6-0 T R I B O L O G I A 77 Marcin FRYCZ *, Andrzej MISZCZAK * WZDŁUŻNE POLE MAGNETYCZNE W SZCZELINIE POPRZECZNEGO ŁOŻYSKA ŚLIZGOWEGO LONGITUDINAL MAGNETIC FIELD IN THE JOURNAL SLIDING BEARING GAP Słowa kluczowe: stacjonarne pole magnetyczne, ferrociecz, natężenie pola magnetycznego, obliczenia numeryczne Key words: stationary magnetic field, ferrofluid, magnetic field s intensity, numerical calculations Streszczenie W pracy autorzy przedstawiają analityczno-numeryczną metodę wyznaczania składowych wektora natężenia pola magnetycznego w szczelinie walcowego łożyska ślizgowego. Zagadnienie to staje się istotne, gdy jako czynnik smarowy w łożysku ślizgowym zostanie zastosowana ferrociecz, na którą działa zewnętrzne pole magnetyczne. * Akademia Morska w Gdyni, Wydział Mechaniczny, ul. Morska 8-87, 8-5 Gdynia.
78 T R I B O L O G I A 6-0 Wyznaczenie składowych wektora natężenia pola magnetycznego opiera się na analitycznym rozwiązaniu równań Maxwella, a następnie wyznaczeniu stałych całkowania poprzez symulację komputerową. Tak wyliczone numerycznie pole magnetyczne posłuży do dalszych obliczeń numerycznych, między innymi rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego i siły tarcia w poprzecznym łożysku ślizgowym smarowanym ferrocieczą. WPROWADZENIE Ferrociecz jest zaliczana do klasy cieczy inteligentnych. Wynika to z faktu, iż zmieniają się jej właściwości fizyczne przy zmianie zewnętrznego pola magnetycznego. Oprócz cech takich, jak duża zdolność do tłumienia drgań oraz przeciwdziałanie pustkom kawitacyjnym, charakteryzuje się znaczną zmianą lepkości dynamicznej ze zmianą wartości zewnętrznego pola magnetycznego [L.,, 9]. Ferrociecz to koloidalny roztwór czynnika bazowego (woda, olej mineralny itp.), cząstek magnetycznych (Fe 3 O 4, Gd O ), i substancji powierzchniowo czynnej [L., 9]. Pierwsze prace z zakresu hydrodynamicznego smarowania poprzecznych łożysk ślizgowych ferrocieczami pojawiły się w połowie lat osiemdziesiątych. Prekursorami w tej dziedzinie byli R.E. Rosensweig [L. 9], M.I. Shliomis [L. 0], N. Tipei [L. ], A.O. Ceber [L. ]. W Polsce jako pierwsi, również w latach osiemdziesiątych, podjęli ten temat R. Janiszewski i K. Wierzcholski [L. 5, ]. Większości prac rozpatrywana była teoretycznie. Od tego czasu powstało niewiele prac naukowych, w których rozpatruje się problem hydrodynamicznego smarowania łożysk ślizgowych ferrocieczami np. [L. 4, 8, 0]. Pozycje te w przeważającej mierze dotyczą analitycznego i numerycznego wyznaczania rozkładów ciśnienia hydrodynamicznego oraz parametrów eksploatacyjnych łożyska. W Polsce w latach 000 008 tematyką hydrodynamicznego smarowania łożysk ślizgowych ferrocieczami zajmowali się K. Wierzcholski i A. Miszczak. Większość autorów w swoich pracach nie uzmienniała współczynnika lepkość ferrocieczy od zewnętrznego pola magnetycznego, a ci autorzy, którzy uwzględniali taką zmienność pole magnetyczne najczęściej wyznaczali numerycznie. Studia literaturowe [L.,, 3, 9] wykazują, iż w ferrocieczy wektor namagnesowania N nie zawsze jest równoległy do wektora natężenia
6-0 T R I B O L O G I A 79 pola magnetycznego H. Fakt ten może świadczyć o tym, iż ferrociecz ma anizotropowe własności magnetyczne. Zbliżanie się kierunku wektora namagnesowania do kierunku wektora natężenia pola magnetycznego (równoległość tych wektorów) można zauważyć w przypadku, gdy ferrociecz osiąga punkt nasycenia magnetycznego. Anizotropowe własności magnetyczne ferrocieczy świadczą o tym, iż współczynnik podatności magnetycznej χ jest tensorem, a konkretnie diadą. W przypadku klasycznym, gdy wektor namagnesowania jest równoległy do wektora natężenia pola magnetycznego, współczynnik podatności magnetycznej χ jest skalarem, mamy wówczas do czynienia z izotropowymi własnościami magnetycznymi ferrocieczy. Współczynnik podatności magnetycznej jest funkcją wielu zmiennych. Najważniejsze z nich to natężenie pola magnetycznego, temperatura ferrosmaru, wielkość i ilość cząstek magnetycznych, rodzaj cząstek magnetycznych. Podczas rozwiązywania problemu hydrodynamicznej teorii smarowania poprzecznych łożysk ślizgowych smarowanych lepkosprężystymi ferrocieczamii w polu magnetycznym pojawia się problem wyznaczenia składowych wektora namagnesowania N, składowych wektora indukcji magnetycznej B oraz składowych wektora natężenia pola magnetycznego H. Dokładny pomiar składowych wektora indukcji magnetycznej w szczelinie smarnej łożyska ślizgowego jest niemożliwy. Jedynym sposobem na wyznaczenie tychże składowych jest metoda analityczno- -numeryczna. W niniejszej pracy rozpatruje się przypadek, gdy natężenie pola magnetycznego osiąga punkt nasycenia magnetycznego dla ferrocieczy, czyli wektor namagnesowania jest równoległy do wektora natężenia pola magnetycznego. Do rozważań przyjęto walcowe łożysko ślizgowe wykonane z materiałów niemagnetycznych, np. brązu. Przyjęto izotermiczny i stacjonarny model smarowania łożyska ferrocieczą w stacjonarnym polu magnetycznym. Celem podstawowym pracy jest opracowanie metody wyznaczania składowych wektora natężenia pola magnetycznego w stacjonarnym polu magnetycznym wytwarzanym w elektromagnesie. Celem wtórnym jest wyznaczenie takiego przypadku oddziaływania pola magnetycznego na poprzeczne łożysko ślizgowe, aby uzyskać wzdłużne pole magnetyczne w szczelinie poprzecznego łożyska ślizgowego smarowanego ferrocieczą. Zamodelowane numerycznie pole magnetyczne powinno być zbliżone do
80 T R I B O L O G I A 6-0 rzeczywistego pola magnetycznego wytworzonego w elektromagnesie, np. solenoidzie osadzonym na panewce łożyska. Tak otrzymane wyniki będą wykorzystane w dalszych badaniach dotyczących wyznaczania analityczno-numerycznego rozkładów ciśnienia hydrodynamicznego, sił nośnych i sił tarcia w poprzecznych łożyskach ślizgowych smarowanych ferrocieczą o różnych stężeniach cząstek magnetycznych i przy rożnych natężeniach zewnętrznego pola magnetycznego. ROZWAŻANIA ANALITYCZNO-NUMERYCZNE W celu wyznaczenia składowych wektora indukcji magnetycznej, składowych wektora natężenia pola magnetycznego i składowych wektora namagnesowania wykorzystujemy równania Maxwella dla ferrocieczy w stałym polu magnetycznym przy założeniu, że przez film olejowy nie płynie prąd elektryczny oraz ciecz smarująca jest doskonałym izolatorem elektrycznym. Równania te przyjmują następujące postacie [L. 3, 6, 7, 9,, 3]: rot H = 0 () div B = 0 () gdzie dla cieczy ferromagnetycznej mamy następujący związek fizyczny [L. 3, 7, 9, ]: B = µ o (H + N) µ o H[ + χ] (3) W celu zapisania równań w postaci bezwymiarowej, a następnie ich oszacowania przyjmujemy następujące oznaczenia: H φ = H o H ; H r = H o H ; H z = H o H 3 ; N φ = N o N ; N r = N o N ; N z = N o N 3 ; ε 3 B φ = B o B ; B r = B o B ; B z = B o B 3 ; Ψ 0 R b L ; µ = µ o ( + χ) (4) R gdzie: H o, N o, B o H, H, H 3 charakterystyczne wymiarowe wartości składowych wektorów: natężenia pola magnetycznego, namagnesowania, indukcji pola magnetycznego, bezwymiarowe składowe wektora natężenia pola magnetycznego,
6-0 T R I B O L O G I A 8 N, N, N 3 bezwymiarowe składowe wektora namagnesowania, B, B, B 3 bezwymiarowe składowe wektora indukcji magnetycznej, ψ promieniowy luz względny = ε/r, ε luz promieniowy [m], µ o współczynnik przenikalności magnetycznej próżni [H/m], R promień czopa [m], L bezwymiarowa długość łożyska, b połowa długości czopa [m]. Wektorowe równanie Maxwella () z wykorzystaniem oznaczeń (4) zapisujemy w postaci trzech bezwymiarowych równań: H φ 3 L H z = ψ H H3 H H 0, = 0, ψh + ψ = 0 (5) L z r φ r W równaniach (5 ) i (5 3 ) pomijajmy człony rzędu promieniowego luzu względnego ψ 0,00. W ten sposób otrzymujemy zależności wykazujące, że składowa obwodowa H oraz składowa wzdłużna H 3 wektora natężenia pola magnetycznego nie zależą od współrzędnej promieniowej r. Aby oszacować składową promieniową H, podstawiamy do równania Maxwella () zależność (3), a wtedy otrzymujemy: ( div + div ) 0 µ H N (6) o = Podstawiając odpowiednie oznaczenia (4) do równania (6) oraz odpowiednio różniczkując wektor natężenia pola magnetycznego i wektor namagnesowania, otrzymujemy następujące dwa przypadki: H H ψ H 3 µ o ψh + + ψ + = 0 r L z φ oraz (7) N N ψ N3 µ o ψn + + ψ + = 0 r L z φ lub H H ψ H3 N N ψ N3 µ o ψh + + ψ + = µ o ψn + + ψ + (8) r φ L z r φ L z
8 T R I B O L O G I A 6-0 Przypadek (8) fizycznie nie istnieje dla ferrocieczy, ponieważ zwrot wektora namagnesowania nie może być przeciwny do zwrotu wektora natężenia pola magnetycznego, więc pozostaje nam pierwsza możliwość. Pomijając człony rzędu promieniowego luzu względnego ψ oraz dzieląc stronami równanie (7) przez współczynnik przenikalności magnetycznej próżni µ o, otrzymamy: H N = 0 oraz = 0 r r Z zależności (9) wynika, iż składowa promieniowa wektora natężenia pola magnetycznego oraz składowa promieniowa wektora namagnesowania nie zmieniają się po wysokości szczeliny smarnej. W przypadku gdy współczynnik podatności magnetycznej ferrocieczy jest wartością skalarną, wówczas równanie () może być zapisane jako: ( ) µ div( H) 0 (9) div B =, czyli div(h) = 0 (0) Działając obustronnie operatorem rot na równanie (), otrzymamy: Korzystając dalej z własności, iż: rot (roth) = 0 () rot(roth) = grad(divh) H () oraz zależności (0), wtedy równanie różniczkowe () przyjmuje znaną z literatury postać dla stacjonarnego pola magnetycznego: Rozwiązanie ogólne równania (3) ma postać: H = 0 (3) A φ A φ H3 = ( C e + C e ) ( C3 cos(a L z + C4 sin(a L z) ), A φ A φ ( C e C e ) ( C3 sin(a L z C4 cos(a L z )) + D( ) A φ A φ = ( C e + C e ) ( C sin(a L z C cos(a L z ))+ H = φ H 3 4 A + E ( φ) + F(z ) (4) gdzie: C, C, C 3, C 4, A stałe całkowania, D(φ) stała całkowania jako funkcja zmiennej obwodowej, E(φ) funkcja zmiennej obwodowej wyznaczana z warunków brzegowych, F(z ) stała całkowania jako funkcja zmiennej wzdłużnej.
6-0 T R I B O L O G I A 83 W celu zweryfikowania otrzymanych wyników analitycznych wyznaczono numerycznie stałe całkowania C, C, C 3, C 4, A oraz nieznane funkcje D(φ), E(φ) i F(z ). Przykładowe składowe natężenia pola magnetycznego zaprezentowano na Rys.. Dodatkowo na rysunku przedstawiono bezwymiarową wysokość szczeliny smarnej h p. Składowe przedstawione na rysunku są wyznaczone dla następujących wielkości określających łożysko ślizgowe: bezwymiarowa długość łożyska L = ; mimośrodowość względna λ = 0,4 oraz stałe całkowania: C = 0,04; C = 0,08; C 3 = ; C 4 = 0; A = 0,; D(φ) = 0,00e φ + 0,3; E(φ) = 0,06e 0,3φ + 0,4; F(z ) =,sin(0,l z ). Dla innych wartości stałych całkowania uzyskuje się inne wartości składowych wektora natężenia pola magnetycznego. rozwinięcie szczeliny smarnej L L= =; ; λ λ=0,4; = H ; h p,5 H ; h p H 3; h p,5,5,0 0,5 0,0,0 z 0,5 z składowa obwodowa 0 składowa promieniowa 0 - - 0 π/4 π/ 0,0 3π/ π φ 0 π/4 π/ 3π/ π φ,0 0,5 0,0 0 - z składowa wzdłużna 0 π/4 π/ 3π/ π φ Rys.. Numeryczne rozkłady wartości składowych wektora natężenia pola magnetycznego Fig.. Numerical of distribution for values of component of magnetic field intensity vector PODSUMOWANIE Dzięki przedstawionej powyżej metodzie możliwe jest wyznaczenia bezwymiarowych składowych wektora natężenia pola magnetycznego w cienkiej szczelinie poprzecznego łożyska ślizgowego, a co za tym idzie również można określić składowe wektora namagnesowania i składowe wektora indukcji pola magnetycznego. W celu wyznaczenia składowych wektora natężenia pola magnetycznego niezbędne jest określenie stałych całkowania. Stałe całkowania można wyznaczyć numerycznie, znając (w określonych punktach) szacunkowe wartości pola magnetycznego wytwarzanego w rzeczywistym elektromagnesie.
84 T R I B O L O G I A 6-0 LITERATURA. Cebers A.: Physical properties and models of magnetic fluids. *. Magnitnaya Gidrodinamika, nr 4, 99, pp. 5 39.. Cebers A.: Physical properties and models of magnetic fluids. *. Magnitnaya Gidrodinamika, nr, 99, pp. 7 38. 3. Dudziewicz J.: Podstawy elektromagnetyzmu. WNT Warszawa 97. 4. Harada M., Yang W., Tsukazaki J., Yamamoto H.: Characteristics of Journal Bearings Lubricated With Ferro-Fluid. Applied Mechanics and Engineering, Vol.4, 999, pp. 33 38. 5. Janiszewski R., Wierzcholski K.: Ferromagnetyczny przepływ smarujący. Zagadnienia Eksploatacji Maszyn, zeszyt (4), 980, s. 37 44. 6. Miszczak A.: Niestacjonarne pole magnetyczne w szczelinie poprzecznego łożyska ślizgowego smarowanego ferrosmarem. Tribologia, 003, 6 (9), s. 07. 7. Miszczak A., Analiza hydrodynamicznego smarowania ferrocieczą poprzecznych łożysk ślizgowych, Monografia, Fundacja Rozwoju Akademii Morskiej, Gdynia 006. 8. Osman T.A., Nada G.S., Safar Z.S.: Different magnetic models in the design of hydrodynamic journal bearings lubricated with non-newtonian ferrofluid. Springer Verlag, Tribology Letters, Vol. 4, No. 3, 003, pp. 3. 9. Rosensweig R.E.: Ferrohydrodynamics. Dover Publications, INC. Mineola, NewYork 997. 0. Shliomis M.I.: Ferrohydrodynamics: Retrospective and Issues. Springer- Verlag, Lecture Notes in Physics, Vol. 594, 00, pp. 85.. Tipei N.: Theory of lubrication with ferrofluids: application to short bearing. Transactions of the ASME, Journal of Lubrication Technology, Vol. 04, 98, pp. 50 55.. Wierzcholski K., Janiszewski R.: Wybrane zagadnienia z magnetosprężystości i magnetohydrodynamiki. Politechnika Lubelska Series A, nr 7, 983, Lublin. 3. Wierzcholski K.: Viscoelastic Ferromagnetic Turbulent Flow in Radial Journal Bearing Gap. 9 th International Conference on Magnetic Fluid, Bremen, July 00, Book of Abstracts, Posterssesion II Technical Applications, pp. 39. Recenzent: Jan BURCAN
6-0 T R I B O L O G I A 85 Summary In this paper, the authors present analytical and numerical modelling of the components of the vector magnetic field s induction in the journal sliding bearing gap. This issue becomes important when a lubricating agent containing a ferro-fluid in the journal sliding bearing gap is applied which affects the external magnetic field. Modelling components of the vector magnetic field s induction is based on the analytical derivation of general solutions of Maxwell's equations, then the determination of the constants of the integration are made by computer simulation. So numerically calculated magnetic field to be used for further numerical calculations include hydrodynamic pressure distribution and friction forces in the journal sliding ferro-fluid lubricated bearings. The paper also presents the geometry of the sliding bearing with a coil that produces an external stationary magnetic field.