Matematyka na poziomie GIMNAZJUM wersja β autor: strona autora: wachim@o2.pl www.wachim.webpark.pl
adad Wprowadzenie do pojęcia funkcja Zbiór Przez zbiór będziemy rozumieć pewną grupę określonych elementów, np.: jakąś kolekcję, grupę osób. Zbiór jest tzw.: pojęciem pierwotnym, czyli takim, którego się w matematyce nie definiuje. Przykłady zbiorów: - zbiór uczniów twojej szkoły - zbiór wszystkich ludzi na świecie - zbiór zwierząt hodowanych przez pana Zbyszka K. z Malechowa - zbiór wszystkich liczb naturalnych - zbiór wszystkich rzeczy materialnych na świecie - zbiór liczb wymiernych większych od 4 1 2
Przyporządkowanie Często ludzie w codziennym życiu elementom jednego zbioru przyporządkowują elementy innego zbioru. Przykładowo weźmy dwa następujące zbiory: zbiór osób twojej klasy (nazwijmy go zbiór A) i zbiór numerów w dzienniku lekcyjnym (nazwijmy go zbiór B). Wówczas możemy powiedzieć, że każdemu elementowi ze zbioru A przyporządkowany jest element ze zbioru B, tj.: Każdemu uczniowi jest przyporządkowany numer w dzienniku. Istotny jest tu kierunek przyporządkowania z A do B, czyli A B. Możemy także wprowadzić inne i różne niż powyższe przyporządkowanie B A, tj.: Numerom w dzienniku przyporządkowane są osoby uczniowie twojej klasy. Warto zauważyć, że uczniów jest np. 24, a numerów w dzienniku 42. Na kolejnym slajdzie podanych jest kilka różnych przyporządkowań.
Kilka banalnych przykładów przyporządkowań 1. Każdemu samochodowi przyporządkowujemy jego kolorystykę. 2. Każdemu człowiekowi przyporządkowujemy kolor jego oczu. (zakładamy, że jedna para oczu ma jeden kolor) 3. Każdej możliwej liczbie lat (jako wiek) przyporządkowujemy człowieka. 4. Każdemu człowiekowi przyporządkowujemy jego wzrost. 5. Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej kwadrat (jej drugą potęgę). 6. Każdemu człowiekowi na świecie przyporządkowujemy jego rasę. 7. Każdej rasie przyporządkowujemy jakiegoś człowieka.
Polecenie W poprzednich przykładach przyporządkowań określ zbiory. Zastanów się i następnie napisz, czym jest pojedynczy element każdego ze zbiorów.
Funkcja jako specjalny przypadek przyporządkowania Niech dane będą dwa zbiory A i B. Funkcją określoną na zbiorze A i wartościach w zbiorze B nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru A przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru B. (Warto zwrócić uwagę, że przez dokładnie jeden rozumiemy jeden i tylko jeden.) Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami, zbiór B nazywamy zbiorem wartości, a jego elementy wartościami.
Funkcja symbolika i przykłady Symboliczny zapis: f : A B czytamy: Funkcja f określona na zbiorze A o wartościach w zborze B. Tu i na kolejnych slajdach omówimy wcześniej przedstawione przykłady przyporządkowań. Niektóre z nich są funkcjami, ale nie wszystkie. Zaraz zobaczysz odsyłacz na stronę z przykładami, a tam identyczny powrotny do tej strony:. Aby stwierdzić czy mamy do czynienia z funkcją, powinniśmy sprawdzić dwie najistotniejsze sprawy zapisane w definicji funkcji, tj.: Czy wszystkie elementy z pierwszego zbioru są wykorzystane oraz czy każdy z pierwszego ma jeden i tylko jeden odpowiednik w zbiorze drugim.
Funkcja symbolika i przykłady c. d. W pierwszym przykładzie mamy funkcję, zbiór A zbiór samochodów, zbiór B zbiór wzorów kolorystycznych. Zauważamy, że ze zbioru A są brane pod uwagę wszystkie elementy (samochody) i każdy z nich ma dokładnie jeden wzór kolorystyczny. Przykład siódmy nie jest funkcją, gdyż w zbiorze ras, mimo, że wszystkie są wykorzystane, to jednak każdej nie jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru ludzi, a o wiele więcej. Dla jednej rasy mam wiele osób. Przykładzie wyjściowym o dzienniku przyporządkowanie A B jest funkcją, ale już B A nie jest, bo nie jest spełniony warunek definicji, że każdemu elementowi z pierwszego zbioru jest coś przyporządkowane. Z 42 numerów tylko część jest oznaczona nazwiskiem ucznia. Na kolejnym, ostatnim slajdzie są dwa polecenia. Wykonaj je pisemnie.
Funkcja dwa polecenia 1. Które z pozostałych przykładów stanowią funkcję? 2. Wymyśl dwa inne przykłady funkcji oraz trzy różne przyporządkowania, które funkcjami nie są. To na tyle... :-)