Treść wykładu Pierścienie wielomianów.
Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n).
Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f +g = (f 0, f 1, f 2,...)+(g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 +g 0, f 1 +g 1, f 2 +g 2,...)
Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f +g = (f 0, f 1, f 2,...)+(g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 +g 0, f 1 +g 1, f 2 +g 2,...) fg = (f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,...)
Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X
Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X widzimy, że (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd.
Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X widzimy, że (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X 2 +... + f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie.
Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X 2 +... + f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie. Przykład. Niech P = Z 6. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1.
Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X 2 +... + f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie. Przykład. Niech P = Z 6. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1. (Odp. f + g = X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 3; fg = 2X 6 + 5X 5 + 3X 2 + X + 2).
Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach.
Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P.
Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P. A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a +... + f n a n P.
Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P. A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a +... + f n a n P. Element f 0 + f 1 a + + f n a n nazywać będziemy wartością wielomianu w punkcie a P.
Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję.
Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0.
Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0. Przy odpowiednich założeniach o pierścieniu P odpowiedniość: jest wzajemnie jednoznaczna. wielomian funkcja wielomianowa
Twierdzenie Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z P z działaniami + i oraz wyróżnionymi wielomianami 0 i 1 jest pierścieniem. Oznaczamy go przez P[X ].
Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =.
Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g),
Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g.
Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników.
Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0).
Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0). Jeżeli najwyższy współczynnik wielomianu f (lub wielomianu g) nie jest dzielnikiem zera, to deg(fg) = deg f + deg g.
Twierdzenie Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P[X ] jest dziedziną całkowitości.
Twierdzenie Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P[X ] jest dziedziną całkowitości. D o w ó d. Niech fg = 0. Wówczas deg f + deg g =. Ponieważ deg f > 0, więc deg g =, a stąd g = 0.
Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f.
Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1.
Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1. Twierdzenie Jeżeli f P[X ] jest wielomianem unormowanym, a g P[X ] dowolnym wielomianem, to w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą g przez f.
Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g).
Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m.
Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h.
Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m.
Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P[X ], deg r < n, że h = fq + r.
Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P[X ], deg r < n, że h = fq + r. Wobec tego g = g m X m n f + h = g m X m n f + fq + r = (g m X m n + q)f + r, co należało wykazać.
Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe.
Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe. Przykład. W pierścieniu Z 5 [X ] wykonać dzielenie (X 3 + 2X 2 + 4X + 3) : (3X 2 + 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z 5 i 3 1 = 2. (Odp.: 2X + 4).
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3.........
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3......... r n 2 = r n 1 q n + r n
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3......... r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0.
Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3......... r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie nwd(a, b).
Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb.
Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny dzielnik d(x ) wielomianów f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 g(x ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x ) = a(x )f (X ) + b(x )g(x ).
Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny dzielnik d(x ) wielomianów f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 g(x ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x ) = a(x )f (X ) + b(x )g(x ). Odp. d(x ) = 2(X 2 + X + 1) d(x ) = (X + 1)f (X ) + ( X 2 X + 1)g(X ).
Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli 1 + 2 + + n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań.
Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli 1 + 2 + + n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań.
Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli 1 + 2 + + n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f (x) = ( ((a n x + a n 1 )x + a n 2 ) x + ) x + a 0.
Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli 1 + 2 + + n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f (x) = ( ((a n x + a n 1 )x + a n 2 ) x + ) x + a 0. Ten schemat postępowania (schemat Hornera) wymaga tylko n mnożeń oraz n dodawań.
Schemat Hornera zapisujemy następująco: a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 xb n xb n 1 xb 2 xb 1 x b n = a n b n 1 b n 2 b 1 b 0 = f (x)
Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f (X ) = (b n X n 1 + b n 1 X n 2 + + b 2 X + b 1 )(X x) + b 0.
Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f (X ) = (b n X n 1 + b n 1 X n 2 + + b 2 X + b 1 )(X x) + b 0. Sprawdzenie. Porównując współczynniki po lewej i prawej stronie otrzymujemy układ równości: b n = a n b n 1 b n a = a n 1... b 2 b 3 a = a 2 b 1 b 2 a = a 1 b 0 b 1 a = a 0,
czyli: b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0.
czyli: b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0. A więc wielomian q = b n X n 1 + b n 1 X n 2 + + b 2 X + b 1 jest ilorazem z dzielenia f (X ) przez X x.
Niech P będzie pierścieniem, a I jego ideałem. Jeżeli I P, to I jest dzielnikiem normalnym grupy (P, +). Można więc utworzyć grupę ilorazową P/I. Jej elementami są warstwy względem podgrupy I. Warstwę zawierającą element a oznaczamy a + I. W grupie ilorazowej określimy mnożenie wzorem: (a + I )(b + I ) = ab + I. Grupa P/I po wprowadzeniu w niej mnożenia uzyskuje strukturę pierścienia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem ilorazowym.
Jeżeli ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, to nazywamy go głównym. Pierścień całkowity, którego każdy ideał jest główny, nazywamy pierścieniem ideałów głównych. Wniosek Ideał główny (a) generowany przez element a P jest zbiorem elementów postaci ab, gdzie b P. Twierdzenie Każdy ideał pierścienia liczb całkowitych Z jest główny.
Opis pierścienia ilorazowego wielomianów Rozważmy pierścień K[X ] wielomianów nad ciałem K. Twierdzenie Każdy ideał pierścienia K[X ] jest główny. Zatem każdy ideał P pierścienia K[X ] jest generowany przez pewien wielomian p(x ), tj. składa się ze wszystkich wielomianów podzielnych przez p(x ).
Wobec tego elementami pierścienia ilorazowego K[X ]/P są klasy równoważności relacji na K[X ] określonej warunkiem wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) = g(x ) mod (p(x )) f (X ) g(x ) (p(x )) Lemat f (X ) = g(x ) mod (p(x )) wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) i g(x ) dają tę samą resztę przy dzieleniu przez p(x ). Zatem każda warstwa [f (X )] zawiera resztę z dzielenia f (X ) przez p(x ). Z poniższego twierdzenia wynika, że ta reszta jest jednoznacznie określona.
Twierdzenie Niech K[X ] będzie ciałem K i niech P oznacza ideał generowany przez wielomian p(x ) stopnia n > 0. Każdy element pierścienia ilorazowego K[X ]/P jest postaci P + a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1, gdzie a 0, a 1,..., a n 1 K, przy czym różnym ciągom a 0, a 1,..., a n 1 odpowiadają różne elementy.
Przykład. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z 2 [X ]/(X 2 + X + 1). Możliwe reszty z dzielenia przez X 2 + X + 1 to 0, 1, X, X + 1. Są więc 4 warstwy: Tabelka dodawania: P, P + 1, P + X, P + X + 1. + P P + 1 P + X P + X + 1 P P P + 1 P + X P + X + 1 P + 1 P + 1 P P + X + 1 P + X P + X P + X P + X + 1 P P + 1 P + X + 1 P + X + 1 P + X P + 1 P
Tabelka mnożenia: P P + 1 P + X P + X + 1 P P P P P P + 1 P P + 1 P + X P + X + 1 P + X P P + X P + X + 1 P + 1 P + X + 1 P P + X + 1 P + 1 P + X Przy obliczaniu iloczynów uwzględniamy fakt, że P + X 2 + X + 1 = P (czyli praktycznie X 2 + X + 1 = 0, bądź równoważnie X 2 = X + 1). Elementy pierścienia ilorazowego można oznaczać: [f (X )] lub P + f (X ), ale najpraktyczniej jest oznaczać je po prostu jako a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1, bo taki wielomian określa warstwę jednoznacznie.
Jeżeli P = (p(x )) oraz deg p(x ) = n, to elementami pierścienia ilorazowego są wszystkie wielomiany stopnia mniejszego od n. Ilość tych wielomianów zależy od ciała K. Przykład. Niech p(x ) = X 2 + 1. Wtedy pierścień ilorazowy składa się z wielomianów postaci a 1 X + a 0, gdzie a 0, a 1 K. Zatem 1 jeśli K = R, to jest nieskończenie wiele takich wielomianów; 2 jeśli K = Z 2, to są 4 takie wielomiany; 3 jeśli K = Z 3, to jest 9 takich wielomianów; 4 jeśli K = Z 5, to jest 25 takich wielomianów; Mnożenie warstw (czyli wielomianów) wykonujemy w tym pierścieniu modulo X 2 + 1, co praktycznie oznacza, że X 2 zastępujemy przez 1.
Zatem 1 jeśli K = R, to (a + bx )(c + dx ) = ac + (ad + bc)x + bdx 2 = (ac bd) + (ad + bc)x ; 2 jeśli K = Z 2, to np. (X + 1) 2 = X 2 + 1 = 0; 3 jeśli K = Z 3, to np. (X + 2) 2 = X 2 + X + 1 = 2X ; 4 jeśli K = Z 5, to np. (X + 2) 2 = X 2 + 4X + 4 = 1 + 4X + 4 = 4X. Należy pamiętać, że elementami pierścienia ilorazowego są warstwy względem ideału (p(x )), czyli zbiory wielomianów. Warstwa zawiera tylko jeden wielomian stopnia mniejszego niż deg p(x ), i ten wielomian jest jej reprezentantem.