JAK MATEMATYKA POZWALA OPISYWAĆ WSZECHŚWIAT. 1 Leszek Błaszkiewicz

JAK MATEMATYKA POZWALA OPISYWAĆ WSZECHŚWIAT 1 Leszek Błaszkiewicz

2 Matematyka w Astrometrii

Matematyka w Astrometrii Astrometria (astronomia pozycyjna) najstarszy dział astronomii zajmujący się pomiarami pozornych położeń i ruchów ciał niebieskich. Dzieli się na astronomię sferyczną, zawierającą matematyczną teorię potrzebną do opisywania ruchów ciał na sferze niebieskiej oraz astronomię praktyczną, obejmującą teorię przyrządów astrometrycznych, metody obserwacji i ich opracowywania. 3

Eratostenes z Cyreny 3 wiek p.n.e. Wynik Erastotenesa 6250km Współczesne wyniki 6370km

Hipparchos 129 p.n.e (lub 190 p.n.e.. Wynik Hipparchosa 67 promieni Ziemi Współczesne wyniki 60 promieni Ziemi

Matematyka w Astrometrii Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami w trójkątach na powierzchni kuli. Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory: wzór sinusów (Abu'l-Wefa, X w.), wzór cosinusów dla boków (Regiomontanus, XV w.), wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł. XVI w.), 9 wzór cotangensów, wzór na pole trójkąta.

Matematyka w Astrometrii Każdy element trójkąta sferycznego jest mniejszy od 180 Suma boków trójkąta sferycznego jest mniejsza od 360 ; 0 < a + b + c < 360 Suma kątów A+B+C trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180 i mniejsza od 540 ; 180 < A + B + C < 540 Bok każdego trójkąta sferycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy dwóch pozostałych boków i mniejszy od ich sumy; b c < a < b + c W trójkącie sferycznym suma dwóch kątów jest mniejsza od trzeciego kąta powiększonego o 180 ; A + B < C + 180 11

Matematyka w Astrometrii Przejście od współrzędnych układu horyzontalnego (wysokość h i azymut A) do współrzędnych godzinowych opisywane jest trójką następujących wzorów: 14

15 Ruchy Planet

16 Ruchy Planet

17 Ruchy Planet

Ruchy Planet Trzecie prawo Keplera opisuje wzór: gdzie T to okres ruchu po orbicie, a G to stała grawitacyjna, która wynosi: 18 Wielkość w nawiasie jest stała, a jej wartość zależy tylko od masy M ciała, wokół którego krąży planeta. Stosunek: Jest stały

Ruchy Planet I Prawo Keplera raz jeszcze 19 orbita eliptyczna, 0 < e < 1 orbita paraboliczna, e = 1 orbita hiperboliczna, e > 1

Ruchy Planet Mechanika Nieba 20

Ruchy Planet Prawo powszechnego ciążenia M1*R1=M2*R2 Środek masy 21

Ruchy Planet Prawo powszechnego ciążenia 22

Ciążenie Jeżeli masa sferycznie symetrycznej planety o promieniu r wynosi M, a masa danego ciała m, to wartość ciężaru ciała na powierzchni planety dana jest wzorem: gdzie G jest stałą grawitacji Zwykle wielkość: 23 nazywa się przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni planety i oznacza przez g, co prowadzi do prostego wzoru łączącego masę ciała z jego ciężarem: Oznacza to, że przy ustalonym g ciężar jest proporcjonalny do masy ciała.

Ciążenie Ale mamy też II zasadę dynamiki Newtona: Przyspieszenie z jakim porusza się ciało jest proporcjonalne do działającej siły, a odwrotność masy jest współczynnikiem proporcjonalności. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły. 24 Jak odróżnić a od g?

Ciążenie F= m g F= m a 25

26 Ciążenie

Ciążenie Dla r = 1000m T 1 min 27

Jasności Gwiazd 28 Hipparch (ok.190-120 p.n.e.)

Jasności Gwiazd Logarytm to w matematyce wynik operacji odwrotna względem potęgowania. Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie. Logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywa się taką liczbę c, oznaczaną zwykle log a b, której podstawa a podniesiona do potęgi c daje liczbę b, czyli 29 przy czym

Jasności Gwiazd log 1.7 x log e x log 10 x log e x = ln x e 2,718281828 30

Jasności Gwiazd Prawo Webera-Fechnera prawo wyrażające relację pomiędzy fizyczną miarą bodźca a reakcją układu biologicznego. Dotyczy ono reakcji na bodźce takich zmysłów jak wzrok, słuch czy poczucie temperatury. Jest to prawo fenomenologiczne będące wynikiem wielu obserwacji praktycznych i znajdujące wiele zastosowań technicznych. Wartość reakcji układu biologicznego jest proporcjonalna do logarytmu bodźca. Prawo to można wyrazić wzorem 31 gdzie: w - reakcja układu biologicznego (wrażenie zmysłowe), B - natężenie danego bodźca, B 0 - wartość początkowa natężenia danego bodźca,

Jasności Gwiazd Wzór Pogsona m 1 - m 2 = -2.5 log 10 (L 1 / L 2 ) L m /L m+5 =100 [logarytmujemy obustronnie] log L m log L m+5 = 2 32 czyli: log L m log L m+1 = 2/5 = 0.4 = log 2,51188643150958 L m /L n = 2,512 n-m

Jasności Gwiazd Słońce: 26,74 m Księżyc w pełni: 12,71 m Wenus (max): 4,7 m Mars (max): 2,7 m Jowisz: 2,5 m Merkury (max): 1,8 m Saturn: ok. 0,2 m Uran: ok. 5,5 m Neptun: ok. 7,5 m 33 α CMa (Syriusz): 1,46 m α Boo (Arktur): 0,04 m α Lyr (Wega): 0,03 m α Aur (Capella): 0,08 m β Ori (Rigel): 0,1 m α CMi (Procyon): 0,38 m α Vir (Spica): 1 m

34 Struktura Gwiazd

Struktura Gwiazd Subrahmanyan Chandrasekhar Arthur Stanley Eddington 35 WMiI Olsztyn, 8.03.2011

36 Struktura Gwiazd

37 Struktura Gwiazd

38 Opis Obiektów w Kosmosie

Opis Obiektów w Kosmosie Pulsary odkryte zostały przez Jocelyn Bell i Antony Hewisha w 1967 roku Hewish dostał za to w 1974 roku Nagrodę Nobla 43

ILE JEST PLANET? uaktualnienie : 3 lutego 2017 (3575 planet) W samej Drodze Mlecznej znajduje się prawdopodobnie około 100 miliardów planet. 45

46 Rozważania Kosmologiczne

Rozważania Kosmologiczne Równanie pola 47 Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego.

Rozważania Kosmologiczne Skalar w algebrze liniowej element ustalonego ciała nad którym zbudowana jest dowolna przestrzeń liniowa. Wektor w matematyce elementarnej, obiekt mający moduł (zwany też długością), kierunek wraz ze zwrotem. 48 Tensor obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora.

49 Rozważania Kosmologiczne

Rozważania Kosmologiczne 8 G R v 2 R 2 kc 2 3 3 2 Aleksandr Friedman Podał rozwiązanie równania Einsteina dla ewoluującego Wszechświata 50 k = +1 k = 0 k= -1

Rozważania Kosmologiczne 1926 Georges Lemaître (1894-1966) po wysłuchaniu wykładu Edvina Hubble a, w ciągu jednej nocy buduje model matematyczny łączący teorię z obserwacjami. Wyniki publikuje w 1927 r. K= -1 K=0 51 K=+1

I to by było na tyle 52

WAHADŁO 54

POMIAR WARTOŚCI G Trzeba zmierzyć długość l Trzeba wyznaczyć okres T Wyliczyć z wzoru 55