Politechnika Gda ska Wydzia Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra/Zak ad: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek studiów: Matematyka Specjalno : Matematyka finansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Imi i nazwisko: Jacek Gierszewski Numer albumu: 120148 Temat projektu: PROJEKT DYPLOMOWY IN YNIERSKI Ocena ryzyka dla inwestycji portfelowych: rynek gie dowy. Zakres projektu: Przedstawienie indeksów sektorowych WIG-Banki oraz WIG-Chemia, opisanie u ytych miar ryzyka Value at Risk oraz Expected Shortfall i zbadanie ich podstawowych w asno ci. Omówienie funkcji kopu a, b cymi podstaw do symulowania rozk adu cznego dla ytych indeksów. Podanie niezb dnych definicji oraz twierdze dotycz cych tych funkcji. Opracowanie danych dla wymienionych indeksów, obliczenie warto ci rezerw dla przyk adowej inwestycji. Modelowanie portfela inwestycyjnego sk adaj cego si z obu indeksów przy pomocy funkcji kopu a, obliczenie dla niego rezerw za pomoc opisanych miar ryzyka. Badanie zale no ci mi dzy wybranymi funkcjami kopu a i warto ciami miar Value at Risk i Expected Shortfall. Potwierdzenie przyj cia projektu: Opiekun projektu Kierownik Katedry/Zak adu............ dr hab. Karol Dziedziul dr hab. Karol Dziedziul Gda sk, 21.12.2011r.
WIADCZENIE Imi i nazwisko Jacek Gierszewski Wydzia Wydzia Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Kierunek Matematyka Data i miejsce urodzenia 01.04.1989 Cz uchów Adres ul. Traugutta 26 77-300 Cz uchów Rodzaj studiów stacjonarne wyra am zgod do korzystania z mojej pracy dyplomowej: Ocena ryzyka dla inwestycji portfelowych: rynek gie dowy. do celów naukowych lub dydaktycznych 1. wiadomy odpowiedzialno ci karnej z tytu u naruszenia przepisów ustawy z dnia 4 lutego 1994r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. Nr 80, poz. 904 z 2000r ze zmianami) i konsekwencji dyscyplinarnych okre lonych w ustawie Prawo o szkolnictwie wy szym (Dz. U. Nr 164, poz. 1365 z 2005r.) 2, a tak e odpowiedzialno ci cywilno-prawnej o wiadczam, e przek adana praca dyplomowa zosta a opracowana przeze mnie samodzielnie i nie by a wcze niej podstaw adnej innej urz dowej procedury zwi zanej z nadaniem dyplomu szko y wy szej uczelni lub tytu ów zawodowych. Wszystkie informacje umieszczone w pracy, uzyskane ze róde pisanych i elektronicznych oraz inne informacje, zosta y udokumentowane w wykazie literatury odpowiednimi odno nikami zgodnie z art. 34 ustawy o prawie autorskim i prawach pokrewnych. Jednocze nie wyra am zgod na do czenie tekstu pracy do bazy prac systemu antyplagiatowego. Gda sk, dnia 21.12.2011... podpis studenta 1 Zarz dzenie Rektora Politechniki Gda skiej nr 34/2009 z 9 listopada 2009 r., za cznik nr 8 do instrukcji archiwalnej PG 2 Ustawa z dnia 27 lipca 2005r. Prawo o szkolnictwie wy szym. Art. 214 ust p 4. W razie podejrzenia pope nienia przez studenta czynu polegaj cego na przypisaniu sobie autorstwa istotnego fragmentu lub innych elementów cudzego utworu rektor niezw ocznie poleca przeprowadzenie post powania wyja niaj cego. Art. 214 ust p 6. je eli w wyniku post powania wyja niaj cego zebrany materia potwierdza pope nienie czynu, o którym mowa w ust.4, rektor wstrzymuje post powanie o nadanie tytu u zawodowego do czasu wydania orzeczenia przez komisje dyscyplinarn oraz sk ada zawiadomienie o pope nieniu przest pstwa.
Spis treści Wstęp 4 1 Przedstawienie danych 6 1.1 Indeksy giełdowe................................ 6 1.1.1 Zasady obliczania indeksów...................... 7 1.1.2 WIG-Banki, WIG-Chemia....................... 8 1.2 Funkcja straty.................................. 10 2 Pojęcie ryzyka 12 2.1 Koncepcja ryzyka................................ 12 2.2 Miary ryzyka.................................. 13 2.2.1 Value at Risk.............................. 14 2.2.2 Expected Shortfall........................... 16 3 Kopuły 19 3.1 Podstawowe informacje dotyczące kopuł................... 19 3.2 Przykłady kopuł................................ 21 4 Opracowanie własnych danych 29 4.1 Badanie rozkładów, obliczanie VaR i ES................... 29 4.2 Zastosowanie kopuł............................... 31 4.3 Badanie zależności............................... 33 4.4 Podsumowanie................................. 38 A Załącznik 41 A.1 Uogólniona funkcja odwrotna......................... 41 A.2 Własności.................................... 42 A.3 Dane....................................... 49 B Kody programów 51 Bibliografia 58 3
Wstęp Podstawową charakterystyką każdej inwestycji jest ryzyko. Dotyczy to zarówno inwestycji osoby prywatnej, jaki i przedsiębiorstw, a w szczególności banków i zakładów ubezpieczeniowych. Samo pojęcie ryzyka jest naturalnie wpisane w życie każdego procesu biznesowego. Zasadna jest zatem analiza ryzyka danej inwestycji dokonywana przez poszczególne podmioty. Pomiar ryzyka jest to liczbowe wyrażenie ryzyka za pomocą dostępnych metod matematyczno-statystycznych oraz opisowych. W 2004 roku Bazylejski Komitet do spraw Nadzoru Bankowego opublikował tzw. nową umowę kapitałową (New Basel Capital Accord), potocznie nazywaną Basel II, zawierającą metodologię pomiaru ryzyka kredytowego, rynkowego oraz operacyjnego dla banków. W ślad za sektorem bankowym, poszły zakłady ubezpieczeniowe. W 2002 roku zostały opublikowane pewne wymogi formalne w zakresie marginesu wypłacalności pod nazwą Solvency I. Obecnie są przygotowane nowe wymogi, wzorowane na Basel II, a znane pod nazwą Solvency II. Obie dyrektywy, zarówno dla sektora bankowego jak i dla zakładów ubezpieczeniowych, wprowadzają do analiz omawiane w tej pracy miary ryzyka: Value at Risk (VaR) oraz Expected Shortfall (ES). Głównym celem pracy było ukazanie zasad działania i stosowania miar ryzyka dla konkretnego portfela inwestycyjnego. Pierwszy rozdział przedstawia dwa sektory rynkowe dla spółek notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych, ujęte w indeksy sektorowe WIG-Banki oraz WIG-Chemia. Została podana ich krótka charakterystyka, skład oraz sposób obliczania ich wartości. W kolejnym rozdziale opisane zostały wybrane miary ryzyka: Value at Risk oraz Expected Shortfall. Przedstawiono również koncepcję koherentnej miary ryzyka oraz sprawdzono właściwości VaR i ES. Trzeci rozdział podaje podstawy teoretyczne funkcji kopuła, niezbędne definicje i twierdzenia potrzebne w dalszej części. Zostały również ukazane wybrane rodziny tych funkcji poprzez przedstawienie odpowiednich równań jak i wykresów. Najistotniejszą częścią tej pracy jest rozdział czwarty, gdzie jest przedstawione opracowanie własne danych. W pierwszej jego części zbadano rozkłady stóp strat dla indeksów WIG-Banki i WIG-Chemia, po czym obliczono dla każdego z osobna wcześniej już wspomniane miary ryzyka. W drugiej części przedstawiono praktyczne zastosowanie funkcji 4
kopuła dla badanego portfela inwestycyjnego, składającego się tym razem w równych częściach z dwóch wymienionych indeksów sektorowych. Następnie, dla tak skonstruowanego portfela zastosowano miary ryzyka dla oszacowania wielkości rezerw potrzebnych na zabezpieczenie inwestycji. W trzeciej części znajdują się wyniki badań dla zależności między wykorzystaną kopułą, a wartością miary VaR. W ostatnim podrozdziale zbadano zależności między parametrem θ kopuł jednoparametrycznych a wielkością stosowanych miar ryzyka. Na końcu pracy znajdują się dwa dodatki. W Załączniku A jest przedstawiona uogólniona funkcja odwrotna wraz z jej właściwościami oraz kilka innych definicji i twierdzeń użytych w tej pracy, a także przedstawiono wartości indeksów w poszczególnych tygodniach. W dodatku B znajdują się kody do wszystkich programów, niezbędnych do odtworzenia wykresów umieszczonych w pracy oraz dokonania przedstawionych obliczeń. Wszystkie programy zostały napisane w środowisku R. Wykorzystano w nich pakiet copula dostępny na stronie internetowej http://cran.r-project.org/web/packages/copula/index.html. 5
Rozdział 1 Przedstawienie danych Do przedstawienia danych zawartych w poniższym rozdziale wykorzystane zostały informacje zawarte na stornie oficjalnej Warszawskiej Giełdy Papierów Wartościowych (GPW) [12], książek [5] oraz [10] 1.1 Indeksy giełdowe Indeksy giełdowe (indeksy rynku) spełniają rolę przedstawiania wyników spółek giełdowych w postaci syntetycznej charakterystyki. Indeks jest to liczba określona na podstawie cen akcji, a także innych wielkości charakteryzujących akcje, takie jak liczba akcji czy wielkość dywidend. Stworzono je, aby dostarczać inwestorom kompleksowych raportów dotyczących oceny rynku, informują o sytuacji na giełdzie. Stanowią punkt odniesienia przy ocenie efektywności inwestowania, a często są także instrumentem podstawowym dla instrumentów pochodnych. Analitycy papierów wartościowych oraz zarządzający portfelami stosują indeksy do dokonywania analizy związków pomiędzy różnymi rynkami. Na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych tworzonych jest kilkanaście indeksów. Główny z nich to indeks WIG (Warszawski Indeks Giełdowy), który jest zarazem najstarszym indeksem, obliczanym od dnia pierwszej sesji 16 kwietnia 1991 roku. Obejmuje on wszystkie spółki giełdowe, które spełniają odpowiednie wymogi. Obok indeksów szerokiego portfela Giełda oblicza również 11 indeksów spółek należących do określonych branż. Pozwalają one na bieżąco śledzić koniunkturę różnych branż. Są to sektory: banki, budownictwo, chemia, deweloperzy, energia, informatyka, media, paliwa, przemysł spożywczy, rynek surowców oraz telekomunikacja. Są to tak zwane subindeksy sektorowe. Klasyfikacja spółek do sektorów prowadzona jest według własnych zasad GPW, w oparciu o Polską Klasyfikację Działalności oraz strukturę przychodów i aktywów spółek. Jak bardzo różnią się od siebie poszczególne indeksy branżowe, możemy zaobserwować na poniższym wykresie, który przedstawia zróżnicowanie łącznej wartości rynkowej spółek wchodzących w skład różnych indeksów. Ilość przedsiębiorstw w każdym z tych indeksów 6
Rysunek 1.1: Udział poszczególnych indeksów branżowych w kapitalizacji. nie wpływa znacząco na wielkość kapitalizacji. I tak do indeksu WIG-Banki wchodzi 13 spółek, WIG-Paliwa reprezentuje 7 spółek, a WIG-Spożywczy aż 25. Te wartości pokazują zagęszczenie w danych sektorach. Im większa liczebność, tym większa konkurencja na rynku między przedsiębiorstwami oraz mniejszy udział pojedynczej spółki w całym portfelu indeksu branżowego. 1.1.1 Zasady obliczania indeksów Podany zostanie tylko algorytm na obliczenie indeksów branżowych, ponieważ tylko takimi będziemy się zajmować w dalszej części pracy. I tak mamy: INDEKS = Pi S i (Pi (0) S i (0))K t I(0), gdzie S i - pakiet uczestnika i indeksu na danej sesji; P i - kurs uczestnika i indeksu na danej sesji; S i (0) - pakiet uczestnika i indeksu w dniu bazowym; P i (0) - kurs uczestnika i indeksu w dniu bazowym; I(0) - wartość bazowa indeksu (dla WIG-Banki jest to 1279.46, WIG-Chemia 3836.1); K t - współczynnik korygujący indeksu na danej sesji. 7
Współczynnik korygujący jest obliczany każdorazowo, po zmianie okresowej na liście uczestników indeksu. Operacja ta jest przeprowadzana w celu utrzymania ciągłości wartości indeksów. W tym celu wykorzystuje się następującą formułę: gdzie K t = M(t) + Q(t) Z(t) K t 1, M(t) M(t) - kapitalizacja portfela przed zmianą; Q(t) - wartość pakietów uczestników wpisywanych na listę indeksu; Z(t) - wartość pakietów uczestników usuwanych z listy indeksu; K t - nowa wartość współczynnika korygującego; K t 1 - dotychczasowa wartość współczynnika korygującego. 1.1.2 WIG-Banki, WIG-Chemia W dalszej części pracy skupimy się na dwóch subindeksach sektorowych notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych. Będą to WIG-Banki oraz WIG-Chemia. Indeksy te są indeksami dochodowymi, tzn. że oprócz ceny akcji uwzględniają również wypłacane dywidendy oraz prawa poboru. WIG-Banki W skład tego indeksu wchodzą spółki notowane na GPW z sektora bankowego i jednocześnie wchodzące w skład indeksu WIG. Obliczany jest przez giełdę od 31 grudnia 1998 roku. Z tego dnia pochodzi również wartość bazowa tego indeksu która wynosi 1279.56 pkt potrzebna do obliczeń wartości bieżących. Dalej jest przedstawiona Tabela 1.1, w której zostały one wymienione wraz z charakterystycznymi danymi (stan z dnia 28 października 2011 roku). BRE Bank, Getin Holding, Handlowy oraz PKO BP i PEKAO wchodzą również w skład dwudziestu największych spółek notowanych na GPW, czyli w skład indeksu WIG20. Pokazuje to, jak ważnym sektorem są banki w odniesieniu do ogółu spółek na Warszawskiej Giełdzie. Jest to największa liczba spośród wszystkich spółek z poszczególnych indeksów branżowych. Indeks WIG-Banki jest największym spośród indeksów branżowych na GPW, zarówno pod względem łącznej kapitalizacji spółek w nim zawartych (co zostało pokazane na Rysunku 1.1), jak i pod względem łącznych obrotów. 8
pełna nazwa spółki kod wartość rynkowa (zł) udział w portfelu (%) 1. Powszechna Kasa Oszczędności Bank Polski SA PKO 22 124 523 300 41.362 2. Bank Polska Kasa Opieki SA PEO 16 307 435 000 30.487 3. BRE Bank SA BRE 3 497 325 000 6.538 4. Getin Holding SA GTN 2 823 413 300 5.278 5. ING Bank Śląski SA BSK 2 563 364 000 4.792 6. Bank Handlowy w Warszawie SA BHW 2 438 442 250 4.559 7. Bank Millennium SA MIL 1 865 912 360 3.488 8. Kredyt Bank SA KRB 789 443 960 1.476 9. Bank BPH SA BPH 409 827 860 0.766 10. Bank Gospodarki Żywnościowej SA BGZ 291 801 600 0.546 11. Nova Kreditna banka Maribor d.d. KBM 246 956 500 0.462 12. Bank Ochrony Środowiska SA BOS 127 768 900 0.239 13. UniCredit S.p.A. UCG 4 295 160 0.008 Tabela 1.1: WIG-Banki, 28.10.2011r. WIG-Chemia W skład tego indeksu wchodzi tylko 5 spółek z branży chemicznej, notowane na GPW w Warszawie. Jest to najmniejszy z indeksów pod względem łącznej wartości rynkowej jak i liczby przedsiębiorstw wchodzących w jego skład. Jest to stosunkowo młody indeks na Giełdzie, ponieważ jest obliczany zaledwie od 31 września 2009 roku. Za cenę bazową przyjęto wówczas 3836.1pkt. Zestawienie spółek tego indeksu branżowego z dnia 28 października 2001r. przedstawia Tabela 1.2. Przedsiębiorstwa tego sektora zajmują się przede wszystkim produkcją i handlem związków chemicznych, nawozów, a także przetwórstwem chemicznym. Co jest również istotne, żadna z tych spółek nie wchodzi w skład indeksu WIG20, są to zakłady stosunkowo małe w porównaniu z największymi bankami. pełna nazwa spółki kod wartość rynkowa (zł) udział w portfelu (%) 1. Synthos SA SNS 2 155 638 940 45.815 2. Zakłady Azotowe w Tarnowie-Mościcach SA ATT 1 359 259 200 28.889 3. Zakłady Azotowe Puławy SA ZAP 614 623 650 13.063 4. Ciech SA CIE 420 568 990 8.939 5. Zakłady Chemiczne Police SA PCE 155 016 260 3.295 Tabela 1.2: WIG-Chemia, 28.10.2011r. W Tabeli A.1 oraz na Rysunku 1.2 możemy zaobserwować, w jaki sposób zmieniały się indeksy WIG-Banki oraz WIG-Chemia na przestrzeni wybranych 60-ciu tygodni. Wykres został sporządzony z wartości na zamknięciu poszczególnych tygodni. Daty oznaczają ostatni dzień danego tygodnia. 9
8000 WIG Chemia WIG Banki 7500 7000 6500 6000 5500 5000 4500 4000 2010 09 03 2010 10 01 2010 11 05 2010 12 10 2011 01 14 2011 02 18 2011 03 25 2011 04 29 2011 06 03 2011 07 08 2011 08 12 2011 09 16 2011 10 21 Rysunek 1.2: Wykres wartości zamknięć indeksów z 60-ciu tygodni. 1.2 Funkcja straty Do obliczeń w kolejnych rozdziałach będziemy potrzebowali funkcji strat, zamiast funkcji zysku. Dlatego też dla każdego z indeksów obliczono straty dla poszczególnych tygodni. Stopę straty obliczono zgodnie z poniższym wzorem: gdzie L = W o W z W o 100%, L - stopa straty; W o - wartość indeksu na otwarciu; W z - wartość indeksu na zamknięciu. 10
Stąd otrzymujemy straty z poszczególnych tygodni dla badanych indeksów (gdzie liczba dodatnia oznacza procentową stratę z danego tygodnia, liczba ujemna zysk). Liczby te, wyrażone w procentach, zostały uporządkowane rosnąco (od największego zysku, do największej straty). W kolejnych rozdziałach, stopę strat dla WIG-Banki oznaczać będziemy przez L B, natomiast dla WIG-Chemia przez L C. -6.2141-2.5834-1.229-0.4234 0.2523 2.2209-6.1522-2.3293-1.1361-0.409 0.3941 2.2856-5.9286-2.0463-0.9743-0.2281 0.5421 3.1695-4.462-1.9114-0.9165-0.2218 0.8411 3.3659-4.3391-1.6855-0.8393-0.1021 0.9544 3.4412-3.7448-1.6259-0.63 0.0298 0.9629 3.472-3.5005-1.5756-0.6122 0.0976 1.2232 4.4153-3.3507-1.4086-0.5215 0.1545 1.2748 4.6952-3.0493-1.3655-0.5118 0.2034 1.2894 5.9894-2.7251-1.3483-0.4256 0.246 1.6147 11.418 Tabela 1.3: WIG-Banki, empiryczne straty z 60-ciu tygodni. -14.1221-4.4094-2.2549-0.122 0.3718 1.9187-9.2103-4.191-1.9004-0.0372 0.5037 2.0831-9.126-4.1271-1.8152 0.0025 0.7624 2.2238-8.9366-4.1239-1.6062 0.0393 0.8216 3.8556-7.8527-4.0951-1.4284 0.1505 1.3801 3.9041-7.7105-3.7194-1.2903 0.1709 1.4883 4.4536-7.4818-3.6827-1.2535 0.1936 1.5871 4.8787-7.0714-3.5208-1.1177 0.257 1.5937 5.2819-5.6755-3.2636-1.0644 0.2672 1.6194 9.0208-5.108-2.7548-0.9696 0.274 1.7371 13.9904 Tabela 1.4: WIG-Chemia, empiryczne straty z 60-ciu tygodni. 11
Rozdział 2 Pojęcie ryzyka Ryzyko jest jednym z najważniejszych pojęć w naukach o finansach. Jest jednak również obecne w życiu każdego człowieka. W ostatnich czasach wzrosła rola zarządzania ryzykiem. Głównymi elementami, które bezpośrednio wskazują na rozwój tej dziedziny zarządzania są: powstanie nowych rozwiązań teoretycznych z zakresu analizy i zarządzania ryzykiem, uwzględnianie przez przedsiębiorstwa zarządzania ryzykiem w ogólnej strategii zarządzania, powstanie zawodu risk manager (zarządzający ryzykiem), informowanie w sprawozdaniu finansowym o strategii zarządzania ryzykiem, powstawanie baz danych umożliwiających szacowanie ryzyka, tworzenie standardów i wymogów w zakresie zarządzania ryzykiem przez instytucje nadzorcze i regulacyjne. Rozdział ten został oparty w szczególności na książkach [6] oraz [8]. 2.1 Koncepcja ryzyka Ryzyko występuje w prawie każdym aspekcie naszego życia. Występuje także w działalności podmiotów gospodarczych. Słownik języka polskiego przedstawia dwa określenia, według których ryzyko jest to: możliwość, że coś się nie uda, przedsięwzięcie, którego wynik nie jest znany. Natomiast zarządzanie ryzykiem podmiotu jest to podejmowanie decyzji i realizacja działań prowadzących do osiągnięcia przez ten podmiot akceptowalnego ryzyka. Jeśli chodzi o podmiot który zarządza ryzykiem, to może nim być np. przedsiębiorstwo, instytucja finansowa, podmiot sektora publicznego czy zwykłe gospodarstwo domowe. Zarządzanie 12
ryzykiem podmiotu jest częścią składową zarządzania tym podmiotem i stanowi nieodłączny element jego strategii. W działalności gospodarczej możemy wyróżnić niektóre podstawowe rodzaje ryzyka finansowego: ryzyko rynkowe, ryzyko kredytowe, ryzyko operacyjne, ryzyko płynności, ryzyko prawne, ryzyko biznesu, ryzyko wydarzeń. My zajmiemy się w dalszej części ryzykiem rynkowym, które jest związane ze zmianami cen na rynkach finansowych i na innych rynkach związanych z nim. Najbardziej będzie nas interesowało ryzyko cen akcji, a w zasadzie wartości indeksów (które w sposób bezpośredni zależą od cen akcji). 2.2 Miary ryzyka Na początku tego podrozdziału, chciałbym przedstawić ideę miary ryzyka, poprzez zapisanie właściwości, jakie powinna mieć dobra miara ryzyka. Z ekonomicznego punktu widzenia zostały spisane trzy podstawowe własności, które powinny być spełnione przez tak zwane koherentne miary ryzyka. Na wstępie, podana zostanie formalna definicja miary ryzyka. Definicja 2.1 [8] Ustalmy pewną przestrzeń probabilistyczną (Ω, F, P ) i horyzont czasowy λ. Oznaczmy zbiór wszystkich zmiennych losowych, przez L 0 (Ω, F, P ). Ryzyka finansowe są reprezentowane przez zbiór M L 0 (Ω, F, P ) zmiennych losowych, który interpretujemy jako portfel strat przez pewien okres czasu λ. Miary ryzyka są rzeczywistymi funkcjami ϱ : M R. Możemy założyć również, że zbiór M jest stożkiem wypukłym. Definicja 2.2 (Stożek wypukły) M L 0 (Ω, F, P ) jest stożkiem wypukłym, gdy spełnia poniższe warunki: L 1, L 2 M L 1 + L 2 M, L 1 M, λ > 0 λl 1 M, M - zawiera stałe zmienne losowe. 13
Będziemy interpretować ϱ(l) jako kapitał (rezerwa), który powinniśmy dodać do pozycji ze stratą L, dzięki czemu pozycja ta będzie mogła być dopuszczona przez kontrolę ryzyka. Pozycja ϱ(l) 0 jest akceptowana bez tworzenia rezerwy. Teraz możemy przedstawić aksjomaty dla miary ryzyka ϱ : M R na stożku wypukłym M, które muszą być spełnione, aby ϱ mogło być koherentną miarą ryzyka. Aksjomat 2.3 (Niezmienniczość na translacje) Aksjomat 2.4 (Subaddytywność) Aksjomat 2.5 (Dodatnia jednorodność) Aksjomat 2.6 (Monotoniczność) L M l R ϱ(l + l) = ϱ(l) + l. (2.1) L1,L 2 M ϱ(l 1 + L 2 ) ϱ(l 1 ) + ϱ(l 2 ). (2.2) L M λ>0 ϱ(λl) = λϱ(l). (2.3) L1,L 2 M L 1 L 2 ϱ(l 1 ) ϱ(l 2 ). (2.4) Definicja 2.7 (Koherentna miara ryzyka) [8] Miara ryzyka ϱ, której dziedziną jest stożek wypukły M, nazywana jest koherentną miarą ryzyka jeśli spełnia aksjomaty 2.3.-2.6. 2.2.1 Value at Risk Jedną z grup miar ryzyka są kwantyle rozkładu stóp zwrotu. Często przytaczana miara z tej grupy to poziom bezpieczeństwa, określony wzorem P (r r b ) = α, gdzie r-stopa zwrotu, r b -poziom bezpieczeństwa, α-poziom istotności. Z tej koncepcji wywodzi się jedna z najważniejszych i najpopularniejszych miar ryzyka - wartość zagrożona (Value at Risk, VaR). Rozważmy portfel w pewnym przedziale czasowym λ. Przez F L (x) = P (L x) oznaczamy dystrybuantę zmiennej losowej oznaczającej stratę. Definicja 2.8 (Value at Risk) [8] Niech dany będzie poziom istotności α (0, 1). Wartość zagrożona (VaR) naszego portfela na poziomie istotności α jest najmniejszą liczbą x taką, że prawdopodobieństwo osiągnięcia straty L większej niż x jest nie większe niż (1 α). VaR α = inf{x R : P (L > x) 1 α} = inf{x R : F L (x) α} (2.5) 14
W sensie probabilistycznym, VaR jest po prostu kwantylem dystrybuanty strat. Jeśli porównamy definicję wartości zagrożonej 2.8 do definicji uogólnionej funkcji odwrotnej A.5 to zauważymy, że zachodzi równość dla zmiennej losowej L VaR α (L) = F L (α), gdzie F L (α) oznacza uogólnioną funkcję odwrotną (Definicja A.5) dla dystrybuanty F L zmiennej losowej strat L. Zauważmy, że VaR spełnia poniższe założenia dla koherentnych miar ryzyka. Lemat 2.9 (Niezmienniczość VaR na translacje) L M l R VaR α (L + l) = VaR α (L) + l. (2.6) Lemat 2.10 (Dodatnia jednorodność VaR) L M λ>0 VaR α (λl) = λ VaR α (L). (2.7) Lemat 2.11 (Monotoniczność VaR) L1,L 2 M L 1 L 2 VaR α (L 1 ) VaR α (L 2 ). (2.8) Pomimo tego, VaR nie jest jednak koherentną miarą ryzyka, ponieważ nie spełnia warunku subaddytywności, co zostanie ukazane w poniższym przykładzie. Przyklad 2.12 (Brak subaddytywności VaR) Weźmy pod uwagę 100 akcji, których stopy zwrotu są niezależne. Strata przyjmuje następujące wartości: -5 z prawdopodobieństwem 0.98; 100 z prawdopodobieństwem 0.02. Porównamy teraz ryzyko dwóch portfeli mierzone wartością zagrożoną. A. 100 akcji po jednej sztuce (różnych spółek); B. 100 jednakowych akcji (jednej spółki). Otrzymujemy funkcję straty określone w następujący sposób: L i = 100Y i 5(1 Y i ) = 105Y i 5, gdzie i oznacza i-tą akcję (i {1, 2,..., 100}), Y i jest zmienną binarną taką, że Y i = 0 L i = 5, Y i = 1 L i = 100. Obliczymy teraz VaR α przy α = 0.95 dla obu portfeli. 15
A. L A = 100 i=1 L i = 105 100 i=1 Y i 500, stąd VaR 0.95 (L A ) = 105q 0.95 ( 100 i=1 Y i ) 500 = = 105 5 500 = 25, ponieważ ( 100 i=1 Y i ) ma rozkład dwumianowy B(100; 0.02), to q 0.95 ( 100 i=1 Y i ) = 5. B. VaR 0.95 (L B ) = VaR 0.95 (100L 1 ) = 100 VaR 0.95 (L i ) = 100 i=1 (VaR 0.95 (L i )) = 100 ( 5) = = 500. Otrzymujemy 100 100 VaR 0.95 (L A ) = VaR 0.95 ( L i ) = 25 500 = (VaR 0.95 (L i )) = VaR 0.95 (L B ). i=1 Oznacza to, że portfel A jest znacznie bardziej ryzykowny niż B, co jest sprzeczne z aksjomatem subaddytywności, według którego powinno być odwrotnie. To portfel niezdywersyfikowany B powinien być bardziej ryzykowny. Stąd widzimy, że VaR nie jest koherentną miarą ryzyka. 2.2.2 Expected Shortfall Kolejna rozpatrywana miara ryzyka, a więc Expected Shortfall jest pozbawiona niektórych wad wartości zagrożonej. Przede wszystkim jest ona koherentną miarą ryzyka, jak również daje odpowiedź na pytanie, jak wysoka może być strata, gdy przekroczony zostanie próg wartości zagrożonej. Jest ona w pewnym sensie uzupełnieniem VaR u. Definicja 2.13 (Expected Shortfall) [8] Niech L będzie zmienną losową oraz niech E( L ) <, z dystrybuantą F L. Dany jest również poziom istotności α (0, 1). Expected Shortfall jest zdefiniowany: ES α (L) = 1 1 α 1 gdzie q u (F L ) jest kwantylem dystrybuanty F L, stąd ES α (L) = 1 1 α α 1 α i=1 q u (F L )du, (2.9) VaR u (L)du. (2.10) Jak widać z powyższego wzoru, ES jest zdefiniowana jako oczekiwana strata, pod warunkiem, że strata ta przekroczy wartość zagrożoną. Niezmienniczość na translacje, dodatnia jednorodność oraz monotoniczność ES opiera się na tych samych własnościach dla VaR (Lematy 2.9-2.11). Lemat 2.14 (Niezmienniczość ES na translacje) L M l R ES α (L + l) = ES α (L) + l (2.11) 16
Lemat 2.15 (Dodatnia jednorodność ES) L M λ>0 ES α (λl) = λ ES α (L). (2.12) Lemat 2.16 (Monotoniczność ES) L1,L 2 M L 1 L 2 ES α (L 1 ) ES α (L 2 ). (2.13) Do udowodnienia subaddytywności będziemy musieli się posłużyć poniższym lematem. Lemat 2.17 [8] Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych (L i ) i N+ o jednakowym rozkładzie F L zachodzi lim n n(1 α) i=1 L i;n n(1 α) = ES α(l) p.w., (2.14) gdzie L 1;1... L n;n są statystykami pozycyjnymi zmiennych losowych L 1,..., L n, natomiast n(1 α) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż n(1 α). Dowód tego lematu można znaleźć w [1]. Aksjomat 2.18 (Subaddytywność ES) L1,L 2 M ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 ) + ES α (L 2 ). (2.15) Dowód 2.19 [8] Rozważmy ciąg zmiennych losowych L 1,..., L n oraz jego uporządkowanie L 1;1... L n;n. Dla wybranego m, takiego że 1 m n mamy m L i;n = sup{l i1 +... + L im : 1 i 1... i m m}. (2.16) i=1 Weźmy dwie zmienne losowe L i L z ustalonym rozkładem łącznym F oraz ciąg niezależnych wektorów losowych (L 1, L 1 ),..., (L n, L n ) o jednakowych rozkładach F. Oznaczmy 17
(L+ L) i := L i + L i oraz (L+ L) i;n dla uporządkowanych wektorów (L 1 + L 1 ) 1,..., (L n + L n ) n. Zachodzi wtedy m (L + L) i;n = sup{(l 1 + L 1 ) i1,..., (L n + L n ) im : 1 i 1... i m m} i=1 sup{l i1 +... + L im : 1 i 1... i m m} + + sup{ L i1 +... + L im : 1 i 1... i m m} = m m L i;n + L i;n. i=1 i=1 Jeśli przyjmiemy m = n(1 α) i skorzystamy z Lematu 2.17, to otrzymamy subaddytywność ES dla poziomu istotności α (0, 1) ES α (L + L) ES α (L) + ES α ( L). 18
Rozdział 3 Kopuły Funkcje kopuła (z ang. copula functions, w polskiej literaturze również pod nazwą kopule, funkcje połączeń) stosowane są przede wszystkim do analizy rozkładu wielowymiarowego. Ich idea polega na przedstawieniu rozkładu wielowymiarowego poprzez dwie części: rozkłady brzegowe oraz funkcję łączącą. Okazuje się, że funkcja ta może być traktowana jako dystrybuanta wielowymiarowego rozkładu jednostajnego, o czym mówi Twierdzenie Sklara 3.2. Na początek przedstawione zostaną podstawowe definicje i twierdzenia związane z kopułami, a na końcu ukazane zostaną przykłady, przedstawiające kilka z najważniejszych rodzin kopuł. Podstawowym źródłem do napisania tego rozdziału była książka [8]. 3.1 Podstawowe informacje dotyczące kopuł Definicja 3.1 (Kopuła) [8] Kopułą d-wymiarową nazywamy funkcję C : [0, 1] d [0, 1], C(u) = C(u 1, u 2,..., u d ) o jednostajnych rozkładach brzegowych, która spełnia następujące warunki: 1. C(u 1,..., u d ) jest niemalejąca dla każdego u i ; 2. C(1,..., 1, u i, 1,..., 1) = u i dla każdego i 1,..., d, u i [0, 1]; 3. dla każdego (a 1,..., a d ), (b 1,..., b d ) [0, 1] d, takich że a i b i mamy 2 2... ( 1) i 1+...+i d C(u 1i1,..., u did ), i 1 =1 i d =1 gdzie u j1 = a j oraz u j2 = b j dla każdego j 1,..., d. Pierwsza własność jest wymagana przez każdą dystrybuantę rozkładu wielowymiarowego, natomiast druga własność jest wymaganiem dla jednostajnych rozkładów brzegowych. Co do ostatniej własności, gwarantuje nam ona, że jeśli wektor losowy U ma dystrybuantę C, to P (a 1 U 1 b 1,..., a d U d b d ) jest nieujemne. 19
Znaczenie kopuł w badaniach wielowymiarowych funkcji rozkładu jest podsumowane przez następujące twierdzenie, z którego wynika, po pierwsze, że wszystkie wielowymiarowe dystrybuanty zawierają kopuły, a po drugie, że kopuły mogą być stosowane w połączeniu z jednowymiarowymi dystrybuantami do tworzenia wielowymiarowych funkcji rozkładu. Twierdzenie 3.2 (Sklar) [8] Niech F będzie dystrybuantą łączną z dystrybuantami brzegowymi F 1, F 2,..., F d. Istnieje kopuła C : [0, 1] d [0, 1] taka, że dla każdego x 1, x 2,..., x d R = [, ], F (x 1, x 2,..., x d ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (x d )). (3.1) Jeśli dystrybuanty brzegowe są ciągłe, to kopuła C jest dana jednoznacznie. W przeciwnym przypadku, C jest jednoznacznie określona na ran F 1 ran F 2 ran F d, gdzie ran F i = F i ( R) oznacza zbiór wartości funkcji F i. Odwrotnie, jeśli C jest kopułą i F 1,..., F d są jednowymiarowymi dystrybuantami, to funkcja F zdefiniowana wzorem (3.1) jest dystrybuantą łączną z dystrybuantami brzegowymi F 1,..., F d. Dowód 3.3 [8] Udowodnione zostaną istnienie oraz jednoznaczność kopuły w przypadku, gdy F 1,..., F d są ciągłe oraz twierdzenie odwrotne (pełny dowód dla przypadku dwuwymiarowego można znaleźć w [9]). Niech x 1,..., x d R. Niech X ma dystrybuantę F. Wtedy F (x 1,..., x d ) = P (X 1 x 1,..., X d x d ) = P (F 1 (X 1 ) F 1 (X 1 ),..., F d (X d ) F d (x d )). Jeśli F 1,..., F d są ciągłe, to z Uwagi A.9 oraz Definicji 3.1 mamy (F 1 (X 1 ), F 2 (x 2 ),..., F d (X d )) jest funkcją kopuły i oznaczamy ją przez C. Jeśli obliczymy (3.1) dla argumentów x i = F (u i ), 0 u i 1, i = 1,..., d oraz skorzystamy z własności (4) Twierdzenia A.6, to otrzymamy C(u 1,..., u d ) = F (F 1 (u 1 ),..., F d (u d )), (3.2) co daje dokładną postać C w zależności od F i jej rozkładów brzegowych, co pokazuje jednoznaczność. Aby udowodnić twierdzenie odwrotne, załóżmy, że C jest kopułą oraz F 1,..., F d są jednowymiarowymi dystrybuantami. Skonstruujemy wektor losowy o rozkładzie zadanym wzorem (3.1), poprzez wzięcie wektora losowego U z dystrybuantą C. Niech X := ((F 1 (U 1 ),..., F d (U d ))), 20
z własności (5) Twierdzenia A.6 mamy P (X 1 x 1,..., X d x d ) = P (F 1 (U 1 ) x 1,..., F d (U d ) x d ) = = P (U 1 F 1 (x 1 ),..., U d F 1 (x d )) = C(F 1 (x 1,..., F d (x d ))). Przedstawione powyżej twierdzenia i definicje są podstawowymi w teorii kopuł. Twierdzenie Sklara łączy rozkłady brzegowe z kopułami, ale może również być użyte do przedstawienia kopuły za pomocą dystrybuant odwrotnych (stworzonych przy pomocy uogólnionej funkcji odwrotnej, szerzej opisanej w załączniku). 3.2 Przykłady kopuł Poniżej zostaną opisane najważniejsze rodziny kopuł. Na początek przedstawione są trzy fundamentalne kopuły: komonotoniczna, kontramonotoniczna oraz multiplikatywna. Definicja 3.4 [8] Komonotoniczną kopułą d-wymiarową nazywamy kopułę postaci M(u 1,..., u d ) = min{u 1,..., u d }. Kopuła ta odpowiada doskonale dodatniej zależności między składowymi wektora losowego. Definicja 3.5 [8] Kontramonotoniczną kopułą dwuwymiarową nazywamy kopułę postaci W (u 1, u 2 ) = max{u 1 + u 2 1, 0}. Jest ona przeciwstawna do poprzedniej kopuły i odpowiada doskonale ujemnej zależności między składowymi wektora losowego. Definicja 3.6 [8] Multiplikatywną kopułą d-wymiarową nazywamy kopułę postaci d Π(u 1,..., u d ) = u i. i=1 Kopuła ta odpowiada niezależności rozkładów brzegowych. 21
Twierdzenie 3.7 (Ograniczenia Frechet a)[8] Dla każdej kopuły C(u 1,..., u d ) mamy ograniczenia { d } max u i + 1 d, 0 C(u 1,..., u d ) min{u 1,..., u d }. i=1 Dowód tego twierdzenia mozna znaleźć w [8]. Zauważmy, że dla kopuły dwuwymiarowej mamy Dwuwymiarowa kopuła Gaussa W (v, z) C(v, z) M(v, z). Definicja 3.8 [8] Dwuwymiarowa kopuła Gaussa jest zdefiniowana jako C Ga (v, z) = Φ ρxy (Φ 1 (v), Φ 1 (z)), gdzie Φ ρxy jest dwuwymiarową dystrybuantą łączną rozkładu normalnego ze współczynnikiem korelacji liniowej ρ XY, Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. A zatem Φ 1 Φ ρxy (Φ 1 (v), Φ 1 (v) ( Φ 1 (z) 1 2ρXY st s 2 t 2 ) (z)) = exp dsdt. 2π 1 ρ 2 2(1 ρ 2 XY XY ) Natomiast gęstość takiej kopuły wynosi 1 1 ρ 2 exp ( ζ 2 1 + ζ 2 2 2 + 2ρζ 1ζ 2 ζ 2 1 ζ 2 2 2(1 ρ 2 ) gdzie ζ 1 = Φ 1 (v), ζ 2 = Φ 1 (z). Na Rysunku 3.1 są przedstawione kolejno rozkład kopuły Gaussa, jej gęstość, a także gęstość w rzucie dwuwymiarowym dla różnych wartości współczynnika korelacji liniowej ρ. Kod Programu B.1 napisanego w środowisku R, potrzebny do wyświetlenia tych kopuł, znajduje się w dodatku. Dwuwymiarowe kopuły Archimedesa Kopuły Archimedesa są jednymi z najważniejszych w całej teorii funkcji kopuła. Wpływa na to przede wszystkim łatwość ich konstruowania, jak również powszechne zastosowanie. Na początek jednak zdefiniujemy funkcję pseudo-odwrotną. ), 22
ρ=0.4 ρ=0.95 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Rysunek 3.1: Rozkład oraz gęstość kopuły Gaussa dla różnych parametrów ρ. 23
Definicja 3.9 (Funkcja pseudo-odwrotna) [8] Załóżmy, że φ : [0, 1] [0, ] jest ciągła i rosnąca, taka że φ(1) = 0 oraz φ(0). Funkcję odwrotną do φ z dziedziną [0, ] definiujemy jako φ [ 1] = Funkcja φ jest nazywana generatorem. { φ 1 (t), 0 t φ(0), 0, φ(0) < t. Definicja 3.10 (Dwuwymiarowa kopuła Archimedesa) [8] Niech dane będą generator φ oraz jego funkcja pseudo-odwrotna φ [ 1]. Kopuła Archimedesa C A dana jest wzorem C A (v, z) = φ [ 1] (φ(v) + φ(z)). Gęstość kopuły Archimedesa dana jest wzorem φ (C(v, z))φ (v)φ (z) (φ (C(v, z))) 3. Do najpopularniejszych kopuł z rodziny kopuł Archimedesa należą: kopuła Gumbela: φ θ (t) = ( ln t) θ, θ [1, ], C Gu θ (v, z) = exp{ [( ln v) θ + ( ln z) θ ] 1/θ }; kopuła Claytona: φ θ (t) = 1 θ (t θ 1), θ [ 1, ]\{0}, C Cl θ (v, z) = max[(v θ + z θ 1) 1/θ, 0]; kopuła Franka: φ θ (t) = ln e( θt) 1 e ( θ) 1, θ R\{0}, Cθ F r (v, z) = 1 ln ( ) 1 + (e θv 1)(e θz 1) θ e θ 1. Dalej, podobnie jak dla kopuł Gaussa, zostały przedstawione wykresy dystrybuant i gęstości dla odpowiednich kopuł. Kody programów zostały umieszczone w dodatku B. Dla kopuły Gumbela, Claytona i Franka odpowiednio Programy B.2, B.3 i B.4. 24
θ=2 θ=20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Rysunek 3.2: Rozkład oraz gęstość kopuły Gumbela dla różnych parametrów θ. 25
θ= 0.5 θ=20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.3 0.2 0.1 0.8 0.7 0.3 0.6 0.5 0.4 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Rysunek 3.3: Rozkład oraz gęstość kopuły Claytona dla różnych parametrów θ. 26
θ= 10 θ=10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.6 0.8 0.5 0.4 0.3 0.7 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Rysunek 3.4: Rozkład oraz gęstość kopuły Franka dla różnych parametrów θ. 27
Na koniec tego rozdziału przedstawione jeszcze zostaną granice trzech wcześniej wspomnianych rodzin kopuł Archimedesa. Dane te pochodzą z [9]. kopuła Gumbela: C Gu θ=1(v, z) = Π(v, z) lim θ CGu θ (v, z) = M(v, z) kopuła Claytona: C Cl θ= 1(v, z) = W (v, z) lim θ 0 CCl θ (v, z) = Π(v, z) lim θ CCl θ (v, z) = M(v, z) kopuła Franka: lim θ CF r θ (v, z) = W (v, z) lim θ 0 CF r θ (v, z) = Π(v, z) lim θ CF r θ (v, z) = M(v, z) Warto zauważyć, że każda z wymienionych kopuł Archimedesa dąży do kopuły komonotonicznej przy θ. 28
Rozdział 4 Opracowanie własnych danych W tym rozdziale przedstawione zostaną zagadnienia opisane wcześniej z wykorzystaniem danych dla indeksów WIG-Banki oraz WIG-Chemia. Na początku sprawdzimy, czy dane te mogą mieć rozkład normalny, dalej policzymy dla niech VaR oraz ES, a na końcu postaramy się dopasować odpowiednią funkcję kopuły i wyznaczyć VaR i ES dla portfela składającego się z obu indeksów. 4.1 Badanie rozkładów, obliczanie VaR i ES WIG-Banki Do zbadania normalności próbki używamy danych zawartych w Tabeli 1.3 oraz testu Kołmogorova-Smirnova. Za parametry rozkładu normalnego przyjmujemy wartość średnią z próby oraz odchylenie standardowe z próby, które wynosiły odpowiednio ˆµ = 0.2662267%, ˆσ = 2.954276%. Z testu otrzymujemy p-wartość równą 0.3673. Ponieważ jest ona zdecydowanie większa od przyjętego poziomu istotności 0.05, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy, że straty dla indeksu WIG-Banki kształtują się według rozkładu normalnego z parametrami ˆµ oraz ˆσ. Zakładając, że strata L B dla indeksu WIG-Banki ma rozkład normalny gestosc 0.00 0.05 0.10 0.15 Histogram dla WIG Banki 5 0 5 10 straty N ( 0.2662267; 2.954276), Rysunek 4.1: WIG-Banki 29
możemy obliczyć Value at Risk oraz Expected Shortfall (przyjmujemy poziom istotności α = 0.95). Po dokonaniu obliczeń w pakiecie R, otrzymaliśmy dla wartości z rozkładu: VaR 0.95 (L B ) = 4.593125%, ES 0.95 (L B ) = 5.827596%. Dla danych empirycznych (z próby) otrzymaliśmy następujące wyniki: VaR 0.95 (L B ) = 4.429295%, ES 0.95 (L B ) = 6.230553%. Kod z oprogramowania R, Program B.5, użyty do wykonania testu oraz uzyskania histogramu z próby i obliczenia wartości VaR i ES, znajduje się w dodatku. WIG-Chemia Tak samo jak w poprzednim przypadku, tak dla strat indeksu WIG-Chemia badamy normalność testem Kołmogorova-Smirnova z parametrami ˆµ = 1.170193% i ˆσ = 4.562504%, które są odpowiednio średnią arytmetyczną i odchyleniem standardowym z próby. Otrzymujemy p-wartość równą 0.4112, czyli nie odrzucamy hipotezy o normalności rozkładu z próby. Tym samym przujmując, że straty dla indeksu WIG-Chemia mają rozkład normalny N ( 1.170193; 4.562504), gestosc 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Histogram dla WIG Chemia 15 10 5 0 5 10 15 obliczamy VaR α oraz ES α dla α = 0.95 przy pomocy napisanego programu w R. Otrzymujemy: straty Rysunek 4.2: WIG-Chemia VaR 0.95 (L C ) = 6.334458%, ES 0.95 (L C ) = 8.240942%. Dla danych z próby otrzymaliśmy: VaR 0.95 (L C ) = 4.89886%, ES 0.95 (L C ) = 7.963666%. Kod użytego Programu B.6 można znaleźć w dodatku. 30
Rozklad z próby 4.2 Zastosowanie kopuł Zakładamy, że stopy strat z inwestycji w indeksy L B = WIG-Banki, L C = WIG-Chemia mają rozkłady normalne, odpowiednio L B N ( 0.2662267; 2.954276), L C N ( 1.170193; 4.562504). Rozkład łączny (L B, L C ) modelujemy używając poszczególnych kopuł z rozkładami brzegowymi L B i L C F (LB,LC) = C θ (F, F ). LB LC WIG Chemia 15 10 5 0 5 10 15 5 0 5 10 WIG Banki Rysunek 4.3: Dane pierwotne. Następnie rozważamy portfel inwestycyjny, którego stopa strat Z jest postaci Z = {z i : z i = 0.5x i + 0.5y i dla i = 1, 2,..., 1000}, gdzie (x i, y i ) F (LB,L C ) = C θ (F LB, F LC ) są wylosowane metodą Monte Carlo z danej kopuły. Wybrane zostały 3 z przedstawionych wcześniej kopuł: Claytona, Franka i Gumbela. Dla każdej z tych funkcji zastosowano po 4 różne parametry. Otrzymane dane (obliczone VaR α (Z) i ES α (Z) przy poziomie istotności α = 0.95%) zaprezentowano w Tabeli 4.1. Do wyznaczenia tych wartości zastosowano Program B.7. kopuła θ VaR α (Z) ES α (Z) 0.4 4.231845 5.311424 Clayton 0.8 4.251445 5.405458 1.0 4.09679 5.326917 2.0 4.551209 5.749215 1.0 3.97759 4.888906 Frank 2.0 4.180369 5.360202 3.0 4.335608 5.366922 4.0 4.547791 5.862928 1.0 3.702437 4.903841 Gumbel 1.2 4.502513 5.721261 1.4 4.602814 5.95155 1.6 4.792439 6.192543 Tabela 4.1: Kopuły z zadanymi dystrybuantami brzegowymi dla różnych parametrów. 31
θ=0.4 θ=0.8 15 10 5 0 5 10 15 5 0 5 θ=1.0 10 5 0 5 10 15 10 5 0 5 10 15 10 5 0 5 10 15 θ=2.0 15 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 Rysunek 4.4: Wygenerowana próbka z zastosowaniem kopuł Claytona. θ=1.0 θ=2.0 15 10 5 0 5 10 5 0 5 10 θ=3.0 5 0 5 10 15 5 0 5 10 15 15 10 5 0 5 10 15 θ=4.0 15 5 0 5 10 15 10 5 0 5 10 5 0 5 10 Rysunek 4.5: Wygenerowana próbka z zastosowaniem kopuł Franka. 32
θ=1.0 θ=1.2 15 10 5 0 5 10 15 10 5 0 5 10 10 5 0 5 10 θ=1.4 10 5 0 5 θ=1.6 20 15 10 5 0 5 10 10 5 0 5 15 10 5 0 5 10 10 5 0 5 Rysunek 4.6: Wygenerowana próbka z zastosowaniem kopuł Gumbela. 4.3 Badanie zależności Teraz zbadana zostanie interesująca zależność dla VaR α (Z) oraz dla ES α (Z) dla wspomnianych wcześniej rodzin kopuł jednoparametrycznych. Na podstawie Tabeli 4.1 możemy przypuszczać, że istnieje silny związek między wielkością parametru kopuły θ, a otrzymaną wielkością VaR lub ES. Jak możemy zaobserwować z danych tam zawartych, zazwyczaj kiedy zwiększamy parametr, zwiększa się również wartość miary VaR (ES). Dla dużych θ wiemy, że kopuły Archimedesa zbiegają do kopuły komonotonicznej, dlatego najbardziej interesujące jest, jak zachowują się te wartości przy odpowiednio małym parametrze θ. Aby to uczynić, bierzemy, tak jak poprzednio, rozkład łączny oraz tworzymy portfel strat gdzie F (LB,L C ) = C θ (F LB, F LC ) Z θ = Z = {z i : z i = 0.5x i + 0.5y i dla i = 1, 2,..., 1000}, (x i, y i ) F (LB,L C ) = C θ (F LB, F LC ) są wylosowane metodą Monte Carlo z wybranej kopuły. Dalej obliczamy VaR α dla tego konkretnego przypadku (kwantyl z próby na poziomie α = 0.95). W ten sposób uzyskaliśmy VaR dla danej wartości parametru θ i wybranej kopuły. Teraz zwiększamy parametr 33
i czynność powtarzamy. Nanosząc wartości VaR w zależności od parametru na wykres, otrzymujemy graficzną zależność tych dwóch wielkości. Analogicznie postępujemy w przypadku Expected Shortfall. Zależność dla kopuły Gumbela Interesuje nas postać funkcji f(θ) = VaR α=0.95 (Z θ ) dla parematru θ [1, 10]. Stawiamy hipotezę, że f(θ) = (θ 1) a + b, θ [1, 10]. VaR dla portfela 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 Aby zweryfikować tą hipotezę, estymujemy VaR α=0.95 (Z θ ) dla θ [1, 10] z krokiem 0.01. Krzywa ta została oznaczona kolorem 2 4 6 8 10 parametr θ Rysunek 4.7: Zależność dla kopuły Gumbela. zielonym na Rysunku 4.7. Otrzymane wartości parametrów i testu dopasowania t-studenta zamieszczone są w Tabeli 4.2. Jak widać, parametry są statystycznie istotne. Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a 0.182003 0.007852 23.18 < 2e 16 b 4.036283 0.016419 245.83 < 2e 16 Tabela 4.2: Statystyki testu t-studenta dla kopuły Gumbela i regresji VaR 0.95 (Z θ ) = (θ 1) a + b. ES dla portfela 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 2 4 6 8 10 Aby sprawdzić tą samą zależność dla ES, postępujemy analogicznie. Tak jak dla VaR, stworzymy wykres zależności dla θ [1, 10] z krokiem 0.01. Dopasowania będziemy szukać dla funkcji postaci ES 0.95 (Z θ ) = (θ 1) a + b. Dopasowana krzywa została umieszczona na Rysunku 4.8. W Tabeli 4.3 można znaleźć wartości dopasowanych parametrów parametr θ Rysunek 4.8: Zależność dla kopuły Gumbela. 34
oraz statystyki testu t-studenta. Jak widać, uzyskane parametry istotnie różnią się od zera. Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a 0.199630 0.009001 22.18 < 2e 16 b 4.04212 5.549953 285.83 < 2e 16 Tabela 4.3: Statystyki testu t-studenta dla kopuły Gumbela i regresji ES 0.95 (Z θ ) = (θ 1) a + b. Zależność dla kopuły Claytona Tak samo będziemy postępować w przypadku kopuły Claytona. Bierzemy θ [0.01; 10] z krokiem 0.01. Parametry krzywej regresji będziemy poszukiwać dla funkcji VaR 0.95 (Z θ ) = (θ 0.01) a + b. Wartości parametrów znajdują się w Tabeli 4.4, natomiast wykres został pokazany na Rysunku 4.9. VaR dla portfela 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 0 2 4 6 8 10 parametr θ Rysunek 4.9: Zależność dla kopuły Claytona. Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a 0.298446 0.003787 78.81 < 2e 16 b 3.334646 0.010669 312.56 < 2e 16 Tabela 4.4: Statystyki testu t-studenta dla kopuły Claytona i regresji VaR 0.95 (Z θ ) = (θ 0, 01) a + b. Analogicznie postępujemy z ES. Dla otrzymanych danych dopasowujemy funkcję postaci ES 0.95 (Z θ ) = (θ 0.01) a + b, θ [0.01; 10]. Wartości dopasowane zamieszczone są w Tabeli 4.5, a na Rysunku 4.10 znajduje się wykres otrzymanych wartości wraz z funkcją regresji. 35
Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a 0.308142 0.004356 70.74 < 2e 16 b 4.426943 0.012487 354.53 < 2e 16 Tabela 4.5: Statystyki testu t-studenta dla kopuły Claytona i regresji ES 0.95 (Z θ ) = (θ 0.01) a + b. ES dla portfela 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 0 2 4 6 8 10 parametr θ Rysunek 4.10: Zależność dla kopuły Claytona. Zależność dla kopuły Franka Na końcu sprawdzimy, jak kształtują się te zależności między parametrem θ kopuły Franka, a wielkością VaR i ES dla funkcji strat portfela inwestycyjnego Z θ. Ponieważ w przypadku kopuły Franka parametr θ może być dowolną liczbą rzeczywistą oprócz 0, będziemy badać zależność dla θ [ 10; 0.05] [0.05; 10] z krokiem 0.05 (Rysunek 4.11). W związku z tym, krzywą regresji będziemy poszukiwać dla funkcji danej wzorem VaR 0.95 (Z θ ) = c arctan(a θ) + b. Estymowane współczynniki znajdują się w Tabeli 4.6. VaR dla portfela 1 2 3 4 5 10 5 0 5 10 parametr θ Rysunek 4.11: Zależność dla kopuły Franka. 36
Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a 0.20384 0.01209 16.86 < 2e 16 b 3.53823 0.01077 328.41 < 2e 16 c 1.62250 0.05166 31.41 < 2e 16 Tabela 4.6: Statystyki testu t-studenta dla kopuły Franka i regresji VaR 0.95 (Z θ ) = c arctan(a θ) + b. W przypadku Expected Shortfall, tak jak dla VaR, dopasowania dla regresji będziemy poszukiwać wsród funckji postaci ES 0.95 (Z θ ) = c arctan(a θ) + b. Wyniki testu istotności dla parametrów są zamieszczone w Tabeli 4.7, natomiast wykres znajduje się na Rysunku 4.12. ES dla portfela 2 3 4 5 6 7 10 5 0 5 10 parametr θ Rysunek 4.12: Zależność dla kopuły Franka. Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a 0.15814 0.01070 14.78 < 2e 16 b 4.57712 0.01212 377.77 < 2e 16 c 2.05341 0.08584 23.92 < 2e 16 Tabela 4.7: Statystyki testu t-studenta dla kopuły Franka i regresji ES 0.95 (Z θ ) = c arctan(a θ) + b. Wszystkie obliczenia i wykresy z tego podrozdziału zostały opracowane za pomocą Programu B.8. 37
4.4 Podsumowanie Na koniec jeszcze zadajmy sobie pytanie: mając do dyspozycji 1 000 000 PLN i chcąc zainwestować tą kwotę w portfel, składający się z akcji wchodzących w skład dwóch indeksów sektorowych WIG-Banki oraz WIG-Chemia, jakie powinniśmy poczynić rezerwy kapitału na rzecz ewentualnych strat? Zakładamy, że inwestujemy pieniądze na okres jednego tygodnia, przeznaczając dokładnie po połowie na każdy z indeksów, dodatkowo rozdzielając sumę między spółki zgodnie z udziałem w danym indeksie. Aby uzyskać odpowiedź na tak postawione pytanie, powinniśmy spojrzeć jeszcze raz na tabelę, w której zestawione zostały obliczone miary ryzyka dla tak skonstruowanego portfela inwestycyjnego przy pomocy wybranych kopuł oraz zadanych dystrybuant brzegowych. Jako poziom istotności przyjęto α = 0.95. kopuła θ VaR α (Z) ES α (Z) 0.4 4.231845 5.311424 Clayton 0.8 4.251445 5.405458 1.0 4.09679 5.326917 2.0 4.551209 5.749215 1.0 3.97759 4.888906 Frank 2.0 4.180369 5.360202 3.0 4.335608 5.366922 4.0 4.547791 5.862928 1.0 3.702437 4.903841 Gumbel 1.2 4.502513 5.721261 1.4 4.602814 5.95155 1.6 4.792439 6.192543 Tabela 4.8: Kopuły z zadanymi dystrybuantami brzegowymi dla różnych parametrów. Są to wyrażone w procentach miary ryzyka dla rozkładu strat naszego portfela. Jeśliby przyjąć jako podstawę do tworzenia rezerw miarę ryzyka VaR, dla pewności powinniśmy przyjąć najwyższą wartość. Stąd bierzemy 4.792439% wartości kapitału na utworzenie rezerw kapitałowych, co w naszym przypadku daje 47 924.39 PLN. Gdyby wziąć pod uwagę miarę ES, powinniśmy utworzyć rezerwy na poziomie 6.192543% wartości zainwestowanego kapitału, co daje 61 925.43 PLN. Teraz sprawdzimy inne zagadnienie: załóżmy, że jako kierownik działu inwestycyjnego w spółce, musimy zgodnie z miarami ryzyka VaR oraz ES stworzyć rezerwy budżetowe na dokonywaną inwestycję w indeksy sektorowe WIG-Banki i WIG-Chemia, przy poziomi istotności α = 0.95. Mamy do zainwestowania 1mln złotych na okres jednego tygodnia, 38
lokujemy kwotę po 500 tys. w każdy z indeksów. Dostajemy od dwóch analityków dane dotyczące każdego z sektorów z osobna. Sprawdzimy, przy wykorzystaniu jakich kopuł dla rozkładu łącznego będziemy mogli zaoszczędzić, tworząc mniejsze rezerwy. Obliczamy sumę rezerw utworzonych dla każdego z indeksów osobno. Bierzemy dane z rozdziału 4.1 dla przyjętych rozkładów 500000 VaR 0.95 (L B ) + 500000 VaR 0.95 (L C ) = = 500000 4.593125% + 500000 6.334458% = = 54637.92P LN 500000 ES 0.95 (L B ) + 500000 ES 0.95 (L C ) = = 500000 5.827596% + 500000 8.240942% = = 70342.69P LN i otrzymane wyniki porównujemy z estymowanymi funkcjami z rozdziału 4.3. Na poniższych wykresach poziomymi, czerwonymi liniami oznaczone są poziomy rezerw otrzymane dla strat portfela Z = 1 2 L B + 1 2 L C obliczone powyżej. VaR dla portfela 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 ES dla portfela 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 2 4 6 8 10 parametr θ 2 4 6 8 10 parametr θ (a) Value at Risk (b) Expected Shortfall Rysunek 4.13: Rezerwy przy użyciu kopuł Gumbela VaR dla portfela 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 ES dla portfela 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 0 2 4 6 8 10 parametr θ 0 2 4 6 8 10 parametr θ (a) Value at Risk (b) Expected Shortfall Rysunek 4.14: Rezerwy przy użyciu kopuł Claytona 39
VaR dla portfela 1 2 3 4 5 ES dla portfela 2 3 4 5 6 7 10 5 0 5 10 parametr θ 10 5 0 5 10 parametr θ (a) Value at Risk (b) Expected Shortfall Rysunek 4.15: Rezerwy przy użyciu kopuł Franka Jak widzimy z załączonych wykresów, stosując odpowiednie funkcje kopuły do stworzenia rezerwy portfela możemy mniej pięniędzy przeznaczyć do ich tworzenia niż zabezpieczając każdą z inwestycji z osobna. Szczególnie jest to widoczne dla miary ryzyka Expected Shortfall. 40
Dodatek A Załącznik A.1 Uogólniona funkcja odwrotna Definicja A.1 (Funkcja niemalejąca) [7] Funkcję F nazywamy funkcją niemalejącą w zbiorze A, jeżeli dla każdej pary wartości x 1 < x 2 z tego zbioru zachodzi F (x 1 ) F (x 2 ). Definicja A.2 (Funkcja rosnąca) [7] Funkcję F nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, jeżeli dla każdej pary wartości x 1 < x 2 z tego zbioru zachodzi F (x 1 ) < F (x 2 ). Definicja A.3 (Ciągłość funkcji w punkcie) [7] Funkcję F (x) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim x c F (x) i jeżeli granica ta równa się F (c). Definicja A.4 (Ciągłość funkcji) [7] Funkcję F (x) : A B nazywamy funkcją ciągłą, jeżeli dla każdego punktu x A jest ciągła w tym punkcie. Definicja A.5 (Uogólniona funkcja odwrotna) [4] Dla niemalejącej funkcji F : R R, uogólnioną funkcją odwrotną funkcji F nazywamy: F : R R = [ ; ] F (y) = inf{x R : F (x) y}, y R. (A.1) Przyjmujemy konwencję inf =. Jeśli F : R [0; 1] jest dystrybuantą, to jest kwantylem dystrybuanty F. F : [0; 1] R 41