1.1. Koherentne miary ryzyka

Transkrypt

1 Rozdziaª 1 Miary ryzyka 1.1. Koherentne miary ryzyka Denicja 1.1 Zbiór zmiennych losowych jest sto»kiem M je±li staªe nale» do M oraz je±li L 1, L 2 M to L 1 + L 2 M oraz je±li λ > 0 i L M to λl M. Elementy zbioru M b dziemy rozumieli jako stopy strat inwestycji Denicja 1.2 Niech M b dzie sto»kiem. Wówczas funkcje ρ : M IR nazywamy koherentn miar ryzyka je±li 1) jest niezmiennicza na translacje, czyli dla dowolnego l IR oraz L M 2. jest subaddytywna ρ(l + L) = l + ρ(l) ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) 3. jest dodatnio jednorodna, czyli je±li λ > 0 ρ(λl) = λρ(l) 4. jest monotoniczna, je±li L 1 L 2 prawie wsz dzie to ρ(l 1 ) ρ(l 2 ). ze wzgeldu na zastosowania wprowadzamy dwie mairy ryzyka: Denicja 1.3 Niech X zmienna losowa. Wówczas warto±ci zagro»on (kwantylem) X nazywamy V ar α (X) = q α (X) = inf{x : F X (x) α} gdzie F X oznacza dystrybuant. Warto±c zagro»ona nie jest koherentn miar ryzka w ogólno±ci. Nie speªnia warunku subaddytywno±ci. Z denicja latwo sprawdzi,»e speªnia pozostaªe warunki denicji 1.1. Jesli jednak inwestycje (stopy straty) maj wspólny rozkªad eliptyczny ( w szczególno±ci szczególno±ci normalny) to VaR jest koherentn miar ryzyka, zob. Twierdzenie 2.4.

2 2 Denicja 1.4 Niech X zmienna losowa taka,»e E X <. Wówczas u±rednion warto±ci zagro»on (ang. Expected shortfall) nazywamy gdzie F X oznacza dystrybuant. ES α (X) = 1 1 α 1 α V ar u (X)du. Expected shortfall jest koherentn miar ryzyka. Dowód znajduje si w rozdziale. Poniewa» VaR speªnia warunki 1,3,4 denicji 1.2 zatem miara ES speªnia równie» warunki 1,3,4 denicji 1.2. ES jest jednak miar koherentn w zbiorze wszystkich zmiennych losowych caªkowalnych. Dowód twierdzenia wynika np. z mocnego prawa wielkich liczb dla statystyk pozycyjnych Konwencja dla zysku Je±li zmienna losowa X reprezentuje zysk, to zmienna losowa L = L X = X reprezentuje strat. Wówczas aksjomaty koherentnej miary ryzyka s deniowane "odwrotnie". Mianowicie niech ρ b dzie miar ryzyka zdefniowan powy»ej wówczas ρ z (X) = ρ(l X ) deniuje koherentn miar ryzka w sensie zysku czyli je±li X 1 X 2 to L X1 zatem ρ(l X1 ) ρ(l X2 ) czyli ρ z (X 1 ) ρ z (X 2 ). Je±li c oznacza staªy zysk, to L X+c = X c = L X c zatem L X2 ρ z (X + c) = ρ(l X+c ) = ρ(l X c) = ρ(l X ) c = ρ z (X) c. Subbaddytywno± i dodatnia jednorodno± s zachowane gdy» ρ z (X 1 + X 2 ) = ρ(l X1+X 2 ) = ρ(l X1 + L X2 ) ρ(l X1 ) + ρ(l X2 ) = ρ z (X 1 ) + ρ z (X 2 ). Analogicznie dodatnia jednorodno±. zob [1] Uogólniona dystrybuanta odwrotna Przypomnienie wiadomo±ci o dot. uogólnionej dystrybuanty odwrotnej. Lemat 1.1 Je±li F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X, to P (F (X) F (x)) = P (X x) = F (x). Dowód. Poniewa» dystrybuanta jest niemalej ca zatem {X x} {F (X) F (x)}.

3 3 Zauwa»my,»e {F (X) F (x)} = {X x} {F (X) = F (x), X > x}, gdy» Ω = {X x} {X > x}. Wystarczy pokaza teraz,»e P {F (X) = F (x), X > x} = 0. (1.1) Dla ustalonego x niech x 0 = inf{y : F (y) = F (x)}. Z denicji x 0 oraz z prawostronnej ci gªo±ci, F (x 0 ) = F (x). Ponadto niech x 1 = sup{y : F (y) = F (x)}. Je±li F (x 1 ) = F (x), to Je±li F (x 1 ) > F (x), to P (x 0 < X x 1 ) = 0. (1.2) P (x 0 < X < x 1 ) = 0, (1.3) gdy» dla ka»dego b < x 1 P (x 0 < X b) = 0. Z waruków (1.2) oraz (1.3) wynika (1.1). Denicja 1.5 Niech F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X. Uogólnion dystrybuant odwrotn nazywamy funkcj Uogólniona dystrybuanta odwrotna gdy» korzystamy ze standartowej denicji Zauwa»my,»e V ar α (X) = F 1 (α). F 1 (y) = inf{x : F X (x) y} F 1 : [0, 1] IR {, + } + = inf, = inf IR. Lemat 1.2 Niech F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X. 1. F 1 jest niemaj ca i lewostronnie ciagªa. 2. Jesli F jest ci gªa wtedy i tylko wtedy gdy F 1 jest ±ci±le rosn ca na [0, 1]. 3. Je±li F jest ±ci±le rosn ca wtedy i tylko wtedy gdy F 1 jest ci gªa na [0, 1]. Niech < F 1 < +. Wówczas 4. F (x) y wtedy i tylko wtedy gdy F 1 (y) x. 5. F 1 (F (x)) x 6. F (F 1 (y)) y 7. Je±li F jest ±ci±le rosn ca, to F 1 (F (x)) = x 8. Je±li F jest ci gla, tof (F 1 (y)) = y. Zobacz [4].

4 Rozdziaª 2 Wielowymiarowe rozkªady Niech A oznacza macierz. Przez A = A T b dzie rozumieli macierz transponowan. Dziaªania na macierzach w SAS s w Dodatku na ko«cu Wielowymiarowy rozkªad normalny. Denicja 2.1 Wektor X = (X 1, X 2,..., X p ) ma niezdegenorowany rozkªad normaly (gausowski) X N(µ, Σ) je±li EX = µ IR p, Σ = E(X µ)(x µ) T dla macierz kowariancji det Σ 0 za± g sto± x IR p ( 1 f(x) = Exp 1 ) (2π) p/2 Σ 1/2 2 (x µ)t Σ 1 (x µ). Aby wygenerowa dane z danego rozkªadu normalnego N(µ, Σ) korzystamy z twierdzenia Fishera. Mianowicie znajdujemy pierwiastek macierzy Σ, ( rozkªad Cholesky) czyli macierz A = Σ tak,»e A A = Σ. Niech Z bedzie wektorem losowym Z = (Z 1, Z 2,..., Z p ), Z i N(0, 1) oraz Z i s niezale»ne dla i = 1,..., p. Zauwa»my,»e Z N(0, I p ), gdzie I p jest macierz jednostkow. Wówczas wektor losowy Y = A Z + µ ma rozkªad gausowski z macierz korelacji Σ, Y N(µ, Σ). Rzeczywi±cie E(Y µ)(y µ) = EA ZZ A = A I p A = Σ, EY = µ. Pozostaªe wªasno±ci wektorów gausowskich na wykªadzie Statystyka matematyczna. Przykªad Ustawienie "seed" oznacza,»e liczby pseudolosowe losowe startuj od tego punktu. Ci g liczb -procedura zostaªa stworzona przez Matsumoto and Nishimura (1998). Ci g liczb ma okres Funkcja "normal" generuje liczb, wektor, lub macierz liczb losowych o rozkªadzie N(0, 1) w zale»no±ci jaki obiekt jest argumentem "normal" Nastepujacy program generuje wektor o dªugo±ci 10 liczb losowych

5 5 c = j(10,1,0); b = normal(c); print b; "Repeat function" wygeneruje te same obiekty. Skªadnia REPEAT( matrix, nrow, ncol) proc iml; x={ 1 2, 3 4} ; y=repeat(x,2,3); print y; Generowanie macierzy losowej i tworzenie pliku danych z macierzy proc iml ; n = 10; /*deklarowanie macierzy*/ sigma = { 4 2, 2 3 }; mu = {1, 0}; p = nrow(sigma); m = repeat(t(mu),n) ; g =root(sigma); z =normal(repeat(0,n,p)) ; /*albo mo»na z =normal(j(n,p,0)) ; */ ymatrix = z*g + m ; /* przepisanie danych z macierzy do pliku*/ create newdata from ymatrix; append from ymatrix; close newdata; proc print data = newdata; Rysowanie danych wygenerowanych proc gplot data=newdata; plot col1*col2="star"; run; Lub procedura ods graphics on; proc kde data=newdata; bivar col1 col2 / plots=all; run; ods graphics off;

6 Werykacja hipotezy o normalno±ci rozkªadu Testowanie normalno±ci wielowymiarowego rozkªadu normalnego. Program odwo- ªuje si do odlegªo±ci Mahalanobisa. Mianowice Mardia-test jest oparty na mierze sko±no±ci (zakªadamy,»e obie caªki istniej ) gdzie X, Y s niezale»ne oraz kurtozie β 1,p = E ( (X µ) T Σ 1 (Y µ) ) 3 β 2,p = E ( (X µ) T Σ 1 (X µ) ) 2. Dla wektorów losowych X, Y wielowymiarowego rozkªadu normalnego, jesli X, Y s niezale»ne wówczas β 1,p = 0 za± β 2,p = p(p + 2). Zakªadamy,»e mamy ci g niezale»nych wektorów o jednakowym rozkªadzie Y 1, Y 2,..., Y n dla których istnieje macierz kowariancji Σ. Mamy nastepuj ce estymatory β 1,p = 1 n 2 n n i=1 g 3 ij za± gdzie β 2,p = 1 n n i=1 g 2 ii, g ij = (Y i Y ) T S 1 n (Y j Y ). W przypadku gdy wektory losowe Y 1, Y 2,..., Y n N(µ, Σ) macierz losowa S n jest estymatorem Σ najwi kszej wiarogodno±ci (obci»onym), czyli S n = n 1 n S, za± S jest nieobci»onym estymatorem Σ, czyli gdzie S = 1 n 1 n (Y i Y)(Y i Y), i=1 Y = 1 n n Y i. Przykªad Mamy macierz danych (Rao 1948) dotycz cy wagi korków do win. Dla jednego drzewa mamy cztery pomiary wagi korka w zale»nosci od strony ±wiata. Poni»szy program wylicza macierz kowariancji oraz macierz odwrton do kowariancji. i=1

7 7 proc iml ; y ={ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , } ; n = nrow(y) ; p = ncol(y) ; dfchi = p*(p+1)*(p+2)/6 ; q = i(n) - (1/n)*j(n,n,1); s = (1/(n))*t(y)*q*y ; s_inv = inv(s) ; g_matrix = q*y*s_inv*t(y)*q; beta1hat = ( sum(g_matrix#g_matrix#g_matrix) )/(n*n); beta2hat =trace( g_matrix#g_matrix )/n ; kappa1 = n*beta1hat/6 ; kappa2 = (beta2hat - p*(p+2) ) /sqrt(8*p*(p+2)/n) ; pvalskew = 1 - probchi(kappa1,dfchi) ; pvalkurt = 2*( 1 - probnorm(abs(kappa2)) );

8 8 print s ; print s_inv ; print "TESTS:"; print "Based on skewness:" beta1hat kappa1 pvalskew ; print " Based on kurtosis" beta2hat kappa2 pvalkurt; run; Drugi sposób to odwoªanie si do gotowej procedury data cork; input north east south west; datalines; ; run;

9 9 proc calis data = cork kurtosis; title1 "Output 1.1"; title2 "Computation of Mardia's Kurtosis"; lineqs north = e1, east = e2, south = e3, west = e4; std e1=eps1, e2=eps2, e3=eps3, e4=eps4; run ; Procedura proc calis z opcj/a kurtosis wy±wietla szereg parametrów zwi zanych z kurtoz, w tym Standardow kurtoz Mardii (Mardia based kappa) κ 1 = β 2,p p(p + 2) 1 = κ 1( β 2,p ). razy suma kurtoz jednowymiaro- Mean scaled univariate kurtosis κ 2, równa 1 wych 3p Adjusted mean scaled kurtosis κ 3, równa 1 jednowymiarowych 3p razy suma poprawionych kurtoz Do werykacji hipotezy badany wektor cech ma rozkªad normalny sªu»y porównanie parametru κ i z warto±ci krytyczn 2 p+2 w naszym przypadku 1/3. Mo»emy równie» posªu»y si asymptotycznym rozkªadem κ 1. Mianowicie Mardia w swojej pracy pokazaª,»e dla β 2,p zachodzi centralne twierdzenie graniczne β 2,p p(p + 2) 8p(p + 2)/n N(0, 1). Zatem asymptotyczny rozkªad κ 1 te» jest normalny. W powy»szym przykªadzie dla ka»dej statystyki jest prawd,»e κ i 1/3 zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Na koniec wprowadzamy jeszcze jedn procedur która umo»liwia obliczenie macierzy kowariancji oraz korelacji proc corr data = cork cov; run;

10 Skªadowe gªówne rozkªadów gausowskich Analiza skªadowych gªównych to w zasadzie analiza wektorów wªasnych i warto±ci wªasnych macierzy Σ. Niezwykle przydatna procedura proc princomp data=cork; run; podaje warto±ci wªasne i wektory wªasne w badanym przykªadzie. Jedna skªadowa gªówna wyja±nia prawie caª zmienno± modelu 89%. Skªada si ona z niemal identycznych informacji z ka»dej ze skªadowych wektora obserwacji. Druga skªadowa gªówna (razem z pierwsz ) wyja±nia 96% procent modelu. Wektor wªasny, czyli druga skªadowa gªówna istotnie rozró»nia dane z east i west i z tych danych buduje informacje. St d badany model mo»na sprowadzi do dwóch danych Rozkªady sferyczne i eliptyczne Wektor X = (X 1, X 2,..., X p ) b dzie wektorem losowym. Niech L(X) oznacza rozkªad wektora X. Denicja 2.2 Mówimy,»e X ma rozkªad sferyczny jesli dla ka»dej macierzy ortogonalnej U, czyli takiej,»e UU T = I p zachodzi L(UX) = L(X), czyli równo± zachodzi dla rozkªadów. Przykªad wektora o rozkªadzie sferycznym Z N(0, I p ). Rozkªad L(X) oznacza b d¹ dystrybuant wektora X, czyli F X bad¹ miar, czyli transport miary P przez X. Zatem dla dowolego zbioru borelowskiego A B(IR p ) ν X (A) = P (X A). Zauwa»my,»e dla dowolej funkcji dodatkniej f : IR p IR mamy Ef(X) = f(u)ν X (u). IR p Równo± rozkªadów jest równowa»na z faktem,»e funkcje charakterystyczne s sobie równe. Funkcj charakterystyczn deniujemy wzorem t IR p φ X (t) = Ee it X, t X =< t, X >= p t j X j. Zauwa»my jeszcze jedn prost wªasno± dla wektora losowego losowej X i λ > 0 Niech a = < a, a >, gdzie a R p. φ λx (t) = Ee it λx = Ee iλt X = φ X (λt). (2.1)

11 11 Twierdzenie 2.1 Nast puj ce warunki s równowa»ne 1. Wektor losowy X ma rozkªad sferyczny 2. Istnieje funkcja mierzalna ψ : IR IR (generator rozkªadu sferycznego) taka,»e ψ(t t) = φ X (t). 3. Dla ka»dego wektora a IR p L(a X) = L( a X 1 ), Dowód. 1 = 2. Niech wektor X ma rozkªad sferyczny. Niech U odwzorowanie ortogonalne. Wówczas z zaªo»enia dla t IR p φ X (t) = φ UX (t) = Ee it UX = Ee i(u t) X = φ X (U t). Bior c dowolny obrót U otrzymujemy,»e φ X jest fukcj staª dla wektorów o tej samej dªugo±ci i zale»y jedynie od dªugo±ci wektora t. Zatem mo»emy zdeniowa funkcj ψ ψ(a) = φ X (t), a = t t = t 2. 2 = 3. Niech e 1 = (1, ) bedzie wektorem jednostkowym w IR p. Zauwa»my,»e z zaªo»enia dla u IR Równie» z zaªo»enia dla t IR p φ X1 (u) = Ee iux1 = Ee i(ue1) X = φ X (ue 1 ) = ψ(u 2 ) (2.2) φ t X(u) = Ee iut X = φ X (ut) = ψ(u 2 t t) = ψ(u 2 t 2 ) Korzystaj c z (2.2) otrzymujemy φ t X(u) = φ X1 (u t ) = φ t X1 (u), co ko«czy dowód implikacji. 2 = 3. Niech U dowolne przeksztaªcenie ortogonalne. Wówczas Z zaªo»enia bior c a = U t otrzymamy φ UX (t) = Ee it UX = Ee i(u t) X. Ee i(u t) X = φ a X(1) = φ a X1 (1) = Ee i U t X 1. Poniewa» U jest ortogonalne,to Ut = t. Zatem Znowu korzysataj c z zaªo»enia co ko«czy dowód twierdzenia. φ UX (t) = Ee i t X 1. φ UX (t) = φ X (t)

12 12 Lemat 2.2 Niech X, Y niezale»ne wektory losowe. Niech dana jest funkcja mierzalna f : IR IR IR taka,»e zmienna losowa E f(x, Y) <. Wówczas gdzie E[f(X, Y) Y ] = g(y ), g(y) = E[f(X, y). Na S p 1 wprowadzimy miar powierzchniow unormowan ν(s p 1 ) = 1, czyli a dν(a) = 1 a da, S p 1 e it ω p 1 S p 1 e it gdzie ω p 1 jest miar powierzchniow sfery S p 1, czyli ω p 1 = 2 πp/2 Γ(p/2). Zauwa»my,»e dla dowolnego t IR p funkcja t a dν(a), S p 1 e it zale»y jedynie od t. Prowadzi to do denicji Ω p ( t 2 ) = S p 1 e it a dν(a). (2.3) Funkcja Ω p jest zwi zana z funkcj Bessela. Mianowicie niech k liczba caªkowita. Funkcj Bessla nazywamy funkcj postaci, por. [5] J k (t) = 1 2π 2π 0 e it sin θ e ikθ dθ, Zachodzi lemat, Lemat 3.1 [5] dla dowolnego k 0 t IR. J k (t) = (t/2) k 1 e its (1 s 2 ) (2k 1)/2 ds, Γ((2k + 1)/2)Γ(1/2) 1 t IR. Powy»sza formuªa pozwala rozpatrywa funkcje Bessela dla k > 1/2. Wówczas dla dowolnego t IR p, niech s = t > 0 wówczas (dowód str. 154 [5]) S p 1 e it a dν(a) = ω p 2 ω p e isu (1 u 2 ) (p 3)/2 du = Γ(p/2) (s/2) J Γ(p/2) (p 2)/2(s) = (p 2)/2 ( t /2) J (p 2)/2( t ). (p 2)/2

13 13 Twierdzenie 2.3 Nast puj ce warunki s równowa»ne 1. Wektor losowy X ma rozkªad sferyczny 2. L(X) = L(RS), gdzie S jest rozkªadem jednostajnym na sferze S p 1 IR p, R jest zmienn losow dodatni. Ponadto R oraz S s niezale»ne. Dowód 2 = 1. Korzystaj c z Lematu 2.2 otrzymamy gdzie korzystamy z (2.3), czyli St d φ RS (t) = Ee irt S = E(E[e irt S R]) = EΩ p (R 2 t 2 ), Ω p (r 2 t 2 ) = Ee irt S. φ RS (t) = EΩ p (R 2 t 2 ) = EΩ p (R 2 t t). Zatem pokazli±my,»e funkcja charakterystyczna zale»y wyª cznie od iloczynu skalarnego t t. Z twierdzenia 2.1 punkt 2 wynika teza twierdzenia. 1 = 2. Konstruujemy wektory losowe R, S niezale»ne i takie,»e L(R) = L( X ), za± S ma rozkªad jednostajny na S p 1 i sprawdzamy rozkªad wektora RS. Denicja 2.3 Wektor losowy X ma rozkªad eliptyczny je±li istnieje macierz A, wektor µ oraz wektor Y o rozkªadzie sferycznym tak,»e L(X) = L(AY + µ). Poniewa» rozkªad sferyczny Y jest jednoznaczenie okre±lony przez generator ψ (Twierdzenie 2.1 (2)) zatem rozkªad X jest jednoznacznie okre±lony przez ψ oraz przez macierz A i µ. Zauwa»my,»e macierz korelacji dla X jest równa Σ = AA. Korzystaj c z rozkªadu Choleskiego rozkªad X jest jednoznacznie okre±lony przez trójk (µ, Σ, ψ) i oznaczamy go przez X E p (µ, Σ, ψ). Wektor o rozkªadzie normalnym X N(µ, Σ) ma rozkªad eliptyczny. Mianowicie L(X) = L( ΣZ + µ), gdzie Z N(0, I p ). W rodzinie generowanej przez rozkªady eliptyczne miara ryzyka jest subaddytywna. Twierdzenie 2.4 Niech X = (X 1, X 2,..., X p ) ma rozkªad eliptyczny. Rozwa»my sto»ek p M = {L : L = λ 0 + λ j X j, λ j IR}. Wówczas dla ka»dego L 1, L 2 M V ar α (L 1 + L 2 ) V ar α (L 1 ) + V ar α (L 2 ). (2.4)

14 14 Dowód. Z twierdzenia 2.3 wynika,»e istnieje macierz A, wektor µ oraz wektor Y o rozkªadzie sferycznym tak,»e L(X) = L(AY + µ). Wystarczy teraz udowodni,»e dla dowolnych wektorów t 1, t 2 V ar α (t 1AY + t 2AY) V ar α (t 1AY) + V ar α (t 1AY). Z twierdzenia 2.1 Y ma rozklad sferyczny L(t 1AY + t 2AY) = L((t 1 + t 2 ) AY) = L((A t 1 + A t 2 ) Y) = L( A t 1 + A t 2 Y 1 ) Ponadto dla i = 1, 2 Zatem L(t iay) = L((A t i ) Y) = L( A t i Y 1 ). V ar α (t 1AY + t 2AY) = V ar α ( A t 1 + A t 2 Y 1 ) = A t 1 + A t 2 V ar α (Y 1 ). oraz V ar α (t iay) = V ar α ( A t i Y 1 ) = A t i V ar α (Y 1 ). Wystarczy teraz zauwa»y,»e dla dowolnych A, t 1, t 2 co daje (2.4). A t 1 + A t 2 A t 1 + A t 2

15 Rozdziaª 3 Oczekiwana warto± zagro»ona Niech X b dzie zmienn losow tak,»e E X < o dystrybuancie F X, Oczekiwana warto± zagro»ona-expected shortfall na poziomie ufno±ci α [0, 1) deniujemy ES α = 1 1 α 1 α q u (F X )du = 1 1 α 1 gdzie q u (F X ) jest kwantylem F X. Z denicji wynika,»e ES α V ar α (X). α V ar u (X)du, Lemat 3.1 Niech zmienna losowa X ma ci gªa dystrybuant F = F X. Wówczas gdzie ES α = E[X; X V ar α(x)], 1 α E[X; X V ar α (X)] = {X V ar α(x)} XdP. Uwaga. Z denicji warunkowej warto±ci oczekiwanej wynika,»e E[X X V ar α (X)] = 1 XdP. 1 α {X V ar α(x)} Dowód. Je±li U U(0, 1) czyli je±li zmienna losowa U ma rozkªad jednostajny na odcinku (0, 1), to uogólniona dystrybuanta odwrotna F 1 = F 1 X zªo»ona z U ma rozkªad F X, czyli P (F 1 (U) a) = F X (a). Powy»szy fakt wynika z lematu 1.2. Zatem E(X; X V ar α (X)) = E(F 1 (U); F 1 (U) V ar α (X)). Z lematu 2.1 (2) = E(F 1 (U); F 1 (U) F 1 (α)) E(F 1 (U); F 1 (U) F 1 (α)) = E(F 1 (U) : U α) = 1 α F 1 (u)du co ko«czy dowód. Podamy teraz twierdzenie Van Zwet, czyli Mocne prawo wielkich liczb dla statystyk pozycyjnych

16 16 Twierdzenie 3.2 Mocne prawo wielkich liczb dla statystyk pozycyjnych Niech X, X 1, X 2,... ci g niezale»nych zmiennych losowych o rozkladzie F X oraz niech E X <. Wówczas lim n 0 1 [n(1 α)] n j=[nα] L j,n = ES α = 1 1 α 1 α V ar u (X)du pr. na pewno, gdzie L 1,n L 2,n L n,n oznaczaj statystyki pozycyjne dla L 1, L 2,..., L n oraz [n(1 α)] oznacza najwiesz liczb caªkowit mniejsz od n(1 α). Zauwa»my,»e bior c za α = 0 otrzymujemy Mocne Prawo wielkich Liczb 1 lim n 0 n n 1 L j,n = lim n n n L j = 1 Zachodzi twierdzenie C. Acerbi, D. Tasche V ar u du = EL pr. na pewno. Twierdzenie 3.3 Oczekiwana warto± zagro»ona-expected shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1) jest koherentn miar ryzyka. Dowód. Niech (X 1, X 2 ) wektor losowy. Chcemy pokaza,»e ES α (X 1 + X 2 ) ES α (X 1 ) + ES α (X 2 ). Niech (L 1, L 1 ),... (L n, L n ) ci g wektorów o rozkªadzie ªacznym (X 1, X 2 ). Wówczas Y i = L i + L i ci g niezale»nych zmiennych losowych. zauwa»my,»e n Y i:n = sup{y i1 + Y im, 1 i 1 < < i m n} i=m sup{l i1 + L im, 1 i 1 < < i m n}+sup{ L i1 + L im, 1 i 1 < < i m n}. Przechodz c do granicy dla m = [nα] i n i korzystaj c z Twierdzenia 3.2 otrzymujemy nasze twierdzenie.

17 Rozdziaª 4 Twierdzenie o reprezentacji miar koherentnych Niech X b dzie zbiorem zmiennych losowych mierzalnych i ograniczonych. Niech M zbiór miar sko«czenie addytywnych, nieujemnych, unormowanych na Ω, czyli je±li P M to P (Ω) = 1. Do denicji caªki wzgl. tych miar deniujemy korzystaj c z tw. Hahna-Banacha. [1] Twierdzenie 4.1 Funkcjonaª ρ : X IR jest koherentn miar ryzyka wtedy i tylko wtedy gdy istnieje podzbiór Q zbioru M miar sko«czenie addytywnych unormowanych na Ω taki,»e ρ(x) = sup E P X = sup XdP, X X. P Q P Q Ω Przypadek Ω zbior sko«czny n elementowy. Wowczas ka»d inwestycj X (stop straty z inwestycji) X : Ω IR mo»na uto»sami z wektorem t X IR n. Zatem mamy wzajemn odpowiednio± zmiennych losowych na Ω oraz wektorów w przestrzeni IR n. Dlatego miar probabilistyczn P na Ω mo»emy równie» z wektorem a P = (a 1,..., a n ) z sympleksu = n, czyli 0 a i 1, n a i = 1. i=1 Zauwa»my,»e E P X =< l X, a P >= l X a P. Z drugiej strony a to a wyznacza miar P a jak wy»ej. W tym przypadku twierdzenie ma nast puj c posta Twierdzenie 4.2 Niech Ω zbior sko«czny n elementowy. Funkcjonaª ρ : X IR jest koherentn miar ryzyka wtedy i tylko wtedy gdy istnieje podzbiór Q zbioru n taki,»e ρ(x) = sup E Pa X = sup < l X, a >, X X. a Q a Q Dowód. Szkic. Je±li Q jest podzbiorem, to funkcjonaª ρ Q : IR n IR

18 18 taki,»e ρ Q (X) = sup l X a P, a Q X X w sposób oczywisty speªnia warunki miary koherentnej, gdy» dziedziczy te wªasno±ci z wªasno±ci supremum. W drug stron zaªó»my,»e dany jest funkcjonaª ρ : IR n IR speªniaj cy warunki Denicji 1.2. Udowodnimy,»e dla ka»dego l IR n gdzie ρ(l) l (4.1) n l = (l l) 1//2 = oznacza norm euklidesow, co oznacza ci gªo±. Po pierwsze z warunku dodatniej jednorodno±ci dla wektora zerowego 0 IR n i dla dowolnej liczby dodatniej λ l 2 j ρ(0) = ρ(λ0) = λρ(0), czyli ρ(0) = 0. Zauwa»my,»e aby pokaza (4.1) wystarczy udowodni (4.1) dla 1/2 x S n 1 = {x IR n : x = 1} gdy» (4.1) jest prawdziwa dla x = 0. Je±li za± l 0, to x = l/ l S n 1. Wów zas je±li (4.1) zachodzi dla x S n 1 to ( ) l ρ l l l i z didatniej jednorodno±ci ρ otrzymujemy (4.1) dla dowolnego l IR n. Poniewa» wektor staªy c = (c,..., c) oznacza zmienn losow staªa zatem z translacyjnej niezmienniczo±ci i poniewa» ρ(0) = 0 zatem ρ(c) = ρ(0 + c) = ρ(0) + c = c, czyli dla wektora staªego 1 = (1,..., 1) IR n Poniewa» dla dowolnego x S n 1 ρ(1) = 1. x (porównujemy po wszystkich wspóªrz dnych) zatem z monotoniczno±ci x 1 i z powy»szych rezultatów ρ(x) 1.

19 Analogicznie dla dowolnego x S n 1 ρ(x) 1. Zatem dla dowolego x S n 1 ρ(x) x = Niech teraz l 0 dowolny ustalonty wektor taki,»e ρ(l 0 ) = 1. Deniujemy zbiór U = U(l 0 ) = {l IR n : ρ(l) < ρ(l 0 )}. Zbiór U jest otwarty (ρ jest funkcj ci gªa) i l 0 nie nale»y do tego zbioru. Korzystaj c z dodatniej jednorodno±ci ρ oraz z subaddytywno±ci pokazujemy,»e U jest wypukªy. Korzystaj c za± z twierdzenia Hahna Banacha o oddzielaniu (Twierdzenie Kreina) istnieje hiperpªaszczyzna (funkcjonaª, wektor q) oddzielaj ca zbiór U od wektora l 0, czyli dla dowolnego l U q l < q l 0. Poniewa» 0 U (bo ρ(0) = 0 < q l 0 ) zatem istnieje q 0 = q 0 (l 0 ) = λq tak,»e Zatem dla dowolnego l U Mo»na pokaza,»e q 0. Wówczas dla mo»emy udowodni,»e Rzeczywi±cie je±li ρ(l) = b to Zatem (l 0 = l b1 + 1) St d q 0 l 0 = ρ(l 0 ) = 1. q 0 l < q 0 l 0 = 1. Q = {q 0 : ρ(l 0 ) = 1} ρ(l) = ρ Q (l) = sup l a. a Q ρ(l b1 + 1) = 1. ρ Q (l) b + 1 = ρ Q (l b1 + 1) 1. ρ Q (l) ρ(l). Wystarczy teraz udowoni,»e dla dowolnego l i q 0 Q Je±li ρ(l) < b to czyli St d poniewa» q 0 (q 0 1 = 1) co dowodzi (4.2) co ko«czy dowód. Jaka jest reprezentacja ES α? [1] q 0 l ρ(l). (4.2) ρ(l b1 + 1) = ρ(l) b + 1 < 1. q 0 (l b1 + 1) < 1. q 0 l < b

20 Rozdziaª 5 Alokacja kapitaªu Lemat 5.1 Niech U zbiór otwarty w IR p \{0}. Niech dana jest funkcja ró»niczkowalna f : U IR dodatnio jednorodna, czyli dla h > 0 oraz t, ht U zachodzi f(ht) = hf(t). Wówczas f(t) =< t, f(t) >. Dowód. Pochodna kierunkowa w kierunku u IR p, u = 1 dla funkcji f C 1 (U) w punkcie x R p f(x + au) f(x) D u f(x) = lim = u f. a 0 a St d je±li x 0, to wstawiaj c u = x/ x otrzymamy czyli Ostatecznie f(x + ax/ x ) f(x) lim = x f/ x a 0 a (1 + a/ x )f(x) f(x) lim = x f/ x. a 0 a f(x)/ x = x f/ x co ko«czy dowód. Dany jest wektor stóp strat X = (X 1,..., X p ). Przez X(t) = p t j X j rozumiemy losow warto± inwestycji. Dla ujemej t j rozumiemy jako pozycje krótkie. Niech M taki sto»ek, dla ktorego zbiór inwestycji U IR p \ {0} {X(t) : t U} M. Niech na M zadana bedzie miara ryzyka ρ. Wówczas deniujemy funkcje na zbiorze t U r ρ (t) = ρ(x(t)).

21 21 Denicja 5.1 Gradientow alokacj kapitaªu dla funkcji ryzyka ρ nazywamy r ρ. Wyznaczy gradientow alokacj kapitaªu dla V ar i.es Twierdzenie 5.2 (Tasche 2000) Zaªó»my,»e wektor losowy X = (X 1,..., X p ) ma rozkªad ª czny. Niech ρ = V ar α. Wówczas AC j = AC j (V ar α ) := r ρ(t) t j = E[X j X(t) = q α (X(t))]. (5.1) Zaªó»my ponadto,»e w otoczeniu punktu t istnieje dystrybuanta odwrotna absolutnie ci gªa zmiennej losowej X(t) oraz g sto± f X(t) > 0. Je±li ρ = ES α to AC j = AC j (ES α ) := r ρ(t) t j = E[X j X(t) q α (X(t))]. (5.2) Problem wyznaczy rozkªady warunkowe. Dowód. Poka»emy,»e z (5.1) wynika (5.2). Mianowicie z denicji ES r ESα (t) = 1 1 t j 1 α α = 1 1 α 1 α r V aru (t) du t j E[X j X(t) = q u (X(t))]du Dokonajmy zamiany zmiennych v = q u (X(t)) = F 1 X(t) (u). Wówczas u = F X(t)(v) co ko«czy dowód. (Wniosek 6.27 [4]) r ESα (t) = 1 1 E[X j X(t) = v]f X(t) (v)dv t j 1 α q α(x(t) Wniosek 5.3 Niech ρ b dzie miar ryzyka dodatnio jednorodn i translacyjnie niezmiennicza. Przyjmijmy Eulerowsk zasad alokacji. r ρ (X(t)) = p t j r ρ (t) t j = Wówczas dla rozkªadów eliptycznych je±li µ = 0 X E p (µ, Σ, ψ). p t j AC j to d AC i k=1 = Σ ikt k AC d j k=1 Σ. jkt k

22 22 Dowód Niech X = µ + AY gdzie Y ma rozkªad sferyczny. Z dodatniej jednorodno±ci i translacyjnie niezmienniczo±ci oraz Twierdzenia 2.1(3) r ρ (t) = ρ(x(t) = ρ( p t j X j ) = ρ(t µ + t AY) = t µ + ρ((t A)Y) = t µ + ρ( t A Y 1 ) = t µ + t A ρ(y 1 ) = t µ + t Σtρ(Y 1 ). Poniewa» µ = 0 zatem r ρ (t) = Σt t Σt ρ(y 1). co ko«czy dowód. Problemy. Wyznaczy gradienotw alokacj kapitaªu dla V ar i ES rozkªadów modelowanych rodzinami kopuª. H. Cossette, M. P. Côté, E. Marceau, K. Moutanabbir Multivariate distribution dened with Farlie Gumbel Morgenstern copula and mixed Erlang marginals: Aggregation and capital allocation. Insurance: Mathematics and Economics 52 (2013)

23 Rozdziaª 6 Twierdzenie Sklara i kopuªy Denicja funkcji kopuªy. Twierdzenie Skalara. Poni»ej elementarne wªasno±ci. Kopuªy umo»liwiaj modelowanie wielowymiarowych rozkªadów ª cznych przy niewielkiej próbce. Dopasowujemy do danych surowych rozkªady brzegowe F 1, F 2 (np. normalny, Wiebulla, gamma, chi-kwadrat nie koniecznie z tej samej rodziny). Bierzemy rodziny kopuª C θ : Gumbela, Claytona, Franka i zakªadamy,»e rozkªad ª czny jest postaci F (L1,L 2)(x 1, x 2 ) = P (L 1 x 1, L 2 x 2 ) = C θ (F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )). zakªadamy tutaj,»e rozkªady brzegowe mniej podlegaj " zmianie" ni» rozkªady ª czne. Generujemy dane z rozkªadu (L 1, L 2 ) w nast puj cy sposób, je±li pary (ξ 1i, ξ 2i ) s wygenerowane z rozkªadu C θ (proc copula, simulate statement, marginals uniform), to pary (l 1i, l 2i ) sa wygenerowane z rozkªadu F (L1,L 2), gdzie l ji = F j (ξ i ), j = 1, 2 i = 1,... n. Maj c zatem "peªn informacj " czyli rozkªad ª czny analizujemy portfele (zmienne losowe postaci) P (s) = sl 1 + (1 s)l 2. Ponadto analizujemy zachowanie V ar[p (s)] oraz E[P (s)] w zale»no±ci od parametru θ, skªadu portfela czyli 0 s 1 orazi w zale»no±ci rodziny kopuª. Twierdzenie 6.1 Niech C b dzie funkcj kopuªy. Wówczas dla t = (t 1,..., t n ) max{ n t j + 1 n, 0} C(t) min{t 1,..., t n }. Dowód. Niech zmienne losowe U j maj rozkªad jednostajny na odcinku (0, 1). Wówczas dla ka»dego i zachodzi 1 j n {U j t j } {U i t i }.

24 24 Zatem je±li C jest dystrybuant wektora losowego (U 1,..., U n ), to dla t = (t 1,..., t n ) C(t) t i dla ka»dego i co ko«czy dowód prawej nierówno±ci. Z denicji C(t) = P {U j t j } = 1 P Zatem C(t) 1 1 j n n P (U j > t j ) = 1 1 j n {U j > t j }. n (1 t j ) = 1 n + n t j. To ko«czy dowód. Korzystaj c z twierdzenie Sklara dla dowolnej dystrybuanty F wektora losowego X = (X 1, X 2,..., X n ) zachodzi max{ n F j (t j ) + 1 n, 0} F (t) min{f 1 (t 1 ),..., F n (t n )}. gdzie F i oznacza dystrybuant X i oraz t = (t 1,..., t n ). Denicja 6.1 (Wspóªczynnik korelacji Kendall'a (tau Kendall'a)) Niech (X 1, X 2 ) dwuwymiarowy wektor losowy za± ( X 1, X 2 ) niezale»na kopia. Wówczas ( ρ τ (X 1, X 2 ) = Esign (X 1 X 1 )(X 2 X ) 2 ). Funkcja sign jest funkcj znaku czyli przyjmuje warto±ci 1, 0, 1. Denicja 6.2 (Wspóªczynnik korelacji Spearman'a. Niech (X 1, X 2 ) dwuwymiarowy wektor losowy za± F 1 i F 2 rozkªady brzegowe (dystrybuanty). Wówczas ρ S (X 1, X 2 ) = ρ(f 1 (X 1 ), F 2 (X 2 )), gdzie ρ liniowy wspóªczynnik korelacji. Zauwa»my,»e ρ S jest liniowym wspóªczynnik korelacji dla jedynej funkcji kopuªy C dla wektora losowego (F 1 (X 1 ), F 2 (X 2 )) o ile F 1 i F 2 rozkªady brzegowe s ci gªe. Twierdzenie 6.2 Niech (X 1, X 2 ) dwuwymiarowy wektor losowy za± F 1 i F 2 rozkªady brzegowe s ci gªe. Wówczas ρ τ (X 1, X 2 ) = 4 ρ S (X 1, X 2 ) = C(u 1, u 2 )dc(u 1, u 2 ) 1. (C(u 1, u 2 ) u 1 u 2 ) du 1 du 2.

25 25 Dowód Z denicji ρ τ (X 1, X 2 ) = P ((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0) P ((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0). St d poniewa» rozkªady brzegowe s ci gªe Istotnie St d P ((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0) = 1 P ((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0). P ((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) = 0) P ((X 1 X 1 ) = 0) + P ((X 2 X 2 ) = 0) = 0. ρ τ (X 1, X 2 ) = 2P ((X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0) 1. St d je±li F oznacza rozkªad rozª czny to ρ τ (X 1, X 2 ) = 4P (X 1 < X 1, X 2 < X 2 ) 1 = [ 4E P (X 1 < X 1, X 2 < X 2 X 1, X ] 2 ) 1 = 4 P (X 1 < x 1, X 2 < x 2 )df (x 1, x 2 ) 1. Z twierdzenia Sklara dostajemy tez. W SAS mo»emy wyznaczy cztery wspóªczynniki korelacji (empiryczne), lub inczej mówi c mamy cztery naturalne estymatory wspóªczynników korelacji. Niestety SAS oblicza "trudniejszy parametr" tzw.tau-b Kendalla. Dla danych cork rozdziaª 2 ods graphics on; title 'Measures of Association for a Physical Fitness Study'; proc corr data=cork pearson spearman kendall hoeffding plots=matrix(histogram); var north east south west; run; ods graphics off; Parametr tau Kendalla mo»emy policzy "samodzielnie". Trzeba obliczy ilo± par zgodnych znakiem do ilo±ci par niezgodnych znakiem. Mianowicie potrzeba wyznaczy 2 ρ τ = sign(x t,1 x s,1 )(x t,2 x s,2 ). n(n 1) 1 t<s n Z drugiej strony dla kopuªy Gumbella dla kopuªy Claytona ρ(c Gu θ ) = 1 1 θ. ρ(c Cl θ ) = θ θ + 2. St d mo»na wyestymowa (wykalibrowa str 221 [4]) parametry kopuª dla danych. Opracowa z "heplu SAS" procedur z opcjami. The COPULA Procedure Zobacz w [3] teori i kopuª.

26 Rozdziaª 7 Oszacowania dla ryzyka Niech ρ miara ryzyka. Niech X = (X 1,..., X d ) wektor strat. Niech dana jest funkcja mierzalna Ψ : IR p IR. Podstawowym problemem w mierzeniu ryzyka jest rozwi zanie nastepuj cego problemu. Dla ρ, zadanych rozkªadów brzegowych F i,i = 1,..., p oraz funkcji Ψ znale¹ oszacowania dla inf{ρ(ψ(x)) : X j F j, j = 1,..., p} oraz Najcz ±ciej rozwa»ane funkcje Ψ, t IR p dla portfela sup{ρ(ψ(x)) : X j F j, j = 1,..., p}. Ψ(t) = p t j (7.1) dla reasekuracji "stop loss" na poziomie k p Ψ(t) = ( t j k) + dla reasekuracji "excess of loss" na poziomach k j p Ψ(t) = (t j k j ) + Problem dla ρ = V ar α, zadanych rozkªadów brzegowych F i,i = 1,..., p oraz funkcji Ψ postaci (7.1) znale¹ oszacowania dla p inf{v ar α ( X j ) : X j F j, j = 1,..., p} oraz sup{v ar α ( p X j ) : X j F j, j = 1,..., p}. Mo»na jeszcze bardziej zaw zi problem do sytuacji gdy rozkªad ª czny jest modelowany za pomoc rodziny kopuª. Metodami Monte Carlo rozwi za powy»szy problem. W sposób efektywny mo»emy rozwi za powy»szy problem dla kowariancji. W tym celu korzystamy z

27 27 Lemat 7.1 (Formuªa Hofdinga) Niech dany jest wektor losowy (X 1, X 2 ) o dystrybuancie F oraz rozkªadach brzegowych F 1, F 2. Wówczas cov(x 1, X 2 ) = (F (x 1, x 2 ) F 1 (x 1 )F (x 2 ))dx 1 dx 2, Dowód. Niech ρ(x 1, X 2 ) oznacza kowariancj wektora losowego oraz niech ρ min = inf{ρ(x 1, X 2 ) : X i F i }. ρ max = sup{ρ(x 1, X 2 ) : X i F i }. Denicja 7.1 Zmienne losowe X 1,..., X d o rozkªadach brzegowych F 1,..., F d s wspólniemonotoniczne (komonotoniczne) je±li rozkªad ªaczny F F (x 1,..., x d ) = min{f 1 (x 1 ),..., F d (x d )}. Twierdzenie 7.2 (Charakteryzacja komonotonicznych zmiennych losowych) Zmienne losowe X 1,..., X d o rozkªadach brzegowych F 1,..., F d s wspólniemonotoniczne (komonotoniczne) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zmienna losowa Z oraz funkcje v j niemalej ce j = 1,..., d takie,»e Ponadto L(X 1,..., X d ) = L(v 1 (Z),..., v d (Z)). V ar α (X 1 + X d ) = V ar α (X 1 ) + + V ar α (X d ). (7.2) Dwód (7.2) wynika z faktu,»e dla zmiennych losowych komonotonicznych jest jedno ¹ródªo losowo±ci. Denicja 7.2 Zmienne losowe X 1, X 2 o rozkªadach brzegowych F 1, F 2 s przeciwmonotoniczne (ang. countermonotonic) je±li rozkªad ªaczny F F (x 1, x 2 ) = max{f 1 (x 1 ) + F 2 (x 2 ) 1, 0}. Twierdzenie 7.3 (Charakteryzacja przeciwmonotonicznych zmiennych losowych) Zmienne losowe X 1, X 2 o rozkªadach brzegowych F 1, F 2 s przeciwmonotoniczne wtedy i tylko wtedy gdy istnieje zmienna losowa Z oraz funkcje v j niemalej ca i nierosn ca j = 1, 2 takie,»e L(X 1, X 2 ) = L(v 1 (Z), v 2 (Z)). Twierdzenie 7.4 Je±li zmienne losowe X 1 i X 2 s przeciwmonotoniczne to ρ min = ρ(x 1, X 2 ) Je±li zmienne losowe X 1 i X 2 s wspólniemonotoniczne to ρ max = ρ(x 1, X 2 ) Problematyka z tego rozdziaªu jest analogiczna do problematyki transportu, zob [6] Tematyka ta zwi zana jest równie» z kopuªami zob. [3] np. dla ustalonych zmiennych losowych X oraz Y (czyli mamy ustalone rozkªady brzegowe F i G) znale¹ minimum wyra»enia min{e X Y α : X F, Y G}.

28 Rozdziaª 8 Centralne twierdzenie graniczne Denicja 8.1 Zmienna losowa X ma rozkªad stabilny je±li dla ci gu niezale»nych kopii X 1, X 2 zmiennej X i dowolych c 1, c 2 > 0 istniej b > 0 oraz a R takie,»e F c1x 1+c 2X 2 = F bx+a, czyli L(c 1 X 1 + c 2 X 2 ) = L(bX + a). Rozkªady stabilne s caªkowicie scharakteryzowane przez funkcje charakterystyczne. Rozkªady s scharakteryzowane przez cztery parametry γ, α, c oraz β. Poniewa» gªównym parametrem jest α (0, 2] zatem w skrócie b dziemy je oznacza G α. Wa»nym przykªadem s rozkªady α-stabilne α (0, 2] których funkcja characterystyczna jest dana wzorem φ(t) = e iγt c t α, t IR gdzie c > 0 i γ IR. Nietrudno pokaza,»e je±li X 1, X 2,... jest ci giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie stabilnym G α, to z denicji istniej dwa ci gi a n i b n > 0 tak,»e zachodzi F ξn (y) = G α (y) gdzie F ξn jest dystrybuant zmiennej losowej Z drugiej strony zachodzi twierdzenie ξ n = S n a n b n, S n = n X j. Twierdzenie 8.1 Je±li dany jest ci g niezale»nych zmiennych losowych X 1, X 2,... o jednakowym rozkªadzie oraz ci gi a n i b n tak,»e F ξn (y)) G(y), n, do pewnej dystrybuanty G, to wówczas G = G α ma rozkªad stabilny.

29 29 Przykªad Je±li X, X 1, X 2,... s niezale»ne o rozkªadzie Cauchy, to Zatem S n = n X j otrzymujemy φ Sn/n(t) = φ X (t) = e t. n φ Xj/n(t) = n e t /n = e t. W konsekwencji F Sn/n(t) = F X (t). Model Craméra Lundberga. Dany jest ci g {X j } nieujemnych niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie (oznaczaj cy roszczenia). Niech ponadto µ = EX < oraz σ 2 = V arx <. Niech N(t) b dzie procesem Poissona o intensywno±ci λ niezale»nym od {X j }. Proces N(t) modeluje proces ilo±ci roszcze«w czasie [0, t]. Ogólny proces roszcze«modeluje proces S(t) = { N(t) X j N(t) > 0 0 N(t) = 0 Twierdzenie 8.2 W modelu Cramer-Lundberga N(t) ES(t) = E X j = µλt. Jesli t to N(t) X j ES(t) V ars(t) N(0, 1), gdzie zbie»no± jest wg. rozkªadu. Trajektorie procesu Poissona data poisson; t=0; p=0; lambda=5; delta=0.01; output; do i = 1 to 1000; t =t+delta; p = p+ rand('poisson',delta*lambda); x=lambda*t; output; end; run; Symbol value=none interpol=sms line=1 width=2;

30 30 title"trajectory Poisson"; proc gplot data=poisson; plot p*t x*t /overlay ; run; Centralne twierdzenie graniczne w modelu Cramera-Lunberga. Proces Poissona ma intensywno± λ = 10, rozkªady roszcze«maja rozkªad gamma z a = 16. Przeanalizuj wykresy dla maªych n data central; lambda=10; a=16; n=20000; do i = 1 to n; poss=rand('poisson',lambda); s=0; do k=1 to poss; s = Rand('gamma',a)+s; end; z=(s-a*poss)/sqrt(poss*a); output; end; title 'Limit distribution '; proc univariate data=central; var z; histogram / midpoints=-3 to 3 by 0.5 normal vaxis = axis1 name = 'MyHist'; inset n mean(5.3) std='std Dev'(5.3) skewness(5.3) / pos = ne header = 'Summary Statistics'; axis1 label=(a=90 r=0); run;

31 Rozdziaª 9 Obszary przyci gania dla maksimum Niech {X j } ci g niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie F. Niech M 1 = X 1 za± M n = max{x 1, X 2,..., X n }. Zauwa»my,»e Interesuj nas mo»liwe granice P (M n x) = P (X 1,..., X n x) = F n (x). c 1 n (M n d n ) H. (9.1) Analogicznie jak dla CTG wa»n rol pelni rozkªady stabilne tutaj wa»n rol peªni max-stabilne. Denicja 9.1 Niezdegeneroana zmienna losowa ma rozkªad max-stabilny je±li dla niezale»nych kopii X czyli X 1, X 2,... istniej ci gi c n > 0 oraz d n tak,»e L(max{X 1,...X n }) = L(c n X + d n ). Twierdzenie 9.1 Jesli istnieje granica w równaniu (9.1), to H jest Fréchet α > 0 Weibull α > 0 Gumbell Φ α (x) = Ψ α (x) = { 0 dla x 0 exp( x α ) dla x > 0. { exp( ( x) α ) dla x 0 1 dla x > 0. Λ(x) = exp( e x ), x IR. (9.2) (9.3) Zwykle rozkªad Weibulla podaje si dla ustalonego α > 0 oraz dla x 0 wzorem F (x) = 1 e xα, (9.4) St d wida,»e jest rozkªad Weibulla jest uogólnieniem rozkªadu wykªadniczego. W tej wersji mamy twierdzenie je±li X ma rozkªad Fréchet wtedy i tylko wtedy gdy 1/X ma rozkªad Weibulla ze wzoru (9.4). Rzeczywi±cie P (1/X a) = P (X 1/a) = 1 P (X < 1/a)

32 32 i korzysatj c z powy»szych formuª dla rozkªadu Frécheta i weibulla otrzymuje wzór (9.4) odpowiednio (9.2). Ponadto je±li X ma rozkªad dany wzorem (9.4) wtedy i tylko wtedy gdy X ma rozkªad (9.3). W programie SAS 9.3 mamy dost pne wszystkie te rozkªady. Rozkªad Gumbella Λ(x) = exp( e (x µ)/σ ), x IR, gdzie µ parametr poªo»enia rozkladu za± σ parametr skali. Rozkªady Fréchet i Weibulla s wzajemnie odpowiadaj ce. Dlatego w SAS 9.3 rozkªad Weibulla { 0 ( dla x θ Φ α (x) = exp ( ) x θ α ) σ dla x > θ. Przyklad Niech X j jest ci giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie wykªadniczym z parametrem λ = 1. Sprawdzi,»e data makaron; do to 40; a=0; do i = 1 to 100; b=rand('exponential'); if b>a then a=b; c=a; end; max=c; output; end; run; title 'Limit distribution '; proc univariate data=makaron; var max; histogram / gumbel midpoints=0 to 40 by 1 ; run; P (M n ln n x) Λ(x) = exp( e x ). Na koniec zobaczmy,»e graniczne rozkªady mo»emy zapisa w postaci { exp( (1 + ξx) H ξ (x) = 1/ξ ) dla ξ 0 exp( e x ) dla ξ = 0, gdzie 1 + ξx > 0. Czyli dla ξ > 0, x > 1/ξ za± dla ξ < 0 x < 1/ξ. Pokaza,»e funkcja H ξ (x) jest ci gªa dla x 0 przy ξ 0.

33 33 Mo»emy otrzyma rodzin trzy parametrow H ξ,µ,σ = H ξ ((x µ)/σ). Korzystaj c z twierdzenia 9.1 otrzymamy wówczas,»e F nale»y do obszaru przyci - gania F MDA(H ξ,µ,σ ) = MDA(H ξ ).

34 Rozdziaª 10 Uogólniony rozkªad Pareto- analiza rozkªadów ogonów Dla zmiennej losowej X z dystrybuant F wprowadzmy F u (x) = P (X u x X > u) = gdzie x F jest prawym punktem kranscowym F, czyli F (x + u) F (u), 0 x x F u, 1 F (u) Denicja 10.1 Uogólniony rozkªad Pareto jest dany za pomoc dystrybuanty { 1 (1 + ξx/β) 1/ξ dla ξ 0 G ξ,β = 1 exp( x/β) dla ξ = 0. β > 0 i x 0 gdy ξ 0 za± dla ξ < 0, 0 x β/ξ. Sprawd¹ wzory w SAS support: Table Distributions and Parameters Twierdzenie 10.1 Pickands-Balkema-de Haan Istnieje mierzalna dodatnia funkcja β taka,»e lim sup F u (x) G ξ,β(u) (x) = 0. u x F 0 x x F u wtedy i tylko wtedy gdy F MDA(H ξ ).

35 Rozdziaª 11 Analiza macierzowa w SASprzypomnienie proc iml ; /*tworzenie macierzy*/ A ={ 2 1, 0 3 } ; /*transponowanie macierzu */ B=t(A); /*dziaªania na macierzach*/ E=B*A; F=E-B+A; /*odwracanie macierzy*/ C=inv(A); /*licza wierszy i kolumn*/ wie = nrow(a); kol= ncol(a); /*wyznacznik i ±lad*/ trace_a = trace(a); det_a = det(a); /* pierwiastek macierzy dodatnio okreslonej*/ D=root(E); /*tworzenie specjalnych macierzy np jedynek*/ J=j(3,3,1); /*tworzenie macierzy jednostkowej */ K=i(3); /*drukowanie macierzy*/ print D; run; Š czenie macierzy. Sprawd¹ nast puj ce operacje A B oraz A//B. proc iml ;

36 36 A ={ 2 1, 0 3 } ; B ={ 5-1, 2-3 } ; C=A B; D=A//B; print C ; print D ; run; Tworzenie pliku SAS z macierzy proc iml; ymatrix = { 2 4 8, 3 9 1, 9 4 8, 1 1 1, 2 7 8}; create newdata from ymatrix; append from ymatrix; close newdata; proc print data = newdata;

37 Literatura [1] Hans Föllmer, Alexander Schied Stochastic Finance An Introduction in Discrete Time Second Revised and Extended Edition Walter de Gruyter Berlin New York [2] Ravindra Khattree, Dayanand N. Naik, Applied Multivariate Statistics with SAS software SAS Institute Inc. and John Wiley & Sons, Second edition [3] R.B. Nelsen, An introduction to copulas Springer 2006 [4] A. McNeil, R. Frey, P. Embrechtes Quantitive Risk Management Princeton University Press 2005 [5] E.M. Stein, G. Weiss Fourier analysis on Euclidean spaces Princeton University Press [6] C. Villani Topics in optimal Transportation Graduate Studies in Mathematics vol. 58 AMS 2003 [7] Van Zwet, W.R. (1980) A strong law for linear functions of order statistics. Ann. Probab. 8,