Rachunek zdań 1 zastaw zadań Zadanie 1 ([1]) Wyraź w języku KRZ następujące zdania języka naturalnego: (a) Jeśli Jan jest ateistą to Jan nie jest katolikiem. (b) Jeśli Jan jest ateistą to nieprawda, że nie jest ateistą. (c) Z faktu, że Jan nie jest protestantem, a Piotr nie jest ateistą wynika, że Jan jest ateistą. (d) Nieprawda, że jeśli Jan nie jest katolikiem to Piotr nie jest ateistą. (e) Jeśli Jan nie jest protestantem i nie jest katolikiem to Piotr jest katolikiem lub ateistą. (f) Piotr jest ateistą o ile Jan jest protestantem. (g) Z faktu, że Jan jest protestantem wynika, że Jan nie jest ateistą, o ile Piotr jest protestantem. (h) Jan nie jest katolikiem i z faktu, że nie jest protestantem wynika, że jest ateistą. (i) Jeśli jeśli Jan jest katolikiem to jest katolikiem to jest katolikiem. (j) Jeśli jeśli Jan nie jest katolikiem to Piotr jest protestantem to jeśli Piotr jest katolikiem to Jan jest protestantem. (k) Nieprawda, że jeśli Jan jest katolikiem lub ateistą to nieprawda, że jeśli nie jest protestantem to jest ateistą. Zadanie 2 Czy poniższe zdania są prawdziwe? (a) Nieprawda, że Berlin nie jest stolicą Polski. (b) Jeśli Warszawa jest stolicą Polski to Warszawa jest stolicą Niemiec. (c) Jeśli Warszawa jest stolicą Niemiec to Warszawa jest stolicą Polski. (d) Jeśli Kijów jest stolicą Polski to Kijów nie jest stolicą Polski. (e) Jeśli Berlin jest stolicą Niemiec i Kijów jest stolicą Ukrainy to Warszawa jest stolicą Polski. (f) Jeśli Warszawa jest stolicą Polski to Berlin nie jest stolicą Niemiec wtedy i tylko wtedy, gdy Berlin jest stolicą Ukrainy. (g) Warszawa nie jest stolicą Polski lub nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski. (h) Jeśli nieprawda, że Kijów jest stolicą Niemiec lub Berlin jest stolicą Ukrainy to Warszawa nie jest stolicą Polski. (i) Jeśli jeśli jeśli Kijów jest stolicą Niemiec to Berlin jest stolicą Polski to Kijów jest stolicą Niemiec to Kijów jest stolicą Niemiec. Zadanie 3 W puste pola wpisz te wartości logiczne, które muszą tam być z konieczności. 1 1 0 0 0 0 0 1 p q p q p q p q p q p q 1 0 1 1 0 0 0 0 p q p q p q p q p q p q 1
1 0 0 1 1 1 1 0 p q p q p q p q p q p q 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 p q p q p q p q p q p q 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 p q p q p q p q p q p q 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 p q p q p q p q p q p q Zadanie 4 Załóżmy, że zdanie p jest prawdziwe, r jest fałszywe zaś wartości zdań s, t nie znamy. Oblicz wartość każdego z poniższych zdań, chyba że okaże się to niemożliwe; w tym przypadku, pokaż, że obydwie wartości są możliwe. (a) p ( p r) (b) [ (p r) ( p r)] (c) s (t r) (d) s (t p) (e) s ( t r) (f) (t p) (p t) (g) ((s t) p) (r t) (h) (r s) (r t) (i) (s r) (p t) (j) (p t) (p s) Zadanie 5 Ustal (o ile to możliwe) wartość logiczną zdania q, jeśli wiadomo, że dane zdanie jest fałszywe. (a) ( q r) (p r) (b) (q q) ( q q) (c) (p q) [(q q) (p q)] (d) [q (p p)] [(p p) q] (e) (p s) [(s q) p] (f) [(r s) q] ( r s) (g) (p p) (p q) (h) [(s p) q] (s p) (i) [(p q) (r q)] (p r) (j) [(s r) (p p)] [(s r) q] Zadanie 6 Sprawdź, które z poniższych formuł są tautologiami, które kontrtautologiami, a które nie są ani tym ani tym. (a) (p q) ( p q) (b) ( p q) (p q) (c) (p q) ( p q) (d) ( p q) (p q) (e) [(p q) q] p (f) (p q) [(p r) (q r)] (g) (p q) [(p r) (q r)] (h) (p q) (q p) (i) (p q) [(r p) (r q)] (j) (p q) [(r q) (r p)] (k) [p (q r)] [(p q) (p r)] (l) [p (q r)] [(p q) (p r)] (m) [p (p q)] q (n) [p (q r)] [(p q) (p r)] Zadanie 7 Sprawdzić, że następujące zdania są tautologiami. 2
Prawo tożsamości α α Prawo wyłączonego środka α α Prawo sprzeczności (α α) Prawo podwójnego przeczenia α α Prawa De Morgana (α β) ( α β) (α β) ( α β) Prawo negowania implikacji (α β) (α β) Prawo negowania równoważności (α β) [(α β) ( α β)] Prawa definiowania (α β) ( α β) (α β) (α β) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) [(α β) β] (α β) ( α β) (α β) (α β) (α β) [(α β) (β α)] Prawa sylogizmu [(α β) (β γ)] (α γ) (α β) [(β γ) (α γ)] Prawo poprzedzania α (β α) Prawa przepełnienia (α α) β α (α β) Prawa kontrapozycji (α β) ( β α) ( α β) (β α) Prawa transpozycji (α β) (β α) ( α β) ( β α) Prawa redukcji do absurdu ( α α) α (α β) [(α β) α] Prawa przemienności (α β) (β α) (α β) (β α) Prawa łączności [α (β γ))] [(α β) γ] [α (β γ)] [(α β) γ] Prawa dystrybutywności [α (β γ)] [(α β) (α γ)] [α (β γ)] [(α β) (α γ)] Prawa pochłaniania [(α β) α] α [(α β) α] α Prawo skracania [α (α β)] (α β) Prawo komutacji [α (β γ)] [β (α γ)] Prawa importacji i eksportacji [α (β γ)] [(α β) γ] [(α β) γ] [α (β γ)] Prawa Peirce a [(α β) α)] α Prawo Dummeta (α β) (β α) Zadanie 8 ([1]) Czy rozumowania są poprawne? (a) p q, p r zatem, r q. (b) p (r q), r q zatem p q. (c) p (r q), zatem p r. (d) p (q r), q (p r) zatem r (q p). (e) p q, p q, p s zatem s. (f) p (q r), (p q) r zatem p r. (g) Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zenka. Wacka nie ma w barze. Zatem Wacek nie dostał wypłaty lub jest u Zenka. (h) Jeśli X wygra wybory to zwiększy podatki, o ile deficyt nie zmniejszy się. Jeśli X wygra wybory to deficyt się nie zmniejszy. Zatem jeśli X wygra wybory to zwiększy podatki. (i) Jeśli Jan uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie, a jeśli nie otrzymuje dobrych stopni, to traci humor. Jan nie traci humoru. Zatem Jan uczy się pilnie. (j) Jeśli Jan nie będzie schlebiał Piotrowi, to straci posadę. Jeżeli Jan straci posadę, to popadnie w kłopoty finansowe. Jeżeli Jan będzie schlebiał Piotrowi, to straci dobrą opinię. Zatem Jan popadnie w kłopoty finansowe lub straci dobrą opinię. (k) Jeśli Jan ożeni się z Marią to Piotr go znienawidzi. Jeśli Piotr umrze to Jan ożeni się z Marią. Zatem jeśli Piotr umrze to znienawidzi Jana. Zadanie 9 W dokładnie jednym z trzech pudełek znajduje się szmaragd. Pozostałe dwa są puste. Na pudełkach umieszczone są napisy: na pierwszym: W tym pudełku nie ma szmaragdu, Szmaragd jest w drugim pudełku, na drugim: W pierwszym pudełku nie ma szmaragdu, Szmaragd jest w trzecim pudełku, na trzecim: W tym pudełku nie ma szmaragdu, Szmaragd jest w pierwszym pudełku. 3
W jednej z par napisów oba zdania są prawdziwe, w jednej oba fałszywe, a w jednej jedno jest prawdziwe, a drugi fałszywe. Gdzie jest szmaragd? Zadanie 10 W dokładnie jednym z trzech pudełek znajduje się szmaragd. Pozostałe dwa są puste. Na pudełkach umieszczone są napisy: na pierwszym: W tym pudełku nie ma szmaragdu, Szmaragd jest warty 10 000 złotych, na drugim: W pierwszym pudełku nie ma szmaragdu, Szmaragd jest warty 50 000 złotych, na trzecim: W tym pudełku nie ma szmaragdu, Szmaragd jest w drugim pudełku. W każdej parze napisów przynajmniej jeden napis jest prawdziwy. Które pudełko wybierzesz? Zadanie 11 Mamy pięć pudełek A, B, C, D, E oraz dwa diamenty. Wiadomo, że: gdyby w pudełku D był diament to byłby też w A, gdyby w pudełku B diamentu nie było to nie byłoby go też w E, gdyby w pudełku C diamentu nie było to byłby w D, gdyby diament był w pudełkach C i E to byłby też w pudełku A, a gdyby w pudełku A był diament to byłby w E. Gdzie są diamenty? Zadanie 12 ([1]) Czy zbiory formuł są spełnialne? (a) p q, q r, r p. (b) p q, q r, (r s) q. (d) s q, p q, (s p), s. (e) p (q r), q r, (q r) p. (c) ( q p), p r, q r. (f) p q, p (q p). (g) Jeżeli Jan odda mi pieniądze, to kupię dom lub samochód. Jeżeli Jan odda mi pieniądze, to nie kupię domu. Jeżeli Jan odda mi pieniądze, to nie kupię samochodu. (h) Jeśli Jan nie kupi domu, to kupi samochód, a jeśli kupi samochód, to kupi też dom. (i) Jeśli oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, to uczynił to dla własnej korzyści. Jeżeli oskarżony popełnił to przestępstwo dla własnej korzyści, to nie wiedział, że natychmiast zostanie wykryte. Jeżeli oskarżony posiada wykształcenie ekonomiczne, to wiedział, że przestępstwo to natychmiast zostanie wykryte. Oskarżony popełnił przypisywane mu przestępstwo, a posiada wykształcenie ekonomiczne. (j) Filozofia nauki nie jest ani nauką empiryczną, ani działem logiki. Jeżeli filozofia nauki jest nauką humanistyczną, to jest nauką empiryczną. Jeżeli filozofia nauki nie jest nauką humanistyczną, to jest działem logiki. Zadanie 13 Znajdź, o ile istnieje, taką formułę α, żeby następująca formuła stała się tautologią: (a) (p α) (α p), (b) (α p) ( α q), (c) (α p) (p q), (d) p ( α α), (e) [(α α) α] p, (f) [(α q) p] [(α p) q]. Zadanie 14 ([2]) Wykaż, przy pomocy spójników ze zbioru A można zdefiniować każdy ze spójników ze zbioru B, gdzie: 4
(a) A = {, }, B = {,, }, (b) A = {, }, B = {,, }, (c) A = {, }, B = {,, }, (d) A = { }, B = {,,,, }, (e) A = { }, B = {,,,, }, (f) A = { }, B = { }. Zadanie 15 ([2]) Wykaż, przy pomocy spójników ze zbioru A nie da się zdefiniować żadnego ze spójników ze zbioru B, gdzie: (a) A = {, }, B = { }, (b) A = {, }, B = { }, (c) A = { }, B = {,, }, (d) A = { }, B = {,, }, Zadanie 16 Zdefiniuj spójniki f, g, h w języku Boole owskim (wyłącznie koniunkcja, alternatywa i negacja). p q r f(p, q, r) 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 p q r g(p, q, r) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 p q r h(p, q, r) 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Literatura: [1] B. Stanosz, Ćwiczenia z logiki, PWN, wydanie dowolne, rozdział pt.: Rachunek zdań. [2] W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, wydanie dowolne,...ww rozdział I. [3] L. Borkowski, Logika formalna, PWN, Warszawa, wydanie dowolne, rozdzł III. [4] A. Rutkowski, Elementy logiki matematycznej, WSiP, Warszawa 1978, rozdział II. Dr Marcin Łazarz Katedra Logiki i Metodologii Nauk, Uniwersytet Wrocławski e-mail: lazarzmarcin@poczta.onet.pl www.klmn.uni.wroc.pl/pracownicy/dr-marcin-lazarz 5