Modelowanie sieci złożonych

Podobne dokumenty
Warsztaty metod fizyki teoretycznej

Grafy Alberta-Barabasiego

Wykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych

Sieci bezskalowe. Filip Piękniewski

Grafy stochastyczne i sieci złożone

W sieci małego świata od DNA po facebooka. Dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron, prof. PWr.

Obszary strukturalne i funkcyjne mózgu

Maksymalne powtórzenia w tekstach i zerowa intensywność entropii

Prawa potęgowe w grafach przepływu informacji dla geometrycznych sieci neuronowych

Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa

Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10,

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Równowaga Heidera symulacje mitozy społecznej

Przejście fazowe w sieciach złożonych w modelu Axelroda

Symulacje geometrycznych sieci neuronowych w środowisku rozproszonym

Optymalizacja. Symulowane wyżarzanie

Sieci złożone. Modelarnia 2014/2015 Katarzyna Sznajd-Weron

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Sieci: grafy i macierze. Sieci afiliacji. Analiza sieci społecznych. Najważniejsze pytania. Komunikatory internetowe

Bładzenie przypadkowe i lokalizacja

Równoległe symulacje Monte Carlo na współdzielonej sieci

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu

Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień

model isinga 2d ab 10 grudnia 2016

Algorytmy klasyfikacji

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

Wydajność komunikacji grupowej w obliczeniach równoległych. Krzysztof Banaś Obliczenia wysokiej wydajności 1

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Rozkłady prawdopodobieństwa

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

Algorytmy metaheurystyczne Wykład 6. Piotr Syga

Bioinformatyka Laboratorium, 30h. Michał Bereta

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Elementy inteligencji obliczeniowej

Testowanie hipotez statystycznych

WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH

Rozkład Gaussa i test χ2

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Metody probabilistyczne

Algorytmiczna teoria grafów

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Techniki optymalizacji

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń)

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

ALHE. prof. Jarosław Arabas semestr 15Z

Analiza Algorytmów 2018/2019 (zadania na laboratorium)

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Plan wynikowy klasa 3

Tworzenie gier na urządzenia mobilne

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

TEORIA GRAFÓW I SIECI

A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka. Zakład Teorii Systemów Złożonych, Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków

Badanie internetu. NeWWWton Fizyka w sieci. Piotr Pohorecki, Anna Poręba Gemius SA

Modelowanie motywów łańcuchami Markowa wyższego rzędu

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 4. DRZEWA REGRESYJNE, INDUKCJA REGUŁ. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska

e E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany

Drzewa decyzyjne i lasy losowe

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

Obliczenia inspirowane Naturą

Prawdopodobieństwo i statystyka

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Przykład eksploracji danych o naturze statystycznej Próba 1 wartości zmiennej losowej odległość

Algorytmy mrówkowe w dynamicznych problemach transportowych

Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Drzewa podstawowe poj

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3

Programowanie obiektowe

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Próba własności i parametry

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Transkrypt:

Modelowanie sieci złożonych B. Wacław Instytut Fizyki UJ

Czym są sieci złożone? wiele układów ma strukturę sieci: Internet, WWW, sieć cytowań, sieci komunikacyjne, społeczne itd. sieć = graf: węzły połączone linkami (krawędzie grafu) Internet hyperlink World Wide Web kabel

Nieco historii teoria grafów jako gałąź matematyki (Euler, XVIII wiek) 1930 zastosowanie w socjologii XX wiek, lata 60 eksperyment S. Milgrama Jack Susy Jill 6 degrees of separation small world 1999-2000 badania WWW i Internetu (Barabási i inni) Rozkład krotności π(q) daje prawdopodobieństwo, że losowo wybrany węzeł ma q sąsiadów π ( q) exp( q) π (q) q γ graf przypadkowy Większość sieci rzeczywistych jest bezskalowych (scale-free, SF) graf SF

Rosnące dodajemy nowe węzły do istniejącej sieci Przykład Sieci Jednorodne wszystkie węzły są równoprawne poetykietowanie nie ma znaczenia 1 2 4 1 3 2 Implikuje kauzalną strukturę: jest pierwszy węzeł, drugi, trzeci itd zakazany! 1 2 2 1 3 2 3 4 4 3 1 4 3 4 2 3 1 4 itd - akceptujemy wszystkie! Najlepiej znana konstrukcja: grafy przypadkowe Erdősa-Rényi: -startujemy z N pustych węzłów i łączymy je przypadkowo tworząc L linków Uogólnienie: Jednorodne grafy ważone -różne metody generowania

Przykład sieci rosnącej: model Barabási-Albert (BA) zaczynamy od grafu kompletnego z m 0 węzłami w każdym kroku nowy węzeł jest dołączany do m starych węzłów prawdopodobieństwo że zostanie on przyłączony do danego węzła jest proporcjonalne do krotności (liczby sąsiadów) k tego węzła Preferential attachement rule Przykład: m 0 =2, m=1 drzewo BA Ważna cecha: rozkład krotności π(q) zanika jak q -γ - sieć bezskalowa (SF). Takie sieci są powszechnie spotykane. Dla modelu BA, γ=3:

Sieci jednorodne nie wzrost ale raczej reorganizacja połączeń zaczynamy od jakiejś sieci rosnącej i przedrutowujemy linki inne procesy (kasowanie/dodawanie linków) również możliwe aby otrzymać sieci jednorodne, ruch musi łamać kauzalność 1 4 1 4 Złamana kauzalność wszystkie węzły mają statystyczne te same własności 2 3 2 3 Przykład

Porównanie sieci rosnących jednorodnych mechanika statystyczna sieci wygodny sposób na porównanie idea: zdefiniować zespół statystyczny poetykietowanych grafów Zespół stat.: obiekty + wagi Wα Wβ Wγ funkcja podziału Z wielkości fizyczne jako średnie po zespole stat. tutaj rozważam zespół stat. poetykietowanych grafów o N węzłach i L linkach rozkład grafów równoprawdopodobnych nieciekawe (nie-sf) nas interesują BA rosnące i jednorodne (grafy ważone)

Generowanie s. jednorodnych na komputerze Pomysł próbkujemy zespół statystyczny grafów poetykietowanych sieci będą generowane z częstościami do ich wag statystycznych: Zespół stat.: obiekty + wagi Sekwencja grafów...... Wα Wβ Wγ nowa sieć β jest otrzymywana przez małą zmianę poprzedniej α (proces Markova) algorytm Metropolisa: nowa konfiguracja jest akceptowana z prawdopodobieństwem:

Przykład: jednorodne drzewo z rozkładem krotności BA waga grafu: gdzie wtedy rozkład krotności jest jak w modelu BA: mała zmiana przedrutowanie linków + Metropolis (+ poprawki dla skończonego rozmiaru N< )

Rozkład krotności kauzalne i jednorodne drzewa BA 1 0.1 Pojedyncza sieć o N=10 6 wierzchołkach i rozkładzie krotności BA BA causal BA homogeneous BA theoretical 0.01.001 π(q) 0001-005 -006 1 10 100 1000 q π(q) są identyczne ale inne własności nie!

Kauzalna Jednorodna N=200 Średnica: D K <D J??? N=500

Rozkład odległości między węzłami badamy następującą 2-punktową funkcję korelacji: daje pr. że dwa losowo wybrane węzły są odległe o r ab linków a r ab b średnia odległość wygodna miara średnicy sieci

Rozkład odległości dla drzew o rozmiarze N=1000. G(r) drzewa kauzalne BA d. jednorodne BA d. jednorodne o równych wagach r śr. odległość ( średnia ) drzew: kauzalne BA < jednorodne BA < d. z równymi wagami

Rozkład odległości w przeskalowanej zmiennej x Drzewa jednorodne Drzewa kauzalne g(x) x = r N log N g(x) x = r log N x Punkty: dla sieci z N=500,1000,2000,4000, x Kauzalne vs Jednorodne inne skalowanie i rozkład odległości

Podsumowanie: sieci jednorodne mogą naśladować pewne własności sieci rosnących, np. rozkład krotności, pewne własności są charakterystyczne tylko dla sieci kauzalnych bądź jednorodnych, kauzalność istotnie modyfikuje rozkład odległości (sieci rosnące są ogólnie krótsze niż s. jednorodne) Bibliografia: P. Bialas, Z. Burda, B. Waclaw Causal and homogeneous networks, AIP Conf. Proc 776 (2005), 14; cond-mat/0503548. L. Bogacz, Z. Burda, B. Waclaw, Homogeneous complex networks, Phys. A, w druku; condmat/0502124. L. Bogacz, Z. Burda, W. Janke, B. Waclaw, A program generating homogeneous random graphs with given weights, Comp. Phys. Comm. 173, 162 (2005), cond-mat/0506330.

Korelacje krotności węzłów rozkład krotność-krotność najbliższych sąsiadów trudny do badania eksperymentalnego (fluktuacje) lepiej wziąść średnią krotność k nn (k) najbliższych sąsiadów węzła o krotności k. dwa typy korelacji: assortative mixing k nn 4 + 3 + 1+ 1 ( 3) = = 4 2.25 k nn (k) brak korelacji disassortative mixing k

12 11 10 9 8 7 k nn (k) 6 5 4 3 2 Korelacje dla drzew jednorodnych i kauzalnych rozkład krotności = BA z <q> 2 20 BA causal BA homogeneous ER graph 18 16 N=L+1=1000 1 0 1 10 100 1000 1 10 100 1000 1000 1000 k graf ER (Erdős-Rényi) = maksymalnie losowy 14 12 10 8 6 4 2 BA causal BA homogeneous ER graph N=L+1=10000 k