Minimalizacja kosztu Minimalizacja kosztów polega na uzyskiwaniu danej wielkości produkcji po najniższym możliwym koszcie Graficznie która kombinacja czynników na izokwancie najtańsza? Analitycznie minimalizacja kosztów przy ograniczeniu Min. kosztów wynika z maksymalizacji zysku (nie ma max. zysku bez min. kosztu). Po co zatem dyskusja? Po pierwsze, min. kosztów pozwoli nam na wyprowadzenie funkcji kosztów całkowitych, którymi będziemy się posługiwać w przyszłości Po drugie, zobaczymy jaki jest związek między technologią a kształtem funkcji kosztów
Izokoszta Pokazuje wszystkie kombinacje czynników produkcji, które łącznie kosztują tyle samo Np. jeśli jedynymi czynnikami produkcji jest K i L, to: TC = rk + wl Dla różnych wartości TC równanie bezie wskazywać inne kombinacje czynników Możemy to przekształcić aby otrzymać równanie izokoszty (na osi pionowej K): K = TC/r Lw/r Jest to kombinacja dwóch czynników, na które trzeba wydać TC więc nachylenie izokoszty ( w/r) mówi nam o tym w jaki sposób K można zastępować L bez zmiany kosztów
Izokoszta K TC 1 rk+wl TC 1 > TC 2 TC 2 rk+wl Nachylenie = w r L
Minimalizacja kosztów - graficznie K Rozwiązanie nie brzegowe: MRTS LK = - w/r czyli MP L /w = MP K /r K * Q (K,L) L * L Przesuwając izokosztę w dół, zmniejszamy koszt całkowity
Minimalizacja kosztów graficznie Zmiana cen czynników produkcji K K 1 K 0 L relatywnie droższe niż K => mniej wykorzystywane Nowe ceny czynników nachylenie w 1 0 < r1 r0 Początkowe ceny czynników nachylenie w w r 0 0 L 1 L 0 L
Rozwiązanie brzegowe graficznie UWAGA: dla izokwant funkcji Cobba Douglasa osie asymptotami, więc zawsze rozwiązanie wewnętrzne K K 1 K 0 L 1 = 0 L 0 Rozwiązanie brzegowe MP w L możliwe jeśli σ >1 (np. dla doskonałych substytutów) L < MP r K Rozwiązanie wewnętrzne MP w L = MP r K czyli L >0iK >0
Warunek minimalizacji kosztu Firma minimalizująca koszty rozwiązuje problem: Przy warunku min x1, x2 0 w Minimalizacja kosztu polega na wybraniu takiej kombinacji, która da nam najmniejsze TC przy danym y To oznacza wybranie takiego punktu na odpowiedniej izokwancie, w którym jej nachylenie jest równe nachyleniu krzywej izokosztu Można to rozwiązać stosując metodę Lagrange a: 1 x 1 + w f (x 1, x 2 ) = y 2 x 2 FOC: zróżniczkuj po wszystkich zmiennych (x 1, x 2, λ) i przyrównaj do zera
Rozwiąż układ równań: Metoda Lagrange a w 1 = λ MP 1 w 2 = λ MPmax[ py w ] [ (, ) ] 2 1x1 w2x2 = pf x1 x2 w1 x1 w2 x2 x 1 Mając daną funkcję produkcji, możemy znaleźć minimalny koszt wytworzenia dowolnego y Mnożnik Lagrange a (w teorii producenta) pokazuje stopień w jakim optymalne rozwiązanie funkcji celu zmienia się wraz ze zmianą y (czyli jest to krańcowy koszt zmiany wielkości produkcji ukryta cena)
Przykład: funkcja Leontiewa Funkcja produkcji Leontiewa: f(x 1, x 2 ) = min{ax 1, bx 2 } Optymalna kombinacja czynników to y = ax 1 =bx 2 A zatem aby wyprodukować y potrzeba x 1 = y/a oraz x 2 = y/b Zminimalizowana funkcja kosztu to: C(y)= w 1 x 1 + w 2 x 2 = w 1 y/a + w 2 y/b = (w 1 /a + w 2 /b)y
Przykład: funkcja liniowa Doskonałe substytuty: f(x 1, x 2 ) = ax 1 +bx 2 Z analizy graficznej wynika, że optymalne zastosowanie czynników to: Tylko x 2, gdy w 1 /a >w 2 /b, czyli x 2 = y/b Tylko x 1, gdy w 1 /a <w 2 /b, czyli x 1 = y/a Obojętne gdy w 1 /a = w 2 /b Zminimalizowana funkcja kosztu to: C(y)= w 1 x 1 + w 2 x 2 = min{w 1 y/a, w 2 y/b} = min{w 1 /a, w 2 /b}y
Min. kosztu a korzyści skali Jeśli mamy stałe korzyści skali, to podwojenie produkcji wymaga podwojenia nakładów koszt całkowity również się podwaja koszt przeciętny (na jednostkę y) nie zmienia się Jeśli mamy malejące korzyści skali, to podwojenie produkcji wymaga więcej niż podwojenia nakładów koszt całkowity również więcej niż podwaja się koszt przeciętny (na jednostkę y) rośnie Odwrotnie w przypadku rosnących korzyści skali
Koszt przeciętny a korzyści skali c malejące k. sk. AC(y) stałe k. sk. rosnące k. sk. y
Pozostałe zagadnienia Popyt warunkowy Ścieżka ekspansji Produkcja w wielu zakładach
Popyty warunkowe Popyt warunkowy -dla każdego zestawu y, w 1, w 2 możemy obliczyć minimalizujące koszty wielkości x 1 i x 2. Popyt warunkowy na K = f(q,w,r) q K q L Popyt warunkowy na L = f(q,w,r)
Ścieżka ekspansji Ścieżka ekspansji (podobna do LRTC) pokazuje najtańsze kombinacje czynników produkcji pozwalających na osiągnięcie danej produkcji
Ścieżka ekspansji w czasie SR niektóre czynniki stałe LR wszystkie czynniki zmienne K LR ścieżka ekspansji K 2 LRTC ma zawsze przynajmniej jeden punkt wspólny z każdą SRTC K 1 P SR ścieżka ekspansji Q 2 L 1 L 2 L 3 Q 1 L
Produkcja w wielu zakładach Produkcja w wielu zakładach - firma rozkłada produkcję tak, żeby krańcowe koszty w obu były równe wyprodukowanie ostatniej jednostki kosztuje tyle samo w każdym zakładzie jeśli MC 2 >MC 1, więc opłaca się przenieść produkcję ostatniej jednostki z 2 do 1 zakładu rozwiązania brzegowe (np. MC w obu zakładach jest stały lub w jednym zawsze niższy niż w drugim)
Produkcja w wielu zakładach Przykład MC 2 2 ( ) = ( ) TC q q 1 1 1 ( ) MC q 2q 1 1 1 = ( ) TC q = 0,5q + 10q 2 2 2 2 MC q q 2 2 = 2 + 10 MC 1 (q 1 ) MC 2 (q 2 ) MC(q 1 + q 2 ) 10 q Dla q < 5 tylko jeden zakład Dla q 5 oba zakłady i produkcja rozłożona tak, aby MC 1 = MC 2