1 Wykład 7 Elementy współczesnej fizyki atomów i cząsteczek. 1.1 Atom wodoru w mechanice kwantowej. Znalezienie poziomów energetycznych elektronu w atomie wodoru (a także układów wodoropodobnych: jonu helu He +, dwukrotnie zjonizowanego litu Li ++ i innych) sprowadza się do problemu ruchu elektronu w kulombowskim polu jądra. Energia potencjalna oddziaływania elektronu z jądrem, posiadającym ładunek Ze wynosi U ( r ) Ze =, 1.1 4πε r 0 Rysunek 1.1 gdzie r odległość między elektronem, a jądrem. Graficznie funkcja U(r) przedstawiona jest na rysunku 1.1, na którym jak widać maleje do minus nieskończoności wraz ze zmniejszaniem się r, czyli wraz z jego zbliżaniem do jądra. Stan elektronu w atomie wodoru jest opisany funkcją falową ψ, spełniającą stacjonarne równanie Schrödingera z uwzględnieniem 1.1: ψ m Ze + E + 4πε 0 ψ r = 0, 1.
gdzie E energia całkowita elektronu w atomie. Ponieważ pole, w którym porusza się elektron jest polem centralnym, to aby rozwiązać powyższe równanie zwykle wprowadza się sferyczny układ współrzędnych: r, υ, φ. Nie będziemy analitycznie rozwiązywać tego równania różniczkowego, a jedynie ograniczymy się do rozpatrzenia najważniejszych wniosków, które z niego wynikają. 1. Energia. W teorii równań różniczkowych udowadnia się, że równania typu 1. mają rozwiązania spełniające warunek jednoznaczności, skończoności i ciągłości funkcji falowej ψ, tylko dla energii własnych przyjmujących wartości: E n 4 1 Z me = (n = 1,, 3,...), 1.3 n 8h ε 0 tzn. dla ujemnego dyskretnego zbioru wartości energii własnych. W ten sposób, tak jak w przypadku nieskończenie głębokiej jamy potencjału i oscylatora harmonicznego, rozwiązanie równania Schrödingera dla atomu wodoru prowadzi do pojawienia się dyskretnych poziomów energetycznych. Dozwolone wartości E 1, E, E 3,... przedstawione są na rysunku 1.1 w postaci poziomych prostych. Najniższy poziom E 1 odpowiada najmniejszej energii całkowitej i nazywa się podstawowym, wszystkie pozostałe poziomy (E n > E 1, n =, 3,...) nazywają się wzbudzonymi. Jeżeli E < 0 to ruch elektronu jest związany znajduje się wewnątrz hiperbolicznej jamy potencjału. Z rysunku wynika, że w miarę wzrostu głównej liczby kwantowej n poziomy energetyczne położone są coraz gęściej i dla n =, E = 0. Dla E > 0 ruch elektronu nazywamy swobodnym może on oddalić się na nieskończoną odległość; obszar ciągłego widma E > 0 (część zakreskowana na rysunku) odpowiada atomowi zjonizowanemu. Energia jonizacji dla atomu wodoru jest równa 4 me E i = E1 = = 13, 55eV 8h ε 0. Wzór 1.3 pokrywa się ze wzorem otrzymanym przez Bohra (patrz wykład poprzedni). Jednak Bohr musiał wprowadzać dodatkowe postulaty, gdy tymczasem w mechanice kwantowej dyskretne wartości energii będąc wynikiem samej teorii, wynikają bezpośrednio z rozwiązania równania Schrödingera.
3. Liczby kwantowe. W mechanice kwantowej udowadnia się, że równanie Schrödingera spełniają funkcje własne ψ ( r, ϑ, ϕ ) nlm określone poprzez trzy liczby kwantowe: główną l liczbę kwantową n, orbitalną l i magnetyczną m l. Główna liczba kwantowa n, zgodnie z 1.3, określa poziomy energetyczne elektronu w atomie i może przybierać dowolne całkowite wartości: n = 1,,3,... Z rozwiązania równania Schrödingera wynika, że moment pędu (inaczej orbitalny moment pędu) elektronu jest skwantowany, tzn. nie może mieć wartości dowolnych, a jedynie określone wzorem ( + 1) L l = l l, 1.4 gdzie l orbitalna liczba kwantowa, które dla danego n może przyjmować wartości ( 1) l = 0,1,,..., n, 1.5 tzn. n wartości i określa moment pędu elektronu w atomie. Z rozwiązania równania Schrödingera wynika także, że wektor L l momentu pędu może mieć tylko takie orientacje w przestrzeni, dla których jego rzut L lz na kierunek z zewnętrznego pola magnetycznego przybiera wartości kwantowe będące wielokrotnością : L =, 1.6 lz m l gdzie m l magnetyczna liczba kwantowa, wartości której, przy danym l, mogą być: m l = l, l + 1,..., 1,0, + 1,..., l 1, l, 1.7 czyli l+1 wartości. W ten sposób, magnetyczna liczba kwantowa określa rzut wektora momentu pędu elektronu na zadany kierunek, przy czym wektor momentu pędu elektronu w atomie może mieć l+1 wartości.
4 Obecność magnetycznej liczby kwantowej m l powinno prowadzić do rozszczepienia w polu magnetycznym poziomu energetycznego o głównej liczbie kwantowej n na l+1 podpoziomów. W związku z tym w widmie atomu powinno się obserwować się rozszczepienie linii widmowych. Rzeczywiście rozszczepienie linii widmowych w zewnętrznym polu magnetycznym zostało odkryte przez fizyka holenderskiego P. Zeemana i nosi nazwę zjawiska Zeemana. Rozszczepienie poziomów energetycznych w zewnętrznym polu elektrycznym także zostało odkryte doświadczalnie i nosi nazwę zjawiska Starka. Pomimo, iż energia elektronu zależy tylko od głównej liczby kwantowej n, to każdej wartości własnej E n (oprócz E 1 ) odpowiada kilka funkcji własnych ψ nlml różniących się wartościami l i m l. W rezultacie atom wodoru może mieć jedną i tę samą wartość energii znajdując się w kilku różnych stanach. Ponieważ dla danego n orbitalna liczba kwantowa l może zmieniać się od 0 do n 1, a każdej wartości l odpowiada l +1 różnych wartości m l, to liczba różnych stanów odpowiadających danemu n jest równa n 1 l = 0 ( l + 1) = n. 1.8 Stany o jednakowych energiach nazywamy stanami zdegenerowanymi lub zwyrodniałymi, a liczbę stanów o jednakowej energii nazywamy krotnością degradacji. Rysunek 1.
5 Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w różnych miejscach atomu jest różne. Elektron w trakcie swojego ruchu jest jak gdyby rozmazany w całej objętości, tworząc jak gdyby obłok (chmurę) elektronowy, którego gęstość charakteryzuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w różnych punktach objętości atomu. W mechanice kwantowej przyjmuje się, że liczby kwantowe n i l charakteryzują rozmiar i kształt obłoku elektronowego, a liczba kwantowa m l charakteryzuje zorientowanie obłoku w przestrzeni. W fizyce atomowej, przez analogię ze spektroskopią, stan elektronu opisany liczbą l = 0 nazywa się stanem s, stan opisany l = 1 stanem p, l = stanem d, l = 3 stanem f itd. Wartość głównej liczby kwantowej n umieszczana jest przed powyższymi oznaczeniami literowymi. Na przykład, elektrony w stanach z n = i l = 0 i 1 zaznacza się odpowiednio jako s i p. Na rysunku 1., jako przykład przedstawiono kształt chmury elektronowej dla przypadku n = 1 i n = pokazujące wartość wyrażenia nlm l ψ. 3. Widmo. Liczby kwantowe n, l i m l pozwalają na bardziej pełny opis widma atomowego niż to miało miejsce w przypadku teorii Bohra. W mechanice kwantowej pojawiają się tzw. reguły wyboru, ograniczające ilość możliwych przejść elektronów w atomie związanych z emisją i pochłanianiem światła. Udowodniono teoretycznie i doświadczalnie, że w przypadku dipolowego promieniowania elektronu, poruszającego się w centralnym i symetrycznym polu jądra atomowego możliwe są tylko takie przejścia, dla których: 1) zmiana orbitalnej liczby kwantowej spełnia warunek l = ±1 1.9 ) zmiana magnetycznej liczby kwantowej spełnia warunek m = 0, ± 1. l Dla widm optycznych zasady wyboru są praktycznie spełnione. W zasadzie jednak możliwa obserwacja słabych zabronionych linii, powstających na przykład podczas przejść ze zmianą l =. Pojawienie się takich linii wyjaśnia się tym, że ścisła teoria, zakazując przejścia dipolowe, pozwala na przejścia odpowiadające promieniowaniu wysyłanemu przez bardziej złożone układy ładunków, np. kwadrupole. Prawdopodobieństwo przejść
6 kwadrupolowych (przejścia z l = ) jest jednak znacznie mniejsze niż prawdopodobieństwo przejść dipolowych, dlatego linie zabronione są znacznie słabsze. E,eV Rysunek 1.3 Seria Lymana Seria Balmera Uwzględniając liczbę wszystkich możliwych stanów, odpowiadających danemu n i regułę wyboru 1.9 rozpatrzmy linie widmowe w atomie wodoru (Rysunek 1.3): Dla serii Lymana istnieją przejścia Dla serii Balmera np 1s (n = 1,, 3,...) np s, ns p, nd p (n 3, 4,...) itd. Przejście elektronu ze stanu podstawowego do wzbudzonego związane jest ze zwiększeniem energii atomu i może zachodzić tylko podczas dostarczania energii atomu z zewnątrz, np. w wyniku pochłonięcia przez atom fotonu. Ponieważ pochłaniający energię atom znajduje się na ogół w stanie podstawowym, to widmo atomu wodoru powinno składać się z linii odpowiadającym przejściom doświadczeniem. 1 s np (n =, 3,...), co jest całkowicie zgodne z 1. Stan elektronu -1s w atomie wodoru. Stan 1s elektronu w atomie wodoru jest stanem o symetrii sferycznej, tzn. nie zależy od kątów ϑ i ϕ. Funkcja falowa ψ elektronu w tym stanie określona jest tylko przez odległość r elektronu od jądra, tzn. ψ = ( r ) ψ 100, gdzie cyfry 100 pokazują odpowiednio, że n = 1, l = 0, m l
7 = 0. Równaniu Schrödingera dla stanu 1s elektronu w atomie wodoru odpowiada funkcja w postaci r a ψ = Ce / 1.10 gdzie a 4 ( ) πε me = - wielkość pokrywająca się z pierwszym promieniem Bohra w 0 / atomie wodoru, C pewna stała określona przez warunek normalizacji. Dzięki symetrii sferycznej funkcji ψ prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości r jest takie samo we wszystkich kierunkach. Dlatego też, element objętości dv, odpowiadający jednakowej gęstości prawdopodobieństwa, zwykle jest przedstawiony w postaci objętości warstwy kulistej o promieniu r i grubości dr: dv = 4πr dr. Wtedy, zgodnie z warunkiem normalizacji i 1.10 r / a 1 = dv = C e 4πr dr 0 ψ. 0 Po scałkowaniu otrzymujemy, że 1 C = 1.11 3 πa Podstawiając wzór 1.11 do 1.10 otrzymamy znormalizowaną funkcję falową, odpowiadającą stanowi 1s elektronu w atomie wodoru: 1 r / a ( r ) e ψ 100 =. 1.1 π 3 a Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w elemencie objętości dv jest równe dw = ψ dv = ψ 4πr dr. Podstawiając do tego wzoru funkcję falową 1.1 otrzymamy
8 dw 1 r / a = e 4πr dr. 3 πa Znajdźmy te odległości r max od jądra, w których elektron może być znaleziony z największym prawdopodobieństwem. Badając wyrażenie dw/dr określające maksimum, otrzymamy, że r max = a. W rezultacie elektron jest znajdowany z największym prawdopodobieństwem w odległościach odpowiadających promieniowi Bohra. Wydawało by się więc, że podejście kwantowo-mechaniczne daje całkowitą zgodność z teorią Bohra. Jednak, zgodnie z teorią Bohra prawdopodobieństwo (W kl ) znalezienia elektronu w stanie 1s jest różna od zera tylko dla r = a, gdy tymczasem, zgodnie z mechaniką kwantową (W kw ) w odległości r = a, prawdopodobieństwo osiąga tylko wartość maksymalną, a pozostałej przestrzeni jest różna od zera (Rysunek 1.4). W ten sposób, w stanie podstawowym atomu wodoru najbardziej prawdopodobną odległością od jądra jest odległość równa promieniowi Bohra. Na tym polega sens kwantowo-mechaniczny promienia Bohra. W kl (r) W kw (r) Rysunek 1.4 1.3 Spin elektronu. Spinowa liczba kwantowa. O.Stern i W.Gerlach przeprowadzając bezpośrednie pomiary momentów magnetycznych, odkryli (19) rozszczepienie wąskiej wiązki atomów wodoru, które wiadomo, iż znajdowały się w stanie s pod działaniem niejednorodnego pola magnetycznego na dwie oddzielne wiązki atomów. Wstanie s moment pędu elektronu jest równy zero. Moment magnetyczny atomu, związany z orbitalnym ruchem elektronu jest proporcjonalny do momentu mechanicznego, dlatego jest on równy zeru i pole magnetyczne nie powinno wpływać na ruch atomów wodoru w stanie podstawowym, tzn. nie powinno się obserwować żadnego rozszczepienia. Jednak po zastosowaniu czułych spektroskopów udowodniono, że linie widmowe wodoru wykazują subtelną strukturę (są dubletami) nawet jeżeli nie ma pola magnetycznego.
9 W celu wyjaśnienia takiej struktury linii widmowych, a także szeregu innych trudności pojawiających się w fizyce atomowej fizycy amerykańscy S. Goudsmit i G. Uhlenbeck w 195 roku wysunęli hipotezę, że elektron posiada swój własny niezniszczalny moment pędu, nie związany z ruchem elektronu w przestrzeni spin. Spin elektronu (i wszystkich pozostałych mikrocząstek) jest wielkością kwantową i nie ma odpowiednika klasycznego; jest to nieodłączna wewnętrzna własność elektronu, podobnie jak jego masa czy ładunek. Posiadanie przez elektron spinu wynika z otrzymanego przez P. Diraca relatywistycznego, kwantowego równania dla elektronu. Jeżeli elektronowi przypisuje się własny mechaniczny moment pędu (spin) L s, to związany jest z nim pewien własny moment magnetyczny p ms. Zgodnie z ogólnymi wnioskami mechaniki kwantowej spin jest skwantowany zgodnie z równaniem ( ) L s = s s + 1, gdzie s spinowa liczba kwantowa. Analogicznie do orbitalnego momentu pędu, rzut L sz jest skwantowany tak, że wektor L s może przyjmować s + 1 orientacji. Ponieważ w doświadczeniach Sterna i Gerlacha były obserwowane tylko dwie orientacje, to s + 1 =, skąd 1 s =. Rzut spinu na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego jest wielkością kwantową, określoną wielkością analogiczną do 1.6: L = sz m s gdzie m s magnetyczna spinowa liczba kwantowa; może przybierać tylko wartości:. m s 1 = ± W ten sposób dane doświadczalne doprowadziły do konieczności scharakteryzowania elektronów (i ogólnie mikrocząstek) poprzez dodatkowy wewnętrzny stopień swobody. Dlatego też w celu pełnego opisania stanu elektronu w atomie należy obok głównej, orbitalnej i magnetycznej liczby podawać dodatkowo magnetyczną spinową liczbę kwantową. 1.4 Zasada nierozróżnialności identycznych cząstek. Fermiony i bozony.
10 Jeżeli przejść od rozpatrzenia ruchu jednej cząstki (jednego elektronu) do układów wieloelektronowych, to pojawiają się dodatkowe własności, nie mające odpowiednika w fizyce klasycznej. Niech kwantowo-mechaniczny układ składa się z jednakowych cząstek, na przykład elektronów. Wszystkie elektrony mają jednakowe własności fizyczne masę, ładunek elektryczny, spin i inne wewnętrzne własności (np. liczby kwantowe). Takie cząstki nazywamy identycznymi. Nietypowe własności jednakowych identycznych cząstek przejawiają się w podstawowej zasadzie mechaniki kwantowej zasadzie nierozróżnialności cząstek identycznych, zgodnie z którą niemożliwe jest eksperymentalne rozróżnienie cząstek identycznych. W mechanice klasycznej nawet jednakowe cząstki w zasadzie dają się rozróżnić ze względu na położenie i pęd. Jeżeli cząstki w jakiejś chwili czasu ponumerować, to w następnych chwilach można prześledzić tor poruszania się dowolnej z nich. Cząstki klasyczne, w ten sposób, posiadają indywidualność, dlatego też mechanika klasyczna układów złożonych z jednakowych cząstek nie różni się od mechaniki klasycznej układów składających się z różnych cząstek. W mechanice kwantowej sytuacja jest inna. Ze związków nieoznaczoności wynika, że dla mikrocząstek w ogóle nie pasuje pojęcie trajektorii; stan cząstki opisywany jest funkcją falową, pozwalającą wyliczyć tylko prawdopodobieństwo ( ψ ) znalezienia mikrocząstki w okolicach jakiegoś punktu przestrzeni. Jeżeli jednak dwie funkcje falowe identycznych cząstek pokrywają się w przestrzeni, to decydowanie jaka cząstka znajduje w danej okolicy pozbawiona jest zupełnie sensu: można jedynie mówić o prawdopodobieństwie znajdowania się w danym obszarze jednej z cząstek identycznych. W ten sposób w mechanice kwantowej cząstki identyczne całkowicie tracą swoją indywidualność i stają się nierozróżnialnymi. Uwzględniając sens fizyczny zapisać w postaci ψ, zasadę nierozróżnialności cząstek identycznych można ( x, x ) ψ ( x x ) ψ =, 1.13 1, 1 gdzie x 1, i x odpowiednio zbiór przestrzennych i spinowych współrzędnych pierwszej i drugiej cząstki. Z równania 1.13 wynika, że możliwe są dwa przypadki: ( x, x ) ψ ( x x ) ψ = ±, 1, 1
11 tzn. zasada nierozróżnialności identycznych cząstek prowadzi do określonej symetrii funkcji falowych. Jeżeli podczas zamiany miejscami cząstek funkcja falowa nie zmienia znaku, to nazywa się symetryczną, jeżeli zmienia znak asymetryczną. Zmiana znaku funkcji falowej nie oznacza zmiany stanu, ponieważ sens fizyczny i tak posiada tylko kwadrat modułu funkcji falowej. W mechanice kwantowej udowadnia się, że charakter symetrii nie zmienia się z czasem. Jest to dowodem na to, że własność symetrii czy antysymetrii jest cechą danego typu mikrocząstek. Doświadczenie pokazuje, że symetria lub asymetria funkcji falowych jest określona poprzez spin cząstek. W zależności od charakteru symetrii wszystkie cząstki elementarne i utworzone z nich układy (atomy, cząsteczki) dzielą się na dwa typy. Cząstki ze spinem połówkowym (np. elektrony, protony, neutrony) są opisane antysymetryczną funkcją falową i podlegają rozkładowi Fermiego-Diraca; cząstki te nazywają się fermionami. Cząstki ze spinem całkowitym lub połówkowym (np. mezony π, lub fotony) opisywane symetrycznymi funkcjami falowymi podlegają rozkładowi Bosego-Einsteina i nazywają się bozonami. Cząstki złożone (np. jądra atomowe) złożone z nieparzystej ilości identycznych fermionów są fermionami (całkowity spin jest połówkowy), a z parzystej ilości fermionów są bozonami (całkowity spin jest liczbą całkowitą). Zależność charakteru symetrii funkcji falowych układu cząstek identycznych w zależności od spinu cząstek została teoretycznie uzasadniona przez szwajcarskiego fizyka W. Pauliego, co było jeszcze jednym dowodem na to, że spin jest podstawową charakterystyczną cechą mikrocząstek. 1.5 Zakaz Pauliego. Rozmieszczenie elektronów w atomie. Jeżeli identyczne cząstki mają jednakowe liczby kwantowe, to ich funkcja falowa jest symetryczna względem przestawienia cząstek. Stąd wynika, że dwa jednakowe fermiony, wchodzące w skład jednego układu nie mogą znajdować się w jednakowym stanie, ponieważ fermiony powinny mieć funkcję falową antysymetryczną. Uogólniając dane doświadczalne W. Pauli sformułował zasadę, zgodnie z którym w naturze spotyka się układy fermionów tylko w stanach, opisywanych antysymetrycznymi funkcjami falowymi (sformułowanie kwantowomechaniczne zakazu Pauliego). Z podanego twierdzenia wynika podstawowe sformułowanie zasady Pauliego, która została wprowadzona przez niego do teorii kwantowej jeszcze przed stworzeniem mechaniki
1 kwantowej: w układzie jednakowych fermionów dowolne dwa z nich nie mogą jednocześnie znajdować się w jednym i tym samym stanie. Należy zwrócić uwagę, że ilość jednakowych bozonów znajdujących się w tym samym stanie nie jest ograniczone. Przypomnijmy, że stan elektronu w atomie jednoznacznie jest określony poprzez podanie czterech liczb kwantowych: głównej n (n = 1,, 3,...), orbitalnej l (l = 0, 1,,...n - 1), magnetycznej m l (m l = -l,...-1, 0, +1,...+l), spinowej m s (m s = 1 1 +, ). Rozkład elektronów w atomie podlega zakazowi Pauliego, który w tym wypadku może być zastosowany w swoim najprostszym sformułowaniu: w jednym i tym samym atomie nie może znajdować się więcej niż jeden elektron z jednakowym zestawem czterech liczb kwantowych n, l, m l, m s tzn. Z(n, l, m l, m s ) = 0 lub 1 Gdzie Z(n, l, m l, m s ) ilość elektronów znajdujących się w stanie kwantowym opisanym przez zestaw czterech liczb kwantowych n, l, m l, m s. W rezultacie zakaz Pauliego stwierdza, że dwa elektrony, związane z danym atomem, muszą różnić się wartością co najmniej jednej liczby kwantowej. Zgodnie ze wzorem 1.8 danemu n odpowiada n różnych stanów różniących się wartościami l i m l. Liczba kwantowa m s może przyjmować tylko dwie wartości ( 1 ) ±. Dlatego Z(n) maksymalna liczba elektronów, znajdujących się w stanach określonych daną główną liczbą kwantową n jest równa n, ponieważ Z n 1 ( n) ( l + 1) = n = l = 0.
13 Zbiór elektronów w atomie wielo-elektronowym, posiadający daną liczbę kwantową tworzy powłokę elektronową. W każdej z powłok elektrony podzielone są na podpowłoki odpowiadające danemu l. Ponieważ orbitalna liczba kwantowa przyjmuje wartości od 0 do n 1, to liczba podpowłok jest równa numerowi porządkowemu n-tej powłoki. Ilość elektronów w podpowłoce jest określone magnetycznymi i spinowymi liczbami kwantowymi: maksymalna ilość elektronów z danym l jest równa (l + 1). Oznaczenia powłok, jak również rozkład elektronów w powłokach i podpowłokach jest przedstawione w tabeli: Główna liczba kwantowa n 1 3 4 5 Symbol powłoki K L M N O Maksymalna liczba elektronów w powłoce 8 18 3 50 Orbitalna liczba kwantowa l 0 0 1 0 1 0 1 3 0 1 3 4 Symbol podpowłoki 1s s p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5g Maksymalna liczba elektronów w podpowłoce 6 6 10 6 10 14 6 10 14 18 1.6 Układ okresowy pierwiastków Mendelejewa. Zakaz Pauliego, który stanowi podstawę systematyki zapełniania stanów elektronowych w atomie; pozwala objaśnić okresowy układ pierwiastków Mendelejewa. Okres Pierwiaste k
14 Ponieważ własności chemiczne i niektóre własności fizyczne pierwiastków zależą od zewnętrznych (elektronów walencyjnych), to okresowość własności chemicznych pierwiastków powinna być związana z określoną okresowością rozkładu elektronów w atomach. Dlatego też, aby objaśnić tablicę Mendelejewa będziemy zakładać, że każdy następny pierwiastek powstaje z poprzedniego poprzez dodanie do jądra jednego protonu i odpowiednio jednego elektronu do powłoki elektronowej atomu. Zaniedbamy oddziaływanie elektronów między sobą, wnosząc, tam gdzie jest to konieczne odpowiednie poprawki. Atomy pierwiastków chemicznych będziemy rozpatrywać w ich podstawowym stanie. Jedyny elektron wodoru znajduje się w stanie 1s, scharakteryzowanym liczbami kwantowymi n = 1, l = 0, m l = 0, m s = ± 1/ (kierunek jego spinu jest dowolny). Obydwa elektrony atomu He znajdują si w stanie 1s, ale mają antyrównoległe orientacje spinów. Konfiguracja elektronowa atomu He jest zapisywana w postaci 1s (dwa elektrony 1s). Na atomie helu ulega zakończenie zapełnianie K-tej powłoki, co odpowiada zakończeniu I okresu układu okresowego pierwiastków (patrz tablica poniżej). Trzeci elektron Li (Z = 3), zgodnie z zakazem Pauliego, nie może już znajdować się całkowicie zapełnionej K-tej powłoce i zajmuje najniższy energetycznie stan z n = (powłoka L), tzn. stan s. Konfiguracja elektronowa litu ma postać 1s s. Atom Li rozpoczyna II okres układu okresowego pierwiastków. Czwarty elektron Be (Z = 4) kończy zapełnianie podpowłoki s. W następnych sześciu pierwiastkach od B (Z = 5) do Ne (Z = 10) następuje stopniowe zapełnianie podpowłoki p. II okres układu okresowego kończy się na neonie neutralnym gazie, w którym podpowłoka p jest całkowicie zapełniona.
15 Jedenasty elektron Na (Z = 11) znajduje się w powłoce M (n = 3) i zajmuje najniższy stan 3s. Konfiguracja elektronowa posiada postać 1s s p 6 3s. Elektron 3s jest elektronem walencyjnym (tak jak elektron p w Li), dlatego własności optyczne Na są zbliżone do własności Li. Ar (Z = 18) ma własności podobne do He, Ne: w jego zewnętrznej powłoce wszystkie stany s i p są zapełnione. Ar jest obojętnym chemicznie gazem i zamyka III okres układu pierwiastków. Dziewiętnasty elektron K (Z = 19) powinien zajmować stan 3d w powłoce M. Jednak zarówno chemicznie jak i fizycznie atom K jest podobny do atomów Li i Na, które posiadają zewnętrzny elektron walencyjny w stanie s. Dlatego też, 19-ty elektron walencyjny potasu także powinien znajdować się w stanie s, jednak może to być tylko stan nowej powłoki (powłoki N). Oznacza to, że zapełnianie powłoki N dla K zaczyna się przy nie zapełnionej do końca powłoce M. Oznacz to, że w rezultacie oddziaływań elektronów między sobą stan n = 4, l = 0 posiada mniejszą energię niż stan n = 3, l =. Własności spektroskopowe i chemiczne Ca (Z = 0) pokazują, że jego 0-ty elektron znajduje się również w stanie 4s powłoki N. W następnych pierwiastkach następuje zapełnianie powłoki M (od Sc (Z = 1) do Zn (Z = 30)). Dalej powłoka N jest zapełniana do Kr (Z = 36), który tak samo jak poprzednio Ne i Ar, ma zapełnione całkowicie stany s i p zewnętrznej powłoki. Na kryptonie kończy się IV okres układu okresowego pierwiastków. Podobną analizę można zastosować do pozostałych pierwiastków układu Mendelejewa. Zwróćmy jedynie uwagę, że początkowe pierwiastki następnych okresów Rb, Cs, Fr również są pierwiastkami alkalicznymi. Oprócz tego atomy gazów obojętnych (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) zajmują w tablicy oddzielne położenie w każdym z nich stany s i p powłoki zewnętrznej są całkowicie zapełnione i na nich kończą się kolejne okresy układu okresowego. Każdą z dwu grup pierwiastków lantanowce (od lantanu (Z = 57) do lutetu (Z = 71)) i aktynowce (od aktynu (Z = 89) do lorensa (Z = 103)) należy umieszczać w dwóch komórkach układu okresowego, ponieważ własności chemiczne w obrębie jednej grupy są bardzo zbliżone. Wynika to z tego, iż dla lantanowców wypełnianie podpowłoki 4f, która może zawierać 14 elektronów, zaczyna się dopiero po tym w całości zostaną zapełnione podpowłoki 5s, 5p, i 6s. Dlatego też, dla tych pierwiastków zewnętrzna powłoka P (6s ) jest jednakowa. Analogicznie dla aktynowców, powłoka Q (7s ) jest taka sama. W ten sposób, odkryta przez Mendelejewa okresowość własności chemicznych pierwiastków, daje się wyjaśnić powtarzalnością struktury zewnętrznych powłok pokrewnych pierwiastków. Tak więc, gazy obojętne mają jednakowe zewnętrzne powłoki składające się z 8 elektronów; w zewnętrznej powłoce metali alkalicznych (Li, Na, K, Rb, Cs, Fr) znajduje się
16 tylko jeden elektron s; w zewnętrznej powłoce metali ziem alkalicznych (Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) znajdują się dwa elektrony s; gadoliny (F, Cl, Br, I, At) mają powłoki, w których brakuje jednego elektronu do pełnego zapełnienia powłoki tak jak w gazach obojętnych.