Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1

1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy krzywą f(x,y)=0, gdzie f jest wielomianem zmiennych x i y o współczynnikach z ciała K. f(x, y) = a nm x n y m +... + a 11 xy + a 10 x + a 01 y + a 00 Powiemy, że krzywa algebraiczna C nad ciałem K jest nieosobliwa, jeżeli krzywa C nie posiada punktów osobliwych nad K. Definicja 1.2 Punkt (x,y) na krzywej algebraicznej C nad ciałem K nazywamy K-wymiernym punktem krzywej C, jeżeli x i y należą do ciała K. Definicja 1.3 Zbiór C(K) = {(x, y) K 2 f(x, y) = 0} nazywamy zbiorem K-wymiernych punktów krzywej C. Definicja 1.4 Niech g(x) = x n +... + a 1 x + a 0, gdzie n jest stopniem wielomianu g, a r 1, r 2,..., r n są jego pierwiastkami. Wyròżnik wielomianu g definiujemy jako (g) = n 1 i<j n (r i r j ) 2 2

2 Krzywe eliptyczne Definicja 2.1 Krzywą eliptyczną nad ciałem K nazywamy każdą nieosobliwą krzywą algebraiczną stopnia 3 (krzywą kubiczną), f(x,y)=0, i genus 1, z co najmniej jednym K-wymiernym punktem (który może leżeć w nieskończoności, przy rozpatrzeniu odpowiednich przestrzeni rzutowych). Za ciało K przyjmuje się zazwyczaj C, R, Q lub ciała skończone. Ogólna postać krzywej eliptycznej C, f(x,y)=0 Ax 3 + Bx 2 y + Cxy 2 + Dy 3 + Ex 2 + F xy + Gy 2 + Hx + Iy + J = 0, gdzie A,B,..., są elementami ciała K. Jeżeli charakterystyka ciała K jest różna od 2 lub 3 to powyższe równanie można zapisaź w postaci y 2 = x 3 + ax + b. Jeżeli char(k)=3 to równanie przyjmuje postać y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c. Natomiast gdy char(k)=2 wtedy y 2 + ay = x 3 + bx 2 + cxy + dx + e. Definicja 2.2 Niech E będzie krzywą eliptyczną nad K daną równaniem E: y 2 = g(x). Wyróżnikiem krzywej eliptycznej E nazywamy = k (g) = k(r 1 r 2 ) 2 (r 1 r 3 ) 2 (r 2 r 3 ) 2, gdzie r 1, r 2, r 3 są pierwiastkami wielomianu g(x). Jeżeli char(k) 2 i 3 to wyróżnik krzywej eliptycznej ma postać = 16(4a 3 + 27b 2 ). I tak zdefiniowany stanowi niezmiennik krzywej eliptycznej. Jeżeli w definicji zmienimy eliptyczność na algebraiczność to: 0 to krzywa algebraiczna jest nieosobliwa genus 1 = 0 to krzywa ma co najmniej jeden punkt osobliwy (pierwiastek wielokrotny). Wyróżniamy dwa typy osobliwości: ostrza i węzły. W ciele o charakterystyce różnej od 2 i 3 typ ten zależy od współczynnika a: a = 0 to osobliwości są ostrzami (cusps) a 0 to osobliwości są węzłami (nodes). 3

Rysunek 1: przykłady krzywych eliptycznych Rysunek 2: przykłady osobliwości 4

2.1 Krzywe eliptyczne nad ciałem Q Niech E oznacza krzywą eliptyczną nad ciałem Q. Po odpowiedniej zamianie zmiennych krzywą E możemy zapisać równaniem o współczynnikach całkowitych. Twierdzenie 2.1 Każdą krzywą eliptyczną nad ciałem Q można przedstawić równaniem o współczynikach całkowitych E: y 2 = g(x) = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, a 2, a 1, a 0 Z, tak dobrane, by wyróżnik (E) był możliwie najmniejszy. Taką krzywą E nazywamy modelem minimalnym (postacią minimalną) krzywej eliptycznej E. Lemat Całkowite współczynniki krzywej w postaci minimalnej implikują całkowitość jej wyróżnika. 2.2 Redukcja mod p Dane niech będą krzywa eliptyczna E nad ciałem Q w postaci minimalnej oraz liczba p pierwsza. Wprowadzamy relację kongruencji E p : y 2 g(x) mod p określoną jako redukcję współczynników krzywej E modulo p. Zauważmy, że E p jest krzywą nad ciałem skończonym Z p. Definicja 2.3 Krzywą E p nazywamy redukcją krzywej eliptycznej E modulo p. Definicja 2.4 Powiemy, że krzywa E ma dobrą redukcję mod p, jeżeli krzywa E p jest krzywą nieosobliwą nad ciałem Z p. W przeciwnym wypadku mówimy o złej redukcji krzywej eliptycznej E mod p. Obserwacja: p E p jest nieosobliwa (zatem jest eliptyczna) p E p jest osobliwa. Definicja 2.5 Jeżeli osobliwość krzywej E p jest węzłem, to mówimy o semi-stabilnej redukcji krzywej eliptycznej E. 5

2.3 Semi-stabilne krzywe eliptyczne Definicja 2.6 Powiemy, że krzywa eliptyczna E jest semi-stablina, jeżeli posiada dobrą lub semi-stabilną redukcję dla każdej liczby pierwszej p. 2.4 Konduktor krzywej eliptycznej Niech E będzie krzywą eliptyczną w postaci minimalnej. Definicja 2.7 Przewodnik N krzywej eliptycznej E określamy jako: N = p p v p gdzie p - liczba pierwsza, v p = 0 jezeli E ma dobrą redukcję modulo p 1 jeżeli E ma semi-stabilną redukcję modulo p 2 + λ p else gdzie v p jest nieujemne calkowite. Przewodnik N daje informację o rodzaju osobliwości krzywej E p Twierdzenie 2.2 Krzywa eliptyczna E jest semi-stablina, gdy jej przewodnik N jest bezkwadratowy. 6

3 Krzywe Frey a y 2 = x(x A)(x + B) gdzie A,B dane liczby naturalne, takie że NWD(A,B)=1 i 16 A Rozumowanie Frey a: Jeżeli Wielkie Twierdzenie Fermata nie zachodzi dla pewnej liczby n 5 to weźmy liczby całkowite a, b, c parami względnie pierwsze, gdzie a jest liczbą parzystą, takie, że spełnione jest równanie a n + b n = c n. Przyjmijmy za A = a n, B = b n. Otrzymamy krzywą Frey a o równaniu E: y 2 = x(x A)(x + B) = g(x) = x 3 + (b n a n )x 2 a n b n x Łatwo policzyć, źe wyróżnik krzywej E wynosi = (g) = (abc) 2n i jest całkowity. Natomiast minimalny wyróżnik wynosi min = (abc)2n 2 8 Twierdzenie 3.1 Krzywe Frey a są semi-stabilne. Dowód. (Szkic) Niech E będzie krzywą Frey a. Dla każdej liczby pierwszej p rozważamy krzywą E p - redukcję modulo p krzywej Frey a E. E p : y 2 x 3 + (b n a n )x 2 a n b n x) mod p p-liczba pierwsza Jeżeli p nie dzieli to E p jest krzywą eliptyczną nad ciałem Z p (mamy dobrą redukcję krzywej E). Jeżeli p dzieli to mamy krzywą osobliwą E p. Osobliwościami są tylko węzły zatem mamy semi-stabilną redukcję krzywej E. Zatem krzywe Freya są semi-stabilne. N = p p v p = p p 7

4 Formy modularne Dla każdej liczby pierwszej p ( p) obliczamy liczbę punktów na krzywej eliptycznej E mod p i definiujemy a p = p + 1 E p (Z p ) Liczby a p, wyróżnik i przewodnik stanowią charakterystyki dla krzywych eliptycznych. Do wyznaczania liczb a p służą formy modularne. Niech N Z + i niech Γ 0 (N) będzie zbiorem macierzy a b c d takie, że a, b, c, d Z, N c i ad bc = 1. Przy takich założeniach Γ 0 (N) jest grupą multiplikatywną i nazywamy ją grupą kongruencji poziomu N. Niech H będzie górną półpłaszczyzną zespoloną. Określamy działanie grupy Γ 0 (N) na H: a b c d Oraz niech H = H {ostrza}. z = az + b cz + d Definicja 4.1 Formą modularną poziomu N i ciężaru 2 nazywamy odwzorowanie f: H C takie,że dla każdej macierzy a b c d f Γ 0 (N) otrzymujemy ( ) az + b = (cz + d) 2 f(z) cz + d f jest holomorficzna w każdym punkcie H Definicja 4.2 Formę modularną znikającą we wszystkich punktach zbioru ostrzy nazywamy formą paraboliczną. 8

4.1 Własności Oznaczmy M 2 (N) - zbiór form modularnych poziomu N i ciężaru 2 S 2 (N) - zbiór form parabolicznych poziomu N i ciężaru 2 Własności: M 2 (N) jest przestrzenią liniową nad C S 2 (N) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni M 2 (N) S 2 (2) składa się z formy zerowej a b Γ c d 0 (N) f(z+1)=f(z) Z ostatniego punktu wynika, że każda forma modularna ma rozwinięcie w szereg Fouriera postaci: f(z) = n=0,gdzie dla form parabolicznych c 0 = 0. c n e 2πinz Definicja 4.3 Krzywe eliptyczne, których liczby a p są współczynnikami rozwinięcia w szereg Fouriera pewnej formy modularnej, nazywamy krzywymi eliptycznymi modularnymi. 9

5 Hipoteza Shimury-Taniyamy Hipoteza 5.1 Każda krzywa eliptyczna jest modularna. Kenneth A. Ribet wykazał, że jeżeli hipoteza Shimury-Taniyamy dla krzywych eliptycznych semi-stabilnych jest prawdziwa, to krzywe Freya nie mogą istnieć. załóżmy, że WTF nie jest prawdziwe dla wykładnika q konstruujemy krzywą Freya dla takiego wykładnika krzywa E o konduktorze N jest semi-stabilna zakładamy, że hipoteza Shimury-Taniyamy jest prawdziwa otrzymujemy jako wniosek, że istnieje pewna niezerowa forma paraboliczna f ciężaru 2 i poziomu 2 otrzymujemy sprzeczność, gdyż jak wiemy S 2 (2) składa się tylko z formy zerowej Jako wniosek otrzymujemy, że przy założeniu prawdziwości hipotezy Shimury-Taniyamy dla semi-stabilnych krzywych eliptycznych wynika niemożność istnienia krzywych Freya. Zatem WTF jest prawdziwe. 6 Mały dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata Twierdzenie 6.1 Każda semi-stabilna krzywa eliptyczna jest modularna. Wniosek 6.1 Wielkie Twierdzenie Fermata jest prawdziwe. 10