Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski Agnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. Agnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki. Jeśli Woźniacki przewidzi właściwie, na którą stronę Agnieszka zaserwuje, odbierze serw z większym prawdopodobieństwem. Agnieszka ma jednak silniejszy serwis na backhand. Dlatego, jeśli Agnieszka zaserwuje na backhand a Karolina to przewidzi, wówczas Karolina odbierze z prawdopodobieństwem 60%, a jeśli zaserwuje na forehand i Karolina to przewidzi, wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 90%. Jeśli Woźniacki nie przewidzi serwu na forehand, wówczas odbierze z prawdopodobieństwem 20%, a jeśli nie przewidzi serwu na backhand, odbierze z prawdopodobieństwem 30%. Gra w formie strategicznej jest pokazana w tabeli poniżej. a) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek. Nie ma równowag w strategiach czystych (patrz tabelka powyżej). Szukamy równowagi w strategiach mieszanych. Oznaczmy przez p prawdopodobieństwo backhand_w a przez q prawdopodobieństwo backhand_r. Woźniacki tak wybiera p, aby Radwańska była obojętna pomiędzy backhandem i forehandem: Radwańska tak wybiera q, aby Woźniacki była obojętna pomiędzy backhandem i forehandem: Równowaga jest zatem następująca: (0,7 backhand_r + 0,3 forehand_r; 0,6 backhand_w + 0,4 backhand_w). Wypłaty: b) Wyznacz i narysuj korespondencje najlepszych odpowiedzi dla obu tenisistek na jednym wykresie. Korespondencje najlepszych odpowiedzi: q 0,7 0,6 p
Zadanie 2 Dana jest następująca gra: a) Znajdź równowagę Nasha: Jedyną równowagą Nasha jest AA b) Znajdź poziomy bezpieczeństwa wiersza i kolumny (wypłaty, jakie mogą sobie zagwarantować gracze np. poziom bezpieczeństwa kolumny to wypłata w równowadze w grze najbardziej dla kolumny niekorzystnej, czyli takiej, gdzie wypłaty kolumny są identyczne jak w grze powyżej a wypłaty wiersza są po prostu ujemnymi wypłatami kolumny) Gra wiersza A B A 2 7 B 0 1 Kolumny A B A 7 2 B 1 0 Poziomy bezpieczeństwa: Wiersza: 2, Kolumny: 1 c) Narysuj wielobok wypłat i nanieś na niego status quo wyznaczony w poziomach bezpieczeństwa graczy oraz zbiór negocjacyjny (bargaining set) Zbiór negocjacyjny SQ d) Znajdź rozwiązanie arbitrażowe Nasha, gdzie status quo jest wyznaczone przez poziomy bezpieczeństwa graczy Najpierw znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez odcinek oznaczający zbiór negocjacyjny: Teraz podstawimy do problemu maksymalizacji
Warunki konieczne maksymalizacji (ponieważ parabola jest wklęsła są również warunkami wystarczającymi): Zatem rozwiązaniem jest punkt (5,4). Zadanie 3 Rozważmy problem duopolu. Mamy dwie firmy, produkujące identyczne dobro. Każda z firm wybiera własną produkcję (x1 i x2). Cena dobra dana jest odwrotną funkcją popytu p(x1,x2)=60-3(x1+x2) (lub 0 jeśli suma produkcji przekracza 20). Funkcja kosztów wynosi ci(xi)=12xi dla i=1,2. Obaj gracze dążą do maksymalizacji zysku, czyli różnicy między dochodem a kosztem. a) (Cournot) Przyjmijmy, że gracze dokonują wyboru x1 i x2 jednocześnie. Wyznacz równowagi Nasha oraz zyski w równowadze Problem gracza 1: Analogicznie dla gracza 2. Warunki pierwszego rzędu (warunki konieczne istnienia ekstremum) dla problemów maksymalizacji obu graczy (funkcja wklęsła i dlatego są to zarazem warunki wystarczające): Rozwiązując otrzymujemy: Zyski wynoszą: b) (Stackelberg) Przyjmijmy, że najpierw decyzje podejmuje gracz 1, a następnie zaobserwowawszy decyzję gracza 1 decyzję podejmuje gracz 2. Przebieg gry, wypłaty i możliwe akcje i strategie są wspólną wiedzą w tej grze. Wyznacz równowagę i zyski w równowadze. (Wskazówka użyj indukcji wstecznej, najpierw rozwiąż problem gracza 2 i wyznacz funkcję reakcji na akcję gracza 1, potem podstaw do problemu gracza 1) Rozwiązujemy najpierw problem drugiego gracza (analogicznie, jak powyżej):
Warunek pierwszego rzędu: Stąd wyznaczamy funkcję reakcji gracza 2 na akcję gracza 1: Teraz tą funkcję reakcji wstawimy do problemu gracza 1 zamiast x2: Tak więc rozwiązaniem jest: Zyski wynoszą: Zadanie 4 Dana jest następująca gra: a) Zamień powyższą grę w postaci ekstensywnej na grę w postaci strategicznej. C D E F AG 0,8 0,8 0,8 0,8 AH 0,8 0,8 0,8 0,8 BG 3,1 1,3 2,2 3,0 BH 0,0 0,0 2,2 3,0
b) Znajdź równowagi Nasha w strategiach czystych: Są dwie równowagi Nasha w strategiach czystych: (BG,D) oraz (BH,E) c) Czy są równowagi Nasha, które nie są równowagami doskonałymi w podgrach? Tak (BH,E) d) Ile podgier można wyróżnić w poniższym drzewie (cała gra jest również podgrą)? Są 3 podgry. Zadanie 5 Dana jest następująca gra: Gracz 1 Gracz 2 X Y A 4,2 0,2 B 1,1 4,2 C 2,3 2,1 a) Rozwiąż grę metodą iteracyjnej eliminacji strategii zdominowanych. Za każdym razem podaj, przez jaką strategię jest zdominowana dana strategia. Podaj równowagę Nasha będącą rozwiązaniem. 1) Najpierw eliminujemy strategię C gracza pierwszego, która jest silnie zdominowana przez strategię mieszaną pa+(1-p)b, gdzie p spełnia następujące warunki: Zatem. 2) Następnie eliminujemy strategię X gracza drugiego, ponieważ jest słabo zdominowana przez strategię Y. 3) Na koniec eliminujemy strategię A gracza pierwszego, ponieważ jest silnie zdominowana przez strategię B. Rozwiązanie, czyli para strategii B,Y jest równowagą Nasha w strategiach dominujących. b) Czy w wyniku procedury z punktu a) nie straciliśmy jakiejś równowagi Nasha? Jeśli tak, to jaką? Utraciliśmy równowagę A,X w wyniku kroku drugiego powyżej w drugim kroku wyeliminowaliśmy strategię słabo zdominowaną, a wówczas możemy stracić pewne równowagi Nasha, mianowicie te, które nie są równowagami w strategiach dominujących.
Zadanie 6 Dana jest następująca gra ultimatum. a) Ile strategii ma gracz 1? Ile strategii ma gracz 2? Gracz 1: 11, Gracz 2: 2 11 =2048 b) Podaj równowagi doskonałe w podgrach? (0,AAAAAAAAAAA) oraz (1,OAAAAAAAAAA), czyli: Gracz 1:zaproponuj drugiemu graczowi 0. Gracz 2: zaakceptuj każdą ofertę gracza 1 oraz Gracz 1: zaproponuj drugiemu graczowi 1. Gracz 2: zaakceptuj każdą ofertę gracza 1 oprócz tej, gdy zaproponuje 0. c) Czy strategia zaakceptuj 3 a wszystko inne odrzucaj dla gracza 2 oraz zaoferuj 3 dla gracza 1 jest równowagą Nasha? Uzasadnij jednym zdaniem: Jest to równowaga Nasha, ponieważ żadnemu z graczy nie opłaca się jednostronnie od niej odstąpić. Zadanie 7 Znajdź równowagi stabilne ewolucyjnie w następującej grze: Odpowiedź: Patrzymy na elementy diagonalne macierzy wypłat pierwszego gracza (czerwone liczby) i porównujemy je z innymi wypłatami pierwszego gracza w danej kolumnie. W dwóch przypadkach, tj. w kolumnie posiadacza oraz w kolumnie mściciela wartości na przekątnej macierzy są najwyższe w tej kolumnie (odpowiednio 25 oraz 15). Oznacza to, że stabilną Posiadacz jest równowagą ewolucyjnie. Również Mściciel jest równowagą stabilną ewolucyjnie. Ponieważ w kolumnie posiadacza wypłata w wierszu gnębiciel jest równa najwyższej wartości w tej kolumnie (25), będziemy weryfikować czy i jeśli tak dla jakich wartości p istnieje równowaga mieszana. Musimy zweryfikować, że wypłata jakiegokolwiek mutanta będzie osiągała w starciu z przedstawicielem populacji gorsze wypłaty niż przedstawiciel populacji walczący z przedstawicielem tej samej populacji.
Z powyższych warunków otrzymujemy jeden:. Zatem posiadacz dopuszczający do 33,33% gnębicieli jest strategią stabilną ewolucyjnie. Analogicznie, w kolumnie mściciela najwyższe dwie wypłaty są na przekątnej oraz w wierszu gołębia. Będziemy weryfikować, czy istnieje stabilna ewolucyjnie równowaga mieszana mścicieli dopuszczająca pewną ilość gołębi:. Możliwi mutanci muszą mieć niższe wypłaty niż populacja, która ma być stabilna ewolucyjnie: Z powyższych warunków otrzymujemy jeden:. Zatem mściciel dopuszczający do 30% gołębi jest strategią stabilną ewolucyjnie. Zadanie 8 Dana jest gra Panika finansowa omawiana na wykładzie. a) Czy istnieje równowaga separowalna, w której dobry typ Wypłaca a słaby Nie Wypłaca pieniędzy z banku? Nie, ponieważ Nie wypłacać jest strategią zdominowaną słabego typa. b) Sprawdź następujące strategie: Gracz 1: Nie Wypłacać, Gracz 2- dobry: Nie Wypłacać, Gracz 2- słaby: Wypłacać. Czy jest to równowaga Bayesowska Nasha? Jeśli tak, to dla jakich wierzeń gracza 1? Najlepsza odpowiedź słabego typu Gracza 2 na strategię Nie wypłacać Gracza 1 to Wypłacać. Najlepszą odpowiedzią dobrego typu Gracza 2 na strategię Nie wypłacać Gracza 1 to Nie wypłacać. (Na razie OK) Najlepszą odpowiedzią Gracza 1 na strategię (Słaby: Wypłacać, Dobry: Nie wypłacać) Gracza 2 jest Nie wypłacać jeśli wypłata z Nie wypłacać jest wyższa niż wypłata z Wypłacać: Zatem otrzymujemy warunek. Czyli podana para strategii jest równowagą Bayesowską Nasha, jeśli Gracz 1 wierzy, że Gracz 2 jest dobrego typu z prawdopodobieństwem większym niż ½. Zadanie 9 (DODATKOWE) Ala, Basia i Cecylia oraz Darek, Ernest oraz Filip są z tej samej klasy. W długich rozmowach na przerwach chłopcy ustalili jako najważniejsze kryterium oceny, że blondynka powinna mieć niebieskie oczy a brunetka ciemne. Dziewczynki z kolei stwierdziły po długiej konwersacji, że fajny chłopak musi być przede wszystkim wysoki. W poniższych tabelkach znajduje się charakterystyka chłopców i dziewczynek:
Włosy Oczy Ala Blondynka Niebieskie Basia Brunetka Ciemne Cecylia Brunetka Jasne Włosy Wzrost Darek Blondyn Wysoki Ernest Brunet Wysoki Filip Blondyn Niski Okazało się, że blondynki wolą brunetów, brunetki blondynów, bruneci brunetki (!) i blondyni blondynki (!). a) Sporządź ranking chłopców odnośnie dziewczynek i dziewczynek odnośnie chłopców. I miejsce II miejsce III miejsce Ala Ernest Darek Filip Basia Darek Ernest Filip Cecylia Darek Ernest Filip I miejsce II miejsce III miejsce Darek Ala Basia Cecylia Ernest Basia Ala Cecylia Filip Ala Basia Cecylia b) Czy poniższe skojarzenie jest stabilne? Jeśli nie, podaj kto z kim mógłby zablokować to skojarzenie? Basia Darek Cecylia Ernest Ala Filip Zablokować może Ala z Darkiem lub Ala z Ernestem. c) Jakie skojarzenie będzie wybrane, jeśli użyjemy algorytmu Gale-Shapley a z chłopcami proponującymi wyjście na randkę dziewczynkom? Ala Darek Basia Ernest Cecylia Filip d) Czy można zyskać poprzez podanie nieprawdziwych preferencji? Wskazówka: użyj algorytmu Gale-Shapley a z chłopcami proponującymi (jak wyżej), jeśli Ala skłamie i powie, że woli Filipa niż Darka. Jakie będzie wówczas skojarzenie: Ala Ernest Basia Darek Cecylia Filip Ala zyskała poprzez podanie nieprawdziwych preferencji. Mało tego zyskała na tym również Basia, natomiast Cecylia nie straciła jest to więc polepszenie Pareto dla dziewczynek. Jednak dla chłopców jest to pogorszenie Pareto, ponieważ zarówno Ernest, jak i Darek wychodzą na tym gorzej to się nazywa kobiecy spryt Zadanie 10 (DODATKOWE) Rozważmy następującą grę: dwóch przestępców zostało zamkniętych w osobnych celach. Jeśli oboje będą zeznawać, dostaną wyroki każdy po 5 lat Jeśli oboje nie będą zeznawać, dostaną wyroki każdy po 1 roku Jeśli jeden będzie zeznawać a drugi nie, to ten pierwszy zostanie zwolniony w ogóle a ten drugi dostanie maksymalny wyrok 20 lat.
Zanim jednak zaczną grać, każdy z przestępców może wybrać czy być honorowym czy niehonorowym (niezależnie i bez informowania drugiego). Niehonorowy przestępca dba wyłącznie o to, aby jak najkrócej przesiedzieć w więzieniu. Honorowy przestępca natomiast nie lubi być kapusiem. Jego użyteczność jeśli on sam nie zeznaje pozostaje niezmieniona. Teraz jednak woli nie zeznawać i siedzieć 20 lat w więzieniu niż zeznawać i siedzieć 5 lat (w przypadku, kiedy ten drugi zeznaje). Również woli nie zeznawać i siedzieć rok w więzieniu niż zeznawać i zostać zwolnionym (w przypadku kiedy ten drugi nie zeznaje). Zapisz grę w postaci ekstensywnej. Poprzez znalezienie równowag Nasha w odpowiednich podgrach i metodę indukcji wstecznej znajdź równowagi doskonałe w podgrach. Ile ich jest? Trzeba narysować odpowiednie drzewko i zaznaczyć właściwie zbiory informacji. Trzeba nanieść odpowiednie wypłaty. Potem można poszczególne podgry rozpisać w formie strategicznej rozwiązać i podstawić jako liście do drzewka i rozwiązać do końca. Ogólnie się okazuje, że gra metodą indukcji wstecznej sprowadza się do zwykłego, ale bardziej rozbudowanego dylematu więźnia. Równowaga doskonała w podgrach jest zatem jedna i jest następująca: (NH, Z) dla gracza 1 oraz (NH, Z) dla gracza 2.