1 Grudziądzki Konkurs Matematyczny 009 Klasy drugie - podstawa _P.1 Funkcja liniowa str. _P. Funkcja kwadratowa str. _P. Wielomiany i funkcje wymierne str. 4 _P.4 Geometria analityczna str. 5 _P.5 Trygonometria str.10
_P.1 Funkcja liniowa 1. Wykres funkcji y = kx przecina oś OX w punkcie A i oś OY w punkcie B. Jaką liczbą musi być liczba k, aby współrzędne punktów A i B spełniały warunek: OA = OB? ( O początek układu współrzędnych ). Narysuj wykres funkcji f, której dziedziną jest zbiór wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych mniejszych od 0 i f( n ) = NWD ( n, 7 ). Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.. Narysuj wykres funkcji f, a następnie podaj jej miejsca zerowe oraz zbiór rozwiązań równania f(x)=, jeżeli dla x (, ) 6, ) x + 6 dla x, 1) f ( x) = x + dla x 1, ) x 10 dla x,6 ) 4. Dane są zbiory A = {( : x + y 6 0 x R y R }, B = {( : x + y 0 x R y R } oraz C = {( x, y ) : y > 4 x R y R}. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór ( C B) \ A. 5. Napisz układ nierówności opisujących trójkąt równoboczny ABC o wierzchołkach A(-,0) oraz B(,O). Rozważ dwa przypadki. 6. Jeden z wierzchołków kwadratu ma współrzędne (0,0), a punkt (4,) jest środkiem symetrii kwadratu. a) znajdź równania prostych, w których zawierają się przekątne kwadratu. b) oblicz obwód i pole kwadratu. 7. Punkty A(0,0) i C(,8) są wierzchołkami prostokąta ABCD. Jego przekątna BD zawiera się w prostej 1 1 y = x + 4. Oblicz obwód i pole tego prostokąta. 4 4 8. Opisz za pomocą układu nierówności zbiór przedstawiony na rysunku 8. Dane są cztery współśrodkowe okręgi o środku O i promieniach długości: 1,,, 4. Określono funkcję f (x) gdzie x oznacza odległość dowolnej prostej od środka okręgów, a y liczbę jej punktów wspólnych z okręgami. Określ dziedzinę D f funkcji f i napisz wzór opisujący tę funkcję. 9. Pracodawca, zatrudniając pracownika zaproponował dwa warianty umowy dotyczące wynagrodzenia: umowa I : 1000 zł oraz premia 10 % od zysku firmy; umowa II : 0 % od zysku firmy powyżej 000 zł. y =, a) zilustruj na wykresie na wykresie zależność wynagrodzenia pracownika w zależności od zysku firmy w obu wypadkach; b) opisz za pomocą wzoru tę zależność w obu wypadkach; c) który z wariantów jest korzystniejszy dla pracownika? ( odpowiedź uzasadnij ). 10. Dwudziestolitrowy gąsior na wino waży,5 kg, zaś 1 litr wina waży 0,96 kg. a) Podaj wzór funkcji określającej zależność ciężaru gąsiora z winem od objętości znajdującego się w nim wina. Podaj dziedzinę funkcji. b) Oblicz, ile litrów wina jest w gąsiorze, który waży 10 kilogramów. c) Czy 5 litrowy gąsior wraz z winem może ważyć 0 kilogramów? Uzasadnij odpowiedź. 11. Prędkość rozchodzenia się głosu w powietrzu w temperaturze 0 C wynosi 40 m/s. za pomocą pomiarów stwierdzono, że gdy temperatura wzrasta o 1 C, prędkość głosu wzrasta o 6 m/s. Napisz wzór funkcji określającej zależność prędkości głosu od jego temperatury. Narysuj wykres tej funkcji 1. Pan X otrzymuje stałą płacę zasadniczą plus wynagrodzenie za nadgodziny, obliczane według stałej stawki. W styczniu miał 10 nadgodzin i otrzymał 150 zł. W lutym miał aż 40 nadgodzin i otrzymał 1650 zł. Oblicz, ile wynosi:
a) stawka za godzinę nadliczbową b) jego płaca zasadnicza c) podaj wzór opisujący wynagrodzenie przy x nadgodzinach 14. W trzycyfrowej liczbie, w której suma cyfr równa się 9, cyfra dziesiątek równa się średniej arytmetycznej cyfr setek i jedności. Jeżeli do tej liczby dodamy 198, to otrzymamy liczbę złożoną z tych samych cyfr, ale zapisanych w odwrotnej kolejności. Jaka to liczba? 15. Robotnik kopał dół. Na zapytanie przechodnia, jak głęboki będzie ten dół, odpowiedział: Mój wzrost wynosi 1 m 80 cm. Gdy wykopię dół do końca, moja głowa będzie o tyle powyżej powierzchni ziemi, o ile teraz, gdy już wykopałem połowę głębokości dołu, jest powyżej niej. Jaka będzie głębokość dołu? 16. Piotr wyszedł z domu mając w kieszeni pewną liczbę złotówek i pięciozłotówek, razem kwotę większą od140 a mniejszą od 150 zł. Wydał trzecią część posiadanej gotówki. Pozostało mu tyle złotówek, ile miał pięciozłotówek i tyle pięciozłotówek, ile przedtem miał złotówek. Ile miał złotówek i pięciozłotówek, gdy wychodził z domu? 17. Do 0 litrów białej farby dodano jeden litr zielonego pigmentu uzyskując kolorową farbę. W trakcie wykonywania prac malarskich okazało się, że brakuje 6, litra kolorowej farby. Ile litrów farby białej oraz pigmentu należy użyć, aby uzyskać farbę w takim samym kolorze, jak podczas pierwszego mieszania? 18. W pierwszym dniu denominacji złotego za 80 złotych można było kupić 0 dolarów i 0 marek. Kurs marki w tym dniu był o 8 groszy wyższy od 60% kursu dolara. Jaki był kurs dolara, a jaki kurs marki w tym dniu? 19. W magazynie znajduje się 5000 pralek. W każdym dniu dział produkcji dostarcza 150 nowych pralek, a do sklepów wysyła 00 pralek. O ile należy zwiększyć dzienną produkcję, aby pralek wystarczyło na 00 dni? 0. Na kamieniu grobowym wielkiego matematyka greckiego z epoki aleksandryjskiej - Diofantosa widniał ułożony przez Eutropiusza napis tej treści: Przechodniu! Pod tym kamieniem spoczywają prochy Diofantosa, który zmarł w głębokiej starości. Przez szóstą część swego długiego życia był dzieckiem, a dwunastą młodzieńcem. Przez następną siódmą część życia był nieżonatym. W pięć lat po pojęciu małżonki urodził się syn, który dożył do wieku dwakroć mniejszego od lat ojca. W cztery lata po śmierci syna zasnął snem wiecznym Diofantos, opłakiwany przez swych najbliższych. Powiedz jeśli umiesz obliczyć, w jakim umarł on wieku? _P. Funkcja kwadratowa 1. Miejscami zerowymi pewnej funkcji kwadratowej f są liczby i 5, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział 1,+ ). a) Podaj wzór funkcji b) określ przedziały monotoniczności funkcji. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji określonej wzorem f(x) = -(x + )(x - 4) w przedziale 1,.. Dana jest funkcja f(x)= x + bx + c. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, jeśli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby i 5. 4. Napisz wzór funkcji kwadratowej, która ma największą wartość równą 6, a jej wykres jest symetryczny względem osi OY oraz przechodzi przez punkt (1,4). 5. Dana jest funkcja f(x)= - x +x + 8. a) podaj wzór funkcji g, gdzie g(x)=f(x-1)+7 b) wyznacz zbiór wartości funkcji g 6. Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś rzędnych w punkcie (0,-), natomiast wierzchołek paraboli ma 1 współrzędne (, ). 4 8 a) Podaj wzór funkcji f. b) wyznacz przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne 7. Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = ax 1x + c. Wiedząc, że dla x = 1,5 funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą 4, wyznacz a i c oraz sprowadź ją do postaci iloczynowej. 8. Dla jakich wartości m funkcja określona wzorem f(x) = 0,75x + ( m 1)x + m 1 nie przyjmuje wartości dodatnich? 9. Dla jakich wartości c funkcje określone wzorami f(x) = x + c i g(x) = x + x 5 mają rozłączne zbiory wartości? 10. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f(x), o której wiemy, że: x 0 1 f(x) 0 8 Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli i wykonaj wykres funkcji f. 11. Jaki warunek spełnia k, gdy największa wartość funkcji f(x) = x + kx k + 1 jest większa od 1?
1. Dla jakich wartości c funkcja określona wzorem f(x) = x cx ma dwa miejsca zerowe, które na osi OX są położone symetrycznie względem liczby 1? 1. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z wierzchołków leży w przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było największe. 14. Rozwiązaniem nierówności ax + bx + c 0 jest przedział, 4, a wykres funkcji y = ax + bx + c przecina oś OY w punkcie (0;8). Wyznacz współczynniki a i b. 15. Funkcja kwadratowa y = ax + bx + 1 maleje w przedziale ;+ ), a jej zbiorem wartości jest przedział (- ;5. Wyznacz współczynniki a i b. 16. W trójkącie suma długości podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę jest równa 1 cm. Przy jakiej długości podstawy pole tego trójkąta ma największą wartość? 17. Liczba dwucyfrowa ma w rzędzie jedności cyfrę. Iloczyn tej liczby przez liczbę otrzymaną z przestawienia kolejności cyfr tej liczby jest równy 76.Jaka to liczba? 18. Funkcja kwadratowa f(x) = - x + bx +c przyjmuje jednakowe wartości dla argumentów 1 i 5.Do wykresu funkcji należy początek układu współrzędnych. Wyznacz wartości współczynników b i c. 19. Funkcja określona jest wzorem: f(x) = x 9x + c, gdzie c R. Wyznacz wszystkie wartości współczynnika c, dla których: a. Funkcja f nie ma miejsc zerowych b. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, należy do prostej o równaniu y = x. 0. Na podstawie rysunku podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: 4 _P. Wielomiany i funkcje wymierne Zad. 1 Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W ( x ) = x ax x + b, wiedząc, że W ( 1 ) = oraz w ( 0 ) =. Zad. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia x + y, wiedząc, że x +y =. Zad. Dane są wielomiany: Q(x) = x 4-8x + x -4x+9 oraz P(x) = x 9x +7x +6. Oblicz wartości m i n dla których wielomian W(x) = x 4 + ( m 4 )x ( n + 6 )x 8x jest równy wielomianowi Q(x) P(x). Zad.4 Wielomian W(x) czwartego stopnia ma następujące pierwiastki: 0, -4, 5, ½. Rozwiąż nierówność: W(x) 0, wiedząc, że: W(1) = 1. Zad 5. Dane są wielomiany: W(x) = x - x, P(x) = ax -0,5b Q(x) = x x x +. Dla jakich wartości parametrów a oraz b spełniona jest równość: ( x) P( x) Q( x) W =? Zad 6. Zbuduj wielomian stopnia n, który ma dokładnie dwa pierwiastki r,s, gdy a )n=, r=, s=- b )n=4, r=1, s= Zad 7. Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego wielomian W (x)= (x-)(x-+m)(x-1-m) a) ma jeden pierwiastek b) ma dwa różne pierwiastki c) ma trzy różne pierwiastki? Zad 8. Dla jakich wartości parametru m całkowitego wszystkie pierwiastki równania (x m)(x m )(x+10m 19) są dodatnie? Dla znalezionej wartości m rozwiąż nierówność (x m)(x m )(x+10m 19)>0 Zad 9. Dla podanego wielomianu W(x) = (x+1)(x )(x+1,5) określ stopień, oblicz jego pierwiastki i podaj dla jakich wartości x wielomian przyjmuje wartości nieujemne. Zad 10. Napisz wielomian najniższego stopnia mając zbiór jego pierwiastków c) { 1, -,, -4 } d) { 1, -, m-1, 5-m } uzasadnij odpowiedź w tym przypadku od wartości parametru m Zad. 11 Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia
a) 4 a + 1 4x 4 + ; b) x + 1 x 1 + ; c) a + a a 4 x + 1 x 1 ( )( ) ( ) x 4y x y x y Zad. 1 Oblicz wartość liczbową wyrażenia ( x ( x + ( x + Zad. 1 Na rysunku został przedstawiony wykres pewnej proporcjonalności odwrotnej f. a) napisz wzór funkcji f b) dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 5 1? c) Oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 1 m m dla x=1, i y=1,5 6 4 m : m Zad. 14 Rozwiąż równania x x x 1 a) = 0 ; b) = x 1 x x + 1 5 Zad. 15 Rozwiąż nierówność < i podaj najmniejszą liczbę x 17 naturalną należącą do zbioru rozwiązań tej nierówności. Zad. 16 Pole prostokąta jest równe 6 m. Napisz wzór funkcji wyrażającej zależność między długością jednego boku tego prostokąta a długością drugiego. Sporządź jej wykres. Zad. 17 Wykres funkcji f ( x) = przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi OX i o jedną jednostkę w dół x wzdłuż osi OY a) sporządź wykres tej funkcji ax + b b) podaj wzór tej funkcji i zapisz go w postaci g( x) = cx + d c) wyznacz miejsca zerowe tej funkcji. Zad. 18 Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z miasta A. Po pewnym czasie pierwszy znajdował się 0 km od tego miasta, a drugi 40 km. Średnia prędkość drugiego samochodu była o 0 km/h mniejsza od pierwszego. Znajdź średnie prędkości z jakimi poruszały się samochody. x Zad. 19 Sprawdź, czy rozwiązania równania x + 1 = należą do zbioru rozwiązań nierówności x x + Zad. 0 Gdy jest otwarty kran na ciepłą wodę, to napełnienie całej wanny trwa o 7 minut dłużej niż gdy jest otwarty kran na zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte, to napełnienie pustej wanny odbywa się w czasie 1 minut. Ile czasu potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy okręcony jest tylko kran na zimną wodę? 5 < + 6m 1 _P.4 Geometria analityczna 1) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty: (0 ; 0), (1 ; 4) (0 ; 0), (1 ; ) (0 ; 0), ( 1 ; ) (0 ; 0), ( ; 7) (1 ; ), ( 1 ; 4) ( ; 7), (1 ; 4) ( 1 ; ), (1 ; 4) (1 ; ), (4 ; 8) ( 1 ; 1), (1 ; ) (1 ; ), ( ; 4) (10 ; 10), ( 1 ; ) (1 ; 4), (1 ; 7) (7 ; ), ( ; ) ( 7 ; 7), ( 14 ;14), ( ; 5), (0 ; 1) ( ( ; ), (5 ; ; ), ( ; 7), ) ) Znajdź współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty: (; 5), (5 ; 9), (;11), (4 ; 8), (;8), (1; ), ( ; 0), ( 6 ;1) ( ; 5), (5 ; 9), ( 5 ; ), (5 ; 7).
6 x + 1 dla x ( ; > ) Narysuj wykres funkcji: a) y = 5 dla x (;4 > x 1 dla x (4; + ) b) c) d) x dla x ( ; > y = x + dla x (-;0 > x + dla x (0;) x dla x < ; + ) x y = x + x + x x + 4 y = x + x x dla x ( ; > dla x (-;0 > dla x (0; > dla x (; + ) dla x < 4; ) dla x < -;0) dla x < 0;) dla x < ;4 > 4) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt ( 4 ; 6) i równoległej do osi a) OX, b) OY. 5) Dany jest czworokąt ABCD, gdzie A=(0 ; 0), B=(6 ; 0), C=(14 ; 8) i D=( ; 8). Znajdź współczynniki kierunkowe prostych, w których zawierają się boki tego czworokąta. 6) Znajdź c, jeśłi prosta o współczynniku kierunkowym 0,75 przechodzi przez punkty C=(c ; 5) i D=(- ; ). 7) Pewien obiekt porusza się po linii prostej przez ounkty o współrzędnych ( ; 0) i ( ; ). Punkt ten przejdzie także przez punkt o wsółrzędnych (0 ; k). Znajdź wartość k. 8) Znajdź wartość parametru t, wiedządz, że punkt (4 ; ) leży na prostej o równaniu 5x+ty=. Znajdź równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez początek układu współrzędnych. 9) Punkt A=(6 ;1) należy do prostej prostopadłej do prostej x+y=. Znajdź punkt wspólny obu prostych. 10) Dane są punkty A=( ; 1), B=(4 ; 0), C=(1 ; ) i D=(0 ; ). Sprawdź czy są one wierzchołkami równoległoboku ABCD. 11) Znajdź równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A=(1 ; 1), B=(5 ; ). 1) Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie Ax+By+C=0, gdzie A, B, C R są współczynnikami oraz A +B 0. Napisz warunek a) równoległości, b) prostopadłości prostych w postaci ogólnej. 1) Uzasadnij, że trójkąt, którego boki zawierają się w prostych x+y=6, y 4x=0, y+0,75x=1 jest prostokątny. 14) Dla jakich warrtości k linia prosta o równaniu x+ky= jest a) prostopadła, b) równoległa do prostej o równiu x+y=1? 15) Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P: 4 1 a) k : y= x + 11, P=( ; ), b) k : y= c) k : y= 7, P=(0 ; 5), d) k : x=4,5, P=( 1 ; 1 ). x, P=( 8 ; ),
7 16) Znajdź równania prostych prostopadłych k 1, k przecinających się w punkcie ( ; 4), jeśli jedna z nich przecina os OX dla x= 6. O ile procent większe jest pole trójkąta ograniczonego tymi prostymi i osią OX od pola trójkąta ograniczonego tymi prostymi i osią OY? 17) Dla jakich wartości parametru m proste k 1, k są prostopadłe? a) k 1 : x+my -9=0, k : 0,1x 0,0y+=0, b) k 1 : 4x 9y 7=0, k : (4m 4)x m y+17=0. 18) Dla jakich wartości parametru m proste x y =0 i x+my 4=0 przecinają w tym samym punkcie : c) oś OX, b) oś OY c) prostą y+4=0. 19) Jeden z wierzchołków kwadratu ma współrzędne (0 ; 0), a punkt (4 ; ) jest środkiem symetrii kwadratu. a) Znajdź równania prostych, w których zawierają się przekątne kwadratu. b) Oblicz obwód i pole kwadratu. 0) Punkty A=(0 ; 0), B=( ; 8), są wierzchołkami prostokąta ABCD. Jego przekątna BD zawiera się w prostej y=- 0,5x+4,5. Oblicz obwód i pole tego prostokąta. 1) Zaznacz na płaszczyźnie z układem współrzędnych zbiory: a) A = {( : x R y = }, b) B = {( : x = y = }, c) C = {( : x < 1; + ) y ( ; 1 > }, d) D = {( : x = y}, e) E = {( : x = y }, f) F = {( : x = 4 y = }. ) Znajdź na płaszczyźnie z układem współrzędnych część wspólną zbiorów A i B: a) A = {( : y }, B = {( : < x < 4}, b) A = {( : x = y}, B = {( : x = y}, c) A = {( : x < 1; > y < 0; > }, B = {( : x ( ;1) y (1;1) }, d) A = {( : x = y 1 }, B = {( : x = y = }, e) A = {( : x = y }, B = {( : x = 0 y = }, ) Znajdź na płaszczyźnie z układem współrzędnych różnicę zbiorów A i B: a) A = {( : x R y < ;4 > }, B = {( : x ( ;) y R}, b) A = {( : x < 1; > y < 1; > }, B = {( : x < 0; > y < ;0 > }, c) A = {( : x (1;) y < 1; > }, B = {( : x (0;) y < ;0 > }, d) A = {( : x > y + 1 1 }, B = {( : x y 1}. 4) Oblicz odległość między punktami o współrzędnych: a) ; 1), (5 ; 5), ( b) ( ; ), ( 18 ; 7). 5) Sprawdź czy punkty A, B, C są współliniowe: a) A=( ; 8), B=(1 ; 1), C=(0 ; 5), b) A=(1 ; ), B=( ; 6), C=(0 ; 90), c) A=(1 ; ), B=( ; 5), C=( 00 ; 400), d) A=(1 ; ), B=( ; 0), C=(40 ; 7),
e) A=(1 ; ), B=( ; ), C=(100 ; 00), f) A=( ; ), B=( ; 4), C=(1 ; 100), g) A=(4 ; 4), B=( ; 4), C=(100 ; 4), h) A=(1 ; ), B=( ; 7), C=(50 ; 101.) 6) Oblicz odległość punktów A=(1 ; ), B=( ; 6), C=(5 ; ) od prostej a) y=x, b) y= x+1. 7) Oblicz odległość między prostymi: a) y=x, y=x+4, b) 6x 4y 7=0, 1x 8y+11=0. 8) Podaj równania prostych odległych o 6 od prostej: a) x= 5, b) y = 4, c) y = x. 9) Wyznacz współrzędne środka odcinka AB, jeśli: a) A=(1 ; 4), B=(4 ; 4), b) A=( ; 1), B=(5 ; 4), c) A=(x 1 ; y 1 ), B=(x ; y ). 8 0) Prostokąt ma przeciwległe wierzchołki w punktach ( ; 1) i (4; ). Podaj długość przekątnej tego prostokąta oraz współrzędne pozostałych wierzchołków, skoro wiadomo, że jeden z nich leży na osi OY. 1) Znajdź odległośc punktu P=( 4 ; 7) od prostej przechodzącej przez punkty A=( ; ) i B=( ; 8). ) Punkty A, B, C, D są wierzchołkami czworokąta. Czy ten czworokąt można wpisać w okrąg? Oblicz obwód tego okręgu. a) A=(1 ; 1), B=(5 ; ), C=(0 ; 0), D=( 4 ; 0) b) A=( ; ), B=(7 ; ), C=(10 ; 1), D=(10 ; ) ) Punkty A=( 7 ; ), B=( ; 7), C=(4 ; 5) i D=(5 ; ) są wierzchołkami boków czworokąta. Znajdź punkty w których przetną się przedłużenia jego przeciwległych boków. 4) Na trójkącie o wierzchołkach w punktach A=( ; 1), B=(4 ; 4), C=(6 ; ) opisano okrąg. Znajdź jego promień. 5) Środkami okręgów o promieniach 5 oraz są odpowiednio punkty o współrzędnych (; 4) i ( ; ). Jakie jest wzajemne położenie tych okręgów? 6) Dana jest prosta o równaniu y=x- oraz okrąg o środku w punkcie (0 ; 7) i promieniu. Jakie jest wzajemne położenie okręgu i prostej? 7) Prosta y=x jest styczna do okręgu o promieniu. Podaj równanie prostej na której leżą środki takich okręgów. Czy taka prosta jest tylko jedna? 8) Prosta y=x jest w punkcie ( ; 4) styczna do okręgu o promieniu r. Na jakiej prostej leży środek tego okręgu? Ile jest takich okręgów? Znajdź ich równania, jeśli r= 5. 9) Zaznacz w układzie współrzędnych tę częśc płaszczyzny, w której zawierają się wykresy funkcji y=ax+b, gdy: a) 1 a i b = 0 b) a 0 i b = 0 c) 0 i a = 1 b d) 1 b 1i a = 40) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji y=f(x) określonej w danym przedziale: a) y=x, x < 1; 4 >, b) y= x, x < 1; > c) y=x+1, ( 1; 5 > x, d) y= x+6, x < ( ;6) 41) Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres: a) jest równoległy do wykresu funkcji y= x i przechodzi przez punkt A=(1 ; 6), b) jest równoległy do wykresu funkcji y=4x i przechodzi przez punkt B=( ; 10), 4) Wyznacz zbiór argumentów dla których dana funkcja przyjmuje wartości nieujemne: a) y=4x 1, b) y= x+6, c) y=(x )+6, d) y= (x+)+6x. 4) Dana jest funkcja y=f(x) określona w dziedzinie D. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji. a) f(x)=x+6, D= < 1; 4 > b) f(x)= x+1, D= < 0; 5 > c) f(x)= 8x+1, D= < ; 00 > 100 d) f(x)=4x 8, D= < 100; 60 >
9 44) Dane są punkty A=( ; 1), B=( 1 ; 5), C=( ; ), będące wierzchołkami pewnego równoległoboku. Wyznacz współrzędne czwartego wierzchołka równoległoboku. 5 5 45) Wyznacz wierzchołki trójkąta, znając środki boków tego trójkąta: S 1 = ;, S = ( ;0) 7 4, S = ;. 46) Punkty A=( ; ), B=(5 ; 1), C=(4 ; 5), D=(1 ; 7) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta, w którym boki przeciwległe są równe i równoległe. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków. 47) Znajdź współrzędne dwóch punktów, które należą do odcinka o końcach A=(4 ; ) i B=(16 ; 4) i dzielą ten odcinek na trzy równe części. 48) Dane są punkty A=(4 ; ) i B=(7 ; 1). Znajdź współrzędne punktu P, który należy do odcinka AB i spełnia warunek: AP=PB. 49) Punkty A=( 1 ; ) i B=( ; 1) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD, a punkt S=( ; 4) jest jego środkiem symetrii. Znajdź współrzędne wierzchołków C, D. 50) Sprawdź które z trójkątów ABC są prostokątne: a) A=(1 ; 1), B=( 1 ; 7), C=( ; ) b) A=( 1 ; ), B=( ; 4), C=( ; 4) c) A=( ; 1), B=( 1 ; ), C=( ; 4) d) A=(1 ; ), B=( ; 1), C=( ; 5) 51) Sprawdź, czy punkty A=( 1 ; ), B=( ; 1) należą do tej samej półpłaszczyzny o krawędzi y= x+. 5) Dany jest punkt K=(100 ; 198). Sprawdź, które spośród punktów: A=(1 ; 1), B=( 1 ; 11. ), C=( ; ) należą do tej samej półpłaszczyzny, co punkt, jeśłi krawędź tej półpłaszczyzny jest prostą o równaniu: a) y=x+1, b) y= 0,5x+, c) x=1, d) y=, e) y= 0,5x+,5. 5) Sprawdź, czy odcinek o końcach K=( ; 1) i K=(1 ; 4) jest zawarty w jednej z półpłaszczyzn wyznaczonych przez prostą o równaniu: 5 a) y=x, b) y=x+, c) x= 1, d) y=0,, e) y= 1 x. 8 54) Oblicz pole i obwód kwadratu ABCD, którego dwa przeciwległe wierzchołki mają współrzędne: A=( ; ), C=(5 ; 1), 55) Jak są położone względem siebie okręgi o danych współrzędnych środków S 1 i S oraz, odpowiednio, długościach promieni r 1 i r : a) S 1 =( 1 ; 0), S =( 1 ; ), r 1 =, r =1, b) S 1 =( ; ), S =( 1 ; ), r 1 =4, r =, c) S 1 =(0 ; 4), S =(0 ; 0), r 1 =1, r =5, d) S 1 =(1 ; ), S =( ; 4), r 1 =, r =, e) S 1 =(0 ; 1), S =(0 ; 1), r 1 =1, r =, d) S 1 =(0 ; 0), S =(0 ; ), r 1 =6, r =, d) S 1 =( ; 1), S =( 1 ; ), r 1 =, r =1, d) S 1 =( ; 1), S =( ; 4), r 1 =4, r =, 56) Wyznacz wartość r promienia okręgu o środku S 1 =( 6 ; 8) tak, aby był on styczny zewnętrznie do okręgu o środku S =( ; ) i promieniu r=5. 57) Wyznacz wartość r promienia okręgu o środku S 1 =(0 ; 0) tak, aby miał dwa punkty wspólne z okręgiem o środku S =(4 ; 0) i promieniu r=. 58) Wyznacz środek S okręgu o promieniu, stycznego do osi OY, wiedząc, że punkt S leży na prostej y=x 1. 59) Ile punktów wspólnych ma prosta t z okręgiem o środku w punkcie S i promieniu r=4, jeśli: a) t : 4x y =0, S=( ; ), b) t : x+4y 1=0, S=(7 ; 4), c) t : 1x+5y 4=0, S=( ; 4). 60) Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej t i okręgu o środku w punkcie S i promieniu r=4, jeśli: a) t : 4x+y+6=0, S=( ; ), b) t : x+y=0, S=(. ;. c) t : x+y =0, S=( ; ). ),
61) Wyznacz środek oraz promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli: a) A=( ; ), B=( ; ), C=(6 ; ), b) A=( ; ), B=(4 ; 4), C=(1 ; ), c) A=( 4 ; 4), B=(0 ; 0), C=(8 ; 8). 10 6) Dane są punkty A=( 1 ; ), B=(5 ; ). Odcinek AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Okrąg opisany na tym trójkącie ma promień równy 5. Wyznacz współrzędne wierzchołka C. 6) Sprawdź czy dane równanie jest równaniem okręgu, jeśli tak, to podaj współrzędne środka i długość promienia. a) x +y x+4y+1=0, b) x +y +x+6y+1=0, c) x +y +x+6y=0, d) x +y x y+4,5=0, e) x +y +y+=0, f) x +y 0x 4y+=0. 64) Sprawdź czy dane punkty należą do okręgu (x ) +(y+1) =16. a) A=( ; ), b) B=( ; ), c) C=(0 ; 1), d) D=(0 ; 1), e) E=(6 ; 1). 65) Znajdź pole najmniejszego koła o środku w punkcie S=( ; ), do którego należą wszystkie trzy podane punkty: a) A=( 6 ; 6), B=( ; 7), C=(1 ; ), b) A=( 1 ; ), B=( ; 6), C=( 6 ; ). 66) Oblicz pole czworokąta którego wierzchołkami są punkty S 1 A S B, gdzie S 1 i S są środkami okręgów x +y x y+1=0, x +y 6x 6y+1=0 a punkty A i B są punktami wspólnymi tych okręgów. 67) Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu wpisanego w okrąg o równaniu x +y 4x y 4=0, wiedząc, że przekątna kwadratu zawiera się w prostej o równaniu y=x 1. 68) Napisz równanie prostej, względem której okręgi x +y +10x 6y+5=0, oraz x +y 8x+8y+16=0, są symetryczne. 69) Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o równaniu x +y +x 7=0. _P.5 Trygonometria 1. Dany jest trójkąt prostokątny. Oblicz kąty ostre tego trójkąta wiedząc, że sin α = a, gdzie a jest rozwiązaniem równania a + 5a = 0. Ramiona kąta α równego 60 o przecięto prostą prostopadłą do jednego ramienia tego kąta w odległości od wierzchołka równej 5 cm i wpisano dwa okręgi styczne do obu ramion kąta α i do danej prostej. Znajdź długości promieni tych okręgów.. Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 4 cm, zaś suma kwadratów wszystkich boków 00 cm. Wyznacz kąty tego trójkąta. 4. W trójkącie prostokątnym jeden kąt ostry jest dwa razy mniejszy od drugiego. Długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw mniejszego kąta wynosi 4 cm. Oblicz pole powierzchni koła opisanego na tym trójkącie. 5. Wysokość trapezu równoramiennego ma długość, kąt ostry trapezu ma miarę 60 o, a przekątna jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole trapezu. 6. Krótsza przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz obwód i pole równoległoboku wiedząc, że dłuższy bok ma cm, a miara jednego z kątów tego równoległoboku 45 o. 0 7. Rozwiąż równanie 8sin α x cosα x 1 = 0 wiedząc, że α = 0 8. Prosta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten kąt w stosunku 1:. Na prostej tej obrano punkt M w odległości 10 cm od wierzchołka. Oblicz odległość tego punktu od ramion kąta. Oblicz pole otrzymanej figury. 9. Wał ochronny ma przekrój w kształcie trapezu równoramiennego, przy czym górna szerokość wału wynosi 5 m, natomiast boczne nasypy o długości 6 m są nachylone do poziomu pod kątem 0 o. Oblicz dolną szerokość wału. 10. W trapezie prostokątnym ABCD, gdzie AB DC kąt rozwarcia wynosi 10 o. Mniejsza przekątna AC = BC = 8. Oblicz długości boków trapezu. 11. Oblicz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC (kąt C prosty, BC > AC ), jeżeli na bokach AB i BC istnieją punkty K i L, że odcinki AL. I KL dzielą trójkąt na trzy przystające trójkąty.
11 1. Kubek ma kształt walca. Przekrój osiowy tego kubka jest prostokątem, którego przekątna o długości 5 cm jest nachylona do podstawy pod kątem 0 o. Oblicz pojemność kubka. Jak zmieni się pojemność kubka, jeżeli kąt nachylenia przekątnej zwiększymy o 15 o. 1. W trójkącie prostokątnym ABC ( kąt C prost, poprowadzono wysokość CD. Wyznacz kąty w tym trójkącie, jeżeli DB - AD = AC. 14. Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC obrano punkty C 1 i C, tak że AC 1 = AC oraz BC = BC. Wykaż, że C 1 CC = 45 o. 15. W okręgu o promieniu r = 10 cm z jednej strony środka O poprowadzono dwie równoległe cięciwy AB i CD oparte na kątach środkowych 10 o i 60 o. Oblicz pole trapezu ABCD. 16. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej c = 5cm i kącie ostrym równym 0 o. Wysokość tego ostrosłupa jest równa obwodowi podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 17. W trójkącie ABC, miara kąta C wynosi 60 o, miara kąta B wynosi 45 o, poprowadzono wysokość CD. Punkt D połączono odcinkiem ze środkiem E boku CB. Uzasadnij, że DE jest prostopadłe do CB oraz DE = 1 CB. 18. W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono przeciwprostokątną AB i obrano na przedłużeniach punkty D i E tak, że AD = AC oraz BE = BC. Udowodnij, że DCE = 15 o. 7 sin α coc α =, oblicz 5 a) sin α cosα b) tg α + ctgα 19. Wiedząc, że 0. W równoległoboku dany jest kąt ostry równy 60 o. Krótsza przekątna równoległoboku długości d = 8 jest prostopadła do boków krótszych. Oblicz długość dłuższej przekątnej równoległoboku.