Od fizyki do elektrotechniki Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 21 listopada 2015
Plan wykładu: 1. Wielkości fizyczne skalarne i wektorowe 2. Analityczny zapis wielkości wektorowych 3. Działania na wektorach 4. Zadania z treścią 5. Podstawowe prawa elektrotechniki 6. Elementy źródłowe obwodów prądu stałego 7. Metoda klasyczna analizy obwodów prądu stałego 8. Przykład rozwiązania obwodu prądu stałego 9. Bilansowanie energii 10.Twierdzenia pomocne w analizie obwodów
1. Wielkości fizyczne skalarne i wektorowe Wielkość skalarną niezależnie od liczby wymiarów przestrzeni określa tylko jedna wartość. W układzie n-wymiarowym wielkość wektorowa określona jest jednoznacznie przez n wartości.
2. Analityczny zapis wielkości wektorowych Wersor osi x układu współrzędnych to bezwymiarowy wektor o wartości 1 skierowany wzdłuż tej osi układu. W kartezjańskim układzie współrzędnych każdy wektor można przedstawić w postaci sumy A x, A y, A z składowe wektora A x, A y, A z wersory osi układu
Wartość wektora w układzie dwuwymiarowym określa wzór: Kąt kierunkowy wektora w układzie dwuwymiarowym wiąże ze składowymi zależność:
3. Działania na wektorach 3.1. Dodawanie i odejmowanie
3.2. Iloczyn skalarny wynikiem jest skalar (liczba) lub 3.3. Iloczyn wektorowy wynikiem jest wektor
3.2. Iloczyn wektorowy (c.d.) Przykładowo jeżeli wektory i leżą na płaszczyźnie xy (nie posiadają składowych z - towych), to wektor posiada tylko składową z - tową.
4. Zadania z treścią 4.1. Zadanie z matematyki (poziom gimnazjalny) Dziadek i ojciec pewnego ucznia mają razem 120 lat. Ojciec ma obecnie 2 razy tyle lat, ile miał wówczas, gdy dziadek miał tyle, ile ojciec ma teraz. Ile obecnie lat ma ojciec tego ucznia, a ile lat ma dziadek? Rozwiązanie Przede wszystkim należy oznaczyć symbolami literowymi niewiadome występujące w zadaniu: x wiek dziadka, y wiek ojca.
Jedno z równań układu, który trzeba stworzyć dla rozwiązania problemu, jest oczywiste: x + y = 120. Drugie równanie wymaga zastanowienia się nad pytaniem: ile lat temu dziadek miał tyle lat, ile teraz ma ojciec? Oczywiście było to tyle lat temu, o ile dziadek jest starszy od ojca, czyli (x y) lat temu. Drugie równanie układu równań jest już łatwe do sformułowania: y = 2 y x y.
Po uproszczeniu i redukcji wyrazów podobnych drugie równanie przyjmuje postać: 2x = 3y. Teraz już prosto obliczyć można, że ojciec ma obecnie y = 48 lat, a dziadek x = 72 lata i jest od ojca starszy o (x y) = 24 lata.
4.2. Zadanie z kinematyki (z zestawu maturalnego) Obok rzeki, w której woda płynie z prędkością v o jest basen z wodą stojącą. Dwie jednakowe łodzie, które względem wody rozwijają prędkość v > v o, płyną z przystani A do B i z powrotem, jedna rzeką, druga w basenie. Która łódź jako pierwsza wróci do przystani A, skoro wystartowały równocześnie?
Rozwiązanie Jeśli odległość pomiędzy przystaniami mierzona w basenie i w rzece jest jednakowa i wynosi S, to łódź płynąca w basenie wróci po czasie: Łodzi, która płynie początkowo z prądem rzeki, a później pod prąd zajmie to: Nie trudno wykazać, że:
4.3. Zadanie z kinematyki (dwie łodzie i koło) Dwaj studenci chcąc sprawdzić niezależność ruchów wypłynęli jednakowymi łodziami na środek rzeki, rzucili na wodę koło ratunkowe i skierowali swoje łodzie: jeden w górę rzeki, drugi w dół. O upływie kwadransa obaj nawrócili i popłynęli w kierunku koła. Obie łodzie względem wody rozwijały taką samą prędkość v. Która łódź jako pierwsza dopłynie do koła? Woda w rzece płynie z prędkością v o.
Rozwiązanie W przyjętym na rysunku układzie współrzędnych równanie ruchu koła ratunkowego jest następujące: x o t = v o t Pierwsza łódź płynąca pod prąd posiada prędkość różnicową (v-v o ) i w przyjętym układzie współrzędnych ujemną. Położenie tej łodzi do nawrotu opisuje równanie ruchu: x 1 t = v v o t = v o v t
Równanie ruchu drugiej łodzi do nawrotu jest: x 2 t = v o + v t Oznaczając chwilę, w której nastąpił nawrót obu łodzi symbolem t n znajdziemy współrzędne miejsc, w których łodzie nawróciły: x 1n = x 1 t n x 2n = x 2 t n = v o v t n = v o + v t n Zapis równań ruchu łodzi po nawrocie wymaga dokonania przesunięcia czasu o t n x 1 t = x 1n + v o + v x 2 t = x 2n + v o v t t n t t n
Wykresy przedstawiające funkcje położenia obu łodzi w zależności od czasu są następujące:
Warunek spotkania się łodzi w punkcie x s będzie: x s = x 1 t s = x 2 t s czyli v o v t n + v o + v t s t n = = v o + v t n + v o v t s t n Rozwiązanie tego równania daje t s = 2t n, co oznacza, że łodzie tak samo długo wracały ku sobie, jak długo się oddalały. Miejsce spotkania łodzi x s = 2v o t n, czyli tam, gdzie w chwili spotkania łodzi znalazło się koło.
Wykresy funkcji położenia obu łodzi oraz koła ratunkowego pokazujące, że łodzie po nawrocie spotkają się przy kole są następujące:
4.4. Zadanie z kinematyki (rower i dwóch turystów) Pierwszy turysta siada na rower i jedzie w kierunku celu podróży z prędkością v 1, drugi zaś podąża za nim z prędkością v o. W umówionym miejscu pierwszy zostawia rower i idzie dalej pieszo z prędkością v o. Gdy drugi dochodzi do roweru siada nań i goni pierwszego z prędkością v 2. Okazuje się, że obaj jednocześnie osiągnęli cel podróży. Jaka jest średnia prędkość podróży obu turystów? Do obliczeń przyjąć dane: v o = 5 km/h, v 1 = 25 km/h, v 2 = 30 km/h.
Rozwiązanie Zadanie najlepiej rozwiązać analizując wykresy przedstawiające położenie wszystkich obiektów (obu turystów i roweru) jako funkcje czasu.
S = S o + v o S = S o + v 2 T S o v 1 T S o v o Eliminując z tego układu równań pomocniczą niewiadomą S o stosunkowo łatwo obliczyć można wartość średnią prędkości jako stosunek drogi S do całkowitego czasu podróży. v śr = v o v o v 1 2v 1 v 2 + v o v 2 v o 2 v 1 v 2 Po podstawieniu danych v śr 8, 45 km/h
4.5. Zadanie z kinematyki (dwie grupy i autokar) Organizator wyprawy autokarowej podzielił uczestników na dwie grupy. Pierwsza pojechała autokarem w kierunku celu podróży zaś druga w tym samym kierunku poszła piechotą. W pewnym miejscu pierwsza grupa wysiadła z autokaru i poszła dalej piechotą, autokar zaś wrócił po drugą. Gdy spotkał piechurów zabrał ich i dogonił pierwszą grupę akurat w celu podróży. Jaką wartość ma prędkość średnia tej podróży, skoro autokar jedzie średnio z prędkością v 1 = 50 km/h, a piechurzy idą średnio z prędkością v 2 = 4 km/h?
Rozwiązanie Wykresy funkcji położenia wszystkich trzech obiektów (dwóch grup i autokaru) przedstawia rysunek:
Tym razem trzeba wprowadzić dwie dodatkowe niewiadome, np. t 1 czas jazdy autokarem I grupy oraz t 2 czas marszu grupy II. Wówczas układ równań do rozwiązania będzie: S = v 1 t 1 + v 2 T t 1 S = v 2 t 2 + v 1 T t 2 v 1 t 1 v 2 t 2 = v 1 t 2 t 1 Gdy z pierwszego równania wyznaczymy t 1, zaś z drugiego t 2 i podstawimy do trzeciego, to stosunkowo łatwo obliczymy, że: v śr = S T = v 1 v 1 + 3v 2 3v 1 + v 2 = 20, 13 km h
4.6. Zadanie do samodzielnego rozwiązania Łódź, która względem wody może poruszać się tylko z prędkością o wartości v 1 = 6 km/h, ma przepłynąć przez rzekę, w której woda na całej szerokości płynie z prędkością v o = 2 m/s. Jaką największą wartość może przyjąć kąt pomiędzy linią brzegową rzeki, a kierunkiem wypadkowej prędkości łodzi, podczas przepływania na drugi brzeg? Jaką wartość wtedy będzie mieć wypadkowa prędkość łodzi względem brzegu rzeki?
5. Podstawowe prawa elektrotechniki 5.1. Prawo Ohma Napięcie na elemencie rezystancyjnym jest wprost proporcjonalne do natężenia prądu przepływającego przez ten element U = R I R rezystancja elementu. Równanie to jest prawdziwe dla odpowiedniego strzałkowania napięcia i prądu zgodnie z następującą zasadą: Grot strzałki napięcia wskazuje punkt o potencjale wyższym a prąd płynie od punktu o wyższym potencjale do punktu o potencjale niższym.
Zasada ta dotyczy tylko pasywnych elementów obwodu elektrycznego. Dla elementów aktywnych (źródłowych) prąd należy strzałkować odwrotnie. Prawo Ohma można traktować jako funkcję U(I). Wykres tej funkcji dla dwóch różnych wartości rezystancji przedstawia rysunek:
Analizując postać prawa Ohma można stwierdzić, że wartość rezystancji R jest współczynnikiem kierunkowym prostej będącej charakterystyką napięciowo prądową rezystora. Jest więc proporcjonalna do tangensa kąta nachylenia tej prostej do osi prądowej: R = m i m u tg α gdzie: m i skala osi prądowej, m u skala osi napięciowej.
5.2. Pierwsze (prądowe) prawo Kirchhoffa W każdym punkcie (węźle) obwodu elektrycznego suma prądów dopływających bilansuje się z sumą prądów wypływających z tego węzła. 5.3. Drugie (napięciowe) prawo Kirchhoffa W każdym konturze (oczku) obwodu elektrycznego algebraiczna suma napięć, spadków napięć i sił elektromotorycznych równa się zero.
6. Elementy źródłowe obwodów prądu stałego Uproszczoną charakterystykę napięciowo-prądową elementu źródłowego przedstawia rysunek: Na podstawie takiej charakterystyki rzeczywistego elementu źródłowego można wyidealizować dwa rodzaje źródeł energii elektrycznej:
Idealne źródło napięciowe Idealne źródło prądowe
7. Metoda klasyczna analizy obwodów W oparciu o przedstawione wyżej prawa rozwiązywać można obwody elektryczne zapisując odpowiednią ilość równań. Obowiązuje przy tym następująca reguła: Jeżeli w obwodzie jest G gałęzi oraz W węzłów (z których wychodzą co najmniej 3 gałęzie), to: Na podstawie I prawa Kirchhoffa należy napisać W 1 równań zaś na podstawie II prawa trzeba napisać G (W 1 ) równań.
8. Przykład rozwiązania obwodu prądu stałego 50 40 20 V 22 V 20 I 1 I 3 I 2 Ilość węzłów w obwodzie W = 2, ilość gałęzi G = 3. Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa należy sformułować W - 1 = 1 równanie. Na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa należy sformułować g (w 1) = 2 równania.
Równania te są następujące: 50 I 1 + 20 I 3 = 20 40 I 2 + 20 I 3 = 22 I 1 + I 2 I 3 = 0 Współczynniki przy niewiadomych w poszczególnych równaniach można zapisać w tablicy (macierzy) kwadratowej, mającej 3 wiersze i 3 kolumny: A 3,3 = 50 0 20 0 40 20 1 1-1
Podobnie prawe strony równań można zapisać w tablicy (macierzy) posiadającej 3 wiersze i 1 kolumnę: B 3,1 = 20 22 0 Jeżeli jeszcze niewiadome prądy ujmiemy w macierz o podobnych rozmiarach: I 3,1 = I 1 I 2 to układ równań opisujących obwód można zapisać w postaci macierzowej następująco: I 3
50 0 20 0 40 20 1 1-1 I 1 I 2 I 3 * = 20 22 0 A 3,3 I 3,1 = B 3,1 pierwszy indeks oznacza ilość wierszy w macierzy, zaś drugi ilość kolumn. Jak widać można mnożyć nie tylko liczby, ale również macierze (czyli tablice) zawierające liczby w wierszach i kolumnach. Przede wszystkim stwierdzić trzeba, że mnożenie macierzy jest możliwe tylko wówczas, gdy ilość kolumn pierwszego czynnika macierzowego jest równa ilości wierszy w macierzy drugiego czynnika.
Warunek ten stanie się oczywisty, gdy zostanie przedstawiony sposób obliczania takiego iloczynu: element macierzy wyniku mnożenia stojący w i- tym wierszu i j-tej kolumnie jest sumą iloczynów elementów i-tego wiersza macierzy pierwszego czynnika przez elementy j-tej kolumny czynnika drugiego.
Znanych jest wiele metod rozwiązywania takich układów równań liniowych w postaci macierzowej. Jedną z nich jest, nauczana już w szkołach ponadgimnazjalnych, metoda wyznaczników Cramera. Wyznacznik macierzy kwadratowej (posiadającej tyle samo wierszy i kolumn) jest liczbą charakteryzującą macierz. Na przykład dla macierzy o trzech wierszach i trzech kolumnach obliczany jest następująco: a b c det A 3,3 = det d e f = g h i = a e i + b f g + c d h + c e g + b d i + a f h
Dla naszego układu równań trzeba obliczyć wartość czterech wyznaczników: wyznacznik macierzy A oraz wyznaczniki macierzy A 1, A 2 i A 3, które powstają z macierzy A poprzez zamianę kolejnych kolumn w macierzy A, wektorem prawych stron.
W = det A = det W 1 = det A 1 = det W 2 = det A 2 = det W 3 = det A 3 = det 50 0 20 0 40 20 1 1 1 20 0 20 22 40 20 0 1 1 50 20 20 0 22 20 1 0 1 50 0 20 0 40 22 1 1 0 = 3800 = 760 = 1140 = 1900
Obliczenie niewiadomych prądów polega teraz na podzieleniu wyznaczników W 1, W 2 i W 3 przez wyznacznik W: I 1 = W 1 W = 760 3800 I 2 = W 2 W = 1140 3800 I 31 = W 3 W = 1900 3800 = 0, 2 A = 0, 3 A = 0, 5 A
Przedstawiona metoda analizy liniowych układów równań jest skuteczna, ale wygodna tylko do przypadków dwóch lub najwyżej trzech równań z tą sama ilością niewiadomych. W przypadku większych układów równań sposób obliczania wyznaczników całkowicie zniechęca do jej stosowania. Ilość mnożeń, jaką trzeba wykonać rozwiązując np. układ 15 równań z 15 niewiadomymi jest rzędu 16!, czyli około 2 10 13. Komputer, wykonujący miliard operacji na sekundę, liczyłby to około 6 godzin. Są algorytmy numeryczne, pozwalające rozwiązywać o wiele większe układy równań liniowych, w czasach rzędu ułamka sekundy.
0 1 2 3 1 2 3 PS 1 50 0 20 20 2 0 40 20 22 3 1 1-1 0 1 1 0 0,4 0,4 2 0 40 20 22 3 0 1-1,4-0,4 1 1 0 0,4 0,4 2 0 1 0,5 0,55 3 0 0-1,9-0,95 1 1 0 0 0,2 2 0 1 0 0,3 3 0 0 1 0,5
9. Bilansowanie energii Moc, czyli szybkość dostarczania energii przez wszystkie źródła występujące w obwodzie, wyraża wzór P d = j U j I j gdzie: U j to napięcie na zaciskach j-tego źródła I j prąd przepływający przez to źródła. Moc pobierana przez rezystory występujące w obwodzie wyraża wzór P p = k I k 2 R k
W przypadku poprawnie rozwiązanego obwodu moc dostarczona przez źródła powinna równać się mocy pobranej przez rezystory P d = P p W przypadku rozbieżności tych mocy warto sprawdzić procentową odchyłkę według wzoru δ = 1 P p P d 100
10. Twierdzenia pomocne w analizie obwodów 10.1. Twierdzenie o superpozycji Jeżeli w obwodzie liniowym występuje więcej niż jedno źródło energii elektrycznej, to rozwiązanie takiego obwodu można przeprowadzić rozwiązując obwód dla każdego źródła oddzielnie i rozwiązania tak otrzymane dodać. Każde źródło usuwane z obwodu powinno zostawić po sobie rezystancję wewnętrzną.
Najlepiej ilustruje to rysunek: Ostateczne rozwiązanie obwodu otrzymuje się sumując rozwiązania cząstkowe, np. U = U E + U I oraz I = I E + I I
10.2. Twierdzenie o podobieństwie Jeżeli w liniowym obwodzie zasilanym jednym źródłem napięciowym o SEM równej E wybrany prąd (napięcie) ma wartość I (U), to w przypadku zasilania tego obwodu źródłem o SEM k razy większą, ten sam prąd (napięcie) będzie miał wartość k razy większą.
Dziękuję za uwagę. Do zobaczenia w grudniu.