BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH I WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA

I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSTYTUT FIZYKI UMK, TORUŃ Instrukcja do ćwiczenia nr 13 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH I WYMUSZONYCH PRZY POMOCY WAHADŁA POHLA 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest doświadczalne przybliżenie wybranych aspektów drgań mechanicznych, takich jak tłumienie i wymuszenie oscylacji, rezonans mechaniczny oraz związanych z nimi wielkości (np. stała/tempo tłumienia, częstotliwość rezonansowa) i pojęć (np. tzw. pełznięcie, oscylacje aperiodyczne). 2. Zagadnienia do przygotowania wielkości opisujące ruch periodyczny: amplituda, częstotliwość, faza, częstość kołowa oscylatory harmoniczne (szczególnie wahadło fizyczne), wahadło torsyjne, moment kierujący drgania swobodne, tłumione, stała i tempo tłumienia, drgania wymuszone, rezonans elektromagnesy, indukcja magnetyczna i prądy wirowe 3. Opis układu pomiarowego Głównym elementem układu pomiarowego jest wahadło torsyjne skonstruowane według projektu niemieckiego fizyka Roberta W. Pohla. Uproszczony schemat przyrządu przedstawia rys. 1. Jego kluczowymi elementami są koło wahadła i sprężyna spiralna przymocowana do koła wewnętrznym końcem. Obroty koła względem osi powodują zwijanie lub rozwijanie sprężyny, której naprężenie generuje siły reakcji warunkujące oscylacje. Opory ruchu (m. in. tarcie w łożyskach osi koła) są niewielkie, więc ich tłumienie jest stosunkowo słabe. Hamulec elektromagnetyczny, w który wyposażony jest przyrząd pozwala na dodatkowe tłumienie oscylacji, które można regulować zmieniając wielkość prądu elektrycznego w uzwojeniach elektromagnesu. Rys. 1. Uproszczony schemat wahadła Pohla (pokazano tylko elementy istotne dla ruchu wahadła). Elementem wykonującym drgania torsyjne jest koło wahadła (energia kinetyczna jego ruchu obrotowego może cyklicznie zmieniać się w energię potencjalną sprężystości zwijanej/rozwijanej sprężyny spiralnej i odwrotnie). Drgania te mogą być tłumione przy pomocy hamulca elektromagnetycznego (elektromagnesu wzbudzającego prądy wirowe w kole wahadła wykonanym z miedzi). Drgania wymuszone wywołuje się jednokierunkowym ruchem obrotowym koła napędu, który poprzez mimośrodowo zamocowany łącznik przekłada się na oscylacje dźwigni napędu odchylającej zewnętrzny koniec sprężyny spiralnej. Przy odpowiedniej częstotliwości obrotów koła napędu następuje wymuszenie silnych drgań wahadła. Aktualizacja: 2017-11-09 str. 1/6

Tłumione drgania własne wahadła bada się utrzymując nieruchomo zewnętrzny koniec sprężyny. Drgania wymuszone z kolei, mogą być wywołane przez wprawienie go w odpowiedni ruch. Dźwignia do której jest przymocowany, może odchylać się ruchem względem osi współliniowej z osią wahadła. Przenosi się on z zewnątrz na dźwignię za pośrednictwem łącznika przytwierdzonego mimośrodowo do koła napędzanego stałoprądowym silnikiem elektrycznym o regulowanej prędkości obrotów. Obie strony łącznika zakończone są sworzniami mocowanymi przegubowo. Regulacja prędkości obrotowej koła napędu dokonywana jest przy pomocy dwóch potencjometrów ustalających napięcie zasilania silnika. Ich pokrętła znajdują się na obudowie zespołu napędowego. Górne pokrętło służy do regulacji zgrubnej, dolne do precyzyjniejszego kontrolowania napięcia. Istnieje możliwość monitorowania wynikowego napięcia (dwa gniazda bananowe pozwalają na podłączenie woltomierza), nie należy jednak traktować go jako miary prędkości obrotowej napędu. Najpewniejszym sposobem ustalenia jej (co za tym idzie także częstotliwości pobudzania wahadła) jest pomiar czasu trwania określonej liczby (np. 10) pełnych obrotów koła napędowego i obliczenie czasu trwania jednego obrotu. Oprócz częstotliwości wymuszenia drgań, w pewnym zakresie można zmieniać także amplitudę pobudzania: zakres odchyleń kątowych zewnętrznego końca sprężyny spiralnej zależy od odległości pomiędzy punktem w którym łącznik przymocowany jest do dźwigni napędu i osią jej obrotu. Można go przesuwać wzdłuż dźwigni unieruchamiając w wybranym położeniu przez dokręcenie nakrętki sworznia przegubu. Niezbędne przyrządy dodatkowe: stoper, zasilacz laboratoryjny (regulowany) do zasilania hamulca elektromagnetycznego, zasilacz 24 VDC układu napędu wahadła, miernik uniwersalny (wykorzystywany jako amperomierz) oraz przewody zakończone wtykami bananowymi (5 sztuk). 4. Przebieg ćwiczenia 4.1. Przygotowanie układu pomiarowego Połączenia elektryczne powinny być wykonane zgodnie ze schematem z rys. 2. Początkowo, obwód hamulca pozostawiamy otwarty. Podczas pracy prąd w uzwojeniach elektromagnesu hamulca nie może przekraczać 2.5 A! Długotrwały prąd powyżej 2 A także może doprowadzić do przegrzania i uszkodzenia cewek. Układ napędu podłączamy do nieregulowanego zasilacza napięcia stałego. Początkowo, górne pokrętło regulatora prędkości obrotowej ustawiamy w lewym skrajnym położeniu (napęd wyłączony). Rys. 2. Schemat połączeń elektrycznych w obwodach hamulca elektromagnetycznego i napędu. UWAGA: Zasilacze mogą zostać włączone dopiero po sprawdzeniu układu przez opiekuna ćwiczenia! Obracając ręcznie koło napędu należy zaobserwować jak jego ruch przenosi się na dźwignię napędu, sprężynę spiralną i koło wahadła. Pozycję mimośrodu ustawiamy tak, by w położeniu równowagi wahadła (po ustaniu drgań) biały plastikowy znacznik jego koła wskazywał 0 na skali wychylenia. Jedna jednostka tej skali jest równoważna zmianie odchylenia kątowego wahadła o 7,2. 4.2. Badanie drgań własnych wahadła W tej części ćwiczenia obserwujemy ruch wahadła, który odbywa się bez wymuszania (zewnętrznej siły ciągle pobudzającej je do drgań). Interesują nas przejawy tłumienia zużywania energii dostarczonej jednorazowo (na początku, w postaci potencjalnej) na przezwyciężanie oporów ruchu. str. 2/6

4.2.1. W celu ustalenia okresu drgań wahadła przy braku zewnętrznego tłumienia wyznaczamy czas trwania ustalonej liczby cykli ruchu. Przy otwartym obwodzie hamulca elektromagnetycznego (prąd w uzwojeniach elektromagnesu JB = 0 A) powtarzamy sześciokrotnie sekwencję: odchylamy koło wahadła maksymalnie w jedną stronę i wypuszczamy, mierzymy stoperem czas trwania 20 pełnych cykli drgań i zapisujemy. Porada dotycząca sposobu wykonywania pomiarów czasu drgań wahadła **: Kolejne pomiary wykonujemy zmieniając kierunek, w którym wstępnie wychylamy koło wahadła. Stoper włączamy w momencie zakończenia pierwszego cyklu po wypuszczeniu wahadła (licząc zero ), wyłączamy przy zakończeniu cyklu zliczonego jako dwudziesty. Dane z pomiarów zbieramy w tabeli (np. tab. 1). Tab.1. Wyniki pomiarów czasów trwania ustalonej liczby drgań wahadła dla różnych wartości prądu powodującego hamowanie ruchu (tłumienie drgań). Prąd w uzwojeniach elektromagnesu J B /A Liczba cykli (z ampl. 1 jedn.) n 0 20 0,6 Czas trwania n cykli drgań t IB /s 4.2.2. Badamy drgania zachodzące przy tłumieniu dodatkowym czynnikiem zewnętrznym. Zamykamy obwód hamulca elektromagnetycznego. Mierzymy czasy drgań dla różnych prądów JB w jego uzwojeniach. Dla każdej z kilku wybranych wartości z zakresu 0 0,6 A, kolejno: pokrętłem regulacji napięcia zasilacza ustawiamy prąd JB monitorując wartość amperomierzem, odchylamy koło wahadła maksymalnie w jedną stronę, wypuszczamy i ustalamy liczbę (n) pełnych cykli drgań wykonywanych przez wahadło z amplitudą nie mniejszą niż 1 jednostka skali wychylenia (ustalenie n może wymagać kilku prób), sześciokrotnie: maksymalnie odchylamy koło wahadła, wypuszczamy i, podobnie jak poprzednio (** licząc jednak wszystkie cykle, z pierwszym włącznie), mierzymy stoperem czas trwania n pełnych cykli drgań i zapisujemy wyniki w tabeli. W części ćwiczenia opisanej poniżej badamy skutki tłumienia na tyle silnego, że traktowanie ruchu jako powtarzalnych drgań traci typowy sens nawet w jednym cyklu maksymalne wychylenia w przeciwne strony różnią się istotnie. Przy jeszcze mocniejszym tłumieniu do oscylacji nie dochodzi wcale - postać takiego ruchu nazywana jest pełznięciem. Od oscylacji oddziela go szczególny przypadek, tzw. aperiodyczny (tłumienia krytycznego, przy którym wychylone koło porusza się do położenia równowagi bez oscylacji i w najszybszym możliwym tempie). UWAGA: nie należy niepotrzebnie przedłużać czasu, w którym prąd w obwodzie hamulca elektromagnetycznego przekracza 2 A. W przerwach obserwacji drgań obniżamy prąd do wartości nie powodujących silnego rozgrzewania uzwojeń elektromagnesu (tj. poniżej 1 A). 4.2.3. Obserwacja ruchów aperiodycznych i pełznięcia. Stopniowo zwiększając prąd w uzwojeniu elektromagnesu obserwujemy jak silne tłumienie powoduje, że drgania przechodzą w pełznięcie. Staramy się ustalić wartość graniczną prądu (Jk), przy której koło wahadła przestaje wychylać się w drugą stronę. Należy wykonać kilka prób dla sprawdzenia rozrzutu wyników, pamiętając o przerwach potrzebnych na schłodzenie uzwojeń rozgrzanych dużym prądem. By nie tracić czasu można rozpocząć kolejne etapy ćwiczenia wracając kilka razy do sekwencji wyznaczania prądu Jk. str. 3/6

4.3. Badanie drgań wymuszonych wahadła W tej części ćwiczenia wykorzystujemy napęd przyrządu do pobudzania wahadła torsyjnego do drgań. Wymuszenie periodyczne o regulowanej częstotliwości umożliwia obserwację zjawiska rezonansu mechanicznego i potwierdzenie związanych z nim prawidłowości. Na wstępie ustalamy amplitudę bodźca pobudzającego unieruchamiając (przy pomocy nakrętki) sworzeń łącznika na dźwigni napędu (w zaleconej przez opiekuna odległości od osi obrotu, lub w połowie zakresu możliwych zmian). Staramy się określić (w przybliżeniu) zakres ruchów dźwigni w jednostkach skali wychylenia koła wahadła (notujemy wartość na użytek sprawozdania). Przed przystąpieniem do dalszych obserwacji i pomiarów należy także wybrać i ustawić wielkość tłumienia (prąd JB). Nietłumione wahadło przy rezonansowym pobudzaniu z łatwością osiąga amplitudę drgań przekraczającą zakres maksymalnych wychyleń wyznaczony przez ograniczniki ze sprężystego drutu. Pomiary w takich warunkach nie są miarodajne, ponieważ ograniczniki pochłaniają przy uderzeniu trudną do ustalenia część energii kinetycznej wahadła. Częstość bodźca wymuszającego regulujemy zmieniając prędkość obrotów koła napędu przy pomocy potencjometrów. Po każdej zmianie ich ustawienia należy uzyskać dane pozwalające na wyznaczenie okresu obrotów koła (metodą analogiczną jak przy ustalaniu okresu drgań wahadła). Wykonujemy sekwencje pomiarów, które pozwolą na przygotowanie tzw. krzywych rezonansowych, przedstawiających zależność amplitudy drgań wahadła od częstotliwości pobudzania: wyznaczając amplitudę wzbudzonych oscylacji dla różnych prędkości obrotów koła napędu. Pojedynczy punkt pomiarowy uzyskujemy następująco: ustawiamy potencjometrami prędkość obrotów koła mierząc czas trwania wybranej liczby cykli, unieruchamiamy koło wahadła (najlepiej w pozycji bliskiej położeniu równowagi), uwalniamy wahadło i obserwujemy możliwe stopniowe narastanie drgań; zwracamy szczególną uwagę na relację faz ruchu dźwigni napędu i koła wahadła, czekamy na osiągnięcie przez wahadło maksymalnego zakresu wychyleń utrzymującego się stabilnie z okresu na okres. Odczytujemy ze skali maksymalne wychylenia w lewo i w prawo, zapisujemy wyniki w tabeli (np. tab. 2). Tab.2. Wyniki pomiarów czasów trwania ustalonej liczby obrotów napędu, odpowiadających im maksymalnych wychyleń koła oraz obserwacji relacji fazowych pomiędzy oscylacjami wahadła i wymuszeniem. Liczba Maksymalne wychylenie wahadła Opis zależności fazowej pomiędzy Czas trwania k obrotów koła obrotów w lewo w prawo wychyleniem dźwigni napędu k t /s i wychyleniem koła wahadła A l /(jednostka skali) A p /(jednostka skali)...... Pomiary zaczynamy od małych wartości częstości wymuszenia (np. około 0,1 Hz, odpowiednio ustawiając górny (zgrubny) potencjometr napędu. Przy wzroście tempa pobudzania, w pobliżu rezonansu amplituda rośnie coraz szybciej więc zmian dokonujemy także dolnym potencjometrem. Po przekroczeniu częstotliwości rezonansowej amplituda zaczyna się zmniejszać (coraz wolniej, więc przy dalszym zwiększaniu tempa wymuszania możemy ponownie używać tylko potencjometru zgrubnej regulacji). Porada dotycząca zestawu wartości częstości wymuszania: Nie należy tracić czasu na ustawianie konkretnych okrągłych wartości prędkości obrotowej koła napędu. Lepiej wykorzystać go do zgromadzenia większej liczby punktów pomiarowych, zwłaszcza dla częstości bliskich rezonansowi. Zależność amplitudy drgań wahadła od częstotliwości wymuszania należy wyznaczyć przynajmniej dla dwóch (istotnie różnych) wariantów tłumienia (np. J B = 0,1 A i J B = 0,6 A). Dla każdego z nich sporządzamy oddzielną tabelę (lub sekcje tab. 2) z danymi. Po wykonaniu pomiarów wyłączamy zasilacze, rozłączamy obwody elektryczne i porządkujemy stanowisko laboratoryjne. str. 4/6

5. Opracowanie wyników 5.1. Drgania własne wahadła Na podstawie danych z tab. 1 obliczamy średnie wartości (i szacujemy niepewności) okresów T drgań wahadła dla różnych wielkości tłumienia oscylacji hamulcem elektromagnetycznym. Obliczamy także odpowiadające im częstotliwości f i częstości kołowe i ich niepewności. Dane należy umieścić w tabeli (np. tab. 3). Przenosimy do niej również liczby drgań wykonanych przez wahadło zanim ich amplituda spadła z 20 do 1 jednostki skali. Stanowi ona przybliżoną miarę tempa tłumienia. Pozwala na oszacowanie wartości stałej tłumienia, które również umieszczamy w tabeli. We wnioskach analizujemy zgodność otrzymanych wyników z oczekiwaniami opartymi na założeniu, że wahadło stanowi oscylator harmoniczny oraz formułujemy wnioski na temat działania hamulca elektromagnetycznego. Tab.3. Parametry drgań wahadła dla różnych wielkości tłumienia (natężenia prądu w uzwojeniach hamulca elektromagnetycznego). Prąd w uzwojeniach elektromagnesu J B /A Okres drgań wahadła T/s Częstotliwość f /Hz Częstość kołowa /(rad/s) Liczba cykli (z ampl. 1 jedn.) n Stała tłumienia (szacunkowo) /(1/s) 0 ± ± ± --- --- ± ± ± 0,6 ± ± ± ± J k = ± Tłumienie krytyczne δ k = Analizujemy dane pomiarowe związane z tłumieniem krytycznym. Wyznaczoną wartość prądu Jk umieszczamy w ostatnim wierszu tab. 3 dla porównania z wartościami odpowiadającymi oscylacjom. Na podstawie danych o okresach drgań wahadła szacujemy wartość stałej tłumienia δ k dla przypadku aperiodycznego, również podając ją w tabeli. Sprawozdanie powinno zawierać wyjaśnienie podstaw szacowania δ i δ k. 5.2. Drgania wymuszone wahadła Korzystając z danych uzyskanych podczas badania drgań wymuszonych przygotowujemy wykres zawierający punkty pomiarowe zależności amplitudy drgań wymuszonych od częstotliwości wymuszania. W tym celu: obliczamy prędkości obrotowe koła napędu i odpowiadające im częstości kołowe n oraz amplitudy drgań wymuszonych A (jako średnie z maksymalnych wychyleń w lewo i w prawo, przeliczone na kąt w stopniach), sporządzamy wykres A = f(ω n ) zaznaczając punkty pomiarowe odpowiadające różnym wielkościom tłumienia różnymi znacznikami. Należy je także połączyć liniami pomocniczymi (odcinkami prostej), które będą w przybliżony sposób odzwierciedlać krzywe rezonansu. Możliwą (trudniejszą) opcją jest dopasowanie krzywych Lorentza do punktów zależności natężenia drgań od częstości wymuszania ( A 2 (ω n )). We wnioskach należy ocenić jakościową zgodność wyników pomiarów z przewidywaniami teoretycznymi odnośnie amplitud (lub natężeń) drgań a także zależności fazowych pomiędzy oscylacjami i bodźcem wymuszającym. str. 5/6

6. Informacje pomocnicze Oznaczenia stosowane w tej instrukcji są zgodne z tymi, które często używane są w literaturze do opisu zagadnienia drgań oscylatora harmonicznego. Ruch wykorzystywanego w ćwiczeniu wahadła torsyjnego można opisać równaniem różniczkowym: Iφ + Cφ + κφ = F(t) (1) gdzie: kąt wychylenia wahadła (kropki nad tą zmienną oznaczają odpowiednio pierwszą i drugą pochodną po czasie t), I moment bezwładności wahadła, C współczynnik charakteryzujący działanie hamulca elektromagnetycznego, parametr określający własności sprężyny spiralnej, F(t) moment siły wymuszającej drgania. Jeżeli przyjąć, że jest współczynnikiem, który nie zależy ani od ani od t, to wahadło uznaje się za oscylator harmoniczny. Jeśli ten sam warunek spełniają I oraz C, to rozwiązanie równania (1) można przeprowadzić według typowego schematu. Stosując oznaczenia: ω 0 2 = κ I, δ = C 2I i E(t) = F(t) I równanie (1) można przekształcić do formy ułatwiającej znalezienie rozwiązań φ(t): φ + 2δφ + ω 0 2 φ = E(t), (3) podawanej często jako ogólne równanie tłumionego oscylatora harmonicznego z wymuszeniem. Podstawowym parametrem oscylatora jest 0 - częstość kołowa drgań swobodnych (bez tłumienia i bez wymuszenia). Współczynnik określany jest jako stała tłumienia. Jej wartość (w relacji do 0) decyduje o przebiegu ruchu, co w kilku aspektach demonstrowane jest w ćwiczeniu. Tzw. jednorodna postać równania (3) z E(t) = 0, opisuje drgania własne (część doświadczenia opisana w sekcji 4.2). Typowym matematycznym modelem wymuszenia jest E(t) = E 0 sin(ω n t). Należy mieć jednak świadomość, że w większości praktycznych przypadków (w tym również napędu wykorzystywanego w ćwiczeniu wahadła Pohla) funkcja ta stanowi uproszczenie, którego konsekwencje należy rozważyć. (2) 7. Literatura D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom 2, PWN, Warszawa 2007 T. Dryński, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, wyd. VI, PWN, Warszawa 1977 (lub inne wydanie) A. Zawadzki, H. Hofmokl, Laboratorium fizyczne, wyd. IV, PWN, Warszawa 1968 (lub inne wydanie) H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, wyd. IX, PWN, Warszawa 1997 (lub inne wydanie) A. Bielski, R. Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów, wyd. II, Wydawnictwo Naukowe UMK, Toruń 2001 str. 6/6