadku dzia lań l acznych zwykle oznaczamy element odwrotny do elementu a przez a 1.
25 25 Grupa Definicja Grupa nazywamy pare uporzadkowan a (G, ) jeżeli 1 : G G G jest dzia laniem l acznym 2 istnieje w G element neutralny wzgledem dzia lania 3 każdy element zbioru G posiada element odwrotny w G Dzia lanie nazywamy dzia laniem grupowym. Definicja Grupe nazywamy przemienna lub abelowa jeżeli dzia lanie grupowe jest przemienne. Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, grup e (G, ) cz esto oznacza si e przez G. Dzia lanie grupowe zwykle nazywa si e iloczynem.
26 26 Rzad grupy Definicja Rzad grupy G, oznaczany przez G, to moc zbioru G. Ze wzgledu na rzad, grupy dzielimy na skończone nieskończone przeliczalne nieprzeliczalne
27 27 Generator grupy Definicja Zbiór S G nazywamy zbiorem generujacym grupe (G, ) jeżeli każdy element G da sie przedstawić jako iloczyn elementów zbioru S. Definicja Minimalnym zbiorem generujacym nazywamy element minimalny rodziny zbiorów generujacych.
28 28 Rzad elementu grupy Definicja Pot eg e elementu grupy definiujemy przez dla n N. Definicja g n = g g... g }{{} n-krotnie Rz edem elementu g grupy skończonej (G, ) nazywamy najmniejsze takie n N, że g n = e.
29 29 Grupa cykliczna Definicja Grupe nazywamy cykliczna, jeżeli minimalny zbiór generujacy jest jednoelementowy. Taki element nazywamy generatorem grupy. Wniosek Grupa cykliczna jest przemienna. Przyk lad { 1, 1} jest zbiorem generujacym (Z, +) obrót wzgledem osi n-krotnej jest generatorem grupy C n ; grupy te sa grupami cyklicznymi
30 30 Podgrupa Definicja Grupa (H, ) jest podgrupa grupy (G, ) jeżeli 1 H G 2 dzia lanie jest zaw eżeniem do zbioru H Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzia lanie grupowe podgrupy zwykle oznacza si e tym samym symbolem co dzia lanie grupowe grupy. Definicja Podgrupa H grupy G jest podgrupa w laściwa jeżeli H G.
31 31 W lasności podgrup Każda grupa jest zarazem swoja podgrupa (niew laściwa) Każda grupa zawiera podgrupe jednoelementowa, zawierajac a element neutralny
32 32 Wyk lad 3 Homomorfizmy
33 33 Homomorfizm Definicja Niech (G, ) i (H, ) bed a grupami. Odwzorowanie f : G H jest homomorfizmem jeżeli a, b G : f (a b) = f (a) f (b).
34 34 W lasności homomorfizmów Wniosek Niech homomorfizm h : G H a e G G i e H H oznaczaja elementy neutralne grup G i H. Wtedy h(e G ) = e H. Dowód. g G : h(g) = h(g e G ) = h(g) h(e G ) Wniosek Niech dla homomorfizmu h : G H zachodzi b = h(a). Wtedy h(a 1 ) = b 1. Dowód. h(e G ) = h(a a 1 ) = h(a) h(a 1 ) = b h(a 1 )
35 35 Warstwa Definicja Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Dla dowolnego a G zbiór ah = {a h : h H} nazywamy warstwa lewostronna elementu a wzgledem podgrupy H. Analogicznie warstwe prawostronna definiujemy przez Ha = {h a : h H}
36 36 Podzia l grupy na warstwy Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Wprowadźmy relacje L H przynależności do tej samej warstwy lewostronnej a, b G : a L H b h H : a = b h Analogicznie konstruujemy relacje R H dla warst prawostronnych.
37 37 Lemat L H i R H sa relacjami równoważności. Dowód. 1 Relacja L H jest zwrotna: a = a e Podzia l grupy na warstwy 2 Relacja L H jest symetryczna: jeżeli a = b h to b = a h 1. 3 Relacja L H jest przechodnia: jeżeli a = b h 1 i b = c h 2, to a = c h 2 h 1 i h 2 h 1 H 4 Dowód dla relacji R H jest analogiczny. Wniosek Klasami równoważności relacji L H i R H sa warstwy, odpowiednio lewostronne i prawostronne. Oznacza to, że różne warstwy sa roz l aczne a ich suma jest równa ca lej grupie.
38 38 Lemat Weźmy grup e (G, ). Dla dowolnych a, b, c G takich, że a e, b c zachodzi a b a c. Dowód. Moc warstw Mnożac a b = a c lewostronnie przez a 1 otrzymujemy b = c. Twierdzenie Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Dla dowolnego a G zachodzi ah = H. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla warst prawostronnych. Dowód. Wprost z lematu wynika możliwość skonstruowania bijekcji H ah.
39 39 Rzad podgrupy Twierdzenie (Lagrange a) Dla grup skończonych rzad podgrupy jest dzielnikiem rzedu grupy. Dowód. Wynika wprost z możliwości podzia lu grupy na warstwy i z faktu, że warstwy skonstruowane z tej samej podgrupy sa równoliczne.
40 40 Podgrupa niezmiennicza Definicja Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Jeżeli a G : ah = Ha to H nazywamy podgrupa niezmiennicza. Wniosek Każda podgrupa grupy abelowej jest niezmiennicza.
41 41 Grupa ilorazowa Niech H bedzi e podgrupa niezmiennicza grupy (G, ). Oznaczmy zbiór warstw generowanych przez podgrupe H jako G/H i wprowadźmy dzia lanie : G/H G/H G/H Ponieważ ah bh = (a b)h 1 jest to dzia lanie l aczne 2 jego elementem neutralnym jest H (czyli warstwa elementu neutralnego) 3 dla każdej warstwy ah istnieje element odwrotny a 1 H (G/H, ) stanowi grupe. Tak skonstruowana grupe nazywamy grupa ilorazowa.
42 42 Elementy sprz eżone Definicja Elementy a, b G nazywamy sprz eżonymi jeżeli g G : g 1 a g = b Twierdzenie Sprzeżenie jest relacja równoważności. Wniosek Relacja sprz eżenia dzieli grup e na klasy elementów sprz eżonych.
43 43 Wyk lad 4 Przestrzenie wektorowe
44 44 Definicja Cia lem nazywamy strukture algebraiczna (K, +,, 0, 1) jeżeli 1 (K, +) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 0; dzia lanie grupowe nazywamy dodawaniem Cia lo 2 (K \ {0}, ) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 1; dzia lanie grupowe nazywamy mnożeniem 3 zachodzi rozdzielność mnożenia wzgl edem dodawania + Notacja a, b, c K : (a + b) c = a c + b c Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, cia lo (K, +,, 0, 1) zwykle oznacza si e przez K. Zwykle też pomija si e w zapisie mnożenia symbol dzia lania.
45 45 Przyk lady Cia lo stanowia (R, +,, 0, 1) (C, +,, 0, 1) (Q, +,, 0, 1) Nie jest cia lem zbiór liczb ca lkowitych z dodawaniem i mnożeniem liczb jako dzia laniami
46 46 W lasności cia l Twierdzenie Weźmy cia lo (K, +,, 0, 1). Wtedy a K : 0 a = 0 Dowód. 0 a = (0 + 0)a = 0 a + 0 a
47 47 Dzia lanie zewn etrzne Definicja Dzia laniem zewn etrznym nazywamy dowolne odzworowanie : A B B. Przyk lad Dzia laniem zewnetrznym jest : R C C (mnożenie liczby zespolonej przez liczbe rzeczywista).
48 48 Przestrzeń wektorowa Definicja Weźmy cia lo (K, +,, 0, 1), grupe przemienna (V, ) i dzia lanie zewnetrzne : K V V. Trójke uporzadkowan a (K, V, ) nazywamy przestrzenia wektorowa nad cia lem K jeżeli 1 α K : u, v V : α (u v) = α u α v 2 α, β K : u V : (α + β) u = α u β u 3 α, β K : u V : α (β u) = (α β) u 4 u V : 1 u = u
49 49 Liniowa niezależność Definicja Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Uk lad wektorów v 1,..., v n V nazywamy liniowo niezależnym jeżeli α 1,..., α n K : n α i v i = 0 α 1 = α 2... = α n = 0 i=1
50 50 Wymiar i baza przestrzeni Definicja Przestrzeń wektorowa jest n-wymiarowa, jeżeli istnieje w niej liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, a każdy n + 1 elementowy uk lad wektorów jest liniowo zależny. Jeżeli dla każdego n istnieje liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Definicja Baza (uporzadkowan a) przestrzeni n-wymiarowej jest dowolny n-elementowy ciag liniowo niezależnych wektorów.
51 51 Definicja Macierz zmiany bazy Weźmy bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. e 1 = A 1 1 e 1 + A 2 1 e A n 1 e n e 2 = A 1 2 e 1 + A 2 2 e A n 2 e n.. e n = A 1 ne 1 + A 2 ne A n ne n Tak określona macierz A nazywamy macierza zmiany bazy. Notacja W notacji macierzowej powyższe równanie zapiszemy (e 1, e 2,..., e n) = (e 1, e 2,..., e n )A
52 52 W lasności macierzy zmiany bazy Wniosek Macierz zmiany bazy jest nieosobliwa. Wniosek Jeżeli A jest macierza zmiany bazy z (e i ) do (e i ), to macierz zmiany bazy z (e i ) do (e i) jest macierza odwrotna do A.
53 53 Reprezentacja wektora Twierdzenie Weźmy n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Każdy wektor v V można w sposób jednoznaczny przedstawić jako kombinacje liniowa wektorów bazy. Dowód. Weźmy baze e 1,..., e n. Niech v 0. Ponieważ przestrzeń jest n-wymiarowa, istnieja takie skalary α 1,..., α n nie wszystkie równe zero i β 0, że n i α i e i + βv = 0. Czyli v = β 1 n i α i e i. Wektor zerowy dany jest kombinacja o wspó lczynnikach równych zero. Definicja Ciag z lożony ze wspó lczynników kombinacji liniowej wektorów bazy przedstawiajacej wektor v nazywamy reprezentacja wektora v.
54 54 W lasności transformacyjne wektorów Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Dla każdego wektora v V v = n v i e i = i=1 n v j e j j=1 Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Wtedy ( n n n n n ) v = v i e i = v i A j i e j = v i A j i e j i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 }{{ } v j czyli sk ladowe wektora transformuja sie przez macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy.
55 55 Notacja macierzowa Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Przedstawmy reprezentacje wektora v V w bazie (e i ) w postaci macierzowej v 1 v v 2 =. v n Wtedy postać macierzowa reprezentacji wektora w bazie (e i ) otrzymujemy v = Av
56 56 Wyk lad 5 Podprzestrzenie. Formy liniowe. Przestrzeń dualna
57 57 Definicja Podprzestrzeń Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Przestrzeń liniowa W nad cia lem K nazywamy podprzestrzenia przestrzeni V jeżeli W V. Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Pow loka liniowa zbioru wektorów {v 1, v 2,..., v n } takich, że v i V dla i = 1,..., n nazywamy zbiór wszystkich ich kombinacji liniowych. Wniosek Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Pow loka liniowa zbioru wektorów {v 1, v 2,..., v n } takich, że v i V dla i = 1,..., n jest przestrzenia wektorowa. Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V do której należa wszystkie wektory v 1,..., v n.
58 58 Forma liniowa Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Forma liniowa nazywamy przekszta lcenie f : V K liniowe, czyli takie, że 1 α K : v V : f (αv) = αf (v) (jednorodność) 2 u, v V : f (u + v) = f (u) + f (v) (addytywność)
59 59 Reprezentacja form liniowych Definicja Weźmy forme liniowa f : V K. Niech (e i ) bedzie baza przestrzeni V. Dla dowolnego wektora v V ( n ) n f (v) = f v i e i = v i f (e i ) }{{} i=1 i=1 f i Ciag (n-elementowy) f i := f (e i ) nazywamy reprezentacja formy liniowej f w bazie (e i ).
60 60 W lasności transformacyjne form liniowych Weźmy dwie bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Dla dowolnej formy liniowej f : V K n n n = f (e i ) = f A j i e j = A j i f (e j) = A j i f j f i j=1 czyli sk ladowe formy liniowej transformuja sie przez macierz zmiany bazy. j=1 j=1
61 61 Wariantność Definicje Obiekty transformujace sie przez macierz zmiany bazy (czyli zgodnie z wektorami bazy) określamy jako kowariantne (np. formy liniowe) Obiekty transformujace sie przez macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy (czyli odwrotnie niż wektory bazy) określamy jako kontrawariantne (np. wektory) Ściślej, jeżeli reprezentacja obiektu jest wieloindeksowa, poj ecie wariantności odnosi si e do poszczególnych indeksów.
62 62 Notacja Konwencja sumacyjna Sk ladowe reprezentacji obiektów kowariantnych zwykle oznacza si e indeksem dolnym, a kontrawariantnych górnym. Czyli sk ladowe wektora v oznaczamy przez v i a formy liniowej f przez f i. Notacja W konwencji sumacyjnej Einsteina opuszcza sie znak sumy jeżeli sumowanie przebiega po parze sasiaduj acych ze soba indeksów kowariantnego i kontrawariantnego. Na przyk lad wynik dzia lania forma liniowa f na wektor v f (v) = n f i v i i=1 zapiszemy jako f (v) = f i v i
63 63 Notacja macierzowa Weźmy baze (e i ) w n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Z postaci wyrażenia opisujacego dzia lanie formy liniowej f : V K na wektor v f (v) = f i v i i faktu, że v jest macierza kolumnowa widać, że reprezentacja formy liniowej f musi być macierza wierszowa f = (f 1, f 2,..., f n) Wtedy f (v) = fv
64 64 Grupa form liniowych Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Zdefiniujmy dodawanie form liniowych przez (f + g)(v) := f (v) + g(v) gdzie v V a f, g sa formami liniowymi V K. Od razu widać, że Tak zdefiniowane dodawanie jest dzia laniem wewnetrznym, l acznym i przemiennym Elementem neutralnym jest f := 0 Dla każdej formy liniowej f istnieje element odwrotny f 1 = f Wniosek Zbiór wszystkich form liniowych f : V K, oznaczany przez V, z dodawaniem zdefiniowanym powyżej stanowi grupe przemienna.
65 65 Przestrzeń dualna Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Wprowadźmy naturalne mnożenie formy liniowej f : V K przez skalar α K (αf )(v) := αf (v) dla każdego v V. Od razu widać, że V stanowi przestrzeń liniowa nad cia lem K. Definicja Przestrzeń V nad cia lem K nazywamy przestrzenia dualna (sprzeżon a) do przestrzeni V. Definicja Niech (e i ) bedzie baza przestrzeni V. Ciag form liniowych (f j ) takich, że f j (e i ) = δ j i nazywamy baza dualna.
66 66 Wyk lad 6 Operatory liniowe
67 67 Operator liniowy Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Operatorem liniowym nazywamy odwzorowanie L : V V liniowe, czyli takie, że 1 α K : v V : L(αv) = αl(v) (jednorodność) 2 u, v V : L(u + v) = L(u) + L(v) (addytywność) Notacja Zapisujac dzia lanie operatora liniowego na wektor zwykle pomija sie nawiasy Lv L(v)
68 68 Reprezentacja operatora liniowego Weźmy n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V i baze e w tej przestrzeni. Rozpatrujac i-ta sk ladowa wyniku dzia lania operatora L : V V na dowolny wektor v V i i n n n (Lv) i = L v j e j = v j Le j = v j (Le j ) i }{{} j=1 j=1 j=1 L i j stwierdzamy, że reprezentacja operatora liniowego L jest macierz otrzymana przez dzia lanie L na wektory bazy.
69 69 W lasności transformacyjne operatorów liniowych Weźmy bazy (e i ) i (e i ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Rozważmy dzia lanie operatora liniowego L : V v u = Lv V. W notacji macierzowej u = Lv w bazie (e i ) u = L v w bazie (e i ) Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A j i e j. Wtedy u = A 1 u = A 1 Lv = A} 1 {{ LA} v L
70 70 Grupa liniowa Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Rozpatrzmy zbiór GL wszystkich odwracalnych operatorów liniowych odwzorowujacych V na V. Latwo stwierdzić, że 1 sk ladanie operatorów jest dzia laniem wewn etrznym w GL 2 sk ladanie operatorów jest l aczne 3 istnieje element neutralny (operator identycznościowy) Oznacza to, że operatory liniowe odwracalne stanowia grupe ze wzgledu na sk ladanie odwzorowań. Grupe ta oznaczamy przez GL(V ). Wniosek W przestrzeni n-wymiarowej grupa GL(V ) jest izomorficzna z grupa odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia n.
71 71 Wyk lad 7 Zagadnienie w lasne
72 72 Zagadnienie w lasne Definicja Weźmy operator liniowy L określony na przestrzeni wektorowej V nad cia lem K. Mówimy, że λ K jest wartościa w lasna operatora L jeżeli istnieje wektor v V \ {0} taki, że Lv = λv Wektorem w lasnym operatora L do wartości w lasnej λ K nazywamy każdy wektor v V spe lniajacy Lv = λv, które to równanie nazywamy zagadnieniem w lasnym operatora L.. Definicja Zbiór wartości w lasnych operatora nazywamy jego widmem (spektrum).
73 Wielomian charakterystyczny Rozpatrzmy zagadnienie w lasne operatora L określonego na n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Po ustaleniu bazy przyjmuje ono postać macierzowa Przekszta lcajac Lv = λv Lv λv = 0 (L λi)v = 0 otrzymujemy jednorodny uk lad n równań liniowych na n niewiadomych v i. Uk lad ten ma niezerowe rozwiazanie wtedy, gdy det(l λi) = 0 Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym, a jego lewa strone wielomianem charakterystycznym operatora L. 73
74 74 Niezmienniczość wielomianu charakterystycznego Niech A bedzie macierza zmiany bazy z (e i ) do (e i ) w skończeniewymiarowej przestrzeni wektorowej V. Rozpatrzmy wielomian charakterystyczny operatora L : V V, którego reprezentacje macierzowa w bazie (e i ) oznaczymy przez L, a w bazie (e i ) przez L. Wtedy det(l λi) = det(a 1 LA λi) = = det(a 1 (L λi)a) = det(a 1 ) det(l λi) det(a) = czyli wielomian charakterystyczny jest niezmienniczy (inwariantny) ze wzgl edu na zmian e bazy. = det(l λi)
75 75 Liniowa niezależność wektorów w lasnych I Twierdzenie Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Jeżeli v 1, v 2,..., v k V sa wektorami w lasnymi operatora liniowego L : V V do różnych wartości w lasnych λ i λ j dla i j, i, j = 1, 2,... k, to v 1, v 2,..., v k sa liniowo niezależne.
76 76 Liniowa niezależność wektorów w lasnych II Dowód. Niech v 1, v 2,..., v k 1 liniowo niezależne. Rozpatrzmy α 1 v α k v k = 0 które, po przekszta lceniach, prowadzi do L(α 1 v α k v k ) λ k (α 1 v α k v k ) = α 1 (λ 1 λ k )v α k (λ k 1 λ k )v k 1 = 0 Ponieważ wspó lczynniki λ i λ k 1 w powyższym wyrażeniu sa niezerowe, równanie jest spe lnione tylko gdy α 1 =... = α k 1 = 0, z czego wynika, że α k = 0.
77 77 Podprzestrzeń w lasna Twierdzenie Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Jeżeli v 1, v 2,..., v k V sa wektorami w lasnymi operatora liniowego L : V V do wartości w lasnej λ to każda ich kombinacja liniowa v = α 1 v 1 + α 2 v α k v k jest wektorem w lasnym. Dowód. Lv = L(α 1 v 1 + α 2 v α k v k ) = = α 1 Lv 1 + α 2 Lv α k Lv k = = α 1 λv 1 + α 2 λv α k λv k = λv Definicja Podprzestrzeń rozpieta przez wektory w lasne do tej samej wartości w lasnej nazywamy podprzestrzenia w lasna do tej wartości w lasnej.
78 78 Wyk lad 8 Reprezentacja grupy
79 79 Poj ecie reprezentacji Definicja Reprezentacja grupy G nazywamy w ogólności homomorfizm ρ : G GL(V ) gdzie V jest n-wymiarowa przestrzenia wektorowa, a GL grupa odwracalnych przekszta lceń liniowych T : V V Wprowadzenie bazy przestrzeni V pozwala na utożsamienie reprezentacji z homomorfizmem w grup e odwracalnych macierzy stopnia n.
80 80 Zaw eżenie zainteresowań Na potrzeby tego wyk ladu ograniczymy si e do: skończonych grup operatorów symetrii reprezentacji unitarnych
81 Konstrukcja postaci macierzowej reprezentacji w przestrzeni wektorowej V wprowadźmy pewna baze z lożona z wektorów e 1, e 2,..., e N zdefiniujmy dzia lanie grupy dla operatorów z grupy G takie, że: wynikiem dzia lania dowolnego operatora na dowolny wektor bazy jest pewien wektor z przestrzeni V Re i = struktura grupy jest zachowana N e j D ji (R) j=1 SR = U D(S)D(R) = D(U) Macierz D(R) bedziemy traktować jako reprezentanta macierzowego operatora R w danej bazie, zbiór takich macierzy wyznaczonych dla wszystkich operatorów grupy G bedziemy nazywać reprezentacja macierzowa grupy G. 81
82 82 Reprezentacje macierzowe - przyk lad grupa: C 4 baza: kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej dzia lanie grupowe: przekszta lcenia geometryczne E C C C
83 83 Reprezentacje równoważne Zmiana bazy przestrzeni V prowadzi do zmiany postaci macierzowej reprezentacji. Odpowiednie reprezentacje macierzowe bedziemy nazywać reprezentacjami równoważnymi. Zwiazek miedzy macierzami reprezentacji równoważnych jest zadany przez macierz zmiany bazy. Twierdzenie Jeśli dwie bazy przestrzeni wektorowej sa zwiazane nastepuj ac a zależnościa (e 1, e 2,... e N) = (e 1, e 2,... e N )C to odpowiednie reprezentanty macierzowe D (R) i D(R) spe lniaja zwiazek D (R) = C 1 D(R)C
84 84 Przywiedlność reprezentacji Definicja Niech G bedzie dzia laniem grupy G określonym na przestrzeni V. Niech W bedzie zbiorem wszystkich podprzestrzeni przestrzeni V zamknietych ze wzgledu na G. Jeśli W zawiera tylko dwa elementy: podprzestrzeń zerowa i ca l a przestrzeń V, to reprezentacje zadana przez G nazywamy reprezentacja nieprzywiedlna. W każdym innym przypadku, reprezentacja ta jest reprezentacja przywiedlna. Twierdzenie Każda reprezentacje grupy skończonej można roz lożyć na sume prosta reprezentacji nieprzywiedlnych.
85 85 Przywiedlność w obrazie macierzowym Rozk lad reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne można utożsamić z podzia lem przestrzeni V na podprzestrzenie. Wprowadzenie bazy przestrzeni umożliwia prze lożenie tej operacji na j ezyk macierzy: jednowymiarowa reprezentacja macierzowa jest nieprzywiedlna każda grupa posiada trywialna reprezentacje nieprzywiedlna z lożona z macierzy jednostkowych stopnia 1 reprezentacja macierzowa o wymiarze wiekszym od 1 jest przywiedlna, jeżeli istnieje reprezentacja równoważna, w której wszystkie reprezentanty macierzowe sa blokowo-diagonalne i maja identyczna strukture blokowa macierze utworzone z odpowiednich diagonalnych bloków reprezentantów macierzowych tworza reprezentacje
86 86 Rozk lad reprezentacji I grupa C 4 oryginalna baza: baza kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej Reprezentacja Γ E C C 4 C
87 87 Rozk lad reprezentacji II Macierz zmiany bazy 1 2 i 2 0 i Reprezentacja równoważna E C C 4 C 3 4 i i i i
88 88 Rozk lad reprezentacji III Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 E C 4 C 2 4 C 3 4 Γ 1 (1) (-i) (-1) (i) Γ 2 (1) (i) (-1) (-i) Γ 3 (1) (1) (1) (1)
89 89 Wyk lad 9 Twierdzenia o ortogonalności
90 90 I lemat Schura Twierdzenie Jeśli D (µ) (R) i D (ν) (R) sa macierzami różnych reprezentacji nieprzywiedlnych oraz dla pewnej macierzy A zwiazek AD (µ) (R) = D (ν) (R)A jest spe lniony dla każdego operatora R w grupie, to A = 0
91 91 II lemat Schura Twierdzenie Jeśli D (µ) (R) jest macierza reprezentacji nieprzywiedlnej oraz dla pewnej macierzy A zwiazek AD (µ) (R) = D (ν) (R)A jest spe lniony dla każdego operatora R w grupie, to A = λ1, gdzie λ jest liczba rzeczywista
92 92 Wielkie twierdzenie o ortogonalności Twierdzenie Jeśli Γ µ i Γ ν sa reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G skończonego rzedu g o wymiarach odpowiednio n µ i n ν, to reprezentanty macierzowe spe lniaj a zwiazek R G D (µ) il (R) D (ν) jm (R) = g δ il δ jm δ µν n µ
93 93 Charaktery Definicja Charakterem operatora R w µ-tej reprezentacji nazywamy ślad reprezentanta macierzowego operatora R w tej reprezentacji χ (µ) (R) = n µ i=1 D (µ) ii (R)
94 94 Ma le twierdzenie o ortogonalności I Twierdzenie Jeśli Γ µ i Γ ν sa reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G skończonego rzedu g, to χ (µ) (R) χ (ν) (R) = gδ µν R G
95 95 Ma le twierdzenie o ortogonalności II Dowód. Na mocy wielkiego twierdzenia o ortogonalności R G ( nµ ) D (µ) ii (R) R G i=1 Stad i z definicji charakteru D (µ) ii (R) D (ν) jj (R) = g δ n ijδ 2 µν µ n ν j=1 D (ν) jj χ (µ) (R) χ (ν) (R) = g R G (R) = g n µ n µ i=1 1 n µ n ν j=1 δ 2 ijδ µν. n µ n µ δ 2 ij δ µν = g i=1 j=1
96 96 Pożyteczne w lasności Twierdzenie Suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych grupy jest równa rz edowi tej grupy Twierdzenie Suma kwadratów charakterów dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej jest równa rz edowi tej grupy Twierdzenie Charaktery dowolnej reprezentacji sa równe dla elementów grupy należacych do tej samej klasy Twierdzenie Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy równa jest liczbie klas wystepuj acych w tej grupie
97 97 Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych I Grupa D 3 E, 2C 3, 3C 2 ; rzad grupy g = 6, liczba klas: 3 liczba reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa liczbie klas: m = 3 suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa rzedowi grupy: rozwiazanie równania n1 2 + n2 2 + n2 3 = 6 daje informacje, że mamy do czynienia z dwiema reprezentacjami jednowymiarowymi i jedna reprezentacja dwuwymiarowa Każda grupa posiada reprezentacje nieprzywiedlna, dla której wszystkie charaktery sa równe jedności (dlaczego?) χ Γ 1 (E) = 1, χ Γ 1 (C 3 ) = 1, χ Γ 1 (C 2 ) = 1
98 98 Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych II Charaktery dla reprezentacji jednowymiarowych moga być równe jedynie 1 lub -1 (dlaczego?). Ponadto, charakter odpowiadajacy elementowi neutralnemu grupy musi być równy wymiarowi reprezentacji (dlaczego?). Z powyższych i z ma lego twierdzenia o ortogonalności możemy wywnioskować, że: zestaw charakterów dla drugiej z reprezentacji jednowymiarowych ma postać χ Γ 2 (E) = 1, χ Γ 2 (C 3 ) = 1, χ Γ 2 (C 2 ) = 1 zestaw charakterów dla reprezentacji dwuwymiarowej to χ Γ 3 (E) = 2, χ Γ 3 (C 3 ) = 1, χ Γ 3 (C 2 ) = 0
99 99 Tabele charakterów D 3 E 2C 3 3C 2 A x 2 + y 2, z 2 A z, R z E (x, y), (R x, R y ) (x 2 y 2, xy), (xz, yz) W kolejnych kolumnach symbol reprezentacji charaktery dla poszczególnych klas operacji symetrii w lasności transformacyjne sk ladowych wektorów i pseudowektorów w przestrzeni kartezjańskiej w lasności transformacyjne iloczynów sk ladowych wektorów w przestrzeni kartezjańskiej
100 100 Symbolika Mullikena I reprezentacje jednowymiarowe oznacza si e symbolem A lub B, dwuwymiarowe - symbolem E, trójwymiarowe - symbolem T reprezentacje jednowymiarowe, dla których charakter odpowiadajacy obrotowi wzgledem osi g lównej C n wynosi 1 (zwane reprezentacjami symetrycznymi wzgledem tego obrotu) oznacza sie symbolem A, reprezentacje dla których χ(c n ) = 1 (reprezentacje antysymetryczne) - symbolem B indeksy dolne 1 i 2 dopisane do symbolu A lub B oznaczaja odpowiednio symetrie i antysymetrie reprezentacji wzgledem obrotu wokó l osi C 2 prostopad lej do osi g lównej lub, jeśli taka oś nie istnieje, symetrie(antysymetri e) dla odbicia wzgledem σ v
101 101 Symbolika Mullikena II znaki i dodaje si e dla zaznaczenia odpowiednio symetrii i antysymetrii wzgl edem odbicia w p laszczyźnie σ h indeksy dolne g i u stosuje si e dla zaznaczenia odpowiednio symetrii i antysymetrii wzgl edem operacji inwersji na nasze potrzeby możemy przyjać, że stosowanie indeksów liczbowych dla reprezentacji wielowymiarowych jest dowolne i s luży jedynie ich odróżnieniu od siebie w razie konieczności
102 102 W lasności transformacyjne x, y, z I grupa D 3 baza dla reprezentacji - trójka wersorów w przestrzeni kartezjańskiej wybieramy do rozważań obrót wzgledem osi C 2 pokrywajacej sie z osia OY E C 3 C 2 cos 2π 3 sin 2π 3 0 sin 2π 3 cos 2π
103 103 W lasności transformacyjne x, y, z II blokowa struktura macierzy reprezentacji pozwala na rozk lad ( E ) ( C 3 ) ( C 2 ) 1 0 cos 2π Γ 3 sin 2π x,y 0 1 sin 2π 3 cos 2π ( ) ( ) ( ) Γ z charaktery reprezentacji Γ x,y odpowiadaja reprezentacji nieprzywiedlnej E para wersorów w kierunkach x, y stanowi baze reprezentacji E wspó lrz edne x, y transformuja sie zgodnie z reprezentacja E wspó lrz edna z transformuje sie zgodnie z reprezentacja A 2
104 104 Wyk lad 10 Operatory rzutowe
105 105 Twierdzenie o rozk ladzie I Twierdzenie Jeżeli reprezentacje Γ przedstawimy w postaci sumy prostej reprezentacji nieprzywiedlnych, to reprezentacja Γ ν pojawi sie w takim rozk ladzie reprezentacji a ν razy, gdzie a ν jest zadane nastepuj aco a ν = 1 χ (ν) (R) χ(r) g R G
106 106 Twierdzenie o rozk ladzie II Dowód. Jeżeli reprezentacje Γ przedtawimy jako sume prosta reprezentacji nieprzywiedlnych a przez a µ oznaczymy liczbe wystapień reprezentacji Γ µ, to spe lniona jest nastepuj aca zależność: χ(r) = µ a µ χ (µ) (R). Mnożac obustronnie przez χ (ν) (R) i sumujac po wszystkich elementach grupy otrzymujemy χ (ν) (R) χ(r) = a µ χ (ν) (R) χ (µ) (R) = a µ gδ µν = a ν g R G µ R G
107 107 Operatory rzutowe I Niech ψ = µ n µ i=1 ψ (µ) i gdzie ψ jest dowolna funkcja (wektorem) z przestrzeni V, a ψ (µ) i funkcja (wektorem) transformujacym sie zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji nieprzywiedlnej Γ µ. Jak wyznaczyć poszczególne ψ (µ) i? Twierdzenie gdzie ψ (µ) P (µ) i = n µ g i = P (µ) i ψ R D (µ) ii (R) R
108 108 Operatory rzutowe II Rozważmy sume n µ funkcji transformujacych sie zgodnie z kolejnymi wierszami reprezentacji Γ µ ψ (µ) = n µ i=1 ψ (µ) i Twierdzenie ψ (µ) = P (µ) ψ gdzie P (µ) = n µ g χ (µ) (R) R R
109 109 Operatory rzutowe III pos lugiwanie sie operatorami P (µ) jest wygodniejsze niż operatorami P (µ) i w przypadku reprezentacji jednowymiarowych oba zestawy operatorów sa identyczne dla n µ > 1 operatory P (µ) gubia cześć informacji
110 110 W lasności operatorów rzutowych Operatory P sa idempotentne i ortogonalne P (µ) i P (ν) j = P (µ) i δ ij δ µν Suma wszystkich operatorów P jest operatorem identycznościowym ψ = µ n µ i=1 P (µ) i ψ
111 111 Struktura π-elektronowa etylenu I grupa: D 2h baza: walencyjne orbitale p z atomów w egla konwencja: oś x skierowana wzd luż wiazania podwójnego Reprezentacja Γ ( ) 1 0 E 0 1 C z 2 ( ) C y 2 ( ( ) ( ) ( C2 x i σ xy ( ) ( ) σ xz 1 0 σ yz ) )
112 112 Struktura π-elektronowa etylenu II Rozk lad reprezentacji Γ na reprezentacje nieprzywiedlne E C z 2 C y 2 C x 2 i σ xy σ xz σ yz A g B 1g B 2g B 3g A u B 1u B 2u B 3u Γ Γ = B 2g B 1u
113 113 Struktura π-elektronowa etylenu III Operatory rzutowe P B 2g = 1 8 ( E C z 2 + C y 2 C x 2 + i σ xy + σ xz σ yz) P B 1u = 1 8 ( E + C z 2 C y 2 C x 2 i σ xy + σ xz + σ yz)
114 114 Struktura π-elektronowa etylenu IV Rezultat dzia lania operatorów rzutowych P B 2g p z1 = 1 2 (p z 1 p z2 ) P B 2g p z2 = 1 2 (p z 2 p z1 ) P B 1u p z1 = 1 2 (p z 1 + p z2 ) P B 1u p z2 = 1 2 (p z 1 + p z2 )
115 115 Baza orbitali symetrii Struktura π-elektronowa etylenu V φ 1 = 1 2 (p z1 p z2 ) φ 2 = 1 2 (p z1 + p z2 ) Reprezentacja w bazie orbitali symetrii ( ) ( 1 0 E C z ) C y 2 ( ( ) ( ) ( C2 x i σ xy ( ) ( ) σ xz 1 0 σ yz ) )
116 116 Wyk lad 11 Iloczyn prosty reprezentacji. Regu ly wyboru.
117 117 Iloczyn prosty reprezentacji Definicja ( Niech zestawy funkcji ψ (µ) ) nµ ( i i i=1 odpowiednio reprezentacji Γ µ i Γ ν Rψ (µ) i = Rψ (ν) j = ψ (ν) ) nν j n µ ψ (µ) k D (µ) ki (R) k=1 n ν l=1 ψ (ν) l bed j=1 a bazami D (ν) lj (R) Przez iloczyn prosty reprezentacji Γ µ ν = Γ µ Γ ν bedziemy rozumieć reprezentacje, dla której baza jest zbiór iloczynów ψ (µ) i ψ (ν) j
118 118 Reprezentacja macierzowa iloczynu prostego Wynik dzia lania operatora R na element zbioru ψ (µ) i ψ (ν) j ma postać R(ψ (µ) i ψ (ν) j ) = n µ n ν k=1 l=1 ψ (µ) k ψ (ν) l D (µ) ki (R)D (ν) (R) lj Stad D (µ ν) kl,ij (R) = D (µ) ki (R)D (ν) lj (R)
119 119 Charaktery reprezentacji iloczynowej Twierdzenie Dowód. χ (µ ν) (R) = χ (µ ν) (R) = χ (µ) (R)χ (ν) (R) χ (µ ν) (R) = n µ n ν i=1 j=1 D (µ) ij n µ n ν i=1 j=1 D (µ ν) ij,ij (R) (R)D (ν) (R) = χ (µ) (R)χ (ν) (R) ij
120 120 Rozk lad reprezentacji iloczynowej Z twierdzenia o rozk ladzie: D 3 E 2C 3 3C 2 A A E E A E E E A 2 = E E A 2 = A 1 A 2 E
121 121 W lasności iloczynu prostego Twierdzenie Reprezentacja Γ σ zawiera si e w iloczynie Γ µ Γ ν tyle razy, ile razy reprezentacja Γ µ zawiera si e w iloczynie Γ ν Γ σ i tyle razy, ile razy reprezentacja Γ ν zawiera si e w iloczynie Γ µ Γ σ Twierdzenie Iloczyn prosty reprezentacji nieprzywiedlnych Γ µ i Γ ν zawiera reprezentacje pe lnosymetryczna 0 lub 1 razy. Drugi z wymienionych przypadków zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy µ = ν.
122 122 Ca lki I Twierdzenie Niech Γ µ bedzie reprezentacja nieprzywiedlna grupy G różna od reprezentacji pe lnosymetrycznej. Jeśli funkcja ψ (µ) i o argumentach x 1, x 2,... x N transformuje sie zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γ µ to... ψ (µ) i dx 1 dx 2... dx N = 0
123 123 Ca lki II Twierdzenie Jeśli funkcje ψ (µ) i i ψ (ν) j o argumentach x 1, x 2,... x N transformuja sie odpowiednio zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γ µ i j-tym wierszem reprezentacji Γ ν, to... φ (ν) dx 1 dx 2... dx N ψ (µ) i może być różna od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy i = j i µ = ν. j
124 124 Regu ly wyboru Kiedy ca lka... ψ 1 Ôψ 2 dx 1 dx 2... dx N może być różna od zera? Twierdzenie Jeśli jeden ze stanów, mi edzy którymi zachodzi przejście, należy do reprezentacji Γ µ, drugi do reprezentacji Γ ν, a operator Ô do reprezentacji Γ σ, to przejście indukowane przez operator Ô jest dozwolone, jeśli Γ σ Γ µ Γ ν
Matematyczne Metody Chemii I
Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I
Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I
Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoInformacje o kursie. Historia mechaniki kwantowej. Niezb. ednik matematyczny. Wyk lad 1
Wyk lad 1 Informacje o kursie. Historia mechaniki kwantowej. Niezb ednik matematyczny Plan wyk ladów 13 X, 20 X, 27 X, 3 XI - podstawy mechaniki kwantowej: postulaty, uk lady modelowe, formalizm drugiego
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Chemii I Zadania
Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoLiteratura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoSzczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowo