Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1

1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych opóźnieniach (ADL) 4. Analiza przyczynowości 2

- Kryteria informacyjne: Kryteria informacyjne pozwalają porównywać różne modele dla tej samej zmiennej zależnej. Najlepszym modelem jest model, dla którego wartość kryterium jest najniższa. - Dobry model cechuje się tym, iż: a) jest dobrze dopasowany; b) jest prosty posiada możliwie najmniej parametrów. 4

- Kryterium Akaike: AIC gdzie: K liczba parametrów w modelu N - liczba obserwacji e e suma kwadratów reszt ( e' e) 2K log + 2 N 5

- Kryterium Bayesowskie kryterium Schwarza BIC gdzie: K liczba parametrów w modelu N- liczba obserwacji e e suma kwadratów reszt ( e' e) K log( N) log + 2 N 6

- Wartość kryteriów rośnie wraz ze wzrostem: a) sumy kwadratów reszt (jakość dopasowania); b) liczby parametrów. 7

Przypomnienie: Co to znaczy, że w modelu występuje autokorelacja? - Brak autokorelacji 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( n n n n n Var Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Var Var

0.2.4.6.8 1 0 100 200 300 t 10

-2-1 reszty 0 1 2 0 10 20 30 t 11

-4-2 reszty 0 2 4 0 5 10 15 20 t 12

- Test Durbina-Watsona (Test DW): H : Cov(, ) 0 0 t t1 - brak autokorelacji H : Cov(, ) 0 1 t t1 - autokorelacja gdzie t 1,..., T

- Test Durbina-Watsona (Test DW): - specjalne tablice z wartościami krytycznymi: d, d l u 1. Statystyka DW<2 a) DW < - odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji i przyjmujemy hipotezę o dodatniej autokorelacji d d l b) < DW < - brak konkluzji l d u d u c) DW > - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji

- Test Durbina-Watsona (Test DW): 2. Statystyka DW >2 4 dl a) DW > - odrzucamy hipotezę zerową o braku autokorelacji i przyjmujemy hipotezę o ujemnej autokorelacji 4 du 4 dl b) < DW < - brak konkluzji 4 du c) DW < - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku autokorelacji

- Test Durbina-Watsona (Test DW): t, t - Do badania autokorelacji I rzędu (między ) - Rozkład statystki testowej wyprowadzony dla małych prób 1 - Nie można go stosować w modelach gdzie jedną ze zmiennych objaśniających jest opóźniona zmienna zależna

- Test Breuscha-Godfreya (Test BG): - Do badania autokorelacji wyższego rzędu - Można go stosować w modelach gdzie występują opóźnione zmienne zależne

- Test Breuscha-Godfreya (Test BG): H : Cov( ) 0 0 t, ti gdzie i 1,..., s H :... u 1 t 1 t1 s ts t gdzie 2 Var( u) u I - Hipoteza zerowa: brak autokorelacji - Hipoteza alternatywna: autokorelacja

Brak autokorelacji błędu losowego kowariancja dwóch różnych błędów losowych jest zerowa: cov( i, j) 0 dla i j

Jakie są skutki niespełnienia założenia KMRL Estymatory MNK b są nadal nieobciążone i zgodne, ale nieefektywne, co oznacza, że ich błędy standardowe nie są najmniejsze z możliwych. Estymator macierzy wariancji-kowariancji b jest już obciążony i niezgodny. Macierz wariancji-kowariancji jest wykorzystywana do testowania hipotez na temat istotności zmiennych, wiec poprawność wnioskowania statystycznego jest podważona. Estymator s 2 jest obciążony ale zgodny 22

- Model dynamiczny: opisuje kształtowanie zjawiska w czasie, szacowany na szeregach czasowych. - Zastosowanie modeli dynamicznych: a) badanie procesu dostosowań do stanu równowagi; b) formułowanie prognoz; c) objaśnianie dynamiki zmiennej zależnej. 24

http://waluty.onet.pl/usdpln,18909,828,2,1096,profile-wykresy 25

- Model dynamiczny o rozłożonych opóźnieniach (DL): wpływ zmiennych niezależnych na zmienna zależną jest rozłożony w czasie. y + x + x + + x t 0 t 1 t1 p tp t x t Jeśli jest nielosowe i składnik losowy nie podlega autokorelacji, to model spełnia założenia KMRL. 26

- Interpretacja parametrów: y x p x p - zmiana t jaka nastąpi, jeśli zmieni się sprzed okresów a dla pozostałych okresów pozostanie niezmienione - taka interpretacja jest niepraktyczna dlatego stosuje się rożne mnożniki 27

- Mnożniki w modelu DL: a) mnożnik bezpośredni: wielkość oczekiwanej reakcji na zmiany w bieżącym okresie: x 0 b) mnożnik skumulowany: wielkość oczekiwanej reakcji na zmiany w kolejnych okresach: x s0 s y y c) mnożnik długookresowy: wielkość oczekiwanej reakcji na zmiany we wszystkich przeszłych okresach: s0 s y x 28

- Przykładem modelu DL jest funkcja konsumpcji, w której wydatki konsumpcyjne zależą nie tylko od bieżących dochodów, ale również od minionych. - Rozważmy hipotetyczny przykład, w którym wydatki konsumpcyjne gospodarstw domowych w t-tym roku, które oznaczymy przez y t zależą od dochodów do dyspozycji w tym samym roku x t, od dochodów opóźnionych o jeden rok x t-1 i o dwa lata x t-2. y t = stała + 0,4 x t +0,3 x t-1 +0,2 x t-2 29

y t = stała + 0,4 x t +0,3 x t-1 +0,2 x t-2 - badana osoba uzyskała stałą podwyżkę dochodów, wynoszącą 1000 złotych i dochody po podwyżce nie zmieniają się w ciągu dłuższego okresu czasu. - W pierwszym roku konsumpcja tej osoby przyrośnie o 0,4 razy 1000 złotych, a więc o 400 złotych, w drugim roku o dalsze 300 złotych, a w trzecim o dalsze 200 złotych. - W przykładzie tym mnożnik krótkookresowy wynosi 0,4, a długookresowy (0,4 +0,3 + 0,2 ) = 0,9; pozostałe 0,1 dochodu jest oszczędzane. 30

- Wprowadzenie opóźnionych wartości zmiennej zależnej pozwala na: a) znaczną poprawę własności modelu małym kosztem; b) uchwycenie inercji zjawisk ekonomicznych. 32

- Model autoregresyjny o rozłożonych opóźnieniach: y y... y + x + x + + x t 1 t1 p t p 0 t 1 t1 s ts t AR DL 33

- Stan równowagi długookresowej: jest to stan, w którym wartość oczekiwana zmiennej zależnej pozostaje stała w czasie, o ile tylko nie zmieniają się zmienne niezależne. - w modelach ADL: * y =E(y t )=E(y t1)=...=e(y tp ), * x xt xt 1... xt s -wstawiająca y, x * * do modelu ADL otrzymujemy: (1... ) y (... ) x * * 1 p 0 1 s 34

- oznaczając: * oraz... * 0 1 s 1 1... 1 p 1... s y otrzymujemy: * * * * x 35

- Mnożniki w modelu ADL: a) mnożnik bezpośredni: mierzy wpływ zmiany o na oczekiwany poziom, identyczny jak w modelu DL: y t b) mnożnik długookresowy: opisuje wpływ trwałej zmiany na wartość y w nowym położeniu równowagi: x t x x 0... 0 1 1... 1 s s 36

- W przypadku losowych zmiennych niezależnych dowiedzenie zgodności estymatora uzyskanego MNK jest możliwe tylko wtedy, gdy zmienne niezależne nie są skorelowane z zaburzeniem losowym. - Warunek ten będzie spełniony jeśli w modelu ADL nie będzie występowała autokorelacja czynnika losowego (sprawdzana testem Breuscha-Godfreya). 37

- Celem poniższego przykładu jest oszacowanie długookresowej relacji pomiędzy konsumpcją a PKB dla Stanów Zjednoczonych. Dysponujemy danymi rocznymi za okres 1960-2000 - Zarówno konsumpcja, jak i PKB są wyrażone w bilionach dolarów 1990 roku. Zaczynamy od oszacowania modelu o rozłożonych opóźnieniach (przyjmijmy, że maksymalne opóźnienie wynosi 2). - Opis zmiennych: l_konsumpcja logarytm konsumpcji l_pkb logarytm PKB l_pkb_1 pierwsze opóźnienie dla logarytmu PKB l_pkb_2 drugie opóźnienie dla logarytmu PKB 38

- W modelu tym mnożnik krótkookresowy wynosi 1,31 i oznacza, że wzrost PKB o 1% powoduje w tym samym roku (natychmiastowo) wzrost konsumpcji 1,31%. - Mnożnik długookresowy wynosi 1,13. (1,31383 0,224497 + 0,0449443 = 1,1342773). - Wielkość tę należałoby interpretować następująco: wzrost PKB o 1% w danym roku spowoduje łączny (w długim okresie) wzrost konsumpcji o 1,13%. 40

- Statystyka Durbina-Watsona wynosi 0,456, co wskazuje na autokorelację reszt. - Aby pozbyć się autokorelacji reszt w modelu należy uwzględnić opóźnione wartości zmiennej zależnej czyli oszacować model autoregresyjny o opóźnieniach rozłożonych ADL. 41

Test Breuscha- Godfrey a 42

- Dołączenie do zbioru zmiennych objaśniających pierwszego i drugiego opóźnienia logarytmu konsumpcji doprowadziło do uzyskania wyniku, który jest sensownie interpretowalnym modelem. Zastrzeżenia mogą budzić jedynie wysokie wartości p-value w teście na istotność drugich opóźnień logarytmu konsumpcji i logarytmu PKB, wskazując na ich statystyczną nieistotność. - Co jednak jest szczególnie ważne, to wynik testu Breuscha-Godfrey a, dla którego p-value=0,862, co oznacza brak autokorelacji reszt. Wiemy, że jest to ważny sygnał o zgodności estymatorów. - Możemy oczekiwać, że usunięcie z modelu dwóch zmiennych nieistotnych nie wpłynie znacząco na zmianę wyniku. 43

- Przyczynowość w sensie Grangera: zmienna x jest przyczyną zmiennej y, jeśli bieżące wartości y można dokładniej prognozować przy użyciu przeszłych wartości x niż bez ich wykorzystania. 46

- Testowanie przyczynowości w sensie Grangera: k y a() t y x t i ti i ti t i1 i1 k gdzie: a(t) część deterministyczna modelu H :... k 0 - testujemy 0 1 2, nie jest przyczyną w sensie Grangera y x 47

1. Podać ogólną postać modeli DL i ADL. 2. Podać wzory na mnożnik bezpośredni i długookresowy w modelach DL i ADL i podać ich interpretację. 3. Wyprowadzić wzór na równowagę długookresową w modelu ADL. 4. Podać definicje przyczynowości w sensie Grangera i wyjaśnić sposób jej testowania. 48

Dziękuję za uwagę 49