U n i w e r s y t e t W r s z w s k i Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mehniki Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów rozprw doktorsk Jonn Jółkowsk Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Promotor rozprwy dr h. Edwrd Ohm ski, prof. UMK Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Toru, zerwie 2008
Jonn Jółkowsk O widzenie utor pry: widom odpowiedzilno i prwnej o widzm, e niniejsz rozprw doktorsk zostł npisn przeze mnie smodzielnie i nie zwier tre i uzysknyh w sposó niezgodny z oowi zuj ymi przepismi....... dt podpis utor rozprwy O widzenie promotor rozprwy: Potwierdzm, e niniejsz rozprw zostł przygotown pod moim kierunkiem i kwlifikuje si do przedstwieni jej do oeny przez reenzentów....... dt podpis promotor rozprwy 2
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów * Słow kluzowe: Siei Petriego, współie no, j zyki ldów, uziwo AMS Mthemtil Sujet Clssifition 2000: 68Q85 Models nd methods for onurrent nd distriuted omputing Streszzenie W pry dne s etyzne spekty zhow (sprwiedliwo, uziwo, ezkonfliktowo ) ró nyh typów siei Petriego. Podstwowym nrz dziem stosownym w pry jest teori ldów, przede wszystkim ldów niesko zonyh. Definiujemy relj niezle no i indukown przez dowolny system trnzyyjny, tworz w ten sposó współie ny system trnzyyjny. Wprowdzmy poj ie systemów o zhowniu ldowym i dmy pewne prolemy deyzyjne, zwi zne z olizniem relji zle no i i rozstrzygniem, zy dn sie m zhownie ldowe. Pokzujemy, e o te prolemy s rozstrzyglne dl siei elementrnyh i mrkownyh, nierozstrzyglne w rozszerzenih siei mrkownyh. Poniew rozszerzeni siei powoduj wyst pownie zjwisk nie spotyknyh w sieih klsyznyh (elementrnyh i mrkownyh), np. nie mj one włsno i dimentu, zproponown zostł równie rdziej preyzyjn definij konfliktu. Nst pnie dmy wyst pieni konfliktów orz istnienie ezkonfliktowyh olize w rozszerzenih siei elementrnyh. Okzuje si, e k de sprwiedliwe olizenie, zzynj e si od stnu konfliktowego, musi zwier konfliktowy krok. Pozwl to n skonstruownie lgorytmu, wyierj ego tylko ezkonfliktowe olizeni sprwiedliwe spo ród wszystkih olize siei. Główn z pry to przeniesienie hierrhii uziwo i dl olize sekwenyjnyh n olizeni współie ne (proesy). W pry zostje dokłdnie przedn t hierrhi, njpierw ogólnie, potem konkretnie dl podstwowyh kls siei Petriego elementrnyh i mrkownyh. Sformułowne zostj te nieprzeplotowe definije uziwo i proesów i porównne z wze niejszymi. Poniew egzystenjln uziwo nie zwsze oznz uniwersln, okre lone te zostj kryteri, które musz y spełnione, y w dnym systemie sko zenie stnowym wszystkie proesy yły stilne ze wzgl du n uziwo. * Pr współfinnsown przez Ministerstwo Nuki i Szkolnitw Wy szego z grntu promotorskiego N N206 2149 33. 3
Jonn Jółkowsk Ethis of Petri net proesses in the light of tre theory * Keywords: Petri nets, onurreny, tre lnguges, firness AMS Mthemtil Sujet Clssifition 2000: 68Q85 Models nd methods for onurrent nd distriuted omputing Astrt This thesis dels with ethil spets of omputtions (justie, firness, onflitfreeness) of vrious kinds of Petri nets. The si tool used in the thesis is tre theory, espeilly infinite tres. We define the independeny reltion indued y ritrry trnsition system, forming this wy n synhronous trnsition system. We introdue the notion of treility of trnsition systems nd study some deision prolems, relted to omputing independeny nd deiding treility for si lsses of Petri nets. We show tht oth prolems re deidle for elementry nd ple/trnsition nets nd undeidle in roder lsses of nets inhiitor, reset nd trnsfer nets. Sine extensions of nets dmit phenomen unknown in trditionl nets (elementry nd ple/trnsition), for instne they hve not dimond property, we propose more preise definition of onflit. We study ourrenes of onflits nd existene of onflit-free omputtions in extensions of elementry nets. We show tht ny just omputtion strting from onflit stte ontins onflit step. This result llows to onstrut n lgorithm, seleting only onflit-free just omputtions from mong ll omputtions of given net. The min prt of the thesis generlizes the well-known firness hierrhy for sequentil omputtions to tht of tres (onurrent proesses). The firness hierrhy for tres is similr, ut more involved thn for sequenes. We study this hierrhy, first in generl, strting from onrete onurrent system, then for si lsses of Petri nets elementry nd ple/trnsition nets. We define lso the firness notions in noninterleving wy nd ompre them with the former ones. Sine existentil firness is not lwys equl to universl, we formulte onditions tht hve to e met y trnsition system (with finite numer of sttes) to ensure tht ll proesses of system re stle s regrds firness. * This PhD thesis hs een prtilly supported y Ministry of Siene nd Higher Edution of Polnd, grnt N N206 2149 33. 4
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów Spis tre i 1. Wst p........................................................................ 6 2. Poj i podstwowe......................................................... 11 2.1 Słow, j zyki, systemy trnzyyjne....................................... 11 2.2 Siei Petriego........................................................... 13 2.2.1 Siei elementrne i mrkowne................................... 13 2.2.2 Rozszerzeni siei elementrnyh................................. 17 2.2.3 Rozszerzeni siei mrkownyh................................. 19 2.2.4 Konflikty w sieih Petriego.................................... 21 2.3 ldy i j zyki ldów.................................................... 22 2.4 Niezle no kji w systemh trnzyyjnyh........................... 27 2.5 Etyk olize.......................................................... 32 3. Uniknie konfliktów w sieih ezpieznyh................................ 34 3.1 Odwrnie siei ezpieznyh.......................................... 34 3.2 Olizeni ezkonfliktowe w sieih ezpieznyh...................... 35 3.3 Wyszukiwnie olize ezkonfliktowyh................................ 37 4. Wyznznie relji niezle no i dl siei Petriego......................... 40 4.1 Niezle no w sieih mrkownyh................................... 42 4.2 Niezle no w niektóryh rozszerzenih siei mrkownyh............. 44 4.3 Prolem ldowo i zhowni......................................... 48 5. Etyk proesów siei Petriego............................................... 51 5.1 Proesy systemów trnzyyjnyh klsyfikj etyzn................... 51 5.2 Hierrhi uziwo i proesów siei Petriego............................ 52 5.2.1 Proesy superuziwe............................................ 52 5.2.2 Proesy egzystenjlnie i uniwerslnie uziwe.................... 52 5.2.3 Proesy egzystenjlnie i uniwerslnie sprwiedliwe............... 53 5.2.4 Podsumownie.................................................. 55 5.3 Etyk w podej iu nieprzeplotowym..................................... 56 5.4 Kryteri równo i efair=ufair i ufair=sfair....................... 58 6. Podsumownie.............................................................. 62 Biliogrfi.................................................................... 64 5
Jonn Jółkowsk 1 Wst p Temtyk rozprwy Siei Petriego zproponowne przez C. A. Petriego [40] w roku 1962 (tłumzenie ngielskie w 1966) stnowi oenie jedno z njrdziej uniwerslnyh grfiznyh nrz dzi mtemtyznyh modeluj yh dziłni systemów dynmiznyh. Stnowi niejko pomost pomi dzy prktyk teori. Wykorzystuje si je w ró nyh dziedzinh sie mo e modelow zrówno progrmy komputerowe, jk i rekje hemizne, ruh ulizny zy yie komórki. Szzególnie przydtne s w dniu systemów współie nyh, gdzie potrzene jest okre lenie wzjemnyh relji pomi dzy poszzególnymi elementmi systemu, przewidywnie przyszłego zhowni, wykrywnie niepo dnyh ie ek wykonni itp. K d sie Petriego skłd si z kji (trnzyji) orz miejs, w któryh przehowywne s zsoy umo liwij e wykonnie poszzególnyh kji, jk równie powstj e w wyniku wykonni tyh e kji. Miejs mog y te rozumine jko wrunki, które musz y spełnione, y kj mogł si wykon. Wykonnie kji powoduje zmin stnu siei: pewne zsoy zostj skonsumowne, nowe wyprodukowne (zmienij si wrunki). Zhownie siei nie jest z góry okre lone; w k dym stnie siei mo e y umo liwionyh wiele kji i w zwi zku z tym jest wiele mo liwyh dróg dziłni (olize ) siei. Siei s nlizowne pod ró nymi wzgl dmi d si zrówno jej zhownie (włsno i dynmizne), jk i struktur (włsno i sttyzne). Do włsno i dynmiznyh nle y mi dzy innymi rozstrzygnie, zy pewien z góry zdny stn jest osi gny przez jkie olizenie siei. Jest to tzw. prolem osi glno i, jeden z njtrudniejszyh prolemów zwi znyh z sieimi Petriego. Prolem ten pozostwł otwrty przez kilkn ie lt, rozstrzygni ty zostł pozytywnie przez Myr [31] w 1981 roku i Kosrju [26] w 1982 roku. Blisko zwi zny z tym prolemem jest prolem osi glno i stnu pustego (równow ny osi glno i stnu dowolnego) i prolem osi glno i stnu z ustlonym wrunkiem pustym. Innym znnym prolemem, zkolwiek du o łtwiejszym, jest prolem pokrywlno i (tzn. osi glno i stnu pokrywj ego zdny). Jego rozstrzyglno pokzn zostł ju w pierwszyh lth rozwoju teorii siei przez Krp/Miller [25] w 1969 roku z pomo tzw. grfu pokrywlno i. Powy sze prolemy dotyz siei jko ło i, le rozw si te włsno i zwi zne z poszzególnymi olizenimi siei. M to du e znzenie prktyzne, poniew dory projekt systemu z sto wymg, y olizeni modeluj ej go siei spełniły pewne zło eni. Ziór tkih doryh włsno i (norm dziłni) nzywmy etyk olize. Do tyh włsno i nle y przede wszystkim uziwo, któr m zpoieg zgłodzeniu (tzn. wył zeniu z pry) jednej z kji ( d wi kszego frgmentu) systemu. Bdni uziwo i dziłni systemów współieznyh zpoz tkowł słynny przykłd pi iu filozofów Dijkstry [14] z 1971 roku. Poj ie 6
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów etyki olizeniowej sformlizowli (i tk nzwli) Lehmn/Pnueli/Stvi [29] w 1981 roku. W zle no i od potrze (stopni umo liwieni zgłodzonej kji) definiuje si ró ne poziomy uziwo i; njw niejsze to sprwiedliwo, uziwo i superuziwo. Tk klsyfikj stopni uziwo i ( nwet rdziej rozudown, niesko zon ) zproponowł Best [3] w 1984 roku. Jedn z sytuji, które mog prowdzi do nieuziwo i, jest konflikt. Jest to tki stn siei, w którym k d z dwóh (lu wi ej) kji m wystrzj ilo zsoów, y si wykon, le zsoy te s wystrzj e tylko dl jednej z nih. Je li olizenie m y uziwe, powinn y wykonn t kj, któr dot d wykonywł si rzdziej. Innym rozwi zniem jest omini ie konfliktu tkie projektownie systemów, y sytuje konfliktowe nie wyst powły. Dltego etyk olize dziemy rozumie szerzej to nie tylko ró ne rodzje uziwo i, le te i ezkonfliktowo. W rozprwie d dziemy jednk nie tyle olizeni siei, o proesy, zyli ziory olize równow nyh w sensie zmienno i niektóryh kji (niezle nyh, zyli mog yh si wykonyw współie nie). Do dni proesów siei u yjemy teorii ldów. Poj ie ldu (tre) zproponowne zostło przez Mzurkiewiz [32] w 1977 roku do dni zhowni systemów współie nyh. ldy to elementy monoidu ilorzowego zwnego monoidem ldów otrzymnego jko ilorz monoidu wolnego przez kongruenj wyznzon przez relj niezle no i (współie no i) kji. Monoidy ldów okzły si niezwykle iekwym oiektem mtemtyznym, o z sto zskkuj yh wł iwo ih. Teori ldów, dorze ju opisn i ustilizown, jest ndl ktuln i stle rozwijn. Wszehstronn monogrfi teorii ldów jest ksi k [13]. Systemy komputerowe, równie wiele systemów rzezywistyh, oprte s n pry w zsie nieogrnizonym. Modelownie dziłni tkih systemów prowdzi do poj i olize niesko zonyh; w przypdku systemów współie nyh niesko zonyh proesów współie nyh. Modelem tkih proesów, zstosownym w niniejszej rozprwie, s ldy niesko zone (Mzurkiewiz [33], oszern monogrfi Gstin/Petit [20]). Zwrto rozprwy Rozprw skłd si z sze iu rozdziłów, z któryh pierwszy jest niniejszym wst pem, zwierj ym ogólne streszzenie pry i jej wyników. W rozdzile 2 przedstwim podstwowe poj i u ywne w dlszyh rozdziłh, w szzególno i opis ró nyh typów siei Petriego (2.2), podstwowe poj i i fkty teorii ldów (2.3) orz definije uziwo i olize (2.5). Poniew hemy u y teorii ldów do dni proesów siei, pojwi si zgdnienie okre leni, które kje s niezle ne w sieih Petriego. Mzurkiewiz [32] zproponowł definij strukturln dl siei elementrnyh (dwie kje s zle ne, je li mj wspólne wrunki). W podrozdzile 2.4 przeprowdzon jest dyskusj n temt mo liwo i zdptowni tej definiji do pozostłyh kls siei, w wyniku 7
Jonn Jółkowsk której proponujemy inn definij, oprt n zhowniu siei, dj si zstosow do dowolnyh systemów trnzyyjnyh. Otó dwie kje s niezle ne, je li zmin kolejno i ih wykon nie wyprowdz ns poz j zyk rozw nej siei: Definij 2.25. Niezle no indukown przez j zyk I L ( u,v A*) (uv L uv L) Dlsz z pry opier si n tej wł nie definiji. W rozdzile 2.2.4 w podony zhowniowy sposó definiujemy konflikt (dwie kje s w konflikie w pewnym stnie, je li s w nim umo liwione, po wykonniu jednej z nih drug ju nie jest umo liwion lu stn osi gny w wyniku ou zle y od kolejno i ih wykonni), nst pnie w rozdzile 3 dmy mo liwo unikni konfliktów w sieih elementrnyh i ih rozszerzenih, tzw. sieih ezpieznyh (sfe nets Bdouel/Drondeu [2]). Okzuje si, e: Stwierdzenie 3.8. W sieih ezpieznyh k de sprwiedliwe olizenie rozpozynj e si w stnie konfliktowym zwier krok konfliktowy. Wynik ten umo liwił oprownie lgorytmu, który ze zioru wszystkih olize siei wyier ziór olize ezkonfliktowyh. Poniew definij niezle no i kji zproponown w rozdzile 2.4 m hrkter dynmizny, pojwi si pytnie, zy d si j wyznzy dl dowolnej siei. W rozdzile 4 pokzuj, e prolem wyznzeni zhowniowej relji niezle no i jest rozstrzyglny w sieih elementrnyh i mrkownyh (ple/trnsition nets), nierozstrzyglny w pewnyh rozszerzenih siei mrkownyh. Twierdzenie 4.6. Prolem zle no i Czy dne kje i s zle ne? jest rozstrzyglny w klsie siei mrkownyh. Twierdzenie 4.15. Prolem zle no i jest nierozstrzyglny dl siei inhiitorowyh, zyszz yh i przerzuj yh. O dowody zudowne s w opriu o prolem osi glno i. W pierwszym przypdku ezpo rednio korzystmy z fktu rozstrzyglno i prolemu osi glno i w sieih mrkownyh, w drugim wystrz nierozstrzyglno prolemu pusto i wrunku w sieih rozszerzonyh. Okzuje si przy okzji, e nie m ezpo redniego dowodu równow no i prolemu osi glno i z prolemem pusto i wrunku dl siei rozszerzonyh, tk wi nierozstrzyglno osi glno i niekonieznie musi implikow nierozstrzyglno pusto i wrunku. Innym zgdnieniem deyzyjnym, którym zjmuj si w tym rozdzile, jest prolem rozstrzygni, zy zhownie dnej siei mo e y w pełni opisywne ldmi. Okzuje si owiem, e ldy mog gui pewne informje o (loklnej) współie no i niektóryh kji wystrzy jeden stn, w którym kje s zle ne, y 8
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów ju yły glolnie zle ne, pomij si wtedy wykonni współie ne w innyh stnh. Wprowdzm wi poj ie systemu o zhowniu ldowym: jest to system, w którym kje zle ne glolnie nie mog si wykonyw współie nie, lu równow nie, je li ho rz kje mog si wykon współie nie, to s glolnie niezle ne: Definij 4.17. Zhownie ldowe Zhownie systemu trnzyyjnego S=(A,Q,q 0 ) jest ldowe wtedy i tylko wtedy, gdy (, A) (( q Q) q ) I S. Rozstrzygnie, zy dn sie m zhownie ldowe, opier si n rozstrzygniu, zy istnieje pr kji zle nyh i loklnie współie nyh. Pokzuj, e prolem ten jest rozstrzyglny w klsie siei mrkownyh (dowód wykorzystuje rozstrzyglno prolemu osi glno i). Twierdzenie 4.19. Prolem ldowo i zhowni Czy zhownie dnej siei mrkownej jest ldowe? jest rozstrzyglny. W rozszerzenih siei mrkownyh prolem ldowo i okzuje si nierozstrzyglny. Do pokzni tego fktu wykorzystujemy nierozstrzyglno prolemu pusto i wrunku. Twierdzenie 4.21. Prolem ldowo i zhowni jest nierozstrzyglny dl siei inhiitorowyh, zyszz yh i przerzuj yh. Wreszie w rozdzile 5 przedstwim dokłdn hierrhi proesów siei Petriego ze wzgl du n ih wł iwo i etyzne, przy zym proesy siei trktowne s jko ldy, dl któryh relj niezle no i generuj odpowiedni kongruenj jest niezle no i zdefiniown w podrozdzile 2.4. Pojwi si pytnie, jk przenie definij uziwyh olize n ldy? Je li potrktujemy ldy jko ziory swoih lineryzji (podej ie przeplotowe), nsuw si nturlne rozró nienie n włsno i egzystenjlne (jkie olizenie proesu m rozw n włsno ) i uniwerslne (wszystkie olizeni proesu mj t włsno ). W pry dm tk zdefiniowne klsy proesów ze wzgl du n sprwiedliwo, uziwo i superuziwo dl siei elementrnyh i mrkownyh. Okzuje si, e k dy równow nik olizeni superuziwego jest superuziwy (niezle nie od rodzju siei, nwet niezle nie od urz dzeni generuj ego j zyk), orz e k dy równow nik olizeni sprwiedliwego jest sprwiedliwy w sieih elementrnyh i mrkownyh ezp telkowyh. Stwierdzenie 5.2. W dowolnym systemie trnzyyjnym k dy proes egzystenjlnie superuziwy jest uniwerslnie superuziwy. 9
Jonn Jółkowsk Stwierdzenie 5.6. W elementrnyh sieih Petriego k dy proes egzystenjlnie sprwiedliwy jest uniwerslnie sprwiedliwy: ujust = ejust. Stwierdzenie 5.8. W ezp telkowyh sieih mrkownyh ujust = ejust. Mo liwe jest tk e inne podej ie do zdefiniowni pewnyh włsno i olize w wersji ldowej podej ie nieprzeplotowe, w którym definije odpowiednih poj opierj si n włsno ih sko zonyh prefiksów ldu. Okzuje si jednk, e klsy proesów zdefiniowne zgodnie z tym podej iem pokrywj si z pewnymi klsmi zdefiniownymi przeplotowo: Stwierdzenie 5.15. Nieprzeplotow superuziwo to dokłdnie przeplotow superuziwo. Stwierdzenie 5.16. Nieprzeplotow sprwiedliwo to dokłdnie przeplotow sprwiedliwo egzystenjln. Stwierdzenie 5.17. Nieprzeplotow uziwo to dokłdnie przeplotow sprwiedliwo uniwersln. Przypdek, gdy pewn włsno m hrkter egzystenjlny, le nie uniwerslny, mo e y niepo dny z punktu widzeni prktyznego konstruowni systemu współie nego o zdnyh włsno ih. W podrozdzile 5.4 dm wpływ konfuzji n tego rodzju niestilno proesów. Rozdził ko z efektywne kryteri hrkteryzuj e równo pewnyh kls proesów w systemh sko zenie stnowyh: Twierdzenie 5.21 hrkteryzj równo i kls proesów egzystenjlnie uziwyh i uniwerslnie uziwyh orz Twierdzenie 5.22 hrkteryzj równo i kls proesów uniwerslnie uziwyh i superuziwyh. W rozdzile 6 podsumowuj uzyskne wyniki i sygnlizuj kilk prolemów otwrtyh, zwi znyh z temtyk rozprwy. Wi kszo wyników niniejszej rozprwy zostł opulikown w prh [24, 37, 38]. Podzi kowni Serdeznie dzi kuj mojemu promotorowi Edwrdowi Ohm skiemu, z nukow opiek, pomo i po wi ony zs orz kole nkom i kolegom z Toruni. 10
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów 2 Poj i podstwowe 2.1 Słow, j zyki, systemy trnzyyjne Nieh A dzie sko zonym ziorem. Monoidem wolnym generownym przez ziór A nzywmy monoid (A*, ), którego elementmi s wszystkie sko zone i gi elementów zioru A, jedynk jest i g 0-elementowy ε=(), zwny i giem pustym, operj zło eni (konktenji) jest okre lon nst puj o: je li x=(x 1, x 2,, x n ), y=(y 1, y 2,, y m ) (n, m 0), to x y=(x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ). Nwisy, przeinki i znk operji zło eni d zwsze pomijne, tk wi powy sze i gi x, y i xy d zpisywne jko x=x 1 x 2 x n, y=y 1 y 2...y m i xy=x 1 x 2 x n y 1 y 2 y m. Ziór A nzywmy lfetem, elementy A litermi, elementy A* słowmi, podziory A* j zykmi. W pry dziemy te rozw słow niesko zone nd lfetem A, ziór tkih niesko zonyh słów oznzmy przez A ω, ntomist A = A* A ω jest ziorem wszystkih (sko zonyh i niesko zonyh) słów nd A. Słowo u A* jest (sko zonym) prefiksem słow w A (oznzenie: u fin w) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje słowo v A tkie, e w=uv. Dl sko zonego słow u A* jego niesko zone powtórzenie uuu dzie oznzne przez u ω. Operj zło eni w A jest operj z iow : uv jest okre lone, gdy u A*, v A. Długo słow w A* oznzmy symolem w, gdzie w =n w A n, dl n IN. Je li w A ω (jest słowem niesko zonym), to piszemy w =ω. Liz wyst pie litery A w słowie w A oznzmy symolem w i piszemy w =ω, je li liter wyst puje w słowie w niesko zenie wiele rzy. Alfetem słow w A nzywmy ziór Alph(w)={ A w A*A }, zyli ziór liter wyst puj yh w słowie w. Przez Pr(w) oznz dziemy ziór wszystkih sko zonyh prefiksów słow w A, zyli Pr(w)={u A* u fin w}. Przez Pr(L) dl L A dziemy oznz ziór wszystkih sko zonyh prefiksów słów j zyk L, zyli Pr(L)=U{Pr(w) w L}. J zyk L A nzywmy prefiksowo domkni tym wtedy i tylko wtedy, gdy Pr(L)=L. Dl L A* oznzmy: L ω = {w A ω Pr(w) Pr(L)} orz L = Pr(L) L ω. Słowo u L jest rozszerzlne (w prefiksowo domkni tym j zyku L) wtedy i tylko wtedy, gdy ( A) u L, nierozszerzlne w przeiwnym przypdku. Lewostronnym ilorzem j zyk L A* przez słowo w A* nzywmy ziór L/w={u A*; wu L}. W pry dziemy zjmow si głównie j zykmi prefiksowo domkni tymi generownymi przez pewne systemy współie ne, w szzególno i rozw ne d j zyki siei Petriego. Niektóre wyniki jednk d prwdziwe dl j zyków generownyh przez dowolne systemy trnzyyjne. Przypomnijmy wi definij systemu trnzyyjnego: Definij 2.1. System trnzyyjny (deterministyzny) System trnzyyjny to trójk (A, Q, q 0 ), gdzie: A jest sko zonym ziorem kji, Q jest przelizlnym ziorem stnów, stn q Q to z iow funkj q : A Q, q 0 Q jest stnem poz tkowym. 11
Jonn Jółkowsk Mo n rozw niedeterministyzne systemy trnzyyjne, w któryh stny s reljmi w A Q. Deterministyzne systemy trnzyyjne d jednk łkowiie wystrzj e dl potrze tej pry, gdy wszystkie siei Petriego mj deterministyzn ntur (je li wykonnie kji w stnie M prowdzi do stnu M', to stn M' jest zwsze jednoznznie okre lony). Systemy trnzyyjne przedstwine d w posti grfów skierownyh, któryh wierzhołkmi s elementy Q, krw dzie z s etykietowne litermi lfetu A. Ze stnu q 1 istnieje krw d o etykieie do stnu q 2 wtedy i tylko wtedy, gdy q 1 () jest okre lone i q 1 ()=q 2. W definiji stny s funkjmi okre lonymi n A, w nturlny jednk sposó mo emy je rozszerzy do funkji okre lonyh n A*. Wtedy q : A* Q, gdzie: q(ε)=q dl k dego q Q, i ( u,v A*) q(uv)=q(u)(v), je li q(u) i q(u)(v) s okre lone, w przeiwnym przypdku q(uv) jest nieokre lone. Od tego momentu dziemy ptrze n stny w tym szerszym znzeniu. Zpis q(u)=q(v) oznz, e q(u) i q(v) s okre lone i równe, lu e o s nieokre lone. System trnzyyjny (A, Q, q 0 ) m włsno dimentu wtedy i tylko wtedy, gdy dl k dego q Q i dowolnyh, A je li q() i q() s okre lone, to q()=q(). Stny osi glne. Stn q' jest osi glny ze stnu q wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w A* tkie, e q(w) jest okre lone i q(w)=q'. Stn q' jest osi glny, je li jest osi glny ze stnu poz tkowego q 0. Zkłdmy od tego momentu, e wszystkie stny z Q s osi glne. Olizeni w systemh trnzyyjnyh. Nieh S = (A, Q, q 0 ) dzie systemem trnzyyjnym. Mówimy, e i g w A* jest umo liwiony w stnie q Q wtedy i tylko wtedy, gdy q(w) jest okre lone. Olizeniem sko zonym w S jest k de słowo sko zone w A*, które jest umo liwione w stnie q 0. Olizeniem niesko zonym w S jest k de niesko zone słowo 1 2 A ω, którego k dy sko zony prefiks jest olizeniem w S. Ziór L(S) wszystkih sko zonyh olize w S nzywmy sekwenyjnym zhowniem (lu j zykiem) systemu S (lu generownym przez S). Z definiji wynik, e L(S) jest prefiksowo domkni ty. Zuw my, e poniew stny s funkjmi, to systemy trnzyyjne (w niniejszej pry) s deterministyzne i k de olizenie sko zone m jednoznznie wyznzony stn ko owy, jk i i g stnów po rednih. Systemy knonizne dl j zyk. Dl k dego niepustego prefiksowo domkni tego j zyk L A* mo emy okre li jego minimlny system trnzyyjny S L = (A, Q, q 0 ), gdzie stny s uto smione z niepustymi lewymi ilorzmi j zyk L: Q = {L/w; w A*} q 0 = L/ε Dl dowolnego q=l/w Q i dowolnego u A* stn q(u) jest okre lony, je li L/wu i wtedy q(u)=l/wu. 12
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów System S L dziemy nzyw knoniznym systemem trnzyyjnym dl j zyk L. Dowolny j zyk mo emy trktow jko zhownie sekwenyjne jego systemu knoniznego. Przez IN dziemy oznz ziór liz nturlnyh IN ={0,1, }. Wieloziorem nd ziorem X nzywmy funkj f : X IN. N wieloziorh nd tym smym ziorem X okre lmy dziłni mnogo iowe w nst puj y sposó: sum dwóh wieloziorów f i g to tki wieloziór h=f g, e h(x)=f(x)+g(x) dl dowolnego x X; ró ni dwóh wieloziorów f i g to tki wieloziór h=f g, dl którego h(x)=mx(f(x) g(x),0) dl dowolnego x X; z wspóln dwóh wieloziorów f i g to tki wieloziór h=f g, dl którego h(x)=min(f(x),g(x)) dl dowolnego x X; relj inkluzji: f g wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) g(x) dl dowolnego x X. 2.2 Siei Petriego Siei Petriego zostły zproponowne przez C. A. Petriego w 1962 roku jko nrz dzie opisu dyskretnyh systemów rozproszonyh. Pozwlj one modelow systemy współie ne, stnowi te wygodny prt mtemtyzny do opisu i dni speyfiznyh spektów zhowni tyh systemów. Podstwowe, z teoretyznego punktu widzeni, klsy siei Petriego to siei elementrne i siei mrkowne. N ih zie konstruuje si rdziej zło one siei, tkie jk siei kolorowne, oiektowe, priorytetowe, zyszz e, inhiitorowe i inne. 2.2.1 Siei elementrne i mrkowne Definij 2.2. Sie, sie elementrn, sie mrkown Siei nzywmy trójk N = (A, P, F), gdzie A i P s sko zonymi ziormi rozł znymi; elementy zioru A nzywmy kjmi, elementy zioru P wrunkmi; F (A P) (P A) jest relj inrn, zwn relj przepływu. Siei elementrn nzywmy pr (N,M 0 ), gdzie N jest siei, M 0 P jest stnem poz tkowym; Siei mrkown nzywmy pr (N,M 0 ), gdzie N jest siei, stn poz tkowy M 0 jest wieloziorem nd P. Oznzeni. Dl dowolnej kji A ziór {p P pf} oznz dziemy przez (lu in()) i nzyw ziorem wrunków wej iowyh kji, z ziór {p P Fp} oznz dziemy przez (out()) i nzyw ziorem wrunków wyj iowyh kji. Przez oznz dziemy ziór wszystkih wrunków (wej iowyh i wyj iowyh) zwi znyh z kj A, zyli =. Sie nzywmy ezp telkow, je li nie zwier wrunków, które s jednoze nie wej iowe i wyj iowe dl pewnej kji, tzn. 13
Jonn Jółkowsk ( A) =. Zgodnie z przyj tym w literturze zło eniem przyjmujemy, e siei elementrne s ezp telkowe. Siei jko grfy. Siei d przedstwine w posti skierownyh grfów dwudzielnyh, któryh wierzhołkmi d elementy A P, krw dzimi z elementy relji F. Akje d oznzne kwdrtmi, wrunki kółkmi. Stny d oznzne etonmi w wrunkh w sieih elementrnyh mo e y o njwy ej jeden eton w dnym wrunku, w sieih mrkownyh wi ej. Stny przehowuj informj o rozkłdzie etonów w k dym wrunku w dnym momenie dziłni siei. W sieih elementrnyh stn M jest ziorem wrunków posidj yh eton, w sieih mrkownyh M(p) jest ilo i etonów w wrunku p w stnie M. Stny siei elementrnyh mo emy tk e trktow jko funkje o wrto ih w ziorze {0,1}, tzn. M : P {0,1}. Czsmi wygodniej dzie zpis ły stn w posti wektor [M(p 1 ), M(p 2 ),, M(p k )], gdzie p 1,, p k s wszystkimi wrunkmi dnej siei. Dziłnie siei elementrnyh. Nieh N=(A,P,F,M 0 ) dzie siei elementrn. Mówimy, e kj A jest umo liwion w stnie M P wtedy i tylko wtedy, gdy ( p ) M(p)=1 orz ( p ) M(p)=0. Akj umo liwion mo e y wykonn, jej wykonnie zmieni stn glolny siei; nowym stnem jest M =(M ). Dziłnie siei mrkownyh. Nieh terz N=(A,P,F,M 0 ) dzie siei mrkown. Mówimy, e kj A jest umo liwion w stnie M IN P wtedy i tylko wtedy, gdy ( p ) M(p) 1. Wykonnie w stnie M kji umo liwionej prowdzi do stnu M =(M ) i tym rzem s to operje n wieloziorh. Zpis MM oznz dzie (w dowolnej klsie siei), e kj jest umo liwion w stnie M, jej wykonnie prowdzi do stnu M'. Tkie pojedynze wykonnie kji umo liwionej dzie nzywne krokiem sekwenyjnym. Zpis M dzie oznzł fkt, e kj jest umo liwion w stnie M. Wykonnie kji w sieih Petriego przykłd Sie elementrn: Sie mrkown: Rys. 1. Przykłdy dziłni siei elementrnyh i mrkownyh 14
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów Poj ie umo liwieni pojedynzej kji mo emy w nturlny sposó rozszerzy n umo liwienie i gu kji w A*. Mówimy, e i g w=w 1 w n A* (w i A) jest umo liwiony w stnie M i jego wykonnie prowdzi do stnu M (piszemy MwM ), je li Mw 1 M 1, M 1 w 2 M 2,, M n-1 w n M' dl pewnyh (jednoznznie okre lonyh) stnów po rednih M 1, M 2,, M n-1. Mówimy, e i g kji w=w 1 w n A* jest umo liwiony w siei N=(A,P,F,M 0 ), je li jest on umo liwiony w stnie poz tkowym M 0. Tkie i gi umo liwione w dnej siei dziemy nzyw olizenimi tej siei. Czsmi zmist zpisu w 1 w n wygodnie dzie wymieni wszystkie stny po rednie i zpis i g w 1 w n w posti Mw 1 M 1 w 2 M 2 M n-1 w n M'. Stny M, M 1, M 2,, M n-1, M' d nzywne stnmi olizeni w A*. J zyk L(N) siei N to ziór wszystkih olize tej siei, zyli L(N)={ w A* ( M) M 0 wm}. Stny osi glne. Nieh N=(A,P,F,M 0 ) dzie (elementrn lu mrkown ) siei Petriego. Mówimy, e stn M jest osi glny ze stnu M wtedy i tylko wtedy, gdy ( w A*) MwM. Stn M nzywmy osi glnym w siei N wtedy i tylko wtedy, gdy M jest osi glny ze stnu poz tkowego M 0. Ziór wszystkih stnów osi glnyh zpisyw dziemy jko RS(N), lu krótko RS przy ustlonej siei N (z ng. rehle sttes). Grf osi glno i. Grfem osi glno i siei N=(A,P,F,M 0 ) nzywmy pr RG=(G,M 0 ), gdzie RS A RS G={(M,,M ) M RS MM }. Wierzhołkmi grfu osi glno i s stny osi glne RS, krw dzie s etykietowne kjmi siei. Dokłdniej: z wierzhołk M prowdzi krw d do wierzhołk M etykietown kj wtedy i tylko wtedy, gdy M jest stnem osi glnym z M 0, kj A jest umo liwion w stnie M, po jej wykonniu sie przehodzi do stnu M. Przykłd 2.3 Sie i jej grf osi glno i 1 4 3 d 2 5 Rys. 2. Sie elementrn N Ziorem kji tej siei jest A={,,,d}; ziorem wrunków jest P={1,2,3,4,5}. Stny siei zpisyw dziemy w posti i gów wrunków (np. stn poz tkowy {1,3,4} dzie pisny jko 134). Ziorem stnów osi glnyh siei N jest RS={134, 234, 15, 25, 14, 135, 24, 235}. Grf osi glno i RG tej siei wygl d nst puj o: 15
Jonn Jółkowsk d 235 134 234 15 d d 25 d 135 24 14 Rys. 3. Grf osi glno i siei N Dl siei mrkownyh stny dziemy przedstwi równie w posti i gów wrunków, w któryh niektóre wrunki mog si powtórzy, np. n Rys. 40 (Przykłd 5.9) wieloziór {2,4,5,5} jest przedstwiony n grfie osi glno i jko 2455. Czsmi dzie wygodniej przedstwi stn siei mrkownej w posti wektor wtedy dziemy u yw notji z uko nikmi, np. n Rys. 13 (Przykłd 2.32) npis 1/3 oznz stn, w którym pierwszy wrunek m 1 eton, drugi 3 etony. N stnh, reprezentownyh jko wektory, okre lmy z iowy porz dek: M M' M M' (jko wieloziory) ( p P) M(p) M'(p). Zpis M<M' oznz dzie, e M M' orz M M'. Grf osi glno i jko utomt. W sieih elementrnyh liz stnów osi glnyh nie mo e y wi ksz ni liz 2 P wszystkih podziorów zioru P, jest wi zwsze sko zon. Grf osi glno i jest ztem zwsze grfem sko zonym. Trktuj go jko utomt sko zony nd A*, ze ziorem stnów RS, stnem poz tkowym M 0 i łym RS jko ziorem stnów ko owyh wnioskujemy, e dl k dej siei elementrnej N ziór L(N) jej sko zonyh i gów wykon jest regulrnym podziorem A*. W sieih mrkownyh ntomist liz stnów osi glnyh mo e y niesko zon, o dje niesko zony grf osi glno i. Grfy osi glno i mog y wtedy trktowne jko systemy trnzyyjne o przelizlnej lizie stnów. Istniej jednk siei mrkowne, któryh grfy osi glno i s sko zone. Dl k dej tkiej siei istnieje pewn stł IN ogrnizj liz etonów w k dym wrunku: ( M RS)( p P) M(p)<, dltego nzywne s one sieimi ogrnizonymi. Dimentowo podstwowyh siei Petriego jest rdzo w n eh, ułtwij ih dnie i z sto wykorzystywn w dowodh innyh włsno i tyh siei. Z kolei mo rozszerzonyh siei Petriego jest po rednio zwi zn z zurzeniem tej włsno i. Przypomnijmy njpierw definije włsno i dimentu w dwóh podstwowyh wersjh silnej i słej. Nieh, d kjmi, M, M' stnmi siei. Siln włsno dimentu: Je li MM i M, to MM. M M' (Sł) włsno dimentu: Je li MM i MM, to M =M. M M' = M" 16
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów Ozywi ie siln włsno dimentu implikuje sł. W dlszej z i pry przez włsno dimentu dziemy rozumie sł włsno dimentu. Fkt 2.4. Siei elementrne i ezp telkowe siei mrkowne mj siln włsno dimentu. Dowód. Njpierw pok emy, e je li M M M, to M: Je li M M M, to istnieje wrunek p, tki, e M(p)=1 i M(p)=0. Ztem p, poniew M(p)=0 (o sie jest ezp telkow), ztem M. Sprzezno. Terz pok emy, e M=M. Z definiji M = ((M ) ) ) = ((M ) ) ) = M. Przykłd 2.5. Fkt 2.4 nie zhodzi dl siei mrkownyh z p telkmi Rys. 4. Zhodzi M, M i M, le nie M Fkt 2.4 (nwet w wersji ze sł włsno i dimentu) nie zhodzi te dl wi kszo i rozszerze siei podstwowyh (zo. Przykłd 2.7). 2.2.2 Rozszerzeni siei elementrnyh Siei ezpiezne (sfe nets) s uogólnieniem siei elementrnyh, wprowdzonym przez Bdouel/Drondeu w [2]. W sieih tyh opróz zwykłyh łuków od kji do wrunku (nzwijmy je out ) i z wrunku do kji ( in ), dopuszzne s łuki innyh typów. Łuki set ( reset ) wstwij (usuwj ) eton z wrunku niezle nie od jego poprzedniej zwrto i. Łuki red ( inhi ) sprwdzj, zy jest eton (zy nie m etonu) w wrunku. Łuki swop zmienij zwrto plu n odwrotn do zstnej je li ył eton, to zyszz pl, je li nie yło, to wstwij eton. Notj i terminologi jest oprt n [2]. out set reset swop in red inhi nop Rys. 5. Grfizn reprezentj łuków w sieih ezpieznyh 17
Jonn Jółkowsk Definij 2.6. Sie ezpiezn Siei ezpiezn nzywmy zwórk N = (A, P, F, M 0 ), gdzie A i P s sko zonymi ziormi kji i wrunków; F: A P {in, out, set, reset, red, inhi, swop, nop} jest funkj przepływu, opisuj rodzj łuku pomi dzy dn kj wrunkiem; M 0 P jest stnem poz tkowym. Pojemno wrunków jest ogrnizon do 1, jk w sieih elementrnyh. Dl siei ezpieznyh dziemy u yw oznzeni in() dl zioru wszystkih wrunków wej iowyh kji : in()={p P F(,p)=in} i nlogiznie out(), set(), reset(), red(), inhi() i swop(). Dziłnie siei ezpieznyh. Nieh N=(A,P,F,M 0 ) dzie siei ezpiezn. Mówimy, e kj A jest umo liwion w stnie M P wtedy i tylko wtedy, gdy in() red() M i (out() inhi()) M=. Wykonnie w stnie M umo liwionej kji zmieni stn siei; nowym stnem jest stn M =M out() set() in() reset() swop 0,M () swop 1,M (), gdzie swop 0,M () oznz te wrunki poł zone łukiem typu swop z kj, które s puste w stnie M: swop 0,M ()={p P F(,p)=swop M(p)=0} i nlogiznie swop 1,M ()={p P F(,p)=swop M(p)=1}. Umo liwienie i gu kji, j zyk siei, ziór stnów osi glnyh, grf osi glno i s zdefiniowne tk smo jk dl siei elementrnyh. Podonie jk dl siei elementrnyh, grfy osi glno i siei ezpieznyh s zwsze sko zone. Siei ezpiezne pozwlj n modelownie zjwisk, które nie mog wyst pi w sieih elementrnyh. N przykłd siei elementrne mj włsno dimentu, podzs gdy w sieih ezpieznyh osi glny jest stn umo liwij y zrówno i g, jk i, jednk prowdz one do ró nyh stnów. Przykłd 2.7. Brk włsno i dimentu w sieih ezpieznyh Rys. 6. M i M, le nie M Rys. 7. M i M, le {p}=m M= Zuw my pondto, e j zyki powy szyh siei nie mog y wygenerowne przez siei elementrne. Je li jednk dopu imy p telki w sieih elementrnyh, to istnieje sie elementrn generuj j zyk siei z Rys. 6, le ju j zyk L=(( )*)*( )* siei z Rys. 7 nie, nwet je li dopu imy p telki. Wi ej nwet nie istnieje sie mrkown generuj tki j zyk, poniew L, L, le L. 18
Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów 2.2.3 Rozszerzeni siei mrkownyh Rozszerzeniem klsy siei mrkownyh nzyw dziemy k d kls siei, w któryh dopuszzlne s klsyzne łuki wej iowe i wyj iowe (jk w sieih mrkownyh) i pondto jkie dodtkowe typy łuków, speyfizne dl dnej klsy. Jednym z tkih rozszerze s siei z wgmi. Definij 2.8. Sie mrkown z wgmi Siei mrkown z wgmi nzywmy zwórk N = (A, P, F, M 0 ), gdzie A i P s sko zonymi ziormi kji i wrunków; F: A P P A IN jest funkj przepływu, opisuj wg : ilo etonów potrzenyh do wykonni dnej kji lu ilo etonów umieszznyh w wrunku po wykonniu dnej kji; stn poz tkowy M 0 jest wieloziorem nd P. Oznzeni. Wgi d oznzne n rysunkh lizmi nturlnymi ook odpowiednih łuków, rk lizy ook łuku oznz wg 1, rk łuku oznz wg 0. Podonie jk w sieih ez wg przyjmujemy oznzeni ziorów wrunków wej iowyh i wyj iowyh dl ustlonej kji A: ={p P F(p,)>0} ={p P F(,p)>0} = Dziłnie siei mrkownyh z wgmi. Nieh N = (A,P,F,M 0 ) dzie siei mrkown z wgmi. Mówimy, e kj A jest umo liwion w stnie M IN P wtedy i tylko wtedy, gdy ( p ) M(p) F(p,). Wykonnie w stnie M kji umo liwionej zmieni stn siei; nowym stnem jest stn M okre lony nst puj o: ( p P) M (p) = M(p) F(p,)+F(,p). Dl k dej siei z wgmi mo n skonstruow sie ez wg symuluj jej zhownie (Strke [44]). To rozszerzenie jest jednk u ytezne i wygodne dl zstosow. Klsmi siei istotnie poszerzj ymi mo liwo i siei mrkownyh s mi dzy innymi siei zyszz e (reset nets), inhiitorowe (inhiitor nets) i przerzuj e (trnsfer nets). Definij 2.9. Siei zyszz e, inhiitorowe, przerzuj e Siei zyszz (odpowiednio inhiitorow, przerzuj ) nzywmy zwórk N = (A, P, F, M 0 ), gdzie A i P s sko zonymi ziormi kji i wrunków; stn poz tkowy M 0 jest wieloziorem nd P; F jest funkj przepływu: dl siei zyszz yh F: A P P A IN {reset} orz F(P,A) IN; dl siei inhiitorowyh F: A P P A IN {inhi} orz F(A,P) IN; 19
Jonn Jółkowsk dl siei przerzuj yh F: A P P A IN P orz ( p P)( A) F(p,) IN {p} i ( p P)( A) ( F(p,)=p ( q P) F(,q)=p ). Z przyzyn tehniznyh przyjmujemy, e k de dw w zły siei s poł zone njwy ej jednym łukiem, zyli ( p P)( A) F(p,)=0 F(,p)=0. Oznzeni: ={p P F(p,) IN i F(p,)>0} reset()={p P F(,p)=reset} ={p P F(,p) IN i F(,p)>0} inhi()={p P F(p,)=inhi} Dziłnie siei zyszz yh. Definij umo liwieni kji w stnie M jest tk sm jk dl siei mrkownyh z wgmi: ( p ) M(p) F(p,). Dziłnie siei jest nieo inne łuk typu reset zy i wrunek niezle nie od jego poprzedniej zwrto i, ztem stn M' po wykonniu kji w stnie M jest nst puj y: M'(p) = 0 je li p reset() M(p) F(p,)+F(,p) w przeiwnym przypdku Dziłnie siei inhiitorowyh. Akj jest umo liwion w stnie M, je li wrunki wej iowe mj odpowiedni ilo etonów, inhiitorowe s puste: ( p ) M(p) F(p,) i ( p inhi()) M(p)=0. Dziłnie siei jest tkie smo jk dl siei mrkownyh z wgmi: M'(p) = M(p) F(p,)+F(,p). Dziłnie siei przerzuj yh. Akj jest umo liwion w stnie M, je li ( p ) M(p) F(p,). Dziłnie siei jest nieo inne ni w sieih mrkownyh łuk przerzuj y przenosi zwrto jednego wrunku do innego, ztem stn M' po wykonniu kji w stnie M jest nst puj y: 0 je li F(p,)=p M'(p) = M(p) + M(q) je li F(,p)=q M(p) F(p,)+F(,p) w przeiwnym przypdku Siei mrkowne i wymienione wy ej rozszerzeni mo n wyrzi w rmh ogólnego modelu tzw. siei smomodyfikuj yh (self-modifying nets), zproponownyh przez Vlk [45], dnyh i uogólnionyh w [15]. S to siei ze zmiennymi wgmi, zle nymi od ktulnyh zwrto i wszystkih wrunków. Nie przytzmy ih formlnyh definiji, gdy nie d one rozw ne w rozprwie. W dlszej z i pry w n rol odgryw dzie włsno dimentu. Wiemy, e siei elementrne i ezp telkowe mrkowne mj siln włsno dimentu (Fkt 2.4), wi te sł. Łtwo pokz, e dowolne siei mrkowne i siei inhiitorowe mj sł włsno dimentu. Pozostłe rozw ne w rozprwie rozszerzeni (siei ezpiezne, zyszz e, przerzuj e) nie mj włsno i dimentu. 20