Fizyka Kurs przygotowawczy na studia inżynierskie mgr Kamila Haule
Grawitacja
Grawitacja we Wszechświecie Planety przyciągają Księżyce Ziemia przyciąga Ciebie Słońce przyciąga Ziemię i inne planety Gwiazdy Galaktyki Lokalna Grupa Galaktyk Supergromada lokalna
Prawo powszechnego ciążenia Każda cząstka przyciąga każdą inną cząstkę siłą ciężkości (grawitacyjną) o wartości: F = G m1m 2 r 2 Stała grawitacji wynosi: G = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 Co zrobić kiedy ciała nie są cząstkami? TWIERDZENIE NEWTONA Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątrz powłoki tak, jak gdyby cała masa powłoki była skupiona w jej środku
Superpozycja (dodawanie) sił Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Superpozycja (dodawanie) sił Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Grawitacja w pobliżu powierzchni Ziemi Zakładając, ze Ziemia jest jednorodną kulą o masie M, wartość siły grawitacyjnej z jaką Ziemia działa na masę m znajdującą się poza Ziemią, w odległości r od jej środka, wynosi: F = G Mm 2 r Masa m puszczona swobodnie będzie się poruszać z przyspieszeniem grawitacyjnym (ziemskim): F = m a g a g = GM 2 r
Czym się różni a g od g? Przy precyzyjnych obliczeniach musimy wziąć pod uwagę, że: Ziemia nie jest jednorodna Ziemia nie jest idealnie kulista Ziemia ma w przybliżeniu kształt elipsoidy obrotowej, spłaszczonej na biegunach, a grubszej w okolicy równika. Promień Ziemi na równiku jest o 21 km większy niż na biegunie, stąd rzeczywiste przyspieszenie ciał będzie większe na biegunie niż na równiku. Ziemia obraca się g = a g ωr 2 Ruch obrotowy Ziemi wnosi dodatkową siłę dośrodkową (poza biegunami Ziemi, przez które przechodzi oś obrotu). g przyspieszenie spadku ciała, a g przyspieszenie grawitacyjne, ω 2 R przyspieszenie dośrodkowe (największe na równiku)
Przyspieszenie grawitacyjne Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Grawitacja wewnątrz Ziemi TWIERDZENIE NEWTONA Wypadkowa siła grawitacyjna, jaką ciało w kształcie powłoki kulistej działa na cząstkę znajdującą się wewnątrz tej powłoki, jest równa zeru. Jakim ruchem poruszałoby się ciało w tunelu wydrążonym we wnętrzu Ziemi, przebiegającym wzdłuż osi jej obrotu, przy założeniu, że Ziemia jest jednorodną kulą? M = 4 3 3 πρ Z r 4 F = Gm πρ Z r = 3 kr stały czynnik r F = k r
Grawitacyjna energia potencjalna Grawitacyjna energia potencjalna układu Ziemia-cząstka maleje w miarę zmniejszania się odległości cząstki od Ziemi. W nieskończoności jest równa zeru. Jest ona równa pracy wykonanej nad cząstką przez siłę grawitacji przy przemieszczeniu cząstki z powierzchni Ziemi na bardzo dużą (nieskończoną) odległość, albo pracy wykonanej nad cząstką przez siłę grawitacji przy przemieszczeniu cząstki z nieskończenie dużej odległości na powierzchnię Ziemi. W = R r F ( r ) r dr E p = G albo Mm r W = R r F ( r ) r dr związek energii potencjalnej z siłą: F = de dr p
E Prędkości kosmiczne Pierwsza prędkość kosmiczna k Druga prędkość kosmiczna 1 GMm + E = 2 p mv + = 0 2 R Trzecia prędkość kosmiczna Czwarta prędkość kosmiczna Tzw. prędkość satelity. Minimalna pozioma prędkość, jaką trzeba nadać ciału, aby mogło orbitować wokół Ziemi lub innego ciała niebieskiego. Siłę grawitacji traktujemy jak siłę dośrodkową satelity. v GM R Z IZ = 7, 9 Z km s Ze wzrostem odległości prędkość orbitowania maleje! Tzw. prędkość ucieczki z Ziemi. Prędkość cząstki potrzebna, aby cząstka opuściła pole grawitacyjne Ziemi. To samo równanie można wykorzystać dla dowolnego ciała niebieskiego. 2GM R Prędkość ucieczki z Układu Słonecznego v III 16, 7 Prędkość ucieczki z Drogi Mlecznej v Z IIZ = 11, 2 Z km s v IV 330 km s km s
Prędkości kosmiczne
Prawa Keplera
Planety i satelity: I prawo Keplera Prawa Keplera, sformułowane początkowo dla ruchu planet wokół Słońca, stosują się również do ruchu satelitów (naturalnych i sztucznych) wokół ciał niebieskich o dużej masie. I PRAWO KEPLERA Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce. a półoś wielka elipsy, e mimośród elipsy (mimośród równy zeru odpowiada okręgowi) e a = odległość każdego z ognisk elipsy od jej środka
Planety i satelity: II prawo Keplera II PRAWO KEPLERA Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odcinkach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity. ds = dt ds dt = const L 2m. Planeta porusza się po orbicie wolniej, gdy jest daleko od Słońca, a szybciej gdy jest blisko. W ruchu planet spełniona jest zasada zachowania momentu pędu.
Planety i satelity: III prawo Keplera III PRAWO KEPLERA Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej tej orbity. T = 2 4 π GM 2 a 3
Satelity: orbity i energia ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Gdy satelita obiega Ziemię po orbicie eliptycznej, okresowo zmienia się zarówno jego prędkość (od której zależy jego energia kinetyczna E k ) jak i odległość od środka Ziemi (od której zależy jego energia potencjalna E p ). Jednak całkowita energia mechaniczny satelity pozostaje stała.
Satelity: orbity i energia Źródło: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy Fizyki, PWN, tom 2
Ogólna teoria względności Einsteina Zasada równoważności Skutki grawitacji i ruchu przyspieszonego są sobie równoważne. Zakrzywienie czasoprzestrzeni Einstein wykazał, że przyczyną grawitacji jest zakrzywienie (odkształcenie) czasoprzestrzeni powodowane przez masy.
Zadania
Zadania 1. niżej
Zadania 2. W jakiej odległości od siebie muszą się znajdować dwie cząstki o masach 5,2 kg oraz 2,4 kg, aby siła ich przyciągania grawitacyjnego miała wartość 2,3 10-12 N? 3. Jeden z satelitów z serii Echo ma postać kulistego balonu aluminiowego o średnicy 30 m i masie 2 kg. Wyobraź sobie, że meteoroid o masie 7 kg przelatuje w odległości 3 m od powierzchni tego satelity. Ile wynosi wartość siły ciążenia, jaką działa satelita na meteoroid w chwili ich największego zbliżenia? 4. Na Księżyc działa siła ciążenia ze strony zarówno Słońca, jak i Ziemi. Ile wynosi stosunek tych sił F S / F Z? Załóż, że średnia odległość Księżyca od Słońca jest równa odległości Ziemi od Słońca.
Zadania 5. Statek kosmiczny leci wzdłuż linii prostej łączącej Ziemię i Księżyc. W jakiej odległości od Ziemi wypadkowa siła ciążenia działająca na statek jest równa zeru? 6. W jakiej odległości od Ziemi musi znajdować się sonda kosmiczna na prostej łączącej Ziemię i Słońce, aby siły przyciągania grawitacyjnego działające na nią ze strony Ziemi i Słońca równoważyły się?
Zadania 7. niżej
Zadania 8. poniżej
Zadania 9. obok
Zadania 10. Wyobraź sobie, że stoisz na wadze na chodniku przed wieżowcem w centrum Nowego Jorku. Waga wskazuje, że twój ciężar wynosi 530 N. Następnie wjeżdżasz na szczyt wieżowca o wysokości 410 m. O ile mniej będziesz ważył na szczycie wieżowca (będziesz przecież nieco dalej od środka Ziemi)? Pomiń wpływ ruchu obrotowego Ziemi. 11. Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie grawitacyjne jest równe 4,9 m/s 2? 12. a) Ile będzie ważyło na powierzchni Księżyca ciało, które na powierzchni Ziemi waży 100 N? b) W jakiej odległości od środka Ziemi, mierzonej w jednostkach promienia Ziemi, należałoby umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy jego ciężarowi na Księżycu?
Zadania 13. Model pewnej planety zakłada, że składa się ona z jądra o promieniu R i masie M oraz warstwy zewnętrznej o promieniu wewnętrznym równym R i zewnętrznym równym 2R oraz masie 4M. Przyjmij, że M = 4,1 10 24 kg, a R = 6 10 6 m i oblicz przyspieszenie grawitacyjne cząstki znajdującej się w odległości a) R oraz b) 3R od środka planety. 14. Podejrzewa się, że niektóre gwiazdy neutronowe (gwiazdy 14. Podejrzewa się, że niektóre gwiazdy neutronowe (gwiazdy o olbrzymiej gęstości) wirują z prędkością 1 obrotu na sekundę. Przyjmij, że taka gwiazda ma promień 20 km i oblicz, jaka co najmniej musi być jej masa, by materia na jej powierzchni nie odrywała się od gwiazdy przy tak szybkim jej obrocie.
Zadania 15. Przyspieszenie grawitacyjne ciał znajdujących się na powierzchni jednorodnej kuli o promieniu R jest równe a g. Wyznacz dwie wartości odległości od środka kuli, w których przyspieszenie grawitacyjne wynosi a g /3. (Rozważ odległości zarówno większe, jak i mniejsze od promienia kuli). 16. a) Ile wynosi grawitacyjna energia potencjalna układu dwóch cząstek z zadania 2? Wyobraź sobie, że odległość tych cząstek zwiększono trzykrotnie. Jaka praca została przy tym wykonana przez: b) działającą między cząstkami siłę grawitacyjną, c) siłę powodującą zwiększenie odległości cząstek?
Zadania 17. Średnica Marsa wynosi w przybliżeniu 6,9 10 3 km, a średnica Ziemi 1,3 10 4 km. Masa Marsa stanowi 0,11 masy Ziemi. a) Ile wynosi stosunek średnich gęstości Marsa i Ziemi? b) Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na Marsie? c) Ile wynosi prędkość ucieczki z Marsa? 18. Oblicz energię potrzebną do ucieczki ciała: a) z Księżyca b) z Jowisza, wyrażając ją w jednostkach energii potrzebnej do ucieczki z Ziemi. 19. Planeta Roton o masie 7 10 24 kg i promieniu 1600 km przyciąga siłą grawitacyjną meteoroid znajdujący się początkowo w spoczynku tak daleko od planety, że jego odległość od planety można przyjąć za nieskończoną. Następnie meteoroid spada na planetę. Oblicz prędkość meteoroidu w chwili dotarcia do powierzchni Rotona, zakładając że planeta nie ma atmosfery.
Zadania 20. a) Oblicz prędkość ucieczki z kulistej planetoidy o promieniu 500 km i przyspieszeniu grawitacyjnym na powierzchni równym 3 m/s 2. b) Jak daleko odbiegnie od powierzchni tej planetoidy cząstka opuszczająca tę powierzchnię z prędkością radialną równą 1000 m/s? c) Z jaką prędkością uderzy w powierzchnię tej planetoidy przedmiot puszczony swobodnie z wysokości 1000 km nad tą powierzchnią? 21. Rakieta o masie 150 kg oddala się radialnie od Ziemi. W chwili, gdy znajduje się ona w odległości 200 km od powierzchni Ziemi i ma prędkość 3,7 km/s, jej silnik zostaje wyłączony. a) Zaniedbując opór powietrza, wyznacz energię kinetyczną rakiety, gdy znajdzie się ona w odległości 1000 km od powierzchni Ziemi. b) Na jaką maksymalną wysokość nad powierzchnię Ziemi wzniesie się ta rakieta?
Zadania 22. Średnia odległość Marsa od Słońca jest 1,52 razy większa niż średnia odległość Ziemi od Słońca. Korzystając z trzeciego prawa Keplera oblicz, ile lat zajmuje Marsowi jedno okrążenie Słońca. 23. Satelita Marsa Phobos obiega planetę po orbicie niemal kołowej. Znając promień tej orbity, równy 9,4 10 6 m, i okres obiegu, wynoszący 7 godzin i 39 minut, wyznacz masę Marsa. 24. Wyznacz masę Ziemi, wiedząc że promień orbity Księżyca r jest równy 3,82 10 5 km, a okres obiegu T wynosi 27,3 doby. Przyjmij, że środkiem orbity Księżyca jest środek Ziemi, a nie środek masy układu Ziemia-Księżyc.
Zadania 25. Satelita został umieszczony na okołoziemskiej orbicie kołowej o promieniu równym połowie promienia orbity Księżyca. Oblicz okres ruchu tego satelity w miesiącach księżycowych (miesiąc księżycowy jest to okres obiegu Księżyca wokół Ziemi). 26. a) Ile wynosi prędkość liniowa satelity Ziemi na orbicie kołowej odległej od powierzchni Ziemi o 160 km? b) Ile wynosi okres obiegu Ziemi przez tego satelitę? 27. Środek Słońca znajduje się w jednym z ognisk orbity Ziemi. Ile wynosi odległość drugiego ogniska tej orbity od Słońca, wyrażona: a) w metrach, b) w jednostkach promienia Słońca, równego 6,96 10 8 m? Mimośród orbity Ziemi wynosi 0,0167, a jej półoś wielka jest równa 1,5 10 11 m.
Zadania 28. Pewien satelita znajduje się przez cały czas nad określonym miejscem na równiku Ziemi (która obraca się wokół swej osi). Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi znajduje się ten satelita (jego orbitę nazywamy geostacjonarną)? 29. Satelita o masie 20 kg znajduje się na orbicie kołowej o promieniu 8 10 6 m wokół planety o nieznanej masie. Okres obiegu wynosi 2,4 h, a wartość przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni planety jest równa 8 m/s 2. Ile wynosi promień tej planety? 30. Planetoida o masie stanowiącej 2 10-4 masy Ziemi obiega Słońce po orbicie kołowej o promieniu dwa razy większym od odległości Ziemi od Słońca. a) Wyznacz okres ruchu planetoidy w latach. b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej tej planetoidy do energii kinetycznej Ziemi?
Zadania 31. Jednym ze sposobów zaatakowania satelity na orbicie okołoziemskiej jest umieszczenie na tej orbicie roju ziarenek śrutu, poruszających się po tej orbicie w kierunku przeciwnym niż satelita. Załóżmy, że satelita znajduje się na orbicie kołowej na wysokości 500 km nad powierzchnią Ziemi i zderza się z ziarnkiem śrutu o masie 4 g. a) Ile wynosi tuż przed zderzeniem energia kinetyczna ziarnka śrutu w układzie odniesienia związanym z satelitą? b) Ile wynosi stosunek tej energii kinetycznej do energii kinetycznej pocisku o masie 4 g mającego u wylotu z lufy nowoczesnego karabinu wojskowego prędkość 950 m/s?
Zadania 32. Okres obiegu Słońca przez kometę Halleya wynosi 76 lat. W roku 1986 kometa ta przeszła przez peryhelium, tzn. punkt największego zbliżenia do Słońca. Odległość tego punktu od Słońca wynosi 8,9 10 10 m (punkt ten znajduje się między orbitami Merkurego i Wenus). a) Ile wynosi największa odległość komety od Słońca, odpowiadająca aphelium orbity? b) Ile wynosi mimośród orbity komety Halleya? 33. Planetoida zbliża się wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Jej prędkość względem Ziemi wynosi 12 km/s, gdy jej odległość od środka Ziemi jest równa 10 promieniom Ziemi. Pomiń obecność atmosfery ziemskiej i oblicz prędkość planetoidy w chwili jej dotarcia do powierzchni Ziemi.
Dziękuję Akademia Morska w Gdyni ul. Morska 81 87 81 225 Gdynia (+48) 58 690 12 74 (+48) 58 690 12 74 promocja@am.gdynia.pl www.am.gdynia.pl facebook.com/akademia.morska.w.gdyni