dysleksja Miejsce na naklejk z kodem szko y ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw 1 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajàcego 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 12 stron (zadania 1 10). 2. Rozwiàzania zadaƒ i odpowiedzi zamieêç w miejscu na to przeznaczonym przy ka dym zadaniu. 3. W rozwiàzaniach zadaƒ przedstaw tok rozumowania, prowadzàcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. U ywaj d ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b dne zapisy wyraênie przekreêl. 6. Pami taj, e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie. 7. Mo esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 8. Wype nij t cz Êç karty odpowiedzi, którà koduje zdajàcy. Nie wpisuj adnych znaków w cz Êci, przeznaczonej dla egzaminatora. yczymy powodzenia! Za rozwiàzanie wszystkich zadaƒ mo na otrzymaç àcznie 50 punktów Wype nia zdaj cy przed rozpocz ciem pracy PESEL ZDAJ CEGO KOD ZDAJ CEGO
Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 1. (5 pkt) Ciàg (a n ) dla n N + dany jest wzorem ogólnym a n = n 3-6n 2 + 11n - 6. a) Wyka, e ka dy wyraz tego ciàgu jest podzielny przez 6. b) Podaj zale noêç rekurencyjnà dla ciàgu (a n ). 2
Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 2. (6 pkt) Kopiarka biurowa kosztuje 2500 euro. Koszt obs ugi i bie àcych napraw takiej kopiarki wynosi w pierwszym roku 200 euro i roênie o 50 euro w ka dym nast pnym roku. a) Wyka, e ca kowity koszt kopiarki po n latach mo na opisaç wzorem C(n) =25n 2 + 175n + 2500. b) Âredni koszt C(n) kopiarki, przypadajàcy na jeden rok, dany jest wzorem C(n) = 25n2 + 175n + 2500. Wyka, e w dowolnym roku eksploatacji kopiarki jej Êredni roczny n koszt wynosi co najmniej 675 euro. www.wsip.pl 3
Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) Rozwià nierównoêç 2x - x 2-6x + 9 > 4. 4
Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 4. (4 pkt) Dla jakich wartoêci parametru a funkcja f dana wzorem f(x) = miejsc zerowych? ( cos 2a - 1 ) (x - 3) 2 + 5 nie ma 2 www.wsip.pl 5
Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 5. (6 pkt) Dwie belki, których przekroje poprzeczne sà ko ami o promieniach odpowiednio r i 3r, nale y spiàç ciasno metalowà taêmà (patrz rysunek). a) Wyznacz d ugoêç taêmy w zale noêci od r. b) Podaj w pe nych metrach przybli onà d ugoêç taêmy dla r = 0,5 m. 6
Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 6. (5 pkt) Sprawdê to samoêç 1 + sin 2a cos 2a = 1 + tg a 1 - tg dla a a = p + kp, gdzie k C. 4 www.wsip.pl 7
Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 7. (3 pkt) Punkty A, B, C, D sà kolejnymi wierzcho kami kwadratu o boku d ugoêci a. a) Podaj wektor przeciwny do wektora --fi AD + --fi DB. b) Znajdê d ugoêç wektora 2 --fi AC - --fi CB. 8
Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 8. (7 pkt) Trójkàt ostrokàtny ABC, w którym AB =8, BC =10, tg )<ABC = 4 obraca si wokó prostej 3 zawierajàcej wysokoêç poprowadzonà z wierzcho ka A. Oblicz pole powierzchni ca kowitej powsta ej bry y. www.wsip.pl 9
Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Zadanie 9. (5 pkt) Okràg o Êrodku w punkcie (-2, 4) jest styczny do prostej k danej równaniem y = - 3x - 4. a) Wyznacz równanie tego okr gu. b) Prosta l jest równoleg a do prostej k i zawiera Êrednic tego okr gu. Wyznacz kàty trójkàta utworzonego przez prostà l i osie uk adu wspó rz dnych. 10
Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony Zadanie 10. (5 pkt) Pojemnik zawiera 45 kul, w tym n kul bia ych. Z pojemnika losujemy równoczeênie 2 kule. Dla jakiej wartoêci n prawdopodobieƒstwo wylosowania dok adnie jednej kuli bia ej jest najwi ksze? Podaj to prawdopodobieƒstwo. www.wsip.pl 11
Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony BRUDNOPIS 12
Arkusz maturalny. Poziom rozszerzony ODPOWIEDZI DO ZADA Z ARKUSZA Zestaw 1 Nr zadania 1. 2. 3. 4. Odpowiedê a) a n =(n 1)(n 2)(n 3), spoêród trzech kolejnych liczb naturalnych przynajmniej jedna jest podzielna przez 3 i przynajmniej jedna jest parzysta b) a n+1 = a n + 3n 2 9n + 6 a) Z wzoru na sum wyrazów ciàgu arytmetycznego mamy C(n) = 2500 + n =25n 2 + 175n + 2500 200 + (200 + (n 1) 50) 2 b) NierównoÊç 25n2 + 175n + 2500 n ( ) x a ( 7 ; 1 ) 3 3 ; + π6 + kπ; π6 + kπ, gdzie k C 675 jest równowa na nierównoêci (n 10) 2 0. 5. 6. 7. 8. 9. 10. a) 4 3r + 14 3 πr b) 11 m L = 1 + sin 2a cos 2a P = 1 + tg a 1 tg a L = P a) --fi BA = sin2 a + cos 2 a + 2 sin a cos a cos 2 a sin 2 a = sin a + cos a cos a sin a b) a 13 ( 27,04 + 10,4 17 ) π a) (x + 2) 2 + (y 4) 2 =19 8 3 b) 30,60,90 Dla n =22lub n =23, 23 45 = sin a + cos a cos a sin a www.wsip.pl 13