Przychody skali. Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi:

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przychody skali. Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi:"

Władysława Staniszewska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Przychody skali Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Stałe przychody skali, CRS (constant returns to scale) Rosnące przychody skali, IRS (increasing returns to scale) Malejące przychody skali, DRS (decreasing returns to scale) 2

2 Rosnące przychody skali W wyniku proporcjonalnego zwiększenia czynników produkcji produkcja rośnie ponadproporcjonalnie f K, > f K, λ > 1 ( λ λ ) λ ( ) Większa produkcja wymaga średnio mniej czynników na jednostkę produkcji Jedna duża firma bardziej efektywna niż wiele małych Izokwanty zagęszczają się ze wzrostem czynników produkcji 3

3 Rosnące przychody skali K f K, > f K, λ> 1 ( λ λ ) λ ( ) A Izokwanty coraz gęściej

4 Stałe przychody skali K f K, = f K, λ> 0 ( λ λ ) λ ( ) 6 A Izokwanty w tych samych odległościach

5 Malejące przychody skali: K f K, < f K, λ> 1 ( λ λ ) λ ( ) 6 A Izokwanty coraz rzadziej

6 Przychody skali a funkcja Cobba-Douglasa Sprawdzamy przychody skali: λ 0? α β α β λk λ = λk ( ) ( ) α + λ β K α β = λ K α β α + β = 1 Więc dla funkcji Cobba-Douglasa: α + β = 1 stałe przychody skali α + β > 1 rosnące przychody skali α + β < 1 malejące przychody skali 9

7 Casestudy dlaczego przepowiednie Malthusa się nie sprawdziły? Malejące krańcowe produktywności vs. malejące przychody skali Przykład: q K, = K ( ) Malejąca krańcowa produktywność K: q K, MPK = = K = K 3 3K ( ) ( ) 2/3 q K, /3 2 = K 2 = 4 3 < K 3 3 9K 0 12

8 Casestudy dlaczego przepowiednie Malthusa się nie sprawdziły? Malejąca krańcowa produktywność : q K, K MP = = K = 3 3 ( ) /3 q K (, ) 2 1 2/ K = 2 K = 4 3 < Więc obie MPmalejące 13

9 Casestudy dlaczego przepowiednie Malthusa się nie sprawdziły? A przychody skali rosnące q λk, λ = λq K,? ( ) ( )? λk λ = λk ( ) ( ) λ K > λk

10 Trzy fazy funkcji produkcji q I II III TP K AP 33 MP K

11 Własności (pożądane) funkcji produkcji Monotoniczność (= f cja niemalejąca) powiększenie ilości co najmniej jednego czynnika nie zmniejszy produkcji Swobodne dysponowanie (free disposal) niepotrzebnych czynników można pozbyć się bez ponoszenia kosztów q

12 Własności (pożądane) funkcji produkcji Nic za darmo (no free lunch) q

13 Własności (pożądane) funkcji produkcji Możliwość braku działania (possibility of inaction) zawsze można zaprzestać produkcje q

14 Własności funkcji produkcji Nieodwracalność nie można cofnąć proces produkcyjny (z jajecznicy nie można odzyskać pięciu jaj, dwóch gram tłuszczu, czas poświęcony na pracę itd.) Izokwanty są wypukłe liniowa kombinacja dowolnych dwóch koszyków czynników daje nie mniejszą produkcję niż każdy z tych koszyków Przychody skali q nierosnące przychody skali (DRS lub CRS) niemalejące przychody skali (IRS lub CRS)

15 Zbiory produkcyjne q Efektywna produkcja Nieefektywna produkcja q Zbiór produkcyjny q

16 Homogeniczność funkcji (, ) Funkcja f K homogeniczna (jednorodna) stopnia α gdy pomnożenie każdego z jej argumentów przez stałą λ spowoduje zmianę wartości funkcji w proporcji λ α α λ> 0 Jeśli funkcja ( ) jest homogeniczna stopnia α 1to homogeniczna stopnia α 1 Stałe przychody skali funkcja produkcji homogeniczna stopnia =1 (nie musi być taka funkcja liniowa) Rosnące przychody skali funkcja produkcji homogeniczna stopnia α >1 Malejące przychody skali funkcja produkcji homogeniczna stopnia <1 α ( λ, λ ) λ α (, ) f K = f K f x ( ) i Funkcja Cobba Douglasa homogeniczna stopnia (a+b) Ograniczenie budżetowe homogeniczne stopnia 0 (jeśli ceny wszystkich dóbr oraz dochód zmieniają się w tej samej proporcji, to zbiór budżetowy const.) f x x α

17 Homotetyczność funkcji Funkcja homotetyczna (jednokładna) g[f(k,)] monotoniczna transformacja dowolnej funkcji homogenicznej f(k,) Funkcja homotetyczna jest odwzorowaniem geometrycznym funkcji homogenicznej Każda funkcja homogeniczna jest funkcją homotetyczna, ale funkcja homotetyczna nie musi być funkcją homogeniczną g = e f, gdzie f = K a b tutaj g(λk, λ) λ α g(k,) g = f 2, gdzie f = K a b tutaj g(λk, λ) = λ α g(k,) gdyż α = 2(a+b) Dla funkcji homogenicznej stopnia 1 lub homotetycznej MRTS nie zależy od skali produkcji

18 Homogeniczność / homotetyczność funkcji Funkcja homogeniczna stopnia 1 (jeśli x i x` mogą produkować y, to 2x i 2x` mogą wyprodukować 2y) Funkcja homotetyczna ale niehomogeniczna (jeśli x i x` mogą produkować tyle samo y, to 2x i 2x` mogą wyprodukować też tyle samo, ale niekoniecznie 2y) Izokwanty są obrazem samych siebie wzdłuż promieni Dla każdego promienia to samo nachylenie każdej izokwanty Funkcja produkcji zależy od relatywnej ilości czynników, nie od ich absolutnych wartości

19 Izokliny Izoklina dostarcza informacji o tym, jak kolejne izokwanty mają się do siebie Wszystkie punkty na mapie izokwant, w których MRTS jest jednakowe Dla każdego punktu izokwanty można wyznaczyć izoklinę K

20 Elastyczność Elastyczność cenowa popytu: Relatywnazmiana popytu wynikająca z relatywnejzmiany ceny q = f ( p) q p ε q P = p q 15

21 Elastyczność technicznej substytucji czynników jest to relatywna substytucyjność czynników Każdej MRTS K odpowiada jakiś punkt (K,) na izokwancie, a więc jakaś relacja /K (czyli /K jest funkcją MRTS K ) σ K mierzy jak zmieniają się warunki wymiany czynników (MRTS K ) jeśli wziąć inne proporcje czynników (czyli jak zmienia się relacja czynników ze zmianą nachylenia izokwanty) K

22 Elastyczność technicznej substytucji czynników Elastyczność zdefiniowana jest jako relatywna zmiana stosunku czynników do relatywnej zmiany MRTS: σ = ε K MRTS K K ( ) d K K d σ K = = dmrtsk dln MRTS MRTS Jeśli mała zmiana nachylenia daje dużą zmianę relacji czynników izokwanta jest relatywnie płaska (wysoka elastyczność substytucji) Mierzy kurwaturę izokwanty (MRTS K mierzy jej nachylenie) Intuicyjnie: relatywna substytucyjność czynników K ln ( K) K

23 Elastyczność technicznej substytucji czynników iniowa funkcja produkcji, izokwanta: A B W Ainna relacja /Kniż w B, a MRTStaka sama Wniosek: elastyczność substytucji nieskończona K 24

24 Funkcja CES Funkcja o stałej elastyczności substytucji elastyczność substytucji: σ CRS: γ =1 Niektóre przypadki szczególne funkcji CES: ρ 1, σ iniowa funkcja produkcji: 1 = 1 ρ Funkcja produkcji eontiefa: Funkcja produkcji Cobba Douglasa: = = y = K + ρ =, σ = 0 ρ = 0, σ = 1 γ ρ ρ ρ ( ) y = ak + b

25 Elastyczność technicznej substytucji czynników Graficznie: σ =1 σ < 1 σ > 1 min K min K

26 Niezbędne czynniki produkcji Czynnik produkcji jest niezbędny, jeśli przy jego nakładzie 0 produkcja wynosi 0, niezależnie od nakładów innych czynników k 1 n k ( ),..., = 0,..., = 0 f X X X 1 k n X X,..., X X Dla wypukłych izokwant, jeśli elastyczność technicznej substytucji 1 to czynnik niezbędny

27 Przykład zrównoważony rozwój Załóżmy, że wszystkie odnawialne czynniki produkcji połączymy w jeden syntetyczny czynnik Drugim czynnikiem produkcji będą czynniki nieodnawialne (np. żelazo, węgiel, ropa, aluminium ) W długim okresie wykorzystanie tych czynników musi zmaleć Przyszłość ludzkości zależy od elastyczności technicznej substytucji czynników odnawialnych i nieodnawialnych Jeśli σ >1 czynniki nieodnawialne nie są niezbędne Jeśli σ =1 czynniki nieodnawialne są niezbędne, ale gospodarka nie musi się zawalić σ < 1 Jeśli w końcu czynników nieodnawialnych zabraknie

Podobne dokumenty

Mikroekonomia B.2. Mikołaj Czajkowski

Mikroekonomia B.2. Mikołaj Czajkowski Mikroekonomia B.2 Mikołaj Czajkowski Przychody skali Proporcjonalne zwiększenie czynników = zwiększenie produkcji, ale czy również proporcjonalne? W zależności od odpowiedzi: Stałe przychody skali, CRS