Ciągi i rekurencja, komputer dla matematyka. warsztaty towarzyszące konferencji Informatyka realnie prowadzą: Hanna Basaj Jan Aleksander Wierzbicki
|
|
- Bernard Duda
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ciągi i rekurencja, komputer dla matematyka warsztaty towarzyszące konferencji Informatyka realnie prowadzą: Hanna Basaj Jan Aleksander Wierzbicki
2 Ciągi określone rekurencyjnie w projekcie nowej podstawy programowej Treści nauczania wymagania szczegółowe
3 Warunki i sposób realizacji treści z podstawy programowej odnośnie ciągów
4 Rekurencja w matematyce Rekurencja w matematyce, jak również w informatyce, to odwoływanie się funkcji (ciągu, algorytmu) do samej siebie. Ze wzorem rekurencyjnym mamy do czynienia wtedy, gdy w definicji wyrazu n-tego mamy odwołanie do wyrazu o indeksie zależnym od n. Przykłady zadań z możliwością wykorzystania TIK. Zadania te można rozwiązać korzystając z arkusza kalkulacyjnego Excel z pakietu biurowego Ms Office lub innego dostępnego w chmurze np.: Arkusze Google wcześniej należy zalogować się na swoje konto Google Widoku Arkusza programu Geogebra 6.0 można korzystać bez logowania się
5 Przykłady zadań i zastosowanie TIK do ich rozwiązywania Zadanie 1 Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie a1 = 1 an+1= an-3n+1 dla n > 1 a) Oblicz 4 wyraz ciągu (an) b) Zbadaj monotoniczność ciągu (an) Rozwiązanie w Arkuszach Google Rozwiązanie w Widoku Arkusza w GeoGebrze
6 GeoGebra 6.0 dla każdego bez potrzeby logowania się - Korzystamy z platformy GeoGebra: - wybieramy opcję GeoGebra klasyczna - w menu GeoGebra Math Calculators wybieramy opcję Spreadsheet Calc
7 Kolejne zadania Rozwiązanie w Widoku Arkusza GeoGebry 6.0 Rozwiązanie w Widoku Arkusza GeoGebry 6.0
8 Ciąg rekurencyjne wokół nas Huragan Sandy r Źródło: /11/i4-przestepstwo-rekurencyjne.html Spiralnie ułożone pestki słonecznika według ciągu Fibonacciego Źródło: /02/zniesienia-fibonnaciego.html Źródło:
9 Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego pojawia się wszędzie wokół nas: w przyrodzie, architekturze, inżynierii, sztuce, fizyce, matematyce, w anatomii ludzkiego ciała. Jest to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie: an = 0 dla n = 0 Zaliczenie 0 do elementów ciągu jest kwestią umowną 1 dla n = 1 an 1 + an-2 dla n > 1 Kolejne wyrazy ciągu zwane liczbami Fibonacciego (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ) Tablica z kolejnymi liczbami Fibonacciego
10 Ciąg Fibonacciego skąd ta nazwa? Ciąg został opisany w dziele Liber abaci w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX wieku francuski matematyk Edouard Lucas. Lucas zajmował się algebrą, badał ciąg Fibonacciego, zajmował się rozrywkowymi zastosowaniami matematyki, wymyślił grę Wieże Hanoi w 1883 r.
11 Właściwości ciągu Fibonacciego Jeżeli podzielimy przez siebie dowolne, kolejne dwa wyrazy ciągu Fibonacciego to stosunek tych liczb będzie równy zawsze tej samej liczbie, równej w przybliżeniu Im większe wyrazy ciągu podzielimy, tym dokładniejsze przybliżenie tej liczby uzyskamy. Liczbę tę nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ Stosunek tego podziału określa się również mianem złotego podziału lub Boskiej proporcji.
12 Kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego i złota liczba Programowanie rekurencyjne czy iteracyjne?
13 Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Układ ziaren słonecznika
14 Ciąg Lucasa Liczby Lucasa są tworzone w taki sam sposób, jak liczby Fibonacciego, ale dwa początkowe wyrazy ciągu to 2 i 1. ln = l0 = 2 l1 = 1 tablica z kolejnymi liczbami Lucasa ln = ln-1 + ln-2 dla n > 1 Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału = 1, Kolejne elementy ciągu Lucasa, są równe zaokrągleniom kolejnych potęg liczby. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowania z kluczem jawnym.
15 Kod źródłowy rozwiązania w C++
16 Rodzina złotych ciągów, złota zasada Zadanie: Wybierzmy dwie dowolne liczby całkowite. Na ich podstawie stwórzmy ciąg (bn) powstający w ten sam sposób, co ciąg Fibonacciego. Dla dalszych, kolejnych wyrazów tego ciągu wyznaczmy stosunek bn bn 1 Co zauważymy? Istotnym elementem nie są pierwsze wyrazy ciągu, bn = lecz metoda powstawania ciągu, którą nazwiemy bn 1 złotą zasadą Przykładowe rozwiązanie zadania Przykład złotego ciągu z liczbami wymiernymi
17 Dziękujemy za udział w warsztatach
Ciąg Fibonacciego jako szczególny przykład ciągu określonego rekurencyjnie. Przykłady rekurencji w informatyce
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoRekurencja. Matematyka dyskretna
Rekurencja Matematyka dyskretna Rekurencja Definicja rekurencyjna (indukcyjna) nieformalnie: taka definicja, która odwołuje się do samej siebie, ale trzeba tu uważać, by odwołanie było do instancji o mniejszej
Bardziej szczegółowoWykład 8. Rekurencja. Iterować jest rzeczą ludzką, wykonywać rekursywnie boską. L. Peter Deutsch
Wykład 8 Iterować jest rzeczą ludzką, wykonywać rekursywnie boską. Smok podsuszony zmok (patrz: Zmok). Zmok zmoczony smok (patrz: Smok). L. Peter Deutsch Stanisław Lem Wizja lokalna J. Cichoń, P. Kobylański
Bardziej szczegółowoALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
KATEDRASYSTEMÓWOBLICZENIOWYCH ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH 1.Rekurencja Rekurencja inaczej rekursja (ang. recursion) to wywołanie z poziomu metody jej samej. Programowanie z wykorzytaniem rekurencji pozwala
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/14 Rekurencja Weźmy dla przykładu wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1.
Bardziej szczegółowoϕ =... LICZBA ZŁOTA Liczba ϕ
LICZBA ZŁOTA Liczba ϕ Liczba ta nie jest tak znana jak π czy e lecz nie mniej interesująca. Wyraża ona długość spełniającą warunek tzw. złotego podziału (ang. gold section, łac. sectio aurea lub inaczej
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. - oznacza, że a(1) = a 1, a(2) = a 2, a(n) = a n a 1, a 2, a 3, a 4,... a n a(n) a n
Ciągi liczbowe Spis treści Ciąg liczbowy Ciąg liczbowy skończony Ciąg liczbowy nieskończony Przykłady i sposoby określania ciągu, suma n początkowych wyrazów ciągu Suma n początkowych, kolejnych wyrazów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/10 rekurencja Wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1. Oto wartości silni
Bardziej szczegółowoRekurencja. Przygotowała: Agnieszka Reiter
Rekurencja Przygotowała: Agnieszka Reiter Definicja Charakterystyczną cechą funkcji (procedury) rekurencyjnej jest to, że wywołuje ona samą siebie. Drugą cechą rekursji jest jej dziedzina, którą mogą być
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Dzielenie wielomianów z wykorzystaniem schematu Hornera
Autorzy scenariusza: SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
Bardziej szczegółowoZłota liczba. Zajęcia matematyczno przyrodnicze w Szkole Podstawowej w Antolce
Złota liczba Zajęcia matematyczno przyrodnicze w Szkole Podstawowej w Antolce Ciąg Fibonacciego 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, Ciąg Fibonacciego ma wiele ciekawych własności. Zbadajmy
Bardziej szczegółowoRekurencja. Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów.
Rekurencja Rekurencja zwana także rekursją jest jedną z najważniejszych metod konstruowania rozwiązań i algorytmów. Zgodnie ze znaczeniem informatycznym algorytm rekurencyjny to taki który korzysta z samego
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 INFORMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Zadanie 1. a) (0 2) Egzamin maturalny z informatyki CZĘŚĆ I Obszar standardów
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursów szkoły programowania Halpress
Szczegółowy program kursów szkoły programowania Halpress Lekcja A - Bezpłatna lekcja pokazowa w LCB Leszno "Godzina kodowania - Hour of Code (11-16 lat) Kurs (B) - Indywidualne przygotowanie do matury
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno
Instrukcja laboratoryjna 6 Podstawy programowania 2 Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Wstęp teoretyczny Rekurencja (inaczej nazywana rekursją, ang. recursion)
Bardziej szczegółowo1. Rekurencje. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. zima 2016/2017
1. Rekurencje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)1. Rekurencje zima 2016/2017 1 / 41 1 Definicje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoRozkład materiału do realizacji informatyki w szkole ponadgimnazjalnej w zakresie rozszerzonym
Rozkład materiału do realizacji informatyki w szkole ponadgimnazjalnej w zakresie rozszerzonym opracowany na podstawie podręcznika, MIGRA 2013 Autor: Grażyna Koba W rozporządzeniu Ministra Edukacji Narodowej
Bardziej szczegółowoPraktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym.
Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Po uruchomieniu Geogebry (wersja 5.0) Pasek narzędzi Cofnij/przywróć Problem 1: Sprawdź co się stanie, jeśli połączysz
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI. prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine
SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI 1. Autor: Anna Wołoszyn prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine 2. Grupa docelowa: klasa 3 Gimnazjum 3. Liczba godzin: 1 4. Temat zajęć: Wykorzystanie własności
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozkłady materiału
Przykładowe rozkłady materiału Rozkład materiału do informatyki w zakresie podstawowym Przedstawiona propozycja rozkładu materału do informatyki w zakresie podstawowym ma charakter liniowy. Oznacza to,
Bardziej szczegółowoProgram nauczania informatyki w gimnazjum Informatyka dla Ciebie. Modyfikacja programu klasy w cyklu 2 godzinnym
Modyfikacja programu klasy 2 nym Cele modyfikacji Celem modyfikacji jest poszerzenie zakresu wiedzy zawartej w podstawie programowej które pomoże uczniom uzmysłowić sobie treści etyczne związane z pracą
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny:
Bardziej szczegółowoRozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II
Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja II Rozkład wymagający
Bardziej szczegółowoScenariusz zajęć. Temat: Tajemniczy Ciąg Fibonacciego. Czas: 3 godziny lekcyjne
Scenariusz zajęć Źródło: Scenariusz napisany w oparciu o projekt M. Bartosiewicz pt. Podobieństwa w matematyce i przyrodzie. Ciąg Fibonacciego wokół nas, scenariusz lekcji z informatyki Magiczna rodzina
Bardziej szczegółowoWybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej
Wybrane wymagania dla informatyki w gimnazjum i liceum z podstawy programowej Spis treści Autor: Marcin Orchel Algorytmika...2 Algorytmika w gimnazjum...2 Algorytmika w liceum...2 Język programowania w
Bardziej szczegółowoLeonardo Fibonacci (circa 1170 circa 1240)
Leonardo Fibonacci (circa 1170 circa 1240) to sympatycznie brzmiące nazwisko kryje w sobie łacińskie filius Bonacci, czyli syn Bonacciego; z kolei Bonaccio możnaby (z grubsza) tłumaczyć jako: poczciwiec.
Bardziej szczegółowoOd szczegółu do ogółu, praktyczne refleksje o nauczaniu informatyki wg nowej podstawy programowej
Od szczegółu do ogółu, praktyczne refleksje o nauczaniu informatyki wg nowej podstawy programowej Konferencja w ramach XII edycji Akademii TIK Nowa podstawa programowa z informatyki w świetle reformy oświaty
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. Wykład: 13. Rekurencja. dr Artur Bartoszewski -Podstawy programowania, sem 1 - WYKŁAD
Podstawy programowania Wykład: 13 Rekurencja 1 dr Artur Bartoszewski -Podstawy programowania, sem 1 - WYKŁAD Podstawy programowania Rekurencja - pojęcie 2 Rekurencja - pojęcie Rekurencja (rekursja) wywołanie
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i ich graficzna prezentacja
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI STYCZEŃ POZIOM ROZSZERZONY Część I
Organizatorzy: Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki, Oddział Kujawsko-Pomorski Polskiego Towarzystwa Informatycznego, Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Poznaniu, Centrum
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoRozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I
Zespół TI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ti@ii.uni.wroc.pl http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/ Rozkład materiału do nauczania informatyki w liceum ogólnokształcącym Wersja I Rozkład zgodny
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji Ozobot w klasie: Ciąg Fibonacciego
Scenariusz lekcji Ozobot w klasie: Ciąg Fibonacciego Opracowanie scenariusza: Richard Born Adaptacja scenariusza na język polski: mgr Piotr Szlagor Tematyka: Informatyka, Matematyka, Rekurencja, Fibonacci,
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji Ozobot w klasie: Prezentacja liczb trójkątnych i kwadratowych
Scenariusz lekcji Ozobot w klasie: Prezentacja liczb trójkątnych i kwadratowych Opracowanie scenariusza: Richard Born Adaptacja scenariusza na język polski: mgr Piotr Szlagor Tematyka: Matematyka, Informatyka,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Rekurencja, metoda dziel i zwyciężaj Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VIII Jesień 2014 1 / 27 Rekurencja Recursion See Recursion. P. Daniluk(Wydział
Bardziej szczegółowoBADANIE UMIEJĘTNOŚCI INFORMATYCZNYCH STUDENTÓW W KONTEKŚCIE ZAJĘĆ Z MATEMATYKI mgr inż. Dorota Żarek, dr Marcin Wata 20 września 2019
BADANIE UMIEJĘTNOŚCI INFORMATYCZNYCH STUDENTÓW W KONTEKŚCIE ZAJĘĆ Z MATEMATYKI mgr inż. Dorota Żarek, dr Marcin Wata 20 września 2019 Ankieta początkowa przeprowadzona w postaci papierowej, na kierunkach:
Bardziej szczegółowoFILO MATH ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH GAZETKA KOŁA MATEMATYCZNEGO CO W NUMERZE: PRZEGLĄD MATEMATYKÓW. W KAMIENNEJ GÓRZE
ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH W KAMIENNEJ GÓRZE FILO MATH GAZETKA KOŁA MATEMATYCZNEGO CZERWIEC 2014 NR 3 (5)/2014 CO W NUMERZE: PRZEGLĄD MATEMATYKÓW: Fibonacci.... Ogłoszenie Dzień otwartej szkoły..
Bardziej szczegółowoFUNKCJA REKURENCYJNA. function s(n:integer):integer; begin if (n>1) then s:=n*s(n-1); else s:=1; end;
Rekurencja Wykład: rekursja, funkcje rekurencyjne, wywołanie samej siebie, wyznaczanie poszczególnych liczb Fibonacciego, potęgowanie, algorytm Euklidesa REKURENCJA Rekurencja (z łac. recurrere), zwana
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY
Bardziej szczegółowoTemat: Konstrukcja prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do danej prostej k.
Temat: Konstrukcja prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do danej prostej k. Cel: Uczeń, przy użyciu programu GeoGebra, stworzy model przestrzenny graniastosłupa i wykorzysta go w zadaniach
Bardziej szczegółowoMicrosoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoJAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy PODSTAWY INFORMATYKI Fundamentals of computer science
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: TECHNOLOGIA INFORMACYJNA 2. Kod przedmiotu: Ot 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Informatyka
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowo2.7. Zakręt za zakrętem
https://app.wsipnet.pl/podreczniki/strona/38761 2.7. Zakręt za zakrętem DOWIESZ SIĘ w jaki sposób tworzy się skrypty rekurencyjne, jak rozwiązać problem wież Hanoi. RYSOWANIE GWIAZD Rysowaliście już wielokąty
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH
INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Moduł interdyscyplinarny: informatyka matematyka Rozmaitości matematyczne
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 9 Rekurencja
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 9 Rekurencja Rekurencja z łacińskiego oznacza to przybiec z powrotem - osiągniesz rzecz wielką, jeśli zawrócisz po to, by osiągnąć rzeczy małe Przykład:
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.
Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com,
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoCyfrowe portfolio język algorytmów Edycja I. dr Joanna Borgensztajn. Sylabus
Cyfrowe portfolio język algorytmów Edycja I Sylabus Cyfrowe portfolio język algorytmów edycja I Autor szkolenia: Opieka merytoryczna: Piotr Zwoliński A. Adresaci szkolenia Szkolenie przeznaczone jest dla
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa przedmiotu informatyka w szkole ponadpodstawowej
Nowa podstawa programowa przedmiotu informatyka w szkole ponadpodstawowej Konferencja metodyczna Informatyka realnie Maciej Borowiecki maciej.borowiecki@oeiizk.waw.pl Ośrodek Edukacji Informatycznej i
Bardziej szczegółowoTemat: Wykorzystywanie zasobów przez ucznia
Scenariusz zajęć II etap edukacyjny, zajęcia komputerowe Temat: Wykorzystywanie zasobów przez ucznia Treści kształcenia: Zajęcia komputerowe: 1. Wykorzystywanie komputera oraz programów i gier edukacyjnych
Bardziej szczegółowoMatematyka jest wszędzie W każdej nauce jest tyle prawdy ile jest w niej matematyki J.Kant
Matematyka jest wszędzie W każdej nauce jest tyle prawdy ile jest w niej matematyki J.Kant BUDOWA CIAŁA CZŁOWIEKA Matematyka jest miarą wszystkiego Arystotel Człowiek witruwiański rysunek autorstwa Leonarda
Bardziej szczegółowoMatematyka na poziomie GIMNAZJUM wersja β
Matematyka na poziomie GIMNAZJUM wersja β autor: strona autora: wachim@o2.pl www.wachim.webpark.pl adad Wprowadzenie do pojęcia funkcja Zbiór Przez zbiór będziemy rozumieć pewną grupę określonych elementów,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z INFORMATYKI dla klasy III gimnazjalnej, Szkoły Podstawowej w Rychtalu
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z INFORMATYKI dla klasy III gimnazjalnej, Szkoły Podstawowej w Rychtalu 1 Algorytmika i programowanie Rozwiązywanie problemów i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera, stosowanie
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania i wymagania edukacyjne dla klasy I III z informtyki
Przedmiotowy system oceniania i wymagania edukacyjne dla klasy I III z informtyki Przedmiotem oceniania są: - wiadomości, - umiejętności, - postawa ucznia i jego aktywność. Formy aktywności podlegającej
Bardziej szczegółowoProgramowanie i techniki algorytmiczne
Temat 2. Programowanie i techniki algorytmiczne Realizacja podstawy programowej 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych 2) formułuje ścisły opis prostej
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Arkusz I Instrukcja dla zdającego Czas pracy 90 minut 1. Proszą sprawdzić,
Bardziej szczegółowoO rekurencji i nie tylko
O rekurencji i nie tylko dr Krzysztof Bryś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 10 grudnia 2011 Intuicyjnie: rekurencja sprowadzenie rozwiązania danego problemu do rozwiązania
Bardziej szczegółowoISBN: Moim córkom: Liwii i Helence
Nasza Księgarnia Moim córkom: Liwii i Helence Copyright by Wydawnictwo Nasza Księgarnia, Warszawa 2017 Text and illustrations copyright by Anna Ludwicka 2017 Redaktor prowadzący Anna Garbal Opieka redakcyjna
Bardziej szczegółowoGrażyna Koba, Poradnik metodyczny. Informatyka dla gimnazjum Program nauczania wymagania na oceny PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA KLASA II
W rozporządzeniu MEN 1 określono, że Ocenianie osiągnięć edukacyjnych ucznia polega na rozpoznawaniu przez nauczycieli poziomu i postępów w opanowaniu przez ucznia wiadomości i umiejętności w stosunku
Bardziej szczegółowoInformatyka klasa III Gimnazjum wymagania na poszczególne oceny
Informatyka klasa III Gimnazjum wymagania na poszczególne oceny Algorytmika i programowanie Rozwiązywanie problemów i podejmowanie decyzji z wykorzystaniem komputera, stosowanie podejścia algorytmicznego
Bardziej szczegółowoCiąg arytmetyczny i jego własności
Ciąg arytmetyczny i jego własności Ćw.1. Ciąg (a ) określony jest wzorem an =3n-2. a) Oblicz wyrazy: a1; a2, a3, a5, a6. b) Oblicz różnice: a2-a1, a3-a2, a6-a5, a20-al9. c) Wyznacz różnicę an+l - an. d)
Bardziej szczegółowoSzyfrowanie RSA (Podróż do krainy kryptografii)
Szyfrowanie RSA (Podróż do krainy kryptografii) Nie bójmy się programować z wykorzystaniem filmów Academy Khana i innych dostępnych źródeł oprac. Piotr Maciej Jóźwik Wprowadzenie metodyczne Realizacja
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z INFORMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 1. Algorytmika i programowanie
Bardziej szczegółowoSkrypt 16. Ciągi: Opracowanie L6
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 16 Ciągi: 1. Ciągi liczbowe.
Bardziej szczegółowo3. Podaj elementy składowe jakie powinna uwzględniać definicja informatyki.
1. Podaj definicję informatyki. 2. W jaki sposób można definiować informatykę? 3. Podaj elementy składowe jakie powinna uwzględniać definicja informatyki. 4. Co to jest algorytm? 5. Podaj neumanowską architekturę
Bardziej szczegółowoREKURENCJA W JĘZYKU HASKELL. Autor: Walczak Michał
REKURENCJA W JĘZYKU HASKELL Autor: Walczak Michał CZYM JEST REKURENCJA? Rekurencja zwana rekursją, polega na wywołaniu przez funkcję samej siebie. Algorytmy rekurencyjne zastępują w pewnym sensie iteracje.
Bardziej szczegółowoZ nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II
Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II Wymagania na poszczególne oceny szkolne Grażyna Koba Spis treści 1. Algorytmika i programowanie... 2 2. Obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym... 4 3. Bazy
Bardziej szczegółowoZajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów
Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Arkusz II Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 6 stron (zadania 4 6) i czy dołączony jest do niego nośnik danych
Bardziej szczegółowoRekurencja. Przykład. Rozważmy ciąg
Rekurencja Definicje rekurencyjne Definicja: Mówimy, iż ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli: (P) Określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu, zwykle jest to pierwszy wyraz tego ciągu
Bardziej szczegółowoCyfrowe portfolio język algorytmów
Cyfrowe portfolio język algorytmów Warszawa, wrzesień 2018 Sylabus Cyfrowe portfolio język algorytmów Autor szkolenia: dr Joanna Borgensztajn Moderator kursu: Grzegorz Cześnik A. Adresaci szkolenia Szkolenie
Bardziej szczegółowo3. Opiekunki koła: Dr Edyta Juskowiak, Dr Edyta Nowińska.
Sprawozdanie z działalności Studenckiego Interdyscyplinarnego Koła Naukowego Dydaktyki Matematyki Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Koło Naukowe StuDMat
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne
Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem
Bardziej szczegółowoTechnologia informacyjna. Semestr zimowy 2017/2018 Zajęcia nr 8 (LibreOffice)
Technologia informacyjna Semestr zimowy 2017/2018 Zajęcia nr 8 (LibreOffice) Zadanie domowe Dokończ grę Mysz i ser w labiryncie. Arkusz kalkulacyjny z Wikipedii Arkusz kalkulacyjny program komputerowy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
POLITECHNIKA KRAKOWSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ELEKTRYCZNEJ i KOMPUTEROWEJ Katedra Automatyki i Technik Informacyjnych Algorytmy i Struktury Danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: STC s Punkty ECTS: 3. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Technologie informacyjne Rok akademicki: 2013/2014 Kod: STC-1-205-s Punkty ECTS: 3 Wydział: Energetyki i Paliw Kierunek: Technologia Chemiczna Specjalność: - Poziom studiów: Studia I stopnia
Bardziej szczegółowoSZKOŁA PODSTAWOWA IM. KS. ST. SŁOTWIŃSKIEGO W KAMIENIU UL. PIASKI 2A KAMIEŃ TEL.
SZKOŁA PODSTAWOWA IM. KS. ST. SŁOTWIŃSKIEGO W KAMIENIU UL. PIASKI 2A 32-071 KAMIEŃ EMAIL: KONTAKT@SZKOLAKAMIEN.PL TEL. 12 280 30 05 Wybuchające kropki, czyli wielkie boom na znanych i nieznanych wyspach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka
Bardziej szczegółowoCo to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu,
wprowadzenie Co to jest algorytm? przepis prowadzący do rozwiązania zadania, problemu, w przepisie tym podaje się opis czynności, które trzeba wykonać, oraz dane, dla których algorytm będzie określony.
Bardziej szczegółowo