1.1. Koherentne miary ryzyka. Denicja 1.1 Zbiór zmiennych losowych jest sto»kiem M je±li staªe nale» do M oraz je±li L 1, L 2 M to L 1 + L 2 M.

Transkrypt

1 Rozdziaª 1 Miary ryzyka 1.1. Koherentne miary ryzyka Denicja 1.1 Zbiór zmiennych losowych jest sto»kiem M je±li staªe nale» do M oraz je±li L 1, L 2 M to L 1 + L 2 M. Elementy zbioru M b dziemy rozumieli jako stopy strat inwestycji Denicja 1.2 Niech M b dzie sto»kiem. Wówczas funkcje ρ : M R nazywamy koherentn miar ryzyka je±li 1) jest niezmiennicza na translacje, czyli dla dowolnego l R oraz L M 2. jest subaddytywna ρ(l + L) = l + ρ(l) ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) 3. jest dodatnio jednorodna, czyli je±li λ > 0 ρ(λl) = λρ(l) 4. jest monotoniczna, je±li L 1 L 2 prawie wsz dzie to ρ(l 1 ) ρ(l 2 ). ze wzgeldu na zastosowania wprowadzamy dwie mairy ryzyka: Denicja 1.3 Niech X zmienna losowa. Wówczas warto±ci zagro»on (kwantylem) X nazywamy V ar α (X) = inf{x : F X (x) α} gdzie F X oznacza dystrybuant. Warto±c zagro»ona nie jest koherentn miar ryzka w ogólno±ci. Nie speªnia warunku subaddytywno±ci. Z denicja latwo sprawdzi,»e speªnia pozostaªe warunki denicji 1.1. Jesli jednak inwestycje (stopy straty) maj wspólny rozkªad eliptyczny ( w szczególno±ci szczególno±ci normalny) to VaR jest koherentn miar ryzyka, zob. Twierdzenie 2.4.

2 2 Denicja 1.4 Niech X zmienna losowa taka,»e E X <. Wówczas u±rednion warto±ci zagro»on (ang. Expected shortfall) nazywamy gdzie F X oznacza dystrybuant. ES α (X) = 1 1 α 1 α V ar u (X)du. Expected shortfall jest koherentn miar ryzyka. Dowód znajduje si w rozdziale. Poniewa» VaR speªnia warunki 1,3,4 denicji 1.2 zatem miara ES speªnia równie» warunki 1,3,4 denicji 1.2. ES jest jednak miar koherentn w zbiorze wszystkich zmiennych losowych caªkowalnych. Dowód twierdzenia wynika np. z mocnego prawa wielkich liczb dla statystyk pozycyjnych Uogólniona dystrybuanta odwrotna Przypomnienie wiadomo±ci o dot. uogólnionej dystrybuanty odwrotnej. Lemat 1.1 Je±li F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X, to P (F (X) F (x)) = P (X x) = F (x). Dowód. Poniewa» dystrybuanta jest niemaj ca zatem {X x} {F (X) F (x)}. Zauwa»my,»e {F (X) F (x)} = {X x} {F (X) = F (x), X > x}, gdy» Ω = {X x} {X > x}. Wystarczy pokaza teraz,»e P {F (X) = F (x), X > x} = 0. (1.1) Dla ustalonego x niech x 0 = inf{y : F (y) = F (x)}. Z denicji x 0 oraz z prawostronnej ci gªo±ci, F (x 0 ) = F (x). Ponadto niech x 1 = sup{y : F (y) = F (x)}. Je±li F (x 1 ) = F (x), to Je±li F (x 1 ) > F (x), to P (x 0 < X x 1 ) = 0. (1.2) P (x 0 < X < x 1 ) = 0, (1.3) gdy» dla ka»dego b < x 1 P (x 0 < X b) = 0. Z waruków (1.2) oraz (1.3) wynika (1.1).

3 3 Denicja 1.5 Niech F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X. Uogólnion dystrybuant odwrotn nazywamy funkcj Uogólniona dystrybuanta odwrotna gdy» korzystamy ze standartowej denicji Zauwa»my,»e V ar α (X) = F 1 (α). F 1 (y) = inf{x : F X (x) y} F 1 : [0, 1] R {, + } + = inf, = inf R. Lemat 1.2 Niech F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X. 1. F 1 jest niemaj ca i lewostronnie ciagªa. 2. Jesli F jest ci gªa wtedy i tylko wtedy gdy F 1 jest ±ci±le rosn ca na [0, 1]. 3. Je±li F jest ±ci±le rosn ca wtedy i tylko wtedy gdy F 1 jest ci gªa na [0, 1]. Niech < F 1 < +. Wówczas 4. F (x) y wtedy i tylko wtedy gdy F 1 (y) x. 5. F 1 (F (x)) x 6. F (F 1 (y)) y 7. Je±li F jest ±ci±le rosn ca, to F 1 (F (x)) = x 8. Je±li F jest ci gla, tof (F 1 (y)) = y. Zobacz [3].

4 Rozdziaª 2 Wielowymiarowe rozkªady Niech A oznacza macierz. Przez A = A T b dzie rozumieli macierz transponowan. Dziaªania na macierzach w SAS s w Dodatku na ko«cu Wielowymiarowy rozkªad normalny. Denicja 2.1 Wektor X = (X 1, X 2,..., X p ) ma niezdegenorowany rozkªad normaly (gausowski) X N(µ, Σ) je±li EX = µ R p, Σ = E(X µ)(x µ) T dla macierz kowariancji det Σ 0 za± g sto± x R p ( 1 f(x) = Exp 1 ) (2π) p/2 Σ 1/2 2 (x µ)t Σ 1 (x µ). Aby wygenerowa dane z danego rozkaªdu normalnego N(µ, Σ) korzystamy z twierdzenia Fishera. Mianowicie znajdujemy pierwiastek macierzy Σ, ( rozkªad Cholesky) czyli macierz A = Σ tak,»e A A = Σ. Niech Z bedzie wektorem losowym Z = (Z 1, Z 2,..., Z p ), Z i N(0, 1) oraz Z i s niezale»ne dla i = 1,..., p. Zauwa»my,»e Z N(0, I p ), gdzie I p jest macierz jednostkow. Wówczas wektor losowy Y = AZ + µ ma rozkªad gausowski z macierz korelacji Σ, Y N(µ, Σ). Rzeczywi±cie E(Y µ)(y µ) = EAZZ A = AI p A = Σ, EY = µ. Pozostaªe wªasno±ci wektorów gausowskich na wykªadzie Statystyka matematyczna. Przykªad Ustawienie "seed" oznacza,»e liczby pseudolosowe losowe startuj od tego punktu. Ci g liczb -procedura zostaªa stworzona przez Matsumoto and Nishimura (1998). Ci g liczb ma okres Funkcja "normal" generuje liczb, wektor, lub macierz liczb losowych o rozkªadzie N(0, 1) w zale»no±ci jaki obiekt jest argumentem "normal" Nastepujacy program generuje wektor o dªugo±ci 10 liczb losowych

5 5 c = j(10,1,0); b = normal(c); print b; "Repeat function" wygeneruje te same obiekty. Skªadnia REPEAT( matrix, nrow, ncol) proc iml; x={ 1 2, 3 4} ; y=repeat(x,2,3); print y; Generowanie macierzy losowej i tworzenie pliku danych z macierzy proc iml ; n = 10; /*deklarowanie macierzy*/ sigma = { 4 2, 2 3 }; mu = {1, 0}; p = nrow(sigma); m = repeat(t(mu),n) ; g =root(sigma); z =normal(repeat(0,n,p)) ; /*albo mo»na z =normal(j(n,p,0)) ; */ ymatrix = z*g + m ; /* przepisanie danych z macierzy do pliku*/ create newdata from ymatrix; append from ymatrix; close newdata; proc print data = newdata; Rysowanie danych wygenerowanych proc gplot data=newdata; plot col1*col2="star"; run; Lub procedura ods graphics on; proc kde data=newdata; bivar col1 col2 / plots=all; run;

6 Werykacja hipotezy o normalno±ci rozkªadu Testowanie normalno±ci wielowymiarowego rozkªadu normalnego. Program odwo- ªuje si do odlegªo±ci Mahalanobisa. Mianowice Mardia-test jest oparty na gdzie X, Y N(µ, Σ) s niezale»ne oraz β 1,p = E ( (X µ) T Σ 1 (Y µ) ) 3 β 2,p = E ( (X µ) T Σ 1 (X µ) ) 2. Dla wektorów losowych X, Y wielowymiarowego rozkªadu normalnego, jesli X, Y s niezale»ne wówczas β 1,p = 0 za± β 2,p = p(p + 2). Zakªadamy,»e mamy ci g niezale»nych wektorów gausowskich o jednakowym rozkªadzie Y 1, Y 2,..., Y n N(µ, Σ). Mamy nastepuj ce estymatory β 1,p = 1 n 2 n n i=1 j=1 g 3 ij za± gdzie β 2,p = 1 n n i=1 g 2 ii, g ij = (Y i Y ) T S 1 n (Y j Y ). Ponadto S n jest estymatorem Σ najwi kszej wiarogodno±ci (obci»onym), czyli S n = n 1 n S, za± S jest nieobci»onym estymatorem Σ, czyli gdzie S = 1 n 1 n (Y i Y)(Y i Y), i=1 Y = 1 n n Y i. Przykªad Mamy macierz danych (Rao 1948) dotycz cy wagi korków do win. Dla jednego drzewa mamy cztery pomiary wagi korka w zale»nosci od strony ±wiata. Poni»szy program wylicza macierz kowariancji oraz macierz odwrton do kowariancji. i=1

7 7 proc iml ; y ={ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , } ; n = nrow(y) ; p = ncol(y) ; dfchi = p*(p+1)*(p+2)/6 ; q = i(n) - (1/n)*j(n,n,1); s = (1/(n))*t(y)*q*y ; s_inv = inv(s) ; g_matrix = q*y*s_inv*t(y)*q; beta1hat = ( sum(g_matrix#g_matrix#g_matrix) )/(n*n); beta2hat =trace( g_matrix#g_matrix )/n ; kappa1 = n*beta1hat/6 ; kappa2 = (beta2hat - p*(p+2) ) /sqrt(8*p*(p+2)/n) ; pvalskew = 1 - probchi(kappa1,dfchi) ; pvalkurt = 2*( 1 - probnorm(abs(kappa2)) );

8 8 print s ; print s_inv ; print "TESTS:"; print "Based on skewness:" beta1hat kappa1 pvalskew ; print " Based on kurtosis" beta2hat kappa2 pvalkurt; run; Drugi sposób to odwoªanie si do gotowej procedury data cork; input north east south west; datalines; ; run;

9 9 proc calis data = cork kurtosis; title1 "Output 1.1"; title2 "Computation of Mardia's Kurtosis"; lineqs north = e1, east = e2, south = e3, west = e4; std e1=eps1, e2=eps2, e3=eps3, e4=eps4; run ; Na koniec wprowadzamy jeszcze jedn procedur która umo»liwia obliczenie macierzy kowariancji oraz korelacji proc corr data = cork cov; run; 2.3. Skªadowe gªówne rozkªadów gausowskich Analiza skªadowych gªównych to w zasadzie analiza wektorów wªasnych i warto±ci wªasnych macierzy Σ. Nezwykle przydatna procedura proc princomp data=cork; run; podaje warto±ci wªasne i wektory wªasne w badanym przykªadzie. Jedna skªadowa gªówna wyja±nia prawie caª zmienno± modelu 89%. Skªada si ona z niemal identycznych informacji z ka»dej ze skªadowych wektora obserwacji. Druga skªadowa gªówna (razem z pierwsz ) wyja±nia 96% procent modelu. Wektor wªasny, czyli druga skªadowa gªówna istotnie rozró»nia dane z east i west i z tych danych buduje informacje. St d badany model mo»na sprowadzi do dwóch danych Rozkªady sferyczne i eliptyczne Wektor X = (X 1, X 2,..., X p ) b dzie wektorem losowym. Niech L(X) oznacza rozkªad wektora X. Denicja 2.2 Mówimy,»e X ma rozkªad sferyczny jesli dla ka»dej macierzy ortogonalnej U, czyli takiej,»e UU T = I p zachodzi L(UX) = L(X), czyli równo± zachodzi dla rozkªadów.

10 10 Przykªad wektora o rozkªadzie sferycznym Z N(0, I p ). Rozkªad L(X) oznacza b d¹ dystrybuant wektora X, czyli F X bad¹ miar, czyli transport miary P przez X. Zatem dla dowolego zbioru borelowskiego A B(R p ) ν X (A) = P (X A). Zauwa»my,»e dla dowolej funkcji dodatkniej f : R p R mamy Ef(X) = f(u)ν X (u). R p Równo± rozkªadów jest równowa»na z faktem,»e funkcje charakterystyczne s sobie równe. Funkcj charakterystyczn deniujemy wzorem t R p φ X (t) = Ee t X, t X =< t, X >= p t j X j. Zauwa»my jeszcze jedn prost wªasno± dla zmiennej losowej X i a > 0 Niech a = < a, a >. j=1 φ ax (t) = Ee tax = Ee atx = φ X (at). (2.1) Twierdzenie 2.1 Nast puj ce warunki s równowa»ne 1. Wektor losowy X ma rozkªad sferyczny 2. Istnieje funkcja mierzalna ψ : R R (generator rozkªadu sferycznego) taka,»e 3. Dla ka»dego wektora a R p ψ(t t) = Φ X (t). L(a X) = L( a X 1 ), Dowód. 1 = 2. Niech wektor X ma rozkªad sferyczny. Niech U odwzorowanie ortogonalne. Wówczas z zaªo»enia dla t R p φ X (t) = φ UX (t) = Ee it UX = Ee i(u t) X = φ X (U t). Bior c dowolny obrót U otrzymujemy,»e φ X jest fukcj staª dla wektorów o tej samej dªugo±ci i zale»y jedynie od dªugo±ci wektora t. Zatem mo»emy zdeniowa funkcj ψ ψ(a) = φ X (t), a = t t = t 2. 2 = 3. Niech e 1 = (1, ) bedzie wektorem jednostkowym w R p. Zauwa»my,»e z zaªo»enia dla u R Równie» z zaªo»enia dla t R p φ X1 (u) = Ee iux1 = Ee i(ue1) X = φ X (ue 1 ) = ψ(u 2 ) (2.2) φ t X(u) = Ee iut X = φ X (ut) = ψ(u 2 t t) = ψ(u 2 t 2 )

11 11 Korzystaj c z (2.2) otrzymujemy φ t X(u) = φ X1 (u t ) = φ t X1 (u), co ko«czy dowód implikacji. 2 = 3. Niech U dowolne przeksztaªcenie ortogonalne. Wówczas Z zaªo»enia bior c a = U t otrzymamy φ UX (t) = Ee it UX = Ee i(u t) X. Ee i(u t) X = φ a X(1) = φ a X1 (1) = Ee i U t X 1. Poniewa» U jest ortogonalne,to Ut = t. Zatem Znowu korzysataj c z zaªo»enia co ko«czy dowód twierdzenia. φ UX (t) = Ee i t X 1. φ UX (t) = φ X (t) Lemat 2.2 Niech X, Y niezale»ne wektory losowe. Niech dana jest funkcja mierzalna f : R R R taka,»e zmienna losowa E f(x, Y) <. Wówczas gdzie E[f(X, Y) Y ] = g(y ), g(y) = E[f(X, y). Na S p 1 wprowadzimy miar powierzchniow unormowan ν(s p 1 ) = 1, czyli a dν(a) = 1 a da, S p 1 e it ω p 1 S p 1 e it gdzie ω p 1 jest miar powierzchniow sfery S p 1, czyli ω p 1 = 2 πp/2 Γ(p/2). Zauwa»my,»e dla dowolnego t R p funkcja t a dν(a), S p 1 e it zale»y jedynie od t. Prowadzi to do denicji Ω p ( t 2 ) = S p 1 e it a dν(a). (2.3)

12 12 Funkcja Ω p jest zwi zana z funkcj Bessla. Mianowicie niech k liczba caªkowita. Funkcj Bessla nazywamy funkcj postaci, por. [4] J k (t) = 1 2π 2π 0 e it sin θ e ikθ dθ, t R. Zachodzi lemat, Lemat 3.1 [4] dla dowolnego k 0 J k (t) = (t/2) k 1 e its (1 s 2 ) (2k 1)/2 ds, t R. Γ((2k + 1)/2)Γ(1/2) 1 Powy»sza formuªa pozwala rozpatrywa funkcje Bessla dla k > 1/2. Wówczas dla dowolnego t R p, niech s = t > 0 wówczas (dowód str. 154 [4]) S p 1 e it a dν(a) = ω p 2 ω p e isu (1 u 2 ) (p 3)/2 du = Γ(p/2) (s/2) J Γ(p/2) (p 2)/2(s) = (p 2)/2 ( t /2) J (p 2)/2( t ). (p 2)/2 Twierdzenie 2.3 Nast puj ce warunki s równowa»ne 1. Wektor losowy X ma rozkªad sferyczny 2. L(X) = L(RS), gdzie S jest rozkªadem jednostajnym na sferze S p 1 R p, R jest zmienn losow dodatni. Ponadto R oraz S s niezale»ne. Dowód 2 = 1. Korzystaj c z Lematu 2.2 otrzymamy gdzie korzystamy z (2.3), czyli St d φ RS (t) = Ee irt S = E(E[e irt S R]) = EΩ p (R 2 t 2 ), Ω p (r 2 t 2 ) = Ee irt S. φ RS (t) = EΩ p (R 2 t 2 ) = EΩ p (R 2 t t). Zatem pokazli±my,»e funkcja charakterystyczna zale»y wyª cznie od iloczynu skalarnego t t. Z twierdzenia 2.1 punkt 2 wynika teza twierdzenia. 1 = 2. Konstruujemy wektory losowe R, S niezale»ne i takie,»e L(R) = L( X ), za± S ma rozkªad jednostajny na S p 1 i sprawdzamy rozkªad wektora RS. Denicja 2.3 Wektor losowy X ma rozkªad eliptyczny je±li istnieje macierz A, wektor µ oraz wektor Y o rozkªadzie sferycznym tak,»e L(X) = L(AY + µ).

13 13 Wektor o rozkªadzie normalnym X N(µ, Σ) ma rozkªad eliptyczny. Mianowicie L(X) = L( ΣZ + µ), gdzie Z N(0, I p ). W rodzinie generowanej przez rozkªady eliptyczne miara ryzyka jest subaddytywna. Twierdzenie 2.4 Niech X = (X 1, X 2,..., X p ) ma rozkªad eliptyczny. Rozwa»my sto»ek p M = {L : L = λ 0 + λ j X j, λ j R}. Wówczas dla ka»dego L 1, L 2 M j=1 V ar α (L 1 + L 2 ) V ar α (L 1 ) + V ar α (L 2 ). (2.4) Dowód. Z twierdzenia 2.3 wynika,»e istnieje macierz A, wektor µ oraz wektor Y o rozkªadzie sferycznym tak,»e L(X) = L(AY + µ). Wystarczy teraz udowodni,»e dla dowolnych wektorów t 1, t 2 V ar α (t 1AY + t 2AY) V ar α (t 1AY) + V ar α (t 1AY). Z twierdzenia 2.1 Y ma rozklad sferyczny L(t 1AY + t 2AY) = L((t 1 + t 2 ) AY) = L((A t 1 + A t 2 ) Y) = L( A t 1 + A t 2 Y 1 ) Ponadto dla i = 1, 2 Zatem L(t iay) = L((A t i ) Y) = L( A t i Y 1 ). V ar α (t 1AY + t 2AY) = V ar α ( A t 1 + A t 2 Y 1 ) = A t 1 + A t 2 V ar α (Y 1 ). oraz V ar α (t iay) = V ar α ( A t i Y 1 ) = A t i V ar α (Y 1 ). Wystarczy teraz zauwa»y,»e dla dowolnych A, t 1, t 2 co daje (2.4). A t 1 + A t 2 A t 1 + A t 2

14 Rozdziaª 3 Oczekiwana warto± zagro»ona Twierdzenie van Zwet, Sen. Niech X b dzie zmienn losow tak,»e E X < o dystrybuancie F X, Oczekiwana warto± zagro»ona-expected shortfall na poziomie ufno±ci α [0, 1) deniujemy gdzie q u (F X ) jest kwantylem F X. ES α = 1 1 α 1 α q u (F X )du, Twierdzenie 3.1 Mocne prawo wielkich liczb dla statystyk pozycyjnych Niech X, X 1, X 2,... ci g niezale»nych zmiennych losowych o rozkladzie F X. Wówczas lim n 0 [n(1 α)] 1 [n(1 α)] j=1 L j,n = ES α prawie napewno, gdzie L 1,n L 2,n L n,n oznaczaj statystyki pozycyjne dla L 1, L 2,..., L n oraz [n(1 α)] oznacza najwiesz liczb caªkowit mniejsz od n(1 α). Twierdzenie 3.2 Oczekiwana warto± zagro»ona-expected shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1) jest koherentn miar ryzyka.

15 Rozdziaª 4 Twierdzenie o reprezentacji miar koherentnych Niech X b dzie zbiorem zmiennych losowych mierzalnych i ograniczonych. Niech M zbiór miar sko«czenie addytywnych, nieujemnych, unormowanych na Ω, czyli je±li P M to P (Ω) = 1. Do denicji caªki wzgl. tych miar deniujemy korzystaj c z tw. Hahna-Banacha. [1] Twierdzenie 4.1 Funkcjonaª ρ : X R jest koherentn miar ryzyka wtedy i tylko wtedy gdy istnieje podzbiór Q zbioru M miar sko«czenie addytywnych unormowanych na Ω taki,»e ρ(x) = sup E P X = sup XdP, X X. P Q P Q Ω Przypadek Ω zbior sko«czny n elementowy. Wowczas ka»d inwestycja X (stopa straty z inwestycji) X : Ω R mo»na uto»sami z wektorem t X R n. Zatem mamy wzajemn odpowiednio± zmiennych losowych na Ω oraz wektorów w przestrzeni R n. Dlatego miar probabilistyczn P na Ω mo»emy równie» z wektorem a P = (a 1,..., a n ) z sympleksu n, czyli 0 a i 1, n a i = 1. i=1 Zauwa»my,»e E P X =< l X, a P >. W tym przypadku twierdzenie ma nast puj c posta Twierdzenie 4.2 Niech Ω zbior sko«czny n elementowy. Funkcjonaª ρ : X R jest koherentn miar ryzyka wtedy i tylko wtedy gdy istnieje podzbiór Q zbioru n taki,»e ρ(x) = sup P Q Jaka jest reprezentacja ES α? [1] E P X = sup < l X, a P >, X X. a Q

16 Rozdziaª 5 Alokacja kapitaªu Lemat 5.1 Niech U zbiór otwarty w R p \{0}. Niech dana jest funkcja ró»niczkowalna f : U R dodatnio jednorodna, czyli dla h > 0 oraz t, ht U zachodzi f(ht) = hf(t). Wówczas f(t) =< t, f(t) >. Dany jest wektor stóp strat X = (X 1,..., X d ). Przez X(t) = n t j X j rozumiemy losow warto± inwestycji. Dla ujemej t j rozumiemy jako pozycje krótkie. Niech M taki sto»ek, dla ktorego zbiór inwestycji U R p \ {0} j=1 {X(t) : t U} M. Niech na M zadana bedzie miara ryzyka ρ. Wówczas deniujemy funkcje na zbiorze t U r ρ (t) = ρ(x(t)). Denicja 5.1 Gradientow alokacj kapitaªu dla funkcji ryzyka ρ nazywamy r ρ. Wyznaczy gradientow alokacj kapitaªu dla V ar Twierdzenie 5.2 Niech Wówczas r ρ (t) t j ρ = V ar α = E[X j X(t) = q α (X(t))]. Wniosek 5.3 Przy powy»szych zaªo»eniach V ar α (X(t)) = p j=1 t j r ρ (t) t j = Problem wyznaczy rozkªady warunkowe. p t j E[X j X(t) = q α (X(t))] j=1

17 Rozdziaª 6 Twierdzenie Sklara i kopuªy Denicja funkcji kopuªy. Twierdzenie Skalara. Przykªady kopuª. Kopuªa Gumbela, Claytona, Franka,

18 Rozdziaª 7 Oszacowania dla ryzyka Niech ρ miara ryzyka. Niech X = (X 1,..., X d ) wektor strat. Niech dana jest funkcja mierzalna Ψ : R p R. Podstawowym problemem w mierzeniu ryzyka jest rozwi zanie nastepuj cego problemu. Dla ρ, zadanych rozkªadów brzegowych F i,i = 1,..., p oraz funkcji Ψ znale¹ oszacowania dla inf{ρ(ψ(x)) : X j F j, j = 1,..., p} oraz sup{ρ(ψ(x)) : X j F j, j = 1,..., p}. Najcz ±ciej rozwa»ane funkcje Ψ, t R p dla portfela Ψ(t) = p t j (7.1) J=1 dla reasekuracji "stop loss" na poziomie k Ψ(t) = ( p t j k) + J=1 dla reasekuracji "excess of loss" na poziomach k j Ψ(t) = p (t j k j ) + J=1 Problem dla ρ = V ar α, zadanych rozkªadów brzegowych F i,i = 1,..., p oraz funkcji Ψ postaci (7.1) znale¹ oszacowania dla oraz inf{v ar α ( sup{v ar α ( p X j ) : X j F j, j = 1,..., p} J=1 p X j ) : X j F j, j = 1,..., p}. J=1 Mo»na jeszcze bardziej zaw zi problem do sytuacji gdy rozkª d ªaczny jest modelowany za pomoc rodziny kopuª. Metody Monte Carlo.

19 Rozdziaª 8 Centralne twierdzenie graniczne Denicja 8.1 Zmienna losowa X ma rozkªad stabilny je±li dla ci gu niezale»nych kopii X 1, X 2 zmiennej X i dowolych c 1, c 2 0 istniej b > 0 oraz a R takie,»e F c1x 1+c 2X 2 = F bx+a, czyli L(c 1 X 1 + c 2 X 2 ) = L(bX + a). Rozkªady stabilne s caªkowicie scharakteryzowane przez funkcje charakterystyczne. Rozkªady s scharakteryzowane przez cztery parametry γ, α, c oraz β. Poniewa» gªównym parametrem jest α (0, 2] zatem w skrócie b dziemy je oznacza G α. Wa»nym przykªadem s rozkªady α-stabilne α (0, 2] których funkcja characterystyczna jest dana wzorem φ(t) = e iγt c t α, t R gdzie c > 0 i γ R. Nietrudno pokaza,»e je±li X 1, X 2,... jest ci giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie stabilnym G α, to z denicji istniej dwa ci gi a n i b n > 0 tak,»e zachodzi F ξn (y) = G α (y) gdzie F ξn jest dystrybuant zmiennej losowej Z drugiej strony zachodzi twierdzenie ξ n = S n a n b n, S n = n X j. j=1 Twierdzenie 8.1 Je±li dany jest ci g niezale»nych zmiennych losowych X 1, X 2,... o jednakowym rozkªadzie oraz ci gi a n i b n tak,»e F ξn (y)) G(y), n, do pewnej dystrybuanty G, to wówczas G = G α ma rozkªad stabilny.

20 20 Przykªad Je±li X, X 1, X 2,... s niezale»ne o rozkªadzie Cauchy, to Zatem S n = n j=1 X j otrzymujemy φ Sn/n(t) = φ X (t) = e t. n φ Xj/n(t) = j=1 n e t /n = e t. j=1 W konsekwencji F Sn/n(t) = F X (t). Model Craméra Lundberga. Dany jest ci g {X j } nieujemnych niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie (oznaczaj cy roszczenia). Niech ponadto µ = EX < oraz σ 2 = V arx <. Niech N(t) b dzie procesem Poissona o intensywno±ci λ niezale»nym od {X j }. Proces N(t) modeluje proces ilo±ci roszcze«w czasie [0, t]. Ogólny proces roszcze«modeluje proces S(t) = { N(t) j=1 X j N(t) > 0 0 N(t) = 0 Twierdzenie 8.2 W modelu Cramer-Lundberga N(t) ES(t) = E X j = µλt. j=1 Jesli t to N(t) j=1 X j ES(t) V ars(t) N(0, 1), gdzie zbie»no± jest wg. rozkªadu. Trajektorie procesu Poissona data poisson; t=0; p=0; lambda=5; delta=0.01; output; do i = 1 to 1000; t =t+delta; p = p+ rand('poisson',delta*lambda); x=lambda*t; output; end; run; Symbol value=none interpol=sms line=1 width=2;

21 21 title"trajectory Poisson"; proc gplot data=poisson; plot p*t x*t /overlay ; run; Centralne twierdzenie graniczne w modelu Cramera-Lunberga. Proces Poissona ma intensywno± λ = 10, rozkªady roszcze«maja rozkªad gamma z a = 16. Przeanalizuj wykresy dla maªych n data central; lambda=10; a=16; n=20000; do i = 1 to n; poss=rand('poisson',lambda); s=0; do k=1 to poss; s = Rand('gamma',a)+s; end; z=(s-a*poss)/sqrt(poss*a); output; end; title 'Limit distribution '; proc univariate data=central; var z; histogram / midpoints=-3 to 3 by 0.5 normal vaxis = axis1 name = 'MyHist'; inset n mean(5.3) std='std Dev'(5.3) skewness(5.3) / pos = ne header = 'Summary Statistics'; axis1 label=(a=90 r=0); run;

22 Rozdziaª 9 Obszary przyci gania dla maksimum Niech {X j } ci g niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie F. Niech M 1 = X 1 za± M n = max{x 1, X 2,..., X n }. Zauwa»my,»e Interesuj nas mo»liwe granice P (M n x) = P (X 1,..., X n x) = F n (x). c 1 n (M n d n ) H. (9.1) Analogicznie jak dla CTG wa»n rol pelni rozkªady stabilne tutaj wa»n rol peªni max-stabilne. Denicja 9.1 Niezdegeneroana zmienna losowa ma rozkªad max-stabilny je±li dla niezale»nych kopii X czyli X 1, X 2,... istniej ci gi c n > 0 oraz d n tak,»e L(max{X 1,...X n }) = L(c n X + d n ). Twierdzenie 9.1 Jesli istnieje granica w równaniu (9.1), to H jest Fréchet α > 0 Weibull α > 0 Gumbell Φ α (x) = Ψ α (x) = { 0 dla x 0 exp( x α ) dla x > 0. { exp( x α ) dla x 0 0 dla x > 0. Λ(x) = exp( e x ), x R. W programie SAS 9.3 mamy dost pne wszystkie te rozkªady. Rozkªad Gumbella Λ(x) = exp( e (x µ)/σ ), x R, gdzie µ parametr poªo»enia rozkladu za± σ parametr skali. Rozkªady Fréchet i Weibulla s wzajemnie odpowiadaj ce. Dlatego w SAS 9.3 rozkªad Weibulla { 0 ( dla x θ Φ α (x) = exp ( ) x θ α ) σ dla x > θ.

23 23 Przyklad Niech X j jest ci giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie wykªadniczym z parametrem λ = 1. Sprawdzi,»e data makaron; do j=1 to 40; a=0; do i = 1 to 100; b=rand('exponential'); if b>a then a=b; c=a; P (M n ln n x) Λ(x) = exp( e x ). end; max=c; output; end; run; title 'Limit distribution '; proc univariate data=makaron; var max; histogram / gumbel midpoints=0 to 40 by 1 ; run; Na koniec zobaczmy,»e graniczne rozkªady mo»emy zapisa w postaci { exp(1 (1 + ξx/β) H ξ = 1/ξ ) dla xi 0 exp( e x ) dla ξ = 0, gdzie 1 + ξx < 0. Mo»emy otrzyma rodzin trzy parametrow H ξ,µ,σ = H ξ ((x µ)/σ). Korzystaj c z twierdzenia 9.1 otrzymamy wówczas,»e F nale»y do obszaru przyci - gania F MDA(H ξ,µ,σ ) = MDA(H ξ ).

24 Rozdziaª 10 Uogólniony rozkªad Pareto- analiza rozkªadów ogonów Dla zmiennej losowej X z dystrybuant F wprowadzmy F u (x) = P (X u x X > u) = gdzie x F jest prawym punktem kranscowym F, czyli F (x + u) F (u), 0 x x F u, 1 F (u) Denicja 10.1 Uogólniony rozkªad Pareto jest dany za pomoc dystrybuanty { 1 (1 + ξx/β) 1/ξ dla xi 0 G ξ,β = 1 exp( x/β) dla ξ = 0. β > 0 i x 0 gdy ξ 0 za± dla ξ < 0, 0 x β/ξ. Sprawd¹ wzory w SAS support: Table Distributions and Parameters Twierdzenie 10.1 Pickands-Balkema-de Haan Istnieje mierzalna dodatnia funkcja β taka,»e lim sup F u (x) G ξ,β(u) (x) = 0. u x F 0 x x F u wtedy i tylko wtedy gdy F MDA(H ξ ).

25 Rozdziaª 11 Analiza macierzowa w SASprzypomnienie proc iml ; /*tworzenie macierzy*/ A ={ 2 1, 0 3 } ; /*transponowanie macierzu */ B=t(A); /*dziaªania na macierzach*/ E=B*A; F=E-B+A; /*odwracanie macierzy*/ C=inv(A); /*licza wierszy i kolumn*/ wie = nrow(a); kol= ncol(a); /*wyznacznik i ±lad*/ trace_a = trace(a); det_a = det(a); /* pierwiastek macierzy dodatnio okreslonej*/ D=root(E); /*tworzenie specjalnych macierzy np jedynek*/ J=j(3,3,1); /*tworzenie macierzy jednostkowej */ K=i(3); /*drukowanie macierzy*/ print D; run; Š czenie macierzy. Sprawd¹ nast puj ce operacje A B oraz A//B. proc iml ;

26 26 A ={ 2 1, 0 3 } ; B ={ 5-1, 2-3 } ; C=A B; D=A//B; print C ; print D ; run; Tworzenie pliku SAS z macierzy proc iml; ymatrix = { 2 4 8, 3 9 1, 9 4 8, 1 1 1, 2 7 8}; create newdata from ymatrix; append from ymatrix; close newdata; proc print data = newdata;

27 Literatura [1] Hans Föllmer, Alexander Schied Stochastic Finance An Introduction in Discrete Time Second Revised and Extended Edition Walter de Gruyter Berlin New York [2] Ravindra Khattree, Dayanand N. Naik, Applied Multivariate Statistics with SAS software SAS Institute Inc. and John Wiley & Sons, Second edition [3] A. McNeil, R. Frey, P. Embrechtes Quantitive Risk Management Princeton University Press 2005 [4] E.M. Stein, G. Weiss Fourier analysis on Euclidean spaces Princeton University Press 1971.