MATEMATYKA VIS A VIS FINANSE BEHAWIORALNE Krzysztof Piasecki Wprowadzenie Intensywny wzrost obrotów na rynkach finansowych oraz narastająca złożoność tych rynków wywołała naturalny popyt na analizę naukową tych zjawisk. Oczekiwano tutaj takich modeli normatywnych, które ułatwią inwestorom poruszanie się po rynkach finansowych. Spodziewano się uzyskać tą drogą metody zarządzania aktywami finansowymi takie, że stosowanie ich powodowałoby radykalny wzrost szans na godny zarobek i redukowałoby ryzyko poniesienia dotkliwych strat. Oczekiwania te spotkały się z należytym zrozumieniem. Tematyka rynków finansowych wzbudziła zainteresowanie wielu badaczy. Istotną rolę w poszukiwaniu tych metod odegrała matematyka. Uzyskane tą drogą modele normatywne rynku powszechnie zostały uznane za poprawny obraz realnego rynku finansowego. Dalsze badania prowadzone nad tymi modelami koncentrowały się głównie na bardziej wiernym odzwierciedleniu rozkładów ryzyka niepewności. Wprowadzane nowe modele formalne nie falsyfikowały zastanych modeli, ale jedynie zawierały opisy kolejnych mechanizmów rynków finansowych. Praktycy rynków finansowych potwierdzali rzetelność tych modeli. Wnioski uzyskiwane na gruncie tych modeli pozwalały na formułowanie kryterium i reguł zarządzania inwestycjami finansowymi. Reguły te były na tyle przekonujące, że zdecydowania większość uczestników rynków finansowych deklarowała ich stosowanie w swej praktyce inwestycyjnej. Stosowanie tych reguł miało zapewnić inwestorom możliwie wysokie i możliwie bezpieczne zyski. Szybko okazało się jednak, że aktywnie działający inwestorzy nie stosują się w ścisły sposób do tych reguł. Taka sytuacja była przesłanką dla dalszej modernizacji formalnych teorii rynków kapitałowych. Dalsza ewolucja teorii rynku kapitałowego nie usunęła jednak rozbieżności pomiędzy teorią a praktyką rynkową. Zachowania inwestorów nadal odbiegały jednak od racjonalnych zachowań przewidzianych przez teorię. Ujawnienie tych anomalii w jednoznaczny sposób dowiodło istnienia przesłanek decyzyjnych niezależnych od normatywnych modeli analizy technicznej lub analizy fundamentalnej. Zwróciło to uwagę na kolejny aspekt obrazu procesów ekonomicznych. Nadrzędnym podmiotem wszelkiego rodzaju działań gospodarczo-finansowych jest człowiek. I to jego decyzje mają istotny wpływ na ostateczny przebieg procesów ekonomicznych. Ludzkie decyzje są determinowane przez racjonalne zmierzanie do wyraźnie sformułowanych normatywnych celów oraz przez psychologiczne mechanizmy zachowania się decydenta. Wyróżnienie tego drugiego czynnika prowadziło wprost do wyodrębnienia się psychologii ekonomicznej bardziej powszechnie nazywanej ekonomią behawioralną. Wszelkie przesłanki decyzyjne implikowane przez mechanizmy psychologiczne nazwano przesłankami behawioralnymi. Hipoteza o istotnym wpływie czynników behawioralnych na ekonomikę wymagała oczywiście weryfikacji. Z początku hipotezę tą potwierdzały rozliczne obserwacje 1. Koniecznym tutaj było dowiedzenie istotności wpływu wyizolowanego czynnika 1 Można znaleźć na przykład w [Tversky, Kahneman, 1973], [Kahneman, Tversky, 1974].
behawioralnego na ostateczny wybór decyzji. Pierwszą przełomowa pracą zawierająca taki dowód był artykuł Kahnemana i Tversky ego [1979]. Przedstawione tam wyniki dały podwaliny pod dalsze poszukiwania na gruncie ekonomii behawioralnej. Szybko z tego ogólnego nurtu wyłoniła się domena badawcza finansów behawioralnych. Przedmiotem badań finansów behawioralnych stało się wyróżnianie czynników behawioralnych mających wpływ na rynki finansowe oraz ocena tego wpływu. Istotą behawioralnego podejścia do finansów jest poszukiwanie psychologicznych mechanizmów zachowania się uczestników rynku finansowego. Pierwotnie uznano, że głównym instrumentarium poznawczym finansów behawioralnych będą narzędzia badawcze stosowane w obrębie psychologii. Narzędzia te miały służyć do wyjaśnienia tych zjawisk rynkowych, które z punktu widzenia normatywnej teorii rynków kapitałowych były postrzegane, jako paradoksy. W ten sposób wyniki badawcze finansów behawioralnych przeciwstawiano rezultatom normatywnych teorii wyprowadzonych z zastosowaniem matematyki. Pomimo tego zabiegu, obserwacje poczynione na gruncie finansów behawioralnych prowadzą do uzyskania teorii formalnych objaśniających behawioralne paradoksy rynków finansowych. Zatem narodzenie się finansów behawioralnych nie oznacza, że wyjaśniają one mechanizmy rynków finansowy w sposób niezależny od matematyki. W literaturze przedmiotu możemy znaleźć wiele dowodów prawdziwości tej tezy. W prezentowanym eseju zamierzam przeprowadzić kolejny dowód tezy głoszącej, że formalne modele normatywne stanowią integralną część finansów behawioralnych. Dowód ten przeprowadzę drogą prezentacji wyników moich studiów i badań w dziedzinie finansów behawioralnych. 1. Podstawy arytmetyki finansowej w świetle teorii użyteczności Fundamentalnym założeniem arytmetyki finansowej jest pewnik, że wartość pieniądza rośnie wraz z upływem czasu, po jakim będzie on spożytkowany. Założenie to jest uzasadniane na ogół poprzez analizę równania wymiany pieniądza 2 zaproponowanego przez Irvinga Fishera. W analizie tej korzysta się z dodatkowego założenia o stałej ilości pieniądza. Jest to typowo normatywne założenie i z tego względu rozpatrywaną w arytmetyce finansowej wartość pieniądza będziemy nazywać wartością normatywną pieniądza. Proces przyrostu wartości normatywnej nazywamy procesem aprecjacji kapitału. Z drugiej strony na ogół stosowana praktyka gospodarczo-finansowa powoduje przyrost ilości pieniądza szybszy od przyrostu wolumenu produkcji. Obserwujemy wtedy spadek wartości realnej pieniądza. Oznacza to, że wartości normatywnej pieniądza nie możemy identyfikować z jego wartością realną. Rodzi to pytanie o istotę pojęcia wartości normatywnej. Konsekwencją tego pytania jest kolejne pytanie o istotę podstawowych funkcji arytmetyki finansowej. W ostatnich latach w arytmetyki finansowej wyodrębnił się nurt badawczy eksponujący rolę odgrywaną przez pojęcie użyteczności strumienia finansowego. Do nurtu tego należą między innymi prace Do nurtu tego należą między innymi prace [Doyle, 2010], [Epper, Fehr- Duda, Bruhin, 2009], [Frederick, Loewenstein, O Donoghue, 2002], [Killeen, 2009], [Kim, B. K., Zauberman, G., 2009], [Kontek, 2010], [Zauberman, Kyu Kim, Malkoc, Bettman, 2009]. Stosując to podejście możemy przedstawić pojęcie wartości normatywnej w kontekście funkcji użyteczności. Podejście takie rzuca nowe światło na podstawowe zmienne arytmetyki finansowej. 2 Analiza taka została opisana na przykład w [Piasecki, Ronka-Chmielowiec, 2011]
Celem rozważań prezentowanych w tym rozdziale jest objaśnienie na gruncie teorii użyteczności podstawowych funkcji arytmetyki finansowej: wartości bieżącej, wartości przyszłej i wartości bieżącej netto. Cel ten zostanie osiągnięty poprzez budowę modelu formalnego o możliwie niskim stopniu złożoności logicznej. Uzyskana tą drogą definicje zostaną porównane z aksjomatycznymi definicjami wartości bieżącej i przyszłej przedstawionymi w [Piasecki, 2005]. W celu pokazania przydatności budowanej teorii dyskutowane tutaj też będą wybrane właściwości efekt synergii kapitału. 1.1 Uporządkowana przestrzeń strumieni finansowych Niech będzie dany zbiór momentów czasowych [ [. W szczególnym przypadku może to być zbiór momentów kapitalizacji lub nieujemna półprosta czasu. W analizie rynków finansowych każda z płatności jest reprezentowana przez instrument finansowy opisany jako strumień finansowy ( ), gdzie symbol oznacza moment przepływu strumienia, natomiast symbol opisuje wartość nominalną tego przepływu. Każdy z tych strumieni finansowych może być realizowaną należnością lub wymaganym zobowiązaniem. Wartość nominalna każdej należności jest nieujemna. Zobowiązania obciążające dłużnika stanowią zawsze należność wierzyciela. W tej sytuacji wartość zobowiązania jest równa wziętej ze znakiem minus wartości należności odpowiadającej temu zobowiązaniu. W pierwszym kroku nasze rozważania ograniczymy do zbioru [ [ wszystkich należności ( ). Na zbiorze tych należności z inwestorów określa swoje preferencje. Preferencje te mają pewne wspólne cechy. Referując podstawy teorii kapitału, de Soto [2009] przedstawił regułę preferencji czasowej. Reguła ta głosi, że przy uwzględnieniu zasady ceteris paribus podmiot ekonomiczny woli zaspokoić swoje potrzeby bądź osiągać postawione cele możliwie jak najszybciej. Inaczej mówiąc, kiedy podmiot ma przed sobą dwa cele o subiektywnie jednakowej wartości, to wyżej sobie ceni ten, który może osiągnąć w krótszym czasie. W szczególnym przypadku oznacza to, że inwestor, porównując dwie wpłaty o równej wartości nominalnej, preferuje zawsze wpłatę szybciej dostępną. Relację tą opisujemy przy pomocy preporządku zdefiniowanego następująco ( ) ( ) ( ) ( ). (1.1) Z drugiej strony jest oczywiste, że każdy podmiot ekonomiczny w swym działaniu kieruje się regułą preferencji majątkowej. Reguła ta oznacza, że przy uwzględnieniu zasady ceteris paribus podmiot ekonomiczny woli wchodzić we władanie możliwie jak najbardziej wartościowych przedmiotów ekonomicznych. Czyli kiedy ma przed sobą dwa przedmioty ekonomiczne równocześnie dostępne, to wybiera ten, który charakteryzuje się większą subiektywną wartością. W szczególnym przypadku oznacza to, że inwestor, porównując dwie równocześnie dostępne wpłaty, wybiera zawsze wpłatę o wyższej wartości. Relację tą opisujemy przy pomocy preporządku zdefiniowanego następująco ( ) ( ) ( ) ( ). (1.2) Równoczesne uwzględnienie obu tych preporządków prowadzi do ostatecznego określenia relacji preferencji na zbiorze należności, jako porównania wielokryterialnego ( ) ( ) ( ) ( ). (1.3) Istnieje wtedy funkcja użyteczności [ [ spełniająca warunek ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.4)
W kolejnym kroku nasze rozważania poświecimy zbiorowi ] ] wszystkich zobowiązań ( ). Należność zawsze stanowi kapitał wierzyciela. Zobowiązanie dłużnika powstaje na skutek udostępnienia tego kapitału dłużnikowi przez wierzyciela. Zależność ta powoduje to, że korzyści osiągane przez wierzyciela stanowią koszt dłużnika. Oznacza to między innymi, że relacja preferencji określona na zbiorze zobowiązań jest relacją odwrotną do relacji preferencji określonej na zbiorze należności. W tej sytuacji relacja relacji preferencji na zbiorze zobowiązań jest określona przy pomocy równoważności ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.5) Porównanie zależności (1.3) i (1.5) prowadzi do ostatecznego określenia relacji preferencji zbiorze zobowiązań, jako porównania wielokryterialnego ( ) ( ) ( ) ( ). (1.6) Istnieje wtedy funkcja określająca użyteczność poszczególnych zobowiązań. Z finansowego punktu widzenia każda należność jest bardziej użyteczna niż dowolne zobowiązanie, co zapisujemy (( ) ( ) ) ( ) ( ). (1.7) Spełnienie tego warunku możemy uzyskać poprzez przyjęcie założenia, że użyteczność dowolnego zobowiązania jest liczbą ujemną 3. Możemy zatem stwierdzić, że istnieje funkcja użyteczności ] ] spełniająca warunek ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.8) Podsumowując dotychczasowe rozważania możemy stwierdzić, że na zbiorze wszystkich strumieni finansowych została określona relacja preferencji. Relacja ta jest określona przy pomocy alternatywy porównań wielokryterialnych w następujący sposób ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.9) Preporządek ten nie jest liniowy. Istnieje tutaj funkcja użyteczności warunek na spełniająca ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.10) Określona w ten sposób funkcja użyteczności może mieć subiektywny charakter [Dacey, Zielonka, 2005]. Kwestią umowna jest wyskalowanie wartości funkcji użyteczności. Przyjmujemy tutaj, że użyteczność natychmiastowego przepływu finansowego jest równa wartości nominalnej tego przepływu. Założenie to zapisujemy, jako warunek brzegowy ( ). (1.11) W [Piasecki,2012] pokazano, że wyznaczona powyżej funkcja użyteczności spełnia właściwości ( ). (1.12) Użyteczność jest funkcją rosnącą wartości nominalnej przepływu, co zapisujemy ( ) ( ). (1.13) 3 Pojęcie ujemnej użyteczności zostało zaproponowane i dyskutowane w pracach [Becker, 1960], [Cooper, Garcia Peñaloza, Funk, 2001] i [Rabin, 1993].
Ponadto tutaj mamy ( ) ( ). (1.14) ( ) ( ). (1.15) Kwestią umowna jest wyskalowanie wartości funkcji użyteczności. Przyjmujemy tutaj, że użyteczność natychmiastowego przepływu finansowego jest równa wartości nominalnej tego przepływu. Założenie to zapisujemy, jako warunek brzegowy ( ). (1.16) Wszystkie te właściwości funkcji użyteczności zostaną dalej wykorzystane do badania właściwości podstawowych modeli arytmetyki finansowej. 1.2. Wartości przyszła i bieżąca Dla preporządku określonego przez równoważność (1.9) wyznaczamy jego liniowe domknięcie. Preporządek jest określony następująco ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.17) Powyższy preporządek wyznacza następującą relację równoważności strumieni finansowych ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.18) Jeśli dwa strumienie finansowe są jednakowo użyteczne, to uważamy je za równoważne. O strumieniu finansowym równoważnym do danego mówimy, że jest ekwiwalentem tego ostatniego. Wartość nominalną dowolnego ekwiwalentu danego strumienia finansowego identyfikujemy, jako wartość normatywną tego strumienia. Analiza warunków (1.13) i (1.14) prowadzi nas do sformułowania zasady aprecjacji. Zasada ta głosi, że wartość normatywna należności rośnie wraz z czasem, po jakim należność ta będzie płatna. W ten sposób teoria użyteczności potwierdza fundamentalny pewnik arytmetyki finansowej głoszący, że wartość pieniądza rośnie wraz z upływem czasu. Opisane powyżej pojęcie wartości normatywnej może być ujęty w karby modelu formalnego. Niech będzie dany natychmiastowy przepływ finansowy o wartości nominalnej. Przepływ ten jest jednoznacznie przypisany strumieniowi finansowemu ( ). W dowolnym momencie wartość normatywna dyskutowanego przepływu jest równa. Zgodnie z definicją (1.18) relacji równoważności strumieni i warunkiem brzegowym (1.16) mamy tutaj tożsamość ( ) ( ). (1.19) Zgodnie z warunkiem (1.13), dla ustalonego momentu wyznaczamy wartość normatywną jednoznacznie ( ) ( ). (1.20) Określoną w ten sposób funkcję [ [ w arytmetyce finansowej nazywamy wartością przyszłą. W ogólnym przypadku funkcja ta ma następujące właściwości: ( ), (1.21) ( ), (1.22)
( ) ( ) ( ) ( ), (1.23) ( ) ( ) ( ) ( ), (1.24) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.25) Funkcję wartości przyszłej można przedstawić przy pomocy tożsamości ( ) ( ), (1.26) gdzie funkcja [ [ jest nazywana czynnikiem aprecjacji kapitału. Czynnik aprecjacji kapitału jest niemalejącą funkcją czasu spełniająca warunek brzegowy: ( ). (1.27) Czynnik aprecjacji kapitału opisuje przebieg procesu względnej aprecjacji kapitału. Jeśli ten czynnik jest funkcją rosnącą dodatniej wartości kapitału to wtedy mamy do czynienia z efektem synergii kapitału, to jest ze zjawiskiem przyrostu względnej prędkości aprecjacji wywołanego przez przyrost wartości kapitału podlegającego aprecjacji. Kolejnym przedmiotem naszych dociekań będzie dowolny strumień finansowy ( ). Dla strumienia tego możemy określić jej ekwiwalent ( ). Wartość nominalną tego ekwiwalentu nazywamy wartością bieżącą i oznaczamy symbolem ( ). Zgodnie z definicją (1.18) relacji równoważności strumieni i warunkiem brzegowym (1.16) mamy tutaj tożsamość ( ) ( ) ( ). (1.28) Wartość bieżąca dowolnego strumienia finansowego jest identyczna z jego użytecznością. Stwierdzenie to w pełni wyjaśnia istotę pojęcia wartości bieżącej. Z drugiej strony taka identyfikacja wartości bieżącej rodzi pewne problemy formalne, o których będzie mowa później. Teraz uwagę nasza skupimy się na formalnych własnościach funkcji określonej przez tożsamość (1.28). Mamy tutaj ( ), (1.29) ( ), (1.30) ( ) ( ) ( ) ( ), (1.31) ( ) ( ) ( ) ( ), (1.32) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.33) Funkcję wartości bieżącej można przedstawić przy pomocy tożsamości ( ) ( ), (1.34) gdzie czynnik dyskontujący ] ] jest nierosnącą funkcją czasu spełniającą warunek brzegowy: ( ). (1.35) Ponadto w [Piasecki, 2012] pokazano, że czynnik aprecjacji i czynnik dyskontujący wyznaczone przez tą samą funkcję użyteczności są powiązany przy pomocy zależności 1.3. Wartość bieżąca netto ( ) ( ( ( ))). (1.36)
Niech będzie dany zbiór strumieni finansowych. Każdą funkcję przypisującą każdej z początkowych liczb naturalnych dowolny strumień finansowy nazywamy inwestycją. Dowolną inwestycję opisujemy wtedy, jako multizbiór [Hickman, 1980] strumieni finansowych: {( ) }, (1.37) co oznacza, że w pojedynczej inwestycji mogą wystąpić różne strumienie finansowe o identycznych momentach i identycznych wartościach nominalnych przepływów finansowych. Każdy strumień finansowy wchodzący w skład inwestycji nazywamy składnikiem tej inwestycji. Rodzinę wszystkich inwestycji oznaczamy przy pomocy symbolu. Złożeniem pary inwestycji jest inwestycja składająca się ze wszystkich składników obu inwestycji. Zgodnie z powyższym, złożenie pary inwestycji ( ) jest dane jako multisuma 4 [Syropoulos, 2001]: {( ) ( ) ( ) }. (1.38) W rodzinie inwestycji wyróżniamy podrodzinę wszystkich inwestycji jednoskładnikowych. Dowolną inwestycję można wtedy przedstawić, jako przeliczalną multisumę inwestycji jednoskładnikowych. Z drugiej strony rodzina inwestycji jednoskładnikowych jest izomorficzna ze zbiorem strumieni finansowych. Dzięki temu preporządek na zbiorze strumieni wyznacza liniowy preporządek na rodzinie inwestycji jednoskładnikowych. Preporządek ten jest określony przy pomocy równoważności {( )} {( )} {( )} {( )} ( ) ( ). (1.39) Oznacza to, że istnieje funkcja użyteczności określona przez tożsamość ({( )}) ( ). (1.40) Weźmy teraz pod uwagę dowolne rozszerzenie funkcji użyteczności. Rozszerzenie to wyznaczymy stosując postulat addytywności funkcji użyteczności [Keeney, Raiffa,1976]. Postulat ten jest zgodny z praktyką finansów, gdzie wartość kapitału obliczamy, jako sumę wartości jego składników. Wynika stąd, że dowolna funkcja użyteczności inwestycji powinna spełniać następujący warunek addytywności ( ) ( ) ( ). (1.41) Warunki (1.28), (1.40) i (1.41) pozwalają na jednoznaczne wyznaczenie użyteczności dowolnej inwestycji, jako wartości bieżącej netto. Mamy tutaj ( ) ( ) ( ) ( ). (1.42) Stosując wyznaczoną powyżej funkcję użyteczności liniowy preporządek na całą rodzinę inwestycji. Mamy tutaj możemy rozszerzyć ( ) ( ). (1.43) Jest to naturalny preporządek stosowany w praktyce finansów. W pierwszym rzędzie wyznacza on na rodzinie inwestycji spójną relację równoważności. Mamy tutaj 4 Oryginalny termin w języku angielskim: multi set suma
( ) ( ). (1.44) W ten sposób, w dwóch ostatnich rozdziałach, funkcje wartości bieżącej, wartości przyszłej i wartości bieżącej netto zdefiniowane zostały na gruncie ogólnej teorii użyteczności. Fakt ten wykorzystamy dyskutując specyficzne właściwości tych funkcji. 1.4. Pierwsze prawo Gossena Pierwsze prawo Gossena informuje o tym, że krańcowa użyteczność bogactwa maleje [Begg, 2007]. Zbadajmy teraz konsekwencję przyjęcia założenia głoszącego, że funkcja użyteczności [ [ określona przez (1.4) spełnia warunek malejącej krańcowej użyteczności bogactwa. Dla dowolnej funkcji wartości bieżącej możemy wtedy zapisać ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ). (1.45) Wartość bieżąca jest funkcją wklęsłą nad zbiorem wszystkich dodatnich wartości kapitału. Dzięki temu w [Piasecki, 2012], że spełnienie pierwszego prawa Gossena jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby w przebiegu zmienności funkcji wartości przyszłej [ [ ujawnił się efekt synergii kapitału. Tezę tą warto zestawić z wynikami eksperymentów poświęconych intuicyjnemu dyskontowaniu odroczonych wypłat. Te empiryczne badania stanowią jeden z nurtów poznawczych finansów behawioralnych. Przebieg takich doświadczeń został opisany w artykułach [Du, Green, Myerson, 2002], [Kirby, Santiesteban, 2003] i [Shelley, 1993]. Zebrane tą drogą obserwacje dowodzą tego, że pewni inwestorzy stosują implicite taki czynnik dyskontujący, który jest funkcją rosnącą dodatniej wartości kapitału. Można wtedy pokazać [Piasecki, 2012], że do dyskontowania przyszłych wypłat inwestorzy ci używają wypukłej funkcji wartości bieżącej. Na ogół równocześnie inwestorzy ci, wyznaczając przyszłe ekwiwalenty bieżących wypłat, uwzględniają efekt synergii kapitału. Oznacza to, że inwestorzy mogą stosować równocześnie dwie różne funkcje użyteczności kapitału. Do dyskontowania odroczonych wypłat stosują wklęsłą funkcję użyteczności, podczas kiedy do wyznaczania ekwiwalentów bieżących wypłat stosują wypukłą funkcję użyteczności. Stwierdzenie rzeczywistego istnienia takiej możliwości otwiera przed arytmetyką finansową nowy obszar badań formalnych. 1.5.Dywersyfikacja inwestycji Dzięki portfelowej teorii Markowitza [1952] upowszechnił się pogląd głoszący, że należy preferować dywersyfikacje inwestycji rozumianą, jako rozdzielenie posiadanych zasobów pomiędzy różne inwestycje. Formalnym odzwierciedleniem tego poglądu jest warunek {( ) ( )} {( )}. (1.46) W [Piasecki, 2012] szczegółowo przedstawiono konsekwencje przyjęcia założenia o preferowaniu dywersyfikacji inwestycji. Warunek (1.46) jest równoważny nierówności Wtedy dla mamy ( ) ( ) ( ). (1.47) ( ) ( ). (1.48) Pozwala to wnioskować, że preferując dywersyfikację inwestycji zobowiązania dyskontujemy silniej niż należności.
Z drugiej strony, Thaler [1981] i Loewenstein [1988] w swych eksperymentach wykazują, że możliwe jest zaprzeczenie nierówności (1.48). Oznacza to, że w praktyce finansów możliwe jest odrzucenie pewnika o potencjalnych korzyściach płynących z dywersyfikacji inwestycji. Jeśli jest spełniony warunek (1.46), to wtedy funkcja wartości przyszłej [ [ spełnia nierówność ( ) ( ) ( ). (1.49) Oznacza to przyjęcie założenia, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Prawdziwość tego założenia wielokrotnie była weryfikowana empirycznie. Dyskutując warunek (1.48) warto też zauważyć, że dla warunek ten opisuje efekt dźwigni finansowej. Dodatkowo dla mamy ( ) ( ). (1.50) Treścią warunku (1.50) jest informacja, że względne tempo przyrostu wartości przyszłej aktywów nigdy nie przekracza względnego tempa przyrostu wartości przyszłej pasywów. Jest to w pełni zgodne z interpretacją nierówności (1.48). 1.6. Neutralność efektu dywersyfikacji W szczególnym przypadku, oceniając przyszłe przepływy finansowe, możemy pominąć potencjalne korzyści uzyskiwane dzięki dywersyfikacji inwestycji. Mówimy wtedy o neutralności efektu dywersyfikacji. Formalnym odzwierciedleniem tego podejścia jest warunek {( ) ( )} {( )}. (1.51) Zgodnie z zależnościami (1.40) i (1.42), równoważność (1.51) jest równoważna tożsamości ( ) ( ) ( ). (1.52) W [Piasecki, 2005] wykazano, że warunek (1.52) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wartość bieżąca spełniająca warunki (1.29) i (1.31) była dana zależnością ( ) ( ), (1.53) gdzie czynnik dyskontujący ] ] jest nierosnącą funkcją czasu spełniającą zależność ( ). (1.54) Tak określona wartość bieżąca jest funkcją liniową wartości kapitału. Oznacza to, że neutralność dywersyfikacji jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla odrzucenia pierwszego prawa Gossena. Odrzucenie takie oznacza jedynie, że przy ocenie przepływów finansowych pomijamy efekt malejącej marginalnej użyteczności. W [Piasecki, 2005] pokazano także, że wartość bieżącą spełnia warunki (1.53) i (1.54) wtedy i tylko wtedy, kiedy funkcja wartości przyszłej jest dana przy pomocy tożsamości ( ) ( ), (1.55) gdzie czynnik aprecjacji kapitału [ [ jest niemalejącą funkcją czasu spełniająca warunek brzegowy:
( ). (1.56) Oznacza to, że neutralność dywersyfikacji jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla niewystępowania efektu synergii. Oznacza to jedynie, że efekt synergii kapitału jest pomijany przy ocenie przepływów finansowych. Ponadto łatwo możemy dowieść tutaj, że warunek (1.51) neutralności dywersyfikacji jest równoważny tożsamości 1.7. Uogólnienie definicji wartości bieżącej ( ) ( ) ( ). (1.57) W [Piasecki, 2005] wartość przyszłą zdefiniowano, jako dowolną funkcję spełniającą warunki (1.21), (1.23) i (1.57). Przykładami tak zdefiniowanej funkcji wartości przyszłej są oprocentowania proste, składane i ciągłe. Zatem definicja ta może stanowić teoretyczną podstawę klasycznej arytmetyki finansowej w wersji opisanej w [Smaga, 1999]. W tym rozdziale pokazano, że stosowanie reguł klasycznej arytmetyki finansowej oznacza, że przy ocenie przepływów finansowych pomija się efekty dywersyfikacji inwestycji, synergii kapitału i malejącej marginalnej użyteczności bogactwa. Spostrzeżenie to zachęca do poszukiwania aplikacyjnie przydatnych uogólnień definicji wartości przyszłej. Uogólnienie klasycznej definicji wartości przyszłej można uzyskać poprzez zastąpienie warunku (1.57) przez nierówność (1.49). Wszystkie wnioski zebrane w podrozdziale 1.5 potwierdzają poprawność wykorzystania warunku (1.49) w celu uogólnienia definicji wartości przyszłej. Uogólniona wartość przyszła spełnia efekt preferencji dywersyfikacji. Z drugiej strony pierwsze prawo Gossena jest wyrażone przy pomocy funkcji wartości bieżącej. Z tej przyczyny wygodniej jest przyjąć, jako podstawę formalną arytmetyki finansowej pojęcie wartości bieżącej. Uogólnione pojęcie wartości przyszłej zdefiniowane przy pomocy koniunkcji warunków (1.21), (1.23) i (1.49) zastępujemy wtedy równoważnym pojęciem uogólnionej wartości bieżącej zdefiniowanej, jako dowolna funkcja spełniająca warunki (1.29), (1.31) i (1.52). Uogólniona wartość bieżąca spełnia efekt preferencji dywersyfikacji. Dowodem wystąpienia efektu synergii kapitału będzie tutaj wykazanie, że czynnik dyskontujący jest malejąca funkcją dodatniej wartości kapitału. Z drugiej strony efekt synergii kapitału jest równoważny warunkowi (1.45) malejącej marginalnej użyteczności bogactwa. Spostrzeżenie to skłania do podjęcia szczegółowych badań nad trzema wariantami definicji uogólnionej wartości bieżącej: uogólniona wartość bieżąca jest to dowolna funkcja spełniająca warunki (1.29), (1.31) i (1.52), uogólniona wartość bieżąca jest to dowolna funkcja spełniająca warunki (1.29), (1.31) i (1.45), uogólniona wartość bieżąca jest to dowolna funkcja spełniająca warunki (1.29), (1.31), (1.45) i (1.52). Takie mogą być dalsze kierunki badań normatywnych aspektów arytmetyki finansowej. 1.8. Wnioski Przedstawione w tym rozdziale rozważania na temat wzajemnych relacji pomiędzy użytecznością bogactwa a wartością bieżącą wykazują logiczna spójność formalnych modeli ekonomii i finansów. Szukanie tych podobieństw jest szczególnie istotne teraz, kiedy staliśmy
się uczestnikami globalnego kryzysu finansowego wywołanego przez zarządzanie finansami w oderwaniu od fundamentalnych podstaw stwarzanych przez gospodarkę. Wykazanie, że wartość bieżąca danego strumienia finansowego jest identyczna z użytecznością tego strumienia wskazuje na subiektywny charakter pojęcia wartości bieżącej. W tej sytuacji otrzymujemy podwaliny teoretyczne pod budowę modeli finansów behawioralnych wykorzystujących subiektywne oceny wartości bieżącej. Na marginesie powyższych rozważań warto też dostrzec, że dziedzina badań arytmetyki finansowej w coraz większym stopniu wykracza poza domenę teorii procentu. W tej sytuacji arytmetykę finansowa należy traktować, jako rozszerzenie opartej na obiektywnych przesłankach teorii procentu. Wobec subiektywnych aspektów podejmowanej problematyki dynamicznej oceny pieniądza, jest to rozszerzenie istotne, co zostało pokazane w tym rozdziale. 2.Behawioralne aspekty dyskontowania W poprzednim rozdziale pominięto całkowicie dyskusję nad wpływem czasu odroczenia na użyteczność strumienia finansowego. Należy jednak pamiętać, że badania takie zostały już podjęte na gruncie finansów behawioralnych. Do tego nurtu badawczego należą między innymi prace [Doyle, 2010], [Epper, Fehr-Duda, Bruhin, 2009], [Federick, Loewenstein, O Donoghue, 2002], [Killeen, 2009], [Kim, Zauberman, 2009], [Kontek, 2010], i [Zauberman, Kyu Kim, Malkoc, Bettman, 2009]. Proponowane tutaj metody dyskontowania można każdorazowo przedstawić, jako realizację pewnej funkcji użyteczności strumienia finansowego. Każdy przyszły przepływ finansowy jest obarczony ryzykiem terminu. Ryzyko to jest identyfikowane z ryzykiem utraty płynności implikowanym przez wydłużanie się horyzontu czasowego inwestycji. Koszt tego ryzyka zmniejsza wartość bieżącą ocenianego przepływu. Zmniejszenie to nazywamy dyskontem wartości przepływu. W klasycznych modelach arytmetyki finansowej dyskonto to zależy od horyzontu czasowego inwestycji i prędkości aprecjacji kapitału mierzonej przy pomocy nominalnej stopy procentowej. Z drugiej strony wartość dyskonta jest implikowana przez ryzyko terminu. W tej sytuacji nie można nie wykluczyć tego, że na ocenę wartości dyskonta ma także wpływ podatność oceniającego na ryzyko. W rozdziale zostanie przedstawiona taka metoda dyskontowania, w której jest uwzględniony wpływ awersji do ryzyka. Przedstawiona też zostanie propozycja wykorzystania tego modelu w finansach behawioralnych. 2.1.Aprecjacja kapitału w warunkach stałej awersji do ryzyka płynności Każda metoda dyskontowania kapitału jest określona poprzez przebieg zmienności założonego modelu aprecjacji kapitału. Rozważania nasze ograniczymy do przypadku, kiedy przy ocenie przepływów finansowych pomija się efekty dywersyfikacji inwestycji, synergii kapitału i malejącej marginalnej użyteczności bogactwa. Dowolny model aprecjacji kapitału można wtedy przedstawić, jako model kapitalizacji ciągłej dany przy pomocy zależności ( ) ( ) { ( )}, (2.1) gdzie stopa spot ( ) określa jednostkową cenę kapitału lokowanego na okres czasu. Atrakcyjność każdej inwestycji rośnie wraz ze wzrostem jednostkowej ceny kapitału. Stąd wartość ( ) stopy spot możemy interpretować, jako użyteczność zainwestowania kapitału w inwestycję o ustalonym horyzoncie czasowym. Już pobieżna analiza modelu oprocentowania ciągłego dowodzi, że trend stopy spot ma ciągłą pierwszą pochodna. Opóźnienie terminu wymagalności kapitału oznacza wzrost ryzyka utraty płynności. Ten wzrost ryzyka inwestor kompensuje sobie wzrostem jednostkowej ceny kapitału. Oznacza, to, że trend stopy spot [ [ jest funkcją rosnącą. Teoria
finansów pokazuje też, że dowolna stopa spot spełnia dwa kryteria asymptotyczne. Pierwszym z tych kryteriów jest warunek renty wieczystej ( ), (2.2) gdzie jest stopą renty wieczystej. Kolejnym kryterium jest warunek bieżącej chwilowej stopy natychmiastowej ( ), (2.3) gdzie jest stopą natychmiastową bieżącej inwestycji zero kuponowej o horyzoncie wymagalności t 0. W [Svennson, 1994] stopa ta jest identyfikowana z bieżącą stopą O/N. Wobec monotoniczności trendu stopy spot mamy tutaj. (2.4) Wzrost ryzyka utraty płynności implikuje ograniczenie wzrostu ceny jednostkowej kapitału wywołanego opóźnieniem momentu wymagalności. Oznacza to, że wzrost trendu stopy spot jest ograniczony przez awersję do ryzyka. Nie mając dokładniejszych informacji o rozkładzie tej awersji zakładamy, ze jest ona niezależna od horyzontu czasowego inwestycji. Oznacza to, że natężenia tej awersji jest stałe w czasie. Stosując wskaźnik Arrowa-Pratta awersji do ryzyka [Arrow, 1971], [Pratt, 1964] założenie to opisujemy przy pomocy warunku ( ) ( ). (2.5) Dodatkowo założyliśmy tutaj ciągłość drugiej pochodnej trendu stopy spot. Jedynym rozwiązaniem zadania (2.2), (2.3) i (2.5) jest trend określony przez tożsamość ( ) ( ) { }. (2.6) W tej sytuacji funkcja wartości przyszłej jest określona przy pomocy tożsamości ( ) ( ) { ( ( ) { })}. (2.7) Sprzężona z powyższym trendem aprecjacji kapitału funkcja wartości przyszłej ( ) [ [ jest wtedy określona przy pomocy zależności (( ) ) { (( ) { } )}. (2.8) Funkcja ta może zostać wykorzystana do zdyskontowania wartości przyszłego przepływu finansowego ( ). Stopa dyskonta wynosi wtedy ( ) { (( ) { } )} { (( ) { } )}. (2.9) W elementarny sposób można wykazać, że wyznaczona powyżej stopa dyskonta jest rosnącą funkcją wskaźnika do awersji. 2.2. Zróżnicowana awersja do ryzyka, jako przesłanka równowagi rynkowej W sytuacji, gdy awersja do ryzyka jest indywidualną cechą każdego z inwestorów, opisany model może zostać wykorzystany do budowy formalnych modeli finansów behawioralnych. W modelu tym obiektywne czynniki fundamentalne reprezentowane są przez wartości i opisanych powyżej stop procentowych. Weźmy pod uwagę dowolny papier wartościowy stanowiący przedmiot obrotu na ustalonym rynku finansowym. O rozważanym rynku finansowym będziemy zakładać, że jest w pełni efektywny. W tej sytuacji wszyscy uczestnicy rynku przyjmują identyczną wartość przyszłą danego papieru wartościowego. W momencie czasowym instrument ten jest reprezentowany przez strumień finansowy ( ). Wartość bieżąca tego strumienia jest identyfikowana przez inwestora, jako cena równowagi finansowej instrumentu finansowego. Rozważmy teraz parę inwestorów ( ) różniących się pomiędzy sobą awersją do ryzyka. Awersja do ryzyka inwestora jest scharakteryzowana przez wskaźnik awersji do
ryzyka o wartości. Załóżmy teraz, że inwestor charakteryzuje się większą awersja do ryzyka niż inwestor. Mamy wtedy co prowadzi ostatecznie do, (2.10) (( ) ) (( ) ). (2.11) Widzimy tutaj, że częściowo subiektywnie szacowana cena równowagi maleje wraz ze wzrostem awersji do ryzyka. Oboje inwestorzy obserwują tą samą wartość ceny rynkowej. Jeśli wartość ta będzie spełniać warunek, (2.12) to wtedy inwestor zamierza sprzedać instrument finansowy. Równocześnie ten sam instrument planuje kupić inwestor. Popyt na instrument finansowy zgłaszany przez inwestora jest równoważony przez podaż instrumentu oferowaną przez inwestora. 3. Behawioralna wartość bieżąca Weźmy pod uwagę dowolny papier wartościowy stanowiący przedmiot obrotu na ustalonym rynku finansowym. Zazwyczaj analiza właściwości dowolnego papieru wartościowe jest prowadzona, jako analiza własności jego stopy zwrotu. Dowolna stopa zwrotu jest funkcją rosnącą wartości przyszłej i funkcją malejącą wartości bieżącej. W tym podrozdziale nasze rozważania ograniczamy do badania porządku wyznaczonego przez stopy zwrotu. Porównywać będziemy stopy zwrotu wyznaczone dla tego samego instrumentu finansowego przez różne podmioty rynku finansowego. O rozważanym rynku finansowym będziemy zakładać, że jest w pełni efektywny. W tej sytuacji wszyscy uczestnicy rynku przyjmują identyczną wartość przyszłą danego papieru wartościowego. Wtedy rosnący porządek stóp zwrotu jest równoważny malejącemu porządkowi wartości bieżących. W tej sytuacji decydujemy się na badanie porządku danego za pomocą wartości bieżących. Dzięki temu ominiemy tutaj kłopotliwą dyskusję na temat szczegółowej postaci rozkładu stopy zwrotu. Zgromadzona wiedza o rynku finansowym stanowi jedyną przesłanką do wyznaczenia uzasadnionej merytorycznie ceny rozważanego papieru wartościowego. W formalnych analizach rynkowych cena ta odgrywa rolę deklarowanej ceny równowagi. Z tej przyczyny wartość jest w skrócie nazywana ceną równowagi. W naszych rozważaniach cena równowagi odgrywa rolę syntetycznego obrazu wiedzy o rynku. O rozważanym rynku finansowym będziemy zakładać, że jest w pełni efektywny. W tej sytuacji wszyscy uczestnicy rynku przyjmują identyczną wartość ceny równowagi. Równocześnie wszyscy ci uczestnicy rynku obserwują tą samą wartość ceny rynkowej. Znajomość obu tych wartości wystarcza racjonalnego do uzasadnienia podejmowanych decyzji inwestycyjnych. Dla przypadku (3.1) racjonalne przesłanki jednoznacznie sugerują kupno rozważanego instrumentu finansowego. Zakup taki jest możliwy jedynie wtedy, kiedy pojawi się oferta jego sprzedaży. Naturalnym jest tutaj pytanie, jakimi przesłankami kieruje się inwestor sprzedający taki papier wartościowy. Podobnie, dla przypadku (3.2)
racjonalne przesłanki jednoznacznie sugerują sprzedaż rozważanego instrumentu finansowego. Sprzedaż taka jest możliwa jedynie wtedy, kiedy pojawi się oferta jego kupna. Rodzi to pytanie, jakimi przesłankami kieruje się inwestor sprzedający ten papier wartościowy. Odpowiedź na powyższe dwa pytania może być tylko jedna. Na efektywnym rynku finansowym równowaga pomiędzy popytem i podażą jest określona przez nieracjonalne przesłanki. Oczywistym jest, że przesłanki te mają charakter behawioralny. Z drugiej strony, dowolna wartość bieżąca kapitału jest definiowana, jako pewna teraźniejsza wartość równoważna danej wartości przyszłej kapitału. Wspomniana relacja równoważności jest relacją subiektywną, gdyż w dużej mierze zależy od podatności inwestora na wewnętrzne i zewnętrzne czynniki behawioralne. Wynika stąd, że na skutek oddziaływania czynników behawioralnych wartość bieżąca rozpatrywanego instrumentu finansowego może się odchylać od jego obserwowanej ceny rynkowej. W swej istocie stany środowiska behawioralnego są definiowane nieprecyzyjnie. Z tej przyczyny odchylenie wartości bieżącej od ceny rynkowej jest obarczone ryzykiem nieprecyzji. Tak rozumianą wartość bieżącą nazywać będziemy behawioralną wartością bieżąca ( w skrócie BPV). 3.1.Wieloznaczność behawioralnej wartości bieżącej Ryzyko nieprecyzji wynika z nieprecyzyjności stosowanych definicji i związanej z tym nieprecyzyjności obserwacji na temat teraźniejszego stanu rzeczy. To oznacza, że ryzyko nieprecyzji obarcza informacje na temat teraźniejszego stanu rzeczy. Z tego powodu istotnie różni się od ryzyka niepewności obciążającego informacje na temat tych zdarzeń, które poznamy w przyszłości. Z drugiej strony wielu badaczy przedmiotu (np. Klir [1992]) w obrazie nieprecyzyjności informacji wyróżnia niewyrazistość informacji oraz wieloznaczność informacji. Niejednoznaczność informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego wyróżnienia pomiędzy wieloma wskazanymi alternatywami jednej rekomendowanej alternatywy. Niewyrazistość informacji interpretujemy, jako brak jednoznacznego rozróżnienia pomiędzy daną informacją i jej zaprzeczeniem. Ze swej istoty jedynie informacja wieloznaczna może być niewyrazista. Dlatego w pierwszym kroku nasze rozważania ograniczymy do przypadku wieloznacznego określenia wartości bieżącej. Najczęściej spotykanym i najprostszym modelem wieloznacznej informacji liczbowej jest przedział liczbowy. Subiektywna ocena wartości bieżącej jest wieloznaczna. Każda z rozważanych alternatyw tej wyceny nazywać będziemy potencjalną wartością bieżącą ( w skrócie PPV). W tej sytuacji wieloznaczne określenie BPV sprowadza się do wyznaczenia takiego przedziału, którego każdy element jest interpretowany, jako PPV. Nasze rozważania na temat BPV rozpocznijmy od rozważenia przypadku równowagi finansowej, kiedy to cena rynkowa pokrywa się z ceną równowagi, to jest. (3.3) Równowaga ta jest chwilowa, co nakazuje określać wartość PPV, jako liczbę zbliżoną do ceny rynkowej. Zakładany zakres zmienności PPV charakteryzuje specyficzną podatność inwestora na wpływ wewnętrznych i zewnętrznych czynników behawioralnych. Każdy z inwestorów określa wtedy następujące wartości: dolny zakres PPV zakładany w warunkach równowagi finansowej, górny zakres PPV zakładany w warunkach równowagi finansowej.
W przypadku równowagi finansowej inwestor musi uwzględniać możliwość spadków i wzrostów notowań. W tej sytuacji zakres zmienności PPV spełnia warunek Przedział liczbowy [. (3.4) ] jest obrazem BPV dla przypadku równowagi finansowej. Dalsze rozważania o BPV poprowadzimy teraz dla przypadku, kiedy notowana jest dowolna cena rynkowa. Oczywistym jest, że BPV powinna być zależna od odchylenia (3.5) ceny rynkowej od ceny równowagi. Każdy z inwestorów określa wtedy następujące wartości: dolny zakres PPV zakładany dla ceny rynkowej, górny zakres PPV zakładany dla ceny rynkowej. Każda z tych wartości jest zależna od liczby [ ] określającej stopień podatności inwestora na zmiany. Wartość tego stopnia informuje nas, jak wielki jest wpływ na zmianę przekonań inwestora ma odchylenie ceny rynkowej od ceny równowagi. Oznacza to, że wartość opisuje stopień oddziaływania fenomenu konserwatyzmu poznawczego opisanego na gruncie psychologii przez Edwardsa [1968]. Fenomen ten jest uwzględniany w wielu behawioralnych modelach rynku finansowego. Dyskusję na ten temat można znaleźć na przykład w [Barberis, Shleifer, Vishny, 1998]. Stopień podatności na zmiany jest indywidualną cechą inwestora mającą podłoże behawioralne. Dolny zakres PPV inwestor określa, jako średnią ważona dolnego zakresu zakładanego w warunkach równowagi finansowej i wartości opisującej ten sam zakres skorygowany o odchylenie ceny rynkowej od ceny równowagi. W zależności tej waga skorygowanego dolnego zakresu jest równa stopniowi podatności inwestora na zmiany. Określając dolny zakres PPV inwestor musi brać pod uwagę też fakt, że zakres ten jest zawsze mniejszy równy od aktualnej ceny rynkowej. Mamy tutaj { ( ) ( ) } { }. (3.6) Górny zakres PPV inwestor określa, jako średnią ważona górnego zakresu zakładanego w warunkach równowagi finansowej i wartości opisującej ten sam zakres skorygowany o odchylenie ceny rynkowej od ceny równowagi. W zależności tej waga skorygowanego górnego zakresu jest równa stopniowi podatności inwestora na zmiany. Określając górny zakres PPV inwestor musi brać pod uwagę też fakt, że zakres ten jest zawsze większy równy od aktualnej ceny rynkowej. Mamy tutaj { ( ) ( ) } { }. (3.7) Ostateczne oszacowania zakresu zmienności PPV otrzymujemy w postaci {, (3.8)
{. (3.9) Zakładany w warunkach równowagi zakres zmienności PPV oraz stopień podatności inwestora określają wpływ behawioralnych przesłanek na wieloznaczność wartości PPV. Poszczególni inwestorzy różnią się swą podatnością na wpływy środowiska behawioralnego. Dlatego mogą różnić się pomiędzy sobą zarówno stopniem podatności na zmiany, jak i zakresami zmienności PPV. Łatwo jest powyżej zauważyć, że przy dużej nadwyżce ceny równowagi nad ceną rynkową (3.10) model BPV wyklucza możliwość dalszych spadków notowań. Także w przypadku dużej nadwyżki ceny rynkowej nad ceną równowagi (3.11) model BPV wyklucza dalsze wzrosty notowań. Oznacza to, że dopiero przy znacznych odchyleniach ceny rynkowej od ceny równowagi o podejmowaniu decyzji inwestycyjnych decydują jedynie przesłanki racjonalne. Zasięg oddziaływania przesłanek behawioralnych jest określony przez kombinację ich stanów. (3.12) Ostatecznie dla każdego inwestora można wyznaczyć specyficzny zakres zmienności PPV. Zakres ten jest zależny między innymi od odchylenia ceny rynkowej od ceny równowagi. Z tego powodu zakres ten jest określany, jako wartość funkcji ( ). Funkcja ta jest dana za pomocą tożsamości [ ] ( ) ( ) {[ ] ( ) [ ] ( ) W ten sposób uzewnętrznia się wpływ sytuacji rynkowej na przekonania inwestora. 3.1.2. Niewyrazistość behawioralnej wartości bieżącej (3.13) Zbudowany powyżej przedziałowy obraz BPV w jednakowy sposób traktuje wszystkie dopuszczalne wartości PPV. Z drugiej strony możemy jednak przypuszczać, że inwestor w większym stopniu akceptuje PPV bliższe cenie rynkowej. Oznacza to, że przedziałowy model BPV opisuje złożoność wpływów behawioralnych w niewystarczający sposób. Powoduje to konieczność zbudowania modelu BPV uwzględniającego zmienność wagi poszczególnych PPV. Prowadzi to wprost do zbudowania niewyraźnego modelu BPV. Najczęściej spotykanym i najprostszym modelem niewyraźnej informacji jest zbiór rozmyty 5. W tej sytuacji niewyraźne określenie BPV sprowadza się do wyznaczenia funkcji przynależności przypisującej poszczególnym PPV stopień ich akceptacji. Dyskusja przeprowadzona w [Piasecki, 2011] 5 Podejście do przedstawiania wartości finansowych, jako zbiorów rozmytych wywodzi się od Buckley a [1987] i Calziego [1990].
pozwoliła na określenie BPV, jako podzbiór rozmyty dany za pomocą swej funkcję przynależności ( ) ( ) [ ] zdefiniowanej w następujący sposób: jeżeli jest spełniony warunek (3.10), to dla [ ] ( ) ( ), (3.14) jeżeli są spełnione warunek (3.12) i, to ( ) { ( ) [ ] ( ) [ ], (3.15) jeżeli są spełnione warunek (3.1.12) i, to ( ) { ( ) [ ] ( ) [ ], (3.16) jeżeli jest spełniony warunek (3.11), to dla [ ] ( ) ( ), (3.17) Użyte powyżej funkcje ( ), ( ), ( ), ( ) opisane są za pomocą tożsamości ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ), (3.18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ). (3.19) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) )) (3.20) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ), (3.21) gdzie [ ] [ ] jest zadaną funkcją spełniającą dodatkowo warunki: ( ) ( ) ( ) ; (3.22) jest funkcją niemalejącą w przedziale [ ]; jest funkcją nierosnącą w przedziale [ ]. Model ten stanowi rozmyte przybliżenie liczby rzeczywistej opisane. Wartość przeciętną tej liczby interpretujemy, jako przeciętną PPV. Każdemu odchyleniu ceny rynkowej możemy przypisać wartość ( ) przeciętnej PPV. Wartość ta jest dana za pomocą tożsamości ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ). (3.23) Przeciętną PPV ( ) wyznaczoną dla danego inwestora możemy interpretować, jako jego przeciętną subiektywną ocenę wartości bieżącej danego instrumentu finansowego. Obiektywna ocena wartości bieżącej identyfikowana z ceną równowagi stanowi tutaj jedynie jedną z przesłanek determinujących subiektywną ocenę wartości bieżącej. W tej sytuacji przeciętna PPV ( ) stanowi dla inwestora informację bardziej wiarygodną niż cena równowagi. Oznacza to, że swe decyzje inwestycyjne inwestor uzależnia od wzajemnych relacji pomiędzy ceną rynkową i przeciętną PPV ( ). Jeżeli jest spełniony warunek
( ), (3.24) to inwestor uznaje, że rynek finansowy zaniżył wycenę rozważanego papieru wartościowego. W związku z powyższym inwestor spodziewa się rychłego wzrostu ceny rynkowej tego instrumentu finansowego. Oczekiwania te uzasadniają zgłoszenie oferty zakupu rozważanego papieru wartościowego. Wartość tego popytu zależy od strategii inwestycyjnej inwestora, oraz od posiadanych przez niego zasobów finansowych. Jeżeli jest spełniony warunek ( ) (3.25) to inwestor uznaje, że rynek finansowy zawyżył wycenę rozważanego papieru wartościowego. W związku z powyższym inwestor spodziewa się rychłego spadku ceny rynkowej tego instrumentu finansowego. Oczekiwania te uzasadniają zgłoszenie oferty sprzedaży rozważanego papieru wartościowego. Wartość tej podaży może być, co najwyżej równa wartości posiadanego przez niego papieru wartościowego. Zauważmy tutaj, że subiektywny warunek (3.24) zastępuje obiektywny warunek (3.1) oraz subiektywny warunek (3.25) zastępuje obiektywny warunek (3.2). Co jest oczywistym, na efektywnym rynku finansowym nie mogły być równocześnie spełnione warunki (3.1) i (3.2). Oba zakresy PPV zakładane dla ceny równowagi, stopień podatności inwestora na zmiany i jego zrównoważony rozkład akceptacji opisują efekty wpływu środowiska behawioralnego na inwestora. Charakterystyka ta jest specyficzna dla każdego z inwestorów. Z drugiej strony wszystkie wymienione tutaj czynniki stanowią behawioralne przesłanki określenia BPV. Oznacza to, że na efektywnym rynku finansowym każdy z inwestorów określa swą BPV w specyficzny sposób. W tej sytuacji przebieg zmienności przeciętnej PPV może być specyficzną cechą każdego z inwestorów. Oznacza to, że efektywnym rynku finansowym mogą się znaleźć równocześnie inwestorzy spełniający warunek (3.24) i inwestorzy spełniający warunek (3.25). W przeciwieństwie do koniunkcji warunków (3.1) i (3.2), na efektywnym rynku finansowym mogą być spełnione równocześnie warunki (3.24) i (3.25). W tej sytuacji popyt zgłaszany przez inwestorów spełniających warunek (3.24) jest równoważony przez podaż oferowana przez inwestorów spełniających warunek (3.25). Należy tutaj jednak pamiętać, że spostrzeżenie to odnosi się jedynie do inwestorów obecnych w danym momencie na rynku finansowym. W proponowanym modelu nie są uwzględniane przesłanki nakłaniające inwestora do wejścia na dany rynek finansowy. Jeżeli nie następuje redukcja sprzedaży lub redukcja kupna, to obserwowana cena rynkowa jest ceną równowagi rynkowej w ujęciu mikroekonomicznym. Cena równowagi rynkowej zależy w dużym stopniu od podatności inwestorów na wpływ środowiska behawioralnego. Cena jest natomiast ceną równowagi finansowej w ujęciu finansowym. Cena równowagi finansowej opisuje najbardziej stabilną cenę papieru wartościowego. Oznacza to, że na rynku finansowym możemy obserwować cenę równowagi finansowej i cenę równowagi rynkowej. Ceny te mogą być różne, co do wartości. Wniosek ten w pełni wyjaśnia opisany na wstępie paradoks osiągania równowagi rynkowej na efektywnym rynku finansowym. 3.2. Behawioralna wartość bieżąca studium przypadku Głównym celem tego studium przypadku będzie demonstracja przypadku, w którym równocześnie pojawiają się oferta zakupu i oferta sprzedaży.
Rozważamy instrument finansowy scharakteryzowany za pomocą ceny równowagi finansowej. Obrotem tym papierem wartościowym są zainteresowani inwestor A i inwestor B. Podatność inwestora A na wpływ wewnętrznych i zewnętrznych czynników behawioralnych jest opisany za pomocą wartości: dolny zakres PPV zakładany w warunkach równowagi finansowej, górny zakres PPV zakładany w warunkach równowagi finansowej. Podatność inwestora B na wpływ wewnętrznych i zewnętrznych czynników behawioralnych jest opisany za pomocą wartości: dolny zakres PPV zakładany w warunkach równowagi finansowej, górny zakres PPV zakładany w warunkach równowagi finansowej. Porównanie obu tych zakresów pozwala stwierdzić, że w warunkach równowagi finansowej oczekiwania rynkowe inwestora A są bardziej optymistyczne niż oczekiwania rynkowe inwestora B. Stopień podatności inwestora A na zmiany jest równy. Analogiczny stopień podatności inwestora B na zmiany jest równy. Jest tutaj wyraźnie widoczne to, że reakcja rynkowa inwestora B jest szybsza niż reakcja rynkowa inwestora A. W ten sposób zgromadziliśmy wszystkie informacje niezbędne do określenia wieloznacznej BPV. Łatwo jest zauważyć, ze każdy z inwestorów został obdarzony jedną zaletę i jedną wadę. Zaletami są tutaj bardziej optymistyczne oczekiwania inwestora A i szybsza reakcja rynkowa inwestora B. Wadami są natomiast bardziej pesymistyczne oczekiwania inwestora B i wolniejsza reakcja rynkowa inwestora A. Przeprowadzone [Piasecki, 2011] obliczenia pokazały, że inwestor A spełnia warunek (3.24) wtedy i tylko wtedy, kiedy, inwestor B spełnia warunek (3.25) jedynie wtedy, kiedy. Oznacza to, że jeśli cena rynkowa ] [, to wtedy popyt zgłaszany przez inwestora A może być równoważony przez podaż oferowaną przez inwestora B. W ten sposób zostało wykazana możliwość zastosowania proponowanego modelu do opisu zjawiska osiągania równowagi rynkowej w warunkach nierównowagi finansowej. 3.3. Behawioralna wartość bieżąca a teoria finansów behawioralnych Zaproponowany w tym rozdziale model behawioralnej wartości bieżącej stosuje się także w przypadku silnie efektywnego rynku finansowego. Tym różni się od modelu Daniela, Hirsleifera i Subrahmanyama [2001], w którym założono brak silnej efektywności. Określona powyżej behawioralna wartość bieżącą jest niezależna od obserwowanych na rynkach finansowych empirycznych rozkładów prawdopodobieństwa. Tym zaproponowany model różni się od teorii perspektywy [Tversky, Kahneman, 1974], gdzie stosuje się subiektywne przekształcenie obserwowanego rozkładu prawdopodobieństwa. Prowadzone w tej pracy rozważania nie wymagają stosowania funkcji użyteczności poszczególnych PPV. Tym zaproponowany model różni się od modelu R. Dacey a i P. Zielonki [2005].