Użyteczność W. W. Norton & Company, Inc.

Transkrypt

1 4 Użyteczność 2010 W. W. Norton & Company, Inc.

2 Funkcja Użyteczności ufunkcja użyteczności jest sposobem przypisania liczb każdemu koszykowi, bardziej preferowane koszyki otrzymują wyższe liczby W. W. Norton & Company, Inc. 2

3 Funkcja Użyteczności uużyteczność porządkowa. Np. jeśli U(x) = 6 i U(y) = 2 to koszyk x jest ściśle preferowany względem y. Ale x nie jest 3 razy bardziej preferowany względem y W. W. Norton & Company, Inc. 3

4 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności ukrzywa obojętności zawiera tak samo preferowane koszyki dóbr. uobojętność Þ ten sam poziom użyteczności. uwszystkie koszyki na danej krzywej obojętności dają ten sam poziom użyteczności W. W. Norton & Company, Inc. 4

5 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności unp. niech koszyki (4,1) i (2,2) leżą na jednej krzywej obojętności o poziomie użyteczności U º 4 ukoszyk (2,3) leży na krzywej obojętności o poziomie użyteczności U º W. W. Norton & Company, Inc. 5

6 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności x 2 (2,3) (2,2) ~ (4,1) p U º 6 U º W. W. Norton & Company, Inc. 6 x 1

7 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności uwiększa ilość koszyków obrazuje układ krzywych obojętności charakteryzujących preferencje konsumenta W. W. Norton & Company, Inc. 7

8 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności x 2 U º 6 U º 4 U º W. W. Norton & Company, Inc. 8 x 1

9 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności uporównanie wszystkich koszyków daje zestaw wszystkich krzywych obojętności z przypisanymi poziomami użyteczności. uwszystkie krzywe obojętności w pełni charakteryzują preferencje konsumenta W. W. Norton & Company, Inc. 9

10 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności x W. W. Norton & Company, Inc. 10 x 1

11 Funkcja Użyteczności i Krzywe Obojętności uzbiór wszystkich krzywych obojętności dla danych preferencji tworzy mapę preferencji. umapa preferencji to funkcja użyteczności W. W. Norton & Company, Inc. 11

12 Funkcja Użyteczności u Znaczenie ma kolejność uporządkowania, nie istnieje więc tylko jeden sposób przypisywania użyteczności. u Monotoniczna transformacja sposób przekształcenia jednego zbioru liczb w inny zbiór przy zachowaniu kolejności liczb, np. mnożenie W. W. Norton & Company, Inc. 12

13 Funkcja Użyteczności ujeśli U jest funkcją użyteczności przedstawiającą preferencje f jest ściśle rosnącą funkcją, u to V = f(u) też jest funkcją f ~ f ~ użyteczności przedstawiającą W. W. Norton & Company, Inc. 13

14 Dobra Pożądane, Niechciane i Neutralne udobro pożądane zwiększa poziom użyteczności (bardziej preferowany koszyk). udobro niechciane zmniejsza poziom użyteczności (mniej preferowany koszyk). udobro neutralne (obojętne) nie zmienia poziomu użyteczności (obojętny koszyk) W. W. Norton & Company, Inc. 14

15 Dobra Pożądane, Niechciane i Użyteczność Neutralne Dobro pożądane Funkcja użyteczności Dobro niechciane x Woda Wokół x jednostek, woda jest dobrem neutralnym W. W. Norton & Company, Inc. 15

16 Doskonałe Substytuty x 2 x 1 + x 2 = 5 Krzywe obojętności są proste i równoległe x 1 + x 2 = 9 x 1 + x 2 = 13 V(x 1,x 2 ) = x 1 + x x W. W. Norton & Company, Inc. 16

17 Dobra Doskonale Komplementarne x o W(x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 } min{x 1,x 2 } = 8 min{x 1,x 2 } = 5 min{x 1,x 2 } = W. W. Norton & Company, Inc. 17 x 1 Krzywe są załamane pod kątem prostym, punkty załamania tworzą promień.

18 Preferencje Quasi-liniowe ufunkcja użyteczności postaci U(x 1,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 jest liniowa wzgl. x 2 i nazywa się quasi-liniowa. unp. U(x 1,x 2 ) = 2x 1 1/2 + x W. W. Norton & Company, Inc. 18

19 Preferencje Quasi-liniowe x 2 Każda krzywa jest równoległym przesunięciem pozostałych W. W. Norton & Company, Inc. 19 x 1

20 Preferencje typu Cobba-Douglasa ufunkcja użyteczności postaci a b U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 gdzie a > 0 i b > 0 przedstawia funkcję użyteczności typu Cobb- Douglas. unp. U(x 1,x 2 ) = x 1/2 1 x 1/2 2 (a = b = 1/2) 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 20

21 Preferencje typu Cobba-Douglasa x 2 Krzywe obojętności są hiperbolami, osie są asymptotami. x W. W. Norton & Company, Inc. 21

22 Użyteczność Krańcowa ukrańcowy dot. przyrostu. ukrańcowa użyteczność dobra i to przyrost użyteczności całkowitej, gdy ilość konsumowanego dobra i ulega zmianie: MU i = U x i 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 22

23 Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji uogólny wzór na krzywą obojętności: U(x 1,x 2 ) º k, k=constant. Różniczka zupełna daje: U x dx U x dx = W. W. Norton & Company, Inc. 23

24 Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji U x dx U x dx = co daje: U x dx 2 2 = - U x dx W. W. Norton & Company, Inc. 24

25 Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji U x dx 2 następnie: dx dx 2 1 To jest MRS. 2 = - U x dx 1 U / x = - U / x W. W. Norton & Company, Inc. 25

26 Użyteczność Krańcowa i Krańcowa Stopa Substytucji uzałóżmy U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2. Wówczas U = ( 1)( x2) = x2 x1 więc MRS U x 2 = ( x )( 1) = x 1 1 dx2 U / x1 = = - = - dx U / x 1 2 x x W. W. Norton & Company, Inc. 26

27 Krańcowa Stopa Substytucji a Monotoniczna Transformacja umonotoniczna transformacja funkcji użyteczności tworzy inną funkcję użyteczności obrazującą dane preferencje. umrs nie ulega zmianie w wyniku zastosowania dodatniej monotonicznej transformacji W. W. Norton & Company, Inc. 27

28 5 Wybór 2010 W. W. Norton & Company, Inc.

29 Racjonalność Ekonomiczna ukonsument wybiera najlepszą z możliwych opcji, na które go stać. uzbiór możliwości konsumpcyjnych. upreferencje. uw jaki sposób następuje wybór danego koszyka? 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 2

30 Wybór Optymalny x 2 Bardziej preferowane koszyki Dostępne koszyki 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 3 x 1

31 Wybór Optymalny x 2 Bardziej preferowane koszyki Dostępne koszyki x W. W. Norton & Company, Inc. 4

32 Wybór Optymalny x 2 (x 1 *,x 2 *) to wybór optymalny, najbardziej preferowany koszyk, na który stać konsumenta. x 2 * x 1 * x W. W. Norton & Company, Inc. 5

33 Wybór Optymalny uoptymalny wybór dóbr 1 i 2 przy pewnym zestawie cen i dochodu jest nazywany koszykiem popytu konsumenta. ufunkcja popytu uzależnia wybory optymalne od cen i dochodu x 1 *(p 1,p 2,m) i x 2 *(p 1,p 2,m) W. W. Norton & Company, Inc. 6

34 Wybór Optymalny ugdy x 1 * > 0 i x 2 * > 0 to rozwiązanie jest wewnętrzne. ugdy koszyk (x 1 *, x 2 *) kosztuje $m to dochód jest w pełni wykorzystany W. W. Norton & Company, Inc. 7

35 Wybór Optymalny x 2 (x 1 *,x 2 *) koszyk wewnętrzny. (x 1 *,x 2 *) wyczerpuje dochód. x 2 * x 1 * x W. W. Norton & Company, Inc. 8

36 Wybór Optymalny x 2 (x 1 *,x 2 *) rozw. wewn. (a) (x 1 *,x 2 *) wyczerpuje dochód: p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m. x 2 * x 1 * x W. W. Norton & Company, Inc. 9

37 Wybór Optymalny x 2 x 2 * (x 1 *,x 2 *) rozw. wewn. (b) Nachylenie krzywej obojętności w (x 1 *,x 2 *) równa się nachyleniu linii ograniczenia budżetowego. x 1 * x W. W. Norton & Company, Inc. 10

38 Wybór Optymalny u(x 1 *,x 2 *) spełnia dwa warunki: u (a) dochód jest w pełni wykorzystany; p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m u (b) nachylenie linii ograniczenia budżetowego -p 1 /p 2 i nachylenie krzywej obojętności zawierającej (x 1 *,x 2 *) są równe w (x 1 *,x 2 *) W. W. Norton & Company, Inc. 11

39 Preferencje Cobba-Douglasa x 2 U ( x, x ) = x a x b x * 2 = bm ( a + b) p 2 x * 1 = am ( a + b) p 2010 W. W. Norton & Company, Inc x 1

40 Wybór Optymalny udla x 1 * > 0 i x 2 * > 0 gdy (x 1 *,x 2 *) wyczerpuje dochód, krzywe obojętności nie mają załamań, popyt na dobra otrzymujemy przez rozwiązanie: u (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = y u (b) nachylenie linii ograniczenia budżetowego -p 1 /p 2 i krzywej obojętności zawierającej (x 1 *,x 2 *) są równe w (x 1 *,x 2 *) W. W. Norton & Company, Inc. 13

41 Wybór Optymalny ugdy x 1 * = 0 lub x 2 * = 0 mamy rozwiązanie brzegowe problemu maksymalizacji użyteczności przy ograniczeniu budżetowym W. W. Norton & Company, Inc. 14

42 Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 > p 2. x W. W. Norton & Company, Inc. 15

43 Doskonałe Substytuty x * 2 = x 2 y p 2 MRS = -1 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 > p 2. * x 1 = 0 x W. W. Norton & Company, Inc. 16

44 Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 * x 2 = 0 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 < p 2. x * 1 = y p W. W. Norton & Company, Inc. 17 x 1

45 Doskonałe Substytuty Gdy U(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2, najbardziej preferowany koszyk to (x 1 *,x 2 *), gdzie: (x * 1,x * 2 ) æ y = ç, 0 è p1 ö ø if p 1 < p 2 i (x * 1,x * 2 ) = æ ç è y 0, p 2 ö ø if p 1 > p W. W. Norton & Company, Inc. 18

46 Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 y p 2 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 = p 2. y p W. W. Norton & Company, Inc. 19 x 1

47 Doskonałe Substytuty x 2 y p 2 Wszystkie koszyki leżące na linii ograniczenia budżetowego są tak samo najbardziej preferowane, gdy p 1 = p 2. y x 1 p W. W. Norton & Company, Inc. 20

48 Doskonałe Substytuty x 2 MRS = -1 Nachylenie = -p 1 /p 2 gdy p 1 = p 2. Ale MRS nie musi = -1 x W. W. Norton & Company, Inc. 21

49 Niewypukłe Preferencje x 2 x W. W. Norton & Company, Inc. 22

50 Niewypukłe Preferencje x 2 Który z dostępnych koszyków jest najbardziej preferowany? x W. W. Norton & Company, Inc. 23

51 Niewypukłe Preferencje x 2 Zauważ, że punkt styczności nie wyznacza najbardziej preferowanego dostępnego koszyka. Najbardziej preferowany dostępny koszyk. x W. W. Norton & Company, Inc. 24

52 Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x W. W. Norton & Company, Inc. 25

53 Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } MRS = - MRS nieokreślone x 2 = ax 1 MRS = 0 x W. W. Norton & Company, Inc. 26

54 Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x 2 = ax 1 x W. W. Norton & Company, Inc. 27

55 Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } Który z dostępnych koszyków jest najbardziej preferowany? x 2 = ax 1 x W. W. Norton & Company, Inc. 28

56 Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } Najbardziej preferowany dostępny koszyk. x 2 = ax 1 x W. W. Norton & Company, Inc. 29

57 Dobra Doskonale Komplementarne x U(x 2 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m (b) x 2 * = ax 1 * x 2 * x 2 = ax 1 x 1 * x W. W. Norton & Company, Inc. 30

58 Dobra Doskonale Komplementarne (a) p 1 x 1 * + p 2 x 2 * = m; (b) x 2 * = ax 1 *. Podstawiając z (b) za x 2 * w (a) daje p 1 x 1 * + p 2 ax 1 * = m x * 1 = p 1 m + ap 2 ; x * 2 = p 1 am + ap W. W. Norton & Company, Inc. 31

59 Dobra Doskonale Komplementarne x 2 U(x 1,x 2 ) = min{ax 1,x 2 } x p * 2 = am + ap 1 2 x 2 = ax 1 * m x1 = p + ap W. W. Norton & Company, Inc. 32 x 1

60 Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa uniech konsument ma preferencje ua typu Cobba-Douglasa. U ( x, x ) = x a x b MU MU 1 2 U = = x 1 U = = x 2 ax a- b 1 1 x2 1 a b bx x 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 33

61 Krzywa Popytu przykład umrs wynosi Cobba-Douglasa MRS a- = dx 2 U x ax x dx = - / 1 ax U x = a b- = / 2 bx x bx b. uw (x 1 *,x 2 *), MRS = -p 1 /p 2 więc * ax - 2 p = - 1 * bp Þ x = 1 * 2 bx p ap x *. (A) W. W. Norton & Company, Inc. 34

62 Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa u(x 1 *,x 2 *) wyczerpuje budżet * * p x + p x = m. (B) 2010 W. W. Norton & Company, Inc. 35

63 Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa uwiemy, że Podstawiając Otrzymujemy Co daje. bp1 ap x * * x2 2 1 * * = (A) p x p x m. + = (B) * p x p bp x * + = m. ap W. W. Norton & Company, Inc. 36

64 Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa x * 1 = am ( a + b) p 1. Podstawiając za x 1 * w otrzymujemy p x + p x = m x * * * 2 = bm ( a + b) p W. W. Norton & Company, Inc. 37

65 Krzywa Popytu przykład Cobba-Douglasa Dla preferencji typu Cobba-Douglasa najbardziej preferowany, osiągalny koszyk 1 2 = 1 a b 2 U( x, x ) x x to ( x, x ) am bm,. ( a + b) p ( a + b ) p * * = ( ) W. W. Norton & Company, Inc. 38