Zeszyty Naukoe WSInf Vol 13, Nr 1, 014 Jacek Wiśnieski Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej Politechniki Łódzkiej ul. Żeromskiego 116, 90-94 Łódź email: jacek.isnieski@p.lodz.pl PROJKTOWANI STRUKTUR KOMPOZYTOWYCH WZMACNIANYCH SIATKĄ WŁÓKIN 94 Streszczenie Artykuł przedstaia yniki badań z zakresu analizy i optymalnego projektoania płaskich, linioo-sprężystych elementó konstrukcyjnych ykonanych z materiału kompozytoego zmocnionego siatką łókien. W artykule zdefinioano obiekt badań i jego model matematyczny, sformułoano postać zadania projektoania takich struktur oraz przedstaiono metodę roziązania tego zadania opartą na algorytmie eolucyjnym. Wyniki prac zilustroano przykładami. Słoa kluczoe: kompozyt łóknisty, projektoanie, algorytm eolucyjny 1 Wproadzenie Udział materiałó kompozytoych noo postających konstrukcjach jest coraz iększy, a znaczną grupę stanoią tu kompozyty łókniste będące mieszaniną lekkiej matrycy i różnej postaci łókien zmacniających. Poszechnie uaża się, że kompozyty łókniste są perspektyiczną rezerą materiałoą dla rozijającej się techniki, która ymaga materiałó o ściśle określonych łasnościach na potrzeby danej konstrukcji. Specyficzna budoa kompozytó łóknistych z różnego typu zmocnieniem spraia, że uzyskanie pełnej charakterystyki ich łasności, a konsekencji analiza zachoania się pod obciążeniem roboczym ykonanych z nich konstrukcji jest procesem złożonym i ymagającym dość kosztonych badań eksperymentalnych. Dlatego też, następujący ostatnich dekadach bardzo szybki rozój technik komputeroych, choć nie jest stanie yeliminoać do końca metod dośiadczalnych, to może jednak stanoić ich niezbędne uzupełnienie i połączeniu storzyć doskonałe narzędzie do analizy pracy i projektoania optymalnych konstrukcji kompozytoych. Problem analizy i projektoania różnego typu struktur kompozytoych jest obiektem szerokiego spektrum prac [1,] prezentujących
J. Wiśnieski najróżniejsze podejście do tego zagadnienia. Jak ynika z rozeznania literaturoego problem ten stanoi nadal interesujący obszar badań naukoych ymagający ciągłego rozszerzenia i zbogacenia istniejącej już iedzy. Taki też charakter ma niniejszy artykuł, który przedstaia yniki prac nad zagadnieniem numerycznego projektoania kompozytoych elementó konstrukcyjnych zmacnianych siatką zajemnie ortogonalnych łókien. Sformułoanie problemu Obiektem badań są płaskie, duymiaroe i linioo-sprężyste elementy konstrukcyjne obciążone statycznie siłami masoymi f 0 obszarze A i obciążeniem T 0 na brzegu S T, działającymi ich płaszczyźnie, oraz podparte na brzegu S U (rys.1). Rys. 1. Rozpatryany pracy kompozytoy element konstrukcyjny lementy te ykonane są z materiału kompozytoego postaci lekkiej matrycy zmocnionej doma, zajemnie prostopadłymi rodzinami długich i prostolinioych łókien o yższych niż matryca łasnościach mechanicznych. Matryca pełni rolę spoia dla łókien zmacniających i zapenia dystrybucję obciążenia między nimi oraz chroni je przed czynnikami zenętrznymi. Włókna mają za zadanie ziększenie sztyności i ytrzymałości konstrukcji. Dla składnikó kompozytu przyjęto następujące założenia: matryca jest materiałem jednorodnym, izotropoym i linioosprężystym o zadanej gęstości γ m oraz łasnościach mechanicznych określonych przez moduł Younga m i spółczynnik Poissona ν m, 95
Projektoanie struktur kompozytoych... łókna są jednorodne, izotropoe i linioo-sprężyste o gęstości γ oraz module Younga i spółczynniku Poissona ν, łókna są rónomiernie rozłożone matrycy pod kątem θ odniesieniu do osi x globalnego układu spółrzędnych, a ich udział objętościoy kompozycie ynosi ρ i stanoi sumę udziałó objętościoych łókien pierszym ρ i drugim ρ kierunku zmocnienia, połączenie składnikó kompozytu jest idealne. Proces projektoania struktur kompozytoych polega na znalezieniu najlepszego zestau parametró strukturalnych materiału, takich jak: łasności mechaniczne matrycy i łókien, udział objętościoy czy też orientacja zmocnienia, tak aby funkcjonał opisujący sposób matematyczny lokalne lub globalne łasności ykonanej z niego konstrukcji osiągał artość ekstremalną przy jednoczesnym spełnieniu penej liczby nałożonych ymagań zanych ograniczeniami. Problem ten ogólnie można ięc sformułoać postaci następującego zadania optymalizacyjnego: Minimalizacja (maksymalizacja) funkcjonału celu F c = A 0 Γ( σ, e, u, b) da + Φ( T, u) ds min.(max) ST T przy spełnieniu ograniczeń mechanicznych 0 Γ( σ, e, u, b) da + Φ( T, u) ds T 0 0 () ST A gdzie b oznacza ektor zmiennych projektoych będących parametrami materiałoo-geometrycznymi definiującymi strukturę materiału kompozytoego, Γ i Φ ciągłymi i różniczkoalnymi funkcjami zależnymi od pól stanu postałych konstrukcji dla danego ektora zmiennych projektoych, zaś 0 nałożoną z góry peną łasnością mechaniczną konstrukcji. 3 Algorytm eolucyjny Do roziązania zadania projektoego (1-) została zaproponoana metoda optymalizacyjna oparta na algorytmie eolucyjnym z metodą zenętrznej funkcji kary [3] dla ystępujących zadaniu ograniczeń. Sieć działań algorytmu przedstaiono na rys.. 96
J. Wiśnieski Rys.. Schemat blokoy algorytmu eolucyjnego Na etapie oceny populacji (rys.) przeproadzana jest analiza pracy kompozytoej konstrukcji oparciu o metodę elementó skończonych [4]. W analizie tej zostają yznaczone pola stanu obciążonym elemencie konstrukcyjnym z uagi na ygeneroane aktualnej populacji artości zmiennych projektoych. Dla struktury przedstaionej na rys.1, jej zachoanie można opisać poprzez układ następujących rónań [4]: divσ + f e = B u σ = D e σ n = T 0 u = u 0 0 = 0 na S na S T U (3) gdzie u jest polem przemieszczeń, e polem odkształceń, zaś σ polem naprężeń postałych obciążonej mechanicznie konstrukcji kompozytoej. Występująca, układzie (3), macierz D jest macierzą sztyności tarczoej dla jednorodnego, ortotropoego modelu kompozytu globalnym układzie spółrzędnych x-y i jest yrażona następującą zależnością [5]: 97
Projektoanie struktur kompozytoych... 1 D = T C T T (4) Macierz C jest tu macierzą sztyności kompozytu układzie osi ortotropii 1- yznaczonym przez kierunki łókien siatce. Macierz ta ma postać [5]: 1 1ν 1 0 1 ν 1ν 1 1 ν 1ν 1 C = ν 1 (5) 0 1 ν 1ν 1 1 ν 1ν 1 0 0 1 i jest yrażona tz. stałych inżynierskich ortotropoego modelu kompozytu. Macierz T jest zaś macierzą transformacji ziązaną z obrotem układu odniesienia o kąt θ zaarty między kierunkiem łókien, a osią x globalnego układu spółrzędnych [5]: cos θ sin θ sinθ cosθ T = sin θ cos θ sinθ cosθ (6) sinθ cosθ sinθ cosθ cos θ sin θ Do celó analizy pracy elementu konstrukcyjnego przedstaionego na rys.1, mikroskopoo niejednorodny materiał kompozytoy jest modeloany płaskim, linioo-sprężystym i jednorodnym materiałem ortotropoym, dla którego określa się cztery niezależne stałe inżynierskie: 1 ; moduł Younga odpoiednio 1 i kierunku zmocnienia, v 1 iększy spółczynnik Poissona, 1 moduł ścinania oraz zależny od pozostałych v 1 mniejszy spółczynnik Poissona układzie osi ortotropii 1- yznaczonym przez kierunki łókien. Do ich yznaczania ykorzystano, przedstaiony [5], model kompozytu zmocnionego dukierunkoo oparty na pracach Malmajstera-Tamuza-Tetersa oraz Hashina-Rosena. 98
J. Wiśnieski Rys. 3. Modeloanie kompozytu zmocnionego dukierunkoo Jak pokazano na rys.3, pierszym etapie modeloania określane są stałe inżynierskie kompozytu zmocnionego jednokierunkoo łóknem o udziale objętościoym ρ. Tak umocniony kompozyt traktoany jest jako makroskopoo jednorodna matryca o łasnościach ortotropoych, którą następnie zmacnia się łóknem o udziale objętościoym ρ drugim, prostopadłym do pierszego kierunku. Według zależności podanych [5], stałe inżynierskie kompozytu zmocnionego dukierunkoo mają postać: 1 = ρ + (*) (1 ρ ) gdzie : (*) = dla ρ = ρ ν 1 1 = ρ = ν z = z ρ + + ν (1 + ρ (1 ρ 1 (1 ρ (1 ρ ) + (1 ρ ) + (1 + ρ ) ) ) ) 1 oraz ν 1 gdzie : = ν z 1 1 = (1 + ν ) 1 (7) przy czym: 99
Projektoanie struktur kompozytoych... ν 1 1 1 = ρ = [ 1 + ( k 1) ρ ] [ ρ + k (1 ρ )][ 1 + ( k 1) ρ ] ( k ν ν ) = ν ρ m = (1 + ν 4 Przykłady + e [ ke (1 + ν m )(1 + ρ ) + (1 + ν )(1 ρ )] gdzie : ke = )[ k (1 + ν )(1 ρ ) + (1 + ν )(1 + ρ )] m m m m (1 ρ ) e + ν (1 ρ ) m e oraz e ν 1 e m = ν 1 ρ (1 ρ ) W pierszym z rozpatryanych przykładó sztynościoemu projektoaniu został poddany płaski element konstrukcyjny (rys.4) ykonany z epoksydoej matrycy zmocnionej siatką łókien grafitoych. Własności mechaniczne matrycy i łókien oraz ich udział objętościoy zaarto Tabeli 1. 1 (8) Rys. 4. lement konstrukcyjny poddany obciążeniu i arunkom brzegoym Za konstrukcję najsztyniejszą przyjmuje się taką konstrukcję dla której, praca ykonyana przez siły zenętrzne na yołanych przez nie przemieszczeniach osiąga artość minimalną. Tak ięc, problem ten można zapisać następującej postaci: 100
J. Wiśnieski F ( θ ) = T min. (9) c u T ds T S T gdzie θ jest kątem ułożenia łókien odniesieniu do osi x globalnego układu spółrzędnych i stanoi zmienną projektoą niniejszym zadaniu. Ponadto przyjęto, że udział objętościoy łókien każdym kierunku zmocnienia jest róny, tzn. ρ = ρ. Wyniki optymalizacji zestaiono Tabeli. Tabela. 1. Parametry materiałoo-geometryczne składnikó kompozytu [Pa] ν ρ [%] matryca (epoksyd) 3.5 0.38 60 łókna (grafit HS) 30.0 0.5 40 Tabela.. Optymalne parametry struktury kompozytoej ρ [%] ρ [%] θ SZT max [J] 0 0 37,6 0,17 Rys. 5. Analiza zachoania się rozpatryanego elementu konstrukcyjnego 101
Projektoanie struktur kompozytoych... W celu zeryfikoania ynikó optymalizacji przeproadzono numeryczną analizę zachoania się elementu konstrukcyjnego pod płyem działających obciążeń zależności od kąta ułożenia zmocnienia kompozycie, a yniki tej analizy zaprezentoano na rys.5. Jak idać z przeproadzonej analizy, optymalne ułożenie siatki łókien materiale kompozytoym, podnosi sztyność elementu konstrukcyjnego o 3% stosunku do klasycznego roziązania z ułożeniem siatki rónolegle z osiami układu spółrzednych x-y, oraz aż o 33% do roziązania którym element konstrukcyjny byłby najbardziej podatny na odkształcenia. W drugim z przykładó optymalnemu projektoaniu został poddany płaski element konstrukcyjny (rys.6) ykonany z epoksydoej matrycy zmocnionej doma, zajemnie prostopadłymi rodzinami prostolinioych łókien szklanych. Własności mechaniczne matrycy i łókien oraz ich gęstość zaarto Tabeli 3. Rys. 6. lement konstrukcyjny poddany obciążeniu i arunkom brzegoym Tabela. 3. 10 Parametry materiałoe składnikó kompozytu [Pa] ν γ [kg/m 3 ] matryca (epoksyd) 3.5 0.38 1.15*10 3 łókna (szklane) 75.0 0..49*10 3 Problem rozpatryany przykładzie dotyczył takiego zaprojektoania ułożenia siatki łókien matrycy, aby uzyskać możliie najlżejszy element konstrukcyjny o ymaganej sztyności ynoszącej 9.10 [J], osiąganej przez element porónaczy. Dla tak sformułoanego pro-
J. Wiśnieski blemu, ogólne kryterium optymalizacji (1-) przyjmuje następującą postać: Minimalizacja masy łaściej kompozytu ( + m m ρ ρ )( γ γ ) + γ min. (10) przy spełnieniu globalnego ograniczenia mechanicznego S T u T T ds T 18.0 0 (11) gdzie ρ i ρ są udziałami objętościoymi łókien, odpoiednio, pierszym i drugim kierunku zmocnienia, zaś θ kątem ułożenia siatki odniesieniu do osi x globalnego układu spółrzędnych. Parametry te były traktoane jako ektor zmiennych projektoych. Zadanie rozpatrzono dla dóch przypadkó, a mianoicie, takiego samego oraz różnego udziału łókien każdym z kierunkó zmocnienia. Wyniki uzyskane po procesie optymalizacji, dla każdego z rozpatryanych ariantó, oraz element konstrukcyjny porónaczy przedstaiono na rys.7. Rys. 7. Optymalne i porónaczy kompozytoy element konstrukcyjny 103
Projektoanie struktur kompozytoych... Porónując yniki, zamieszczone na rys.7, można łato stierdzić, że zaprojektoane optymalne roziązania obniżają masę łaścią elementu konstrukcyjnego stosunku do roziązania porónaczego o około 10% dla ariantu 1 i 1% dla ariantu, przy jednoczesnym zachoaniu ymaganych łasności mechanicznych konstrukcji. 5 Podsumoanie Artykuł przedstaia yniki badań z zakresu analizy i optymalnego projektoania płaskich elementó konstrukcyjnych ykonanych z materiału kompozytoego składającego się z matrycy zmocnionej ortogonalną siatką łókien. Jak pokazały badania, ymagane łasności mechaniczne dla rozpatryanych pracy kompozytoych struktur można uzyskać przede szystkim przypadku odpoiedniego rozmieszczenia i zorientoania łókien zmacniających matrycy podczas procesu optymalizacji. Uzyskane yniki mogą stanoić punkt yjścia do projektoania struktur kompozytoych zmocnionych dukierunkoo i stanoiących torzyo rzeczyistych płaskich elementó konstrukcyjnych pracujących pod zadanym obciążeniem, pozalając tym samym uniknąć kosztonych i pracochłonnych badań dośiadczalnych, które można ograniczyć do końcoych badań eksperymentalnych gotoej konstrukcji. 6 Literatura [1] Z. ürdal, T.R. Haftka, P. Hajela, Design and Optimization of Laminated Composite Materials. John Wiley & Sons Inc, Ne York, 1999. [] S. Venkataraman, T.R. Haftka, Optimization of Composite Panel. Revie of the 14 th Annual Technical Conference of the American Society of Composites, Dayton, 1999. [3] Z. Michaleicz, Algorytmy enetyczne + Struktury Danych = Programy olucyjne. Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa, 1996. [4] O.C. Zienkieicz, Metoda lementó Skończonych. Arkady, W- a, 197 [5] H. Dąbroski, Wstęp do Mechaniki Materiałó Kompozytoych. Wydanicto Politechniki Wrocłaskiej, Wrocła, 1989. 104
J. Wiśnieski OPTIMAL DSIN OF DISKS RINFORCD WITH FIBR NT Summary: The results of investigation in the area of analysis and optimal design of thin and linearly elastic disks reinforced ith fiber net are presented in the paper. The object of analysis, its mathematical model and relevant task for this type design problem are derived. To solve of the problem, the optimization procedure based on the evolutionary algorithm is proposed. The problem is illustrated by simple numerical examples. Keyords: fibrous composite, design problem, evolutionary algorithm 105