Rzepkoteka 0 v.3. Podstawy rachunku operatorowego. Definicje i sposoby liczenia: rotacji, dywergencji, gradientu, laplasjanu skalarnego i wektorowego. Wymienić najważniejsze tożsamości rachunku operatorowego. Rotacja- operacja różniczkowa, która w danemu polu wektorowemu przyporządkuje nowe pole wektorowe. łuży do sprawdzania czy w danym polu wektorowym występują wiry pola. rot E= lim 0 E dl rot E= E= i x E x j y E y k z z E Dywergencja- operacje matematyczne na zadanym polu wektorowym, które przypisują temu polu pewne pole skalarne. łuży do sprawdzenia, czy w danym fragmencie przestrzeni znajduje się źródło pola. div E = lim E dl Δ 0 ΔV div E = E= E x y E y E z y z Gradient pola- pewnemu polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. grad x, y, z = x, y, z = i j k x y z Laplasjan skalarny- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu przyporządkowuje nowe pole skalarne. Δ= = x i j k (def.) y z Laplasjan wektorowy- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu przyporządkowuje nowe pole wektorowe. Δ E x, y, z = x y i z x y j z i x y k z Podstawowe tożsamości: A = A A 0 f f = Δ f f = 0 l E d = div E d v v rot E d E d l = ( rotacja rotacji) ( dywengencja rotacji) ( dywengencja gradientu) (rotacja gradientu) (Ostrogradskiego-Gaussa) (tokes`a)
. Pole elektrostatyczne. Prawo Coulomba. Definicja natężenia pola elektrycznego. Potencjałsposoby liczenia. Napięcie i związek z potencjałem. Prawo Gaussa, równanie Poissona i Laplace'a. Potencjał, a natężenie pola. Pole elektrostatyczne- to przestrzeń wokół nieruchomych ładunków lub ciał naelektryzowanych, w której na ładunki elektryczne działają siły. ( praca: = F L ) Prawo Coulomba (785): F = q q r [N] 4 0 r 3 r - wektor wodzący ε 0 = 8,85 0 [ F m] q i q - ładunki elektryczne Natężenie pola elektromagnetycznego: E x, y, z = F q0 x 0, y 0, z 0 q 0 [ V m] q 0 0 ładunek próbny q 0 0 ładunek dodatni Potencjał- miara pracy, potrzebna do przesunięcia ładunku q 0 od punktu P 0 do P. posoby liczenia: a) p = 4 0 b) p = 4 0 N i= c) Φ p = 4 πε 0 d) p = 4 0 q i r i r dl ζ r d V dv V r P p = E d l p = 4 0 q r r- odległość od ładunku q do P Napięcie elektryczne: Prawo Gaussa: U = E d l [V] U = (wartość napięcia nie zależy od drogi całkowania) E d = q 0
Równanie Poissona: a) Δ = V 0 b) postać różniczkowa: div E = V 0 E= V 0 c) Rozwiązanie równania Poissona: x, y, z = 4 0 Równanie Laplace`a: V =0 =0 V T dv e Potencjał, a natężenie pola elektrycznego: E= d = E d l 3. Dielektryki. Dipol elektryczny, definicja wektora polaryzacji, wektor indukcji elektrycznej, wartość i jednostka ε 0, wartość ε w dla różnych materiałów. Dielektryk- materiał w którym występuje nikła koncentracja ładunków swobodnych, w wyniku czego bardzo słabo jest przewodzony prąd. Dielektryk idealny nie przewodzi prądu elektrycznego i ma strukturę składającą się z dipoli elektrycznych. Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch ładunków + q i - q mechanicznie ze sobą związanych. p=q l [C m] (moment elektryczny dipola) Wektor polaryzacji: p= lim V 0 p i V Wektor indukcji elektrycznej ( jego wartość zależy od ładunków swobodnych) D= 0 w E D= 0 E p 0 =8,85 0 [ F m] próżnia,0000 powietrze,00053 woda 78,3 Prawo Gaussa (dla dielektryka): Q Z = P d Q Z - ładunek związany 4. Pojemność elektryczna. posoby liczenia. Pojemności podstawowych układów. Energia w kondesatorze. Pojemność elektryczna- to cecha geometryczna układu, która wyraża zdolność do gromadzenia ładunków elektrycznych. Zależy tylko od wymiarów geometrycznych i parametrów dielektryka w układzie.
C= Q U [ F ] posób liczenia: a) z definicji: U = E d l E - z prawa Gaussa b) metodą zmiennych rozłożonych: (dzielimy cały układ na połączone ze sobą elementarne kondensatory) polączenie szeregowe: n C w = i= w = dc C i połączenie równoległe: n C w = i = C i C w = dc Pojemność podstawowych kondensatorów: a) płaski: C= 0 w d b) walcowy C= π ε ε l 0 w ln( R R ) c) sferyczny C=4 0 w R R R R Energia zgromadzona w kondensatorze jest elementarną pracą dw potrzebną do przemieszczenia elementarnego ładunku dq z jednej okładki na drugą. Energia ta jest równa energii pola elektrycznego wytworzonego w kondensatorze. Q = 0 dw = U dq= q C dq Q dw = 0 Gęstość energii: W c = pot V diel = 0 w E Q Q dq= C C = CU 5. Prąd elektryczny (definicja). Typy prądów. Równanie ciągłości, lokalne i obwodowe prawo Ohma. I i II prawo Kirchoffa. Prąd elektryczny- uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Za kierunek prądu umownie przyjęto kierunek od niższego do wyższego potencjału. Typy prądów: a) liniowy: I = dq [ A] b) powierzchniowy: I = y V [ A m] c) objętościowy: I = I d [ A]
Równanie ciągłości: postać całkowa: I d = dq d postać różniczkowa: div I= d v I= d v Lokalne prawo Ohma: a) I = E b) E= I - przenikalność właściwa materiału; - oporność materiału; U Obwodowe prawo Ohma: I prawo Kirchoffa: I = L = R J d = 0 (Całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu równa jest 0) II prawo Kirchoffa: l E d l = 0 (Napięcie obliczone po biegunowej zamkniętej jest równe 0) 6. Pole magnetostatyczne. Prawo Grassmanna, Biota- avarta i prawo przepływu Ampera, prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, reguła Lenza- rysunki i wzory. Pole magnetostatyczne jest określone wektorem indukcji magnetycznej. B= d F [T ] Prawo Grassmanna: d F = 0 4 I I d l r d l [ N ] r 3 iła z jaką jeden przewodnik z prądem oddziałuje na drugi Prawo Biota avurta: d B= 0 4 I d l r r 3 [Wb] Określa wartość indukcji magnetycznej w punkcie odległym od r od elementu z prądem I. Prawo przepływu Ampera: L H d N l = I i i= Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego po dowolnej krzywej zamkniętej jest równe algebraicznej sumie prądów obejmowanych przez kontur I.
Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya: L = d B E d l = d B Cyrkulacja pola elektrycznego po zamkniętej krzywej jest równa zmianie indukcji magnetycznej obejmowanego przez kontur magnetyczny. Reguła Lenza: I R= 7. Moment magnetyczny, wektor namagnesowania, pole magnetyczne w ośrodkach materialnych: krzywa histerezy. Indukcyjność własna i wzajemna. Energia pola magnetycznego. Moment magnetyczny jest własnością danego ciała opisującą pole magnetyczne wytwarzane przez to ciało, a tym samym i jego oddziaływaniem z polem magnetycznym. m= I s [ m ] Wektor namagnesowania: m i V M = lim 0 Wyraża gęstość wypadkowego momentu magnetycznego. Pole magnetyczne w ośrodkach materialnych: B= 0 y w H = 0 w H w = f H Indukcja własna: L m = mm I m
Indukcja wzajemna: M ki = Bki I i, M ki =M ik [ H ] Energia pola magnetycznego: m = V m x, y,z dv = H B dv V Całkowita energia w objętości V. 8. Równania Maxwella. Postać całkowa (wzór, treść i rysunek), postać różniczkowa i zespolona. Podać pełne wyrażenie na ε sk. Prawo Gaussa: D d =Q s, D= ρ V, D= ρ, D N D N = σ q trumień wektora indukcji elektrycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnie jest równy algebraicznej sumie ładunków swobodnych zgromadzonych wewnątrz bryły ograniczonej powierzchnią. Prawo Gaussa (dla pola magnetycznego): B d = 0, B= 0, B= 0, B N B N = 0 trumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnię zawsze jest równy 0. B =0
Prawo Faraday`a: E d l = d Ψ B, E= B L t, E= j ω μ H, E t E t = 0 Cyrkulacja pola elektrycznego po dowolnej krzywej zamkniętej l, jest równa zmianie strumienia indukcji magnetycznej przenikającej przez dowolną powierzchnię rozpięta na konturze l. Prawo Ampera: H d l = J + dψ B, H = J+ d D L, H = j ω ε sk E, H t H t =J st Cyrkulacja wektora H po dowolnej krzywej zamkniętej l jest równa algebraicznej sumie prądów obejmujących konturem l i zmiana strumienia indukcji elektrycznej przenikającego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze l. Równanie ciągłości: J d = dq, J = d ρ V, J N J N = d σ y trumień gęstości prądu przez dowolną zamkniętą powierzchnie jest równy zmianie ładunku zawartego w bryle ograniczonej powierzchnią. ε sk = σ jω +ε = σ jω +ε 0ε w 9. Warunki brzegowe wektorów pola elektrycznego, magnetycznego i J n. Wyprowadzić warunki D n i E t. ) D N D N = σ q (prawo Gaussa) ) E t E t = 0 (prawo Faraday`a) 3) H t H t = I st (prawo Ampera) 4) J N J N = d σ y (prawo ciągłości)
Warunki na D n : D d = Q b D d = 0, więc D d = D d + D N +D N = Q D d = Q D N D N = Q = σ q Warunki na E t : E d l = 0, h 0 E d 3 l + E d 4 l + E d l + 3 = 5 E d l = 4 4 E t d l + 3 E d l + 4 E d l = 3 E N d l + E t d l + E t d l E t l E t l= 0 E t E t = 0 4 3 E N d 4 l + 3 E t d l = 0. Równanie falowe (wyprowadzić), jednorodna fala płaska- zapis i struktura (rysunek). Założenia: ) przestrzeń jest nie ograniczona, ) ośrodek jest jednorodny (ε, μ, σ= const), 3) brak ładunków oraz prądów wywołanych ruchem tych ładunków. Z równań Maxwella: D= 0 B= 0 E= j μ ω j ω ε sk E E μ ω ε sk E = 0 E= E ( E) E= 0 H = 0 E = j μ ω H H = jω ε sk E, H = E j μ ω
{ E +ε sk μω E= 0 H +ε sk μω H = 0} γ = ε sk μ ω { E γ E= 0 H γ H = 0} (Równanie falowe Helmholtz) Jednorodna fala płaska: γ - wektor propagacji, γ = α + j β (α współczynnik tłumienia, β współczynnik fazy) E= E m e γ r e j ω t H = H m e γ r e jω t α = u α α, u α = u β = u - kierunek propagacji β = u β β, γ = γ u E= E m e α r e j β r, [α ] = [β ] = [ m] n= i y E= E mz e α r cos(ω t β r)i z H = H ux e α r cos(ω t β r)i x E= 0 E= γ E= 0 γ E H = γ H = 0 γ H { E Fala poprzeczna H n}
. Propagacja fali płaskiej w różnych ośrodkach (dielektryk bezstratny, dielektryk stratny, przewodnik). Jak ośrodek wpływa na parametry fali. Propagacja fali w różnych ośrodkach: α= ω c ε w μ w 0,5( +a ) β = ω c ε w μ w 0,5( +a +) σ a=, λ = π, v ω ε 0 ε w β f = ω, δ = β α λ długość fali; v f prędkość falowa; δ głębokość wnikania; próżnia: v f = c, λ 0 = c f, δ =, Z fo = 0 π, φ 0 = 0 dielektryk bezstratny: v f = c, λ = λ 0 ε w ε w, δ = α, Z f <Z fbeastr, φ 0 0, Z f C dielektryk stratny: v f <u fstr., λ <λ str., δ = α, Z f <Z fstr., φ 0 0, Z f C przewodnik rzeczywisty: a= σ ω ε 0 ε w, α β α= β = 0,5ω μσ, δ = α = 0,5ω μ σ v f = ω β, λ = v f f, λ λ 0 3. Odbicie i załamanie fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków. Wzory Fresnella. Współczynniki energetyczne. Kąt Brewstera. Całkowite wewnętrzne odbicie. Założenia: ) fala monochromatyczna i jednorodna; ) granica jest nieruchoma; 3) fala pada od strony dielektryka bezstratnego; 4) oba ośrodki są liniowe, jednorodne i izotropowe. (dlac n ) E t = E t, D N D N = σ q W t = P t +R t, ε w E N = ε w E N P t exp( jω p t γ px x γ py y)+r t exp( j ω w t γ wx x γ wy y)= W t exp( jω w z γ wx x γ wy y) Wzory Fresnela: ρ E = E r = tg(θ Θ ) E p tg(θ +Θ ) ρ E = E r = sin(θ Θ ) E p sin(θ +Θ ) H E = cosθ sinθ sin(θ +Θ )cos(θ Θ )
H E = cosθ sinθ sin(θ +Θ ) Współczynniki energetyczne: R ρ E, T R, R n +n Kąt Brewstera: tgθ Br = n 00% fali spolaryzowanej wnika do ośrodka drugiego. Całkowite wewnętrzne odbicie, to zjawisko polegające na tym, że światło padające na granice od strony ośrodka o wyższym współczynniku załamania, pod kątem większym niż kąt graniczny, nie przechodzi do drugiego ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu ( pryzmaty, światłowody). 4. Potencjały elektrodynamiczne. Potencjał opóźniony skalarny i wektorowy. Wektor Hertza. Potencjał elektrodynamiczny: E= grad Φ, Φ = ρ v ε 0 Potencjały opóźnione (skalarny i wektorowy): E= grad Φ d A Wektor Hertza: { E= rot rot Π e H = jω ε rot Π e} {Φ ( x, y, z, t)= π ε V A (x, y, z,t ) = 4π V, B= rot A ρ (x 0, y 0, z 0,t r v ) } dv r y( x 0, y 0, z 0,t r v ) dv r Zastosowanie elektrycznego wektora Hertza Π e pozwala na wyrażenie potencjałów Φ i A w funkcji tego wektora oraz natężeń pól E i H. 5. Dipol elementarny. Charakterystyki promieniowania w polu dalekim i bliskim. Opór promieniowania. Źródło elementarne: a) rozpatrujemy pola w odległościach >> od rozmiarów źródła, tzn. l<<r b) wymiary źródła są << λ (nie ma przesunięć fazowych w obrębie źródła) Źródło elementarne można więc uważać za punktowe źródło pola. Elementarny oscylator (wibrator lub dipol) dla przebiegów harmonicznych o pulsacji ω: I = j ω q q= j ω I = j ω I p= q l = j ω I l - moment elektryczny odcinka o długości l, w którym płynie prąd przemienny o natężeniu I.
Wartość (chwilowa) natężenia prądu w każdym punkcie oscylatora elementarnego jest taka sama. A= μ 4π I l e j π r λ r - potencjał wektorowy oscylatora elementarnego (w ośrodku ε, μ=const σ=0) Π e = j I l 4π ε ω e j π r λ r π r E r = j IlcosΘ j e λ 4π ε ω r 3 π r ( + j λ ) π r E Θ = j IlsinΘ j e λ 4π ε ω r ( + j π r 3 λ ( π r λ ) ) E φ = 0 Linie pola H tworzą koła koncentryczne z osią oscylatora, linie równoleżnikowe. Linie wektora E leżą w płaszczyznach południkowych.
- Pole elektromagnetyczne w małych odległościach od oscylatora: ( π r λ ) π r π r λ, j e λ = H r = 0, H Θ = 0, H φ = IlsinΘ 4π ε r E r = j IlcosΘ pcosθ 3= 4π ε ω r 4π ε r 3 IlsinΘ E Θ = j 4π ε ω r 3= psinθ 4 π ε r 3 E φ = 0 Pole elektrostatyczne oscylatora jest w małej odległości identyczne z polem dipola elektrostatycznego (ale jest to znowu pole pulsujące). Pole H i E są w obszarze bliskim kwazistacjonarne. - Pole elektromagnetyczne w dużych odległościach od oscylatora elementarnego. ( π r λ ) π r λ - można pominąć człony z niskimi potęgami π r λ π r H r = 0, H Θ = 0, H φ = j IlsinΘ j e λ pole elektryczne i magnetyczne są współfazowe pole E jest prostopadłe do H. E Θ = Z f H φ Opór promieniowania jest to taki opór zastępczy, w którym po dołączeniu do źródła zasilającego oscylator (antenę) wydziela się moc równa mocy promieniowanej przez oscylator (antenę). R pr = 80 π ( λ ) - opór promieniowania oscylatora elementarnego w wolnej przestrzeni. λ r 6. Falowody. Fale typu TE i TM. Częstotliwość graniczna. Mody. Rozpływ linii sił pola i prądów dla modu podstawowego. zczeliny w falowodach. Falowód jest pustą rurą metalową nie mającą przewodnika wewnętrznego. Przekroje poprzeczne falowodów mogą mieć różne kształty, od prostokątów i okręgów do bardziej skomplikowanych. tosuje się także pełne rury z dielektryka. tosowanie falowodów jest charakterystyczne dla techniki mikrofalowej (fale centymetrowe i milimetrowe). Poprzeczna fala elektryczna TE (H): (tylko pole elektryczne ma składową podłużną) E Z = 0, H Z 0 Poprzeczna fala magnetyczna TM: E Z 0, H Z = 0 Mod jest charakterystycznym rozkładem pola elektromagnetycznego odpowiadającym danemu kątowi rozchodzenia się fal w falowodzie. Mody dzieli się na: -TE{ Ey, Hz, Hx } (Transverse Electric) - mody których natężenie pole elektrycznego w kierunku rozchodzenia się jest zerowa. -TM{ Hy, Ez, Ex } (Transverse Magnetic) - mody których indukcja magnetyczna w kierunku rozchodzenia się jest zerowa. -TEM (Transverse ElectroMagnetic) - mody których natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna wzdłuż kierunku rozchodzenia jest zerowa. -Hybrydowe - mody nie spełniające powyższych warunków.
Częstotliwością graniczną (krytyczną) f gr nazywamy taką częstotliwość, dla której wyrażenie pod pierwiastkiem (a tym samym γ Z ) jest równe zeru. f gr = ε μ ( m a ) +( n b) Częstotliwość graniczna zależy od rozmiarów falowodu (a, b) jak również od rodzaju fali (m, n). Można też uprościć zapis: f gr = v ( m a ) +( n b) Tym samym długość fali wynosi: λ gr = v f gr = ( m a ) +( n b) Rozkład pola magnetycznego dla kilku rodzajów: E 0 E 0 E E 0 E 0 E
zczelina typu A równoległa do linii prądów powierzchniowych, nieco ten rozpływ zakłóca, mało gdy wąska nie powoduje zmian w przepływie energii wewnątrz falowodu, szczeliny pomiarowe sondy, zczelina typu B przecinają linie prądu, brzegi szczeliny ładują się, w szczelinie powstaje pole E, prąd przesunięcia J d, pole H - szczelina wypromieniowuje energię. Wykorzystanie anteny falowodowe, sprzęganie dwóch falowodów.