Zespół Szkół Ekonomicznych im. M. Kopernika w Olsztynie Zadania z poprzednich edycji Konkursu Matematyka w zarządzaniu dla uczniów szkół gimnazjalnych 2011 Zadanie 1 Dwa ciała poruszają się po ramionach kąta prostego w kierunku wierzchołka tego kąta z prędkościami równymi odpowiednio 3cm/s i 4 cm/s. W pewnym momencie pierwsze ciało było oddalone od wierzchołka kąta o 21 cm, a drugie o 28 cm. Oblicz, po jakim czasie odległość między poruszającymi się ciałami wyniesie 5 cm. Zadanie 2 Areną jest olbrzymi plac, na którym znajdują się cztery tory kołowe. Czterej kolarze przeprowadzają próbę swojego zespołu cyrkowego. Każdy jedzie po swoim torze. Wszyscy zaczynają jazdę równocześnie, z tego punktu toru, który leży najbliżej środka areny. Prędkości kolarzy to 6 jednostek/h, 9 jednostek/h, 12 jednostek/h oraz 15 jednostek/h. Długość obwodu każdego koła stanowi 1/3 przyjętej jednostki długości. Czas trwania jazdy wynosi 20 minut. Ile razy kolarze spotkają się w punktach wyjściowych w ciągu tych 20 minut? Zadanie 3 Dwa pociągi towarowe, z których każdy ma długość 50 m jadą naprzeciw siebie po równoległych torach z jednakową prędkością 45km/h. Ile sekund upłynie od momentu spotkania maszynistów do momentu spotkania konduktorów ostatnich wagonów?
Zadanie 4 Z pełnego naczynia zawierającego kwas o stężeniu 96% odlano 2,5 litra i dopełniono naczynie kwasem o stężeniu 80%, a następnie odlano 2,5 litra i znowu dopełniono naczynie kwasem o stężeniu 80%. W wyniku otrzymano kwas o stężeniu 89%. Znajdź pojemność naczynia. Zadanie 5 Na placu umieszczono dwa głośniki radiowe A i B oddalone od siebie o 200 m. Stosunek natężeń dźwięku (siły dźwięku) tych głośników jest równy 3:5. W jakim punkcie odcinka AB dźwięk z obu głośników dochodzi z jednakowym natężeniem, jeżeli wiadomo, że natężenie dźwięku maleje proporcjonalnie do kwadratu odległości od źródła dźwięku. Zadanie 6 Na trzech półprostych parami prostopadłych, nie zawierających się w jednej płaszczyźnie i wychodzących z punktu A, odmierzono odcinki AM, AN i AP takie, że płaszczyzny MNP. AM AN a i AP 2a. Znajdź odległość punktu A od 2010 Czas pisania: 90 minut Uwaga: Rozwiązania powinny zawierać precyzyjny i wyczerpujący komentarz oraz odpowiedzi; w przypadku równej liczby punktów o zwycięstwie decydować będzie jakość komentarza. ZAD. 1 [4 punkty] W pewnej firmie płace 25% pracowników wzrosły o 40 zł. O ile złotych wzrosła średnia płaca w tej firmie? ZAD. 2 [10 punktów] Z arkusza papieru w kształcie koła o promieniu R długości 30 cm zrobiono trzy jednakowe pojemniki w kształcie stożków na popcorn. Ile należy zapłacić za napełnienie ich popcornem po brzegi, jeżeli porcja popcornu o objętości 1 kosztuje 3 zł? Do obliczeń przyjmij 3, 14, 2 1, 41 i wynik zaokrąglij do pełnych złotych. ZAD. 3 [8 punktów] Paweł mówi do Piotra: mam 3 razy więcej lat niż ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy łącznie mieć 112 lat. Ile lat ma Piotr, a ile Paweł? ZAD. 4 [10 punktów] Krzysiek i Michał zobaczyli w sklepie grę komputerową, której cena wyrażała się liczbą pierwszą. Krzysiek nie mógł jej kupić, bo zabrakło mu 74 zł, a Michałowi zabrakło 9 zł. Nie mogli jej także kupić za wspólne pieniądze. Ile pieniędzy miał każdy z nich i ile kosztowała gra komputerowa? ZAD. 5 [9 punktów] Samochód przebył drogę s km z nieznaną prędkością x km/h. Jaka jest prędkość samochodu, jeżeli zwiększenie prędkości o 2 km/h skróciłoby czas jazdy o pół godziny? 3 dm
[11 punktów] Pewna firma handlowa chce wybudować hurtownię, która ma zaopatrywać sklepy w czterech sąsiednich miejscowościach A, B, C, D. W którym miejscu należy wybudować hurtownię H, aby suma odległości od hurtowni do tych czterech miejscowości była najmniejsza? (odpowiedź uzasadnij). Czas rozwiązywania 45 minut Uwaga: Wszystkie rozwiązania powinny być wyjaśnione 2008 Na brzegu jeziora mieszkało siedmiu rybaków. Zimą, gdy lód pokrył jezioro, rybacy, odwiedzając się nawzajem, wydeptali ścieżki tak, że domy dowolnych dwóch rybaków były połączone ścieżką.. Ile było ścieżek? W wannie o pojemności 200 litrów znajduje się 20 litrów wody. Po odkręceniu kurków, do wanny napływa 15 litrów wody w ciągu minuty. Napisz wzór funkcji opisującej zależność liczby litrów wody w wannie od czasu. Po jakim czasie wanna napełni się wodą. Staw zarasta rzęsa. Co dwa dni obszar zarośnięty rzęsą podwaja się. Cały staw zarósł rzęsą w ciągu 64 dni. Po ilu dniach ćwierć stawu była zarośnięta rzęsą? Zad. 4 3 Z jednego 2 metrowego drzewa o średnicy 10 cm otrzymuje się średnio 1300 cm drewna. Z kolei na jedno pudełko 3 zapałek zużywa się aż 9 cm drewna. Oblicz jaka stratę w ilości drzew poniesie las, jeżeli wykona się tylko 1 mln małych pudełek zapałek? Latarnia uliczna jest oszklona sześcioma jednakowymi szybami w kształcie równoramiennych trapezów. Boki równoległe trapezu maja długości 24 cm i 12 cm, a odległości między tymi bokami jest równa 37,5 cm. Oblicz ile metrów 1 7 % kwadratowych szkła potrzeba na oszklenie 64 latarń, jeżeli 2 zużytego szkła doliczymy na odpadki. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 2 m. Cena akcji pewnej firmy w ciągu dwóch kolejnych sesji giełdowych obniżała się o 10% i wyniosła 29, 97%. Ile kosztowały akcje tej firmy dwie sesje wcześniej?
2007 Na pewnej powierzchni należy położyć posadzkę. Są do wyboru płytki foremne: trójkątne, czworokątne, sześciokątne. Wszystkie płytki mają równe obwody. Których płytek potrzeba najmniej, a których najwięcej do pokrycia tej samej powierzchni? Pan Nowak umieścił w banku część kwoty 20000 zł na rocznej lokacie, oprocentowanej w wysokości 3% w skali roku wraz z roczną kapitalizacją odsetek. Za resztę zakupił jednoroczne obligacje oprocentowane w wysokości 4,5%. Gdyby pan Nowak złożył na lokacie w banku całą sumę, to po roku uzyskałby 60 zł mniej odsetek. Ile odsetek otrzyma po roku? Złotnik wykonał różne bransolety. W jednej jest 10,5g czystego srebra, a w drugiej, która jest 2 razy cięższa, 27 g czystego srebra. Próba srebra w cięższej bransolecie jest o 0,200 większa niż w lżejszej. Z jakiej próby srebra wykonał jubiler lżejszą bransoletę? Zad. 4 W pewnym kraju od podatku dochodowego są zwolnione dochody nie przekraczające 5 tys. dolarów. Za dochody przekraczające 5 tys. dolarów, ale nie większe niż 30 tys. dolarów podatnik płaci podatek w wysokości 10% od dochodu pomniejszonego o 5 tys. dolarów. Jeżeli dochód przekracza 30 tys. dolarów podatnik płaci 2500 dolarów plus 25% nadwyżki powyżej 30 tys. dolarów. Opisz system podatkowy w tym kraju za pomocą funkcji, która pokazuje zależność podatku od dochodu i naszkicuj jej wykres. Od dwóch kawałków stopu o różnej zawartości procentowej miedzi ważących m i n kg odcięto jednakowe wagowo kawałki i każdy z odciętych kawałków stopiono z resztą drugiego stopu. W otrzymanych stopach stwierdzono jednakową procentowo zawartość miedzi. Ile ważył każdy z odciętych kawałków? Na ile części dzieli płaszczyznę 30 prostych, z których żadne dwie nie są równoległe i żadne 3 nie przechodzą przez ten sam punkt. Zad. 7 Z drzew w sadzie zebraliście 667 jabłek. Wkładacie je teraz do toreb, żeby rozdać owoce sąsiadom. Chcecie włożyć taka samą liczbę jabłek do każdej torby, a jednocześnie chcecie zużyć możliwie mało toreb. Po ile jabłek należy włożyć i do ilu toreb? 2005 Na globusie w kształcie kuli o promieniu R zakreślono cyrklem o rozwartości R okrąg (nóżkę cyrkla umieszczono na biegunie). Jaka jest długość narysowanego równoleżnika?
Zad.2 W gospodarstwie rolnym zebrano w roku 2004 jęczmień z 36 ha. Na rok 2005 zaplanowano wzrost wydajności plonów z 1 ha jęczmienia o 8%, a całego zbioru o 20% w stosunku do roku 2004. O ile hektarów trzeba zwiększyć obszar uprawy jęczmienia, aby wykonać ten plan? Zad.3 Wahadło starego zegara ma długość 50 cm i odchyla się od pionu o 18. Pełne wahnięcie (od lewej do prawej i z powrotem) trwa 2 sekundy. Jaką drogę pokonuje końcówka wahadła w ciągu godziny? Zad.4 W trójkącie prostokątnym o bokach długości 60 cm, 80 cm i 100 cm, wierzchołek kąta prostego połączono odcinkiem z punktem leżącym na przeciwprostokątnej. Odcinek ten dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz długość tego odcinka. W pewnym małżeństwie wiek każdego z małżonków wyraża się liczbą dwucyfrową. Jeżeli przestawimy cyfry w liczbie lat męża, to otrzymamy liczbę lat żony. Różnica ich wieku równa jest jednej piątej wieku żony. Oblicz ile lat ma każdy z małżonków wiedząc, że mąż jest starszy od żony. Mrówka zamierza wspiąć się na szczyt puszki w kształcie walca o wysokości 6cm i średnicy podstawy 3 cm. Chce się jednak upewnić, czy w pobliżu nie czai się mrówkojad, musi więc w drodze na szczyt obejść także puszkę dookoła. Jaka jest długość najkrótszej drogi, którą mrówka musi przebyć? Zad.1 2004 Średnia miesięczna płaca netto w pewnym zakładzie zatrudniającym 30 pracowników wynosiła 2500 zł. Po zatrudnieniu nowego pracownika średnia płaca netto w zakładzie wzrosła o 0,4%. Oblicz płacę netto nowego pracownika. Tomek wziął z banku kredyt w wysokości 10000 zł na okres dwóch lat, przy kapitalizacji co pół roku i rocznym oprocentowaniu 16%. Ile zł kosztował Tomka ten kredyt? W ciągu jednego miesiąca trzykrotnie wypadła niedziela w dniu parzystym. Jaki dzień tygodnia wypadł 20-tego w tym miesiącu? Zad.4 Pies dostrzegł w odległości 60 m lisa i rozpoczął pościg. Skok psa ma długość 2 m, a skok lisa 1 m. Pies daje dwa skoki w tym samym czasie, w którym lis daje trzy skoki. Ile metrów drogi musi przebyć pies, aby dogonić lisa?
Zad.5 Cztery osoby siedzą na ławce. W pewnym momencie wstają z ławki, zaś po jakimś czasie siadają ponownie. Na ile sposobów mogą usiąść tak, aby żadna z nich nie usiadła na miejscu poprzednio zajmowanym? Zad.6 Zwiększywszy prędkość pociągu o 10 km/h zyskuje się 40 minut na trasie. Jeśli jednak prędkość zostanie zmniejszona o 10 km/h, traci się 1 godzinę. Jaka jest długość trasy? 2003 Dziewczęta twierdzą, żę wśród wszystkich brunetów w ich szkole tylko 20% jest przystojnych. Chociaż aż 10% brunetów ma niebiesie oczy, to tylko jeden z nich jest przystojny, ale niestety ma złe wyniki w nauce. On i jeszcze trzech przystojnych brunetów, którzy mają trudności w nauce, stanowią 25 % wszytkich przystojnych brunetów. Ilu jest nieprzystojnych niebieskookich brunetów? Jedna z gmin liczy 50 tys. Mieszkańców. Językiem ojczystym wszystkich mieszkańców gminy jest język polski, ale 20 tys. z nich mówi również po niemiecku. 35 tysięcy także po angielsku, a 10 tysięcy nie zna ani angielskiego ani niemieckiego. Ilu mieszkańców gminy mówi i po angielsku i po niemiecku? W 32 kg nasion znajduje się 10% zanieczyszczeń. Ile zanieczyszczeń trzeba usunąć, aby nasiona zawierały tylko 4% zanieczyszczeń? Zad. 4 Zbadano płace pięciu zatrudnionych w pewnej instytucji i obliczono z nich średnią arytmetyczną. Płaca pierwszej osoby była wyższa od średniej o 88 zł, drugiej - niższa o 13 zł, trzeciej - niższa o 52 zł, czwartej - wyższa o 32 zł. Czy płaca piątej osoby była niższa, czy wyższa od średniej i o ile? Paweł mówi do Piotra: mam 3 razy więcej lat niż ty miałeś, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma Piotr? Statek płynie z Warszawy do Gdańska przez 2 dni, a z powrotem w ciągu 3 dni. Ile czasu będzie płynąć tratwa z Warszawy do Gdańska? Zad. 7 Trzej strzelcy strzelają do celu na strzelnicy. Pierwszy strzelec oddaje strzały w odstępach 6 sekundowych, a drugi i trzeci odpowiednio 8 i 10 sekundowych. Ile razy strzelcy wystrzelą jednocześnie w ciągu 15 minut licząc od pierwszego strzału, który wszyscy oddali jednocześnie?
Zad. 8 W ciemnej piwnicy jest 20 słoików. Wśród nich jest 8 z dżemem truskawkowym, 7 z dżemem malinowym i 5 z zemem żurawinowym. Ile co najwyżej można zabrać słoików ( po ciemku), aby być pewnym, że w piwnicy pozostaną 4 słoiki jednego rodzaju dżemu i 3 słoiki innego?