MODELOWANIE RUCHU WODY

MODELOWANIE RUCHU WODY I TRANSPORTU ZANIECZYSZCZEŃ W OŚRODKU POROWATYM PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA PROGRAMU FEFLOW Marcin Widomski, Dariusz Kowalski, Grzegorz Łagód pod redakcją Lucjana Pawłowskiego Lublin 010 Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Pod redakcją: prof. dr hab. Lucjana Pawłowskiego Komitet Redakcyjny: prof. dr hab. Lucjan Pawłowski Redaktor Naczelny prof. dr hab. inż. Wojciech Adamski prof. dr hab. Kazimierz Banasik prof. PŚk dr hab. Elżbieta Bezak-Mazur prof. dr hab. inż. January Bień prof. dr hab. inż. Ryszard Błażejewski prof. PL dr hab. Marzenna Dudzińska prof. dr hab. inż. Michał Bodzek prof. dr hab. inż. Józef Dziopak dr hab. Stanisław Gruszczyński prof. dr hab. inż. Janusz Jeżowiecki dr hab. inż. Andzej Jędrczak prof. dr hab. inż. Piotr Kowalik prof. dr hab. inż. Andrzej Królikowski prof. PK dr hab. inż. Krzysztof Knapik prof. dr hab. Marian Mazur prof. dr hab. inż. Korneliusz Miksch prof. dr hab. inż. Krystyna Olańczuk-Neyman prof. dr hab. inż. Jan Pawełek prof. dr hab. inż. Hanna Obarska-Pempkowiak prof. dr hab. inż. Tadeusz Piecuch prof. PG dr hab. inż. Bernard Quant prof. dr hab. inż. Czesława Rosik-Dulewska prof. PW dr hab. inż. Marian Rosiński prof. dr hab. inż. Jerzy Sobota prof. dr hab. inż. Marek Sozański prof. dr hab. inż. Kazimierz Szymański prof. dr hab. inż. Tomasz Winnicki prof. PŁ dr hab. inż. Marek Zawilski prof. dr hab. Roman Zarzycki prof. dr hab. inż. Jerzy Zwoździak Rekomendacja: Prof. dr inż. Marek Gromiec Projekt okładki: Tomasz Ławicki Komitet Inżynierii Środowiska PAN Monografie Komitetu Inżynierii Środowiska PAN vol. 73 ISBN 978-83-8993-99- Publikacja dystrybuowana bezpłatnie. Nakład 00 egzemplarzy Publikacja wydana w ramach projektu Nowoczesna edukacja-rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Lubelskiej nr umowy UDA-POKL.04.01.01-00-108/08 współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA 5 WSTĘP 6 1 WYBRANE ZAGADNIENIA OPISU MATEMATYCZNEGO RUCHU WODY I TRANSPORTU MASY W OŚRODKU GRUNTOWO-WODNYM 9 1.1 Procesy ruchu wody 9 1.1.1 Postacie wody podziemnej 9 1.1. Formy występowania wody grawitacyjnej 11 1.1.3 Hydrogeologiczne właściwości skał 1 1.1.4 Różniczkowe równanie filtracji wód gruntowych 16 1.1.5 Ruch nieustalony wody podziemnej 18 1.1.6 Filtracja wody w ośrodkach niejednorodnych i anizotropowych 19 1.1.7 Granice obszaru geofiltracji, warunki brzegowe i warunek początkowy 1.1.8 Opis powstawania i znaczenie siatki hydrogeologicznej 4 1.1.9 Wybrane zagadnienia opisu ruchu wody w strefie nienasyconej ośrodka porowatego 6 1. Opis procesów transportu masy w gruncie 30 1..1 Podstawowe równania 30 1.. Równanie dyspersji hydrodynamicznej 3 1..3 Współczynnik dyspersji hydrodynamicznej 35 1..4 Sorpcja 39 1..5 Model sorpcji zakładający równowagę chemiczną 40 1..6 Model uwzględniający kinetykę sorpcji 43 1..7 Reakcje pierwszego rzędu 44 WYBRANE ZAGADNIENIA MODELOWANIA NUMERYCZNEGO RUCHU WODY I ZANIECZYSZCZEŃ W OŚRODKU GRUNTOWO WODNYM 46.1 Metoda elementów skończonych 46.1.1 Podstawy metody elementów skończonych 47.1. Zastosowanie metody elementów skończonych 48. Metoda różnic skończonych 53..1 Reprezentacja dyskretna zmiennej ciągłej 53.. Pochodne różnicowe w przestrzeni 55..3 Ogólne sformułowanie zagadnienia początkowego 56..4 Wymagania stawiane różnicowemu rozwiązaniu zagadnienia początkowego 59..5 Wybrane metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych 60..6 Równania różniczkowe dla ośrodków ciągłych 65.3 Zasady zachowania w zastosowaniu do ośrodków ciągłych 67.3.1 Zjawiska fizyczne i związek dyspersyjny 69.3. Fale i równanie falowe 69

4 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód.3.3 Równanie adwekcji 70.3.4 Równanie dyfuzji 71.3.5 Klasyfikacja równań różniczkowych 71.4 Równanie dyfuzji i adwekcji na siatce różnicowej 7.5 Zasady zachowania na siatce różnicowej 74 3 MODELOWANIE RUCHU WODY I TRANSPORTU ZANIECZYSZCZEŃ ZA POMOCĄ PROGRAMU FEFLOW 76 3.1 Opis programu 76 3. Preprocesor programu FEFLOW 8 3..1 Budowa siatki elementów skończonych 8 3.. Parametry sterujące symulacji 99 3..3 Parametry symulacji ruchu wody w ośrodku porowatym 103 3..4 Warunki początkowe i brzegowe 110 3..5 Parametry symulacji transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 14 3..6 Punkty obserwacyjne 137 3.3 Procesor programu FEFLOW 140 3.4 Postprocesor programu FEFLOW 150 3.5 Przykłady obliczeniowe modelowania ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 157 3.5.1 Modelowanie ruchu wody 157 3.5. Przykłady modelowania transportu masy z FEFLOW 178 LITERATURA 195

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 5 Przedmowa Dotychczas wydawane monografie w serii Monografie Komitetu Inżynierii Środowiska PAN miały nakład 100-00 egzemplarzy. Zdarzały się także nakłady nawet do 1000 egz., z tym, że w większości monografie rozprowadzane były przez autorów. Poczynając od tego tomu postanowiliśmy wszystkie książki wydawać zarówno w formie papierowej jak i elektronicznej. Została w tym celu założona specjalna domena, http://monografie-kis-pan.pollub.pl. Dostęp do materiałów tam zamieszczonych, dla członków Komitetu Redakcyjnego i bibliotek Wydziałów Inżynierii Środowiska, po zalogowaniu jest bezpłatny. Chodzi o zwiększenie zasięgu oddziaływania wydawanych przez nas książek. Zdarza się bowiem, że nad monografią autor pracuje ponad rok, zaś przeczyta ją zaledwie kilka osób. Chciałbym także w przyszłości wydawać monografie powiązane z jubileuszami profesorów z naszej dyscypliny i też uczynić je dostępnymi w formie elektronicznej. Ponadto, w ostatnich latach szereg uczelni opracowało serie podręczników w ramach kierunków zamawianych. Niektóre z nich z pewnością zainteresują pracowników i studentów z innych uczelni. Chciałbym umożliwić autorom tych podręczników ich szersze upowszechnienie poprzez wydawanie w naszej serii zarówno w formie papierowej jak i elektronicznej. Zdaję sobie sprawę, że udostępnianie podręczników bezpłatnie w formie elektronicznej pozbawia autorów części honorariów, które i tak są niskie i nie rekompensują pracy włożonej w ich napisanie. To prawda, jednakże upowszechnianie w formie elektronicznej może, moim zdaniem, przynieść satysfakcję z szerszego rozpowszechniania. Wydawanie podręczników rozpoczynamy od serii powstałej na Wydziale Inżynierii Środowiska Politechniki Lubelskiej w ramach projektu Nowoczesna edukacja rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Lubelskiej. Mam nadzieje, że poszerzenie kręgu odbiorców wydawanych przez nas książek, choć nie powiązane z satysfakcją finansową, przyniesie satysfakcję autorom poprzez szersze upowszechnienie ich twórczości. Innym, ważnym aspektem jest szersza promocja Polskiej Inżynierii Środowiska. Z tym nie jest niestety najlepiej, bo jak wykazała ostatnia kategoryzacja wciąż jesteśmy niedoceniani jako środowisko. Lublin, 0.10.010. Prof. dr hab. Lucjan Pawłowski, członek PAN Redaktor Naczelny

6 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Wstęp Niniejsze opracowanie, przygotowane w formie podręcznikowej, stanowi pomoc dydaktyczną do zajęć laboratoryjnych z numerycznego modelowania transportu wody i masy w ośrodkach gruntowych, realizowanych w ramach specjalności Informatyka w Inżynierii Środowiska. Ma ono na celu przybliżyć studentom kierunku Inżynieria Środowiska podstawy teoretyczne oraz praktyczne modelowania ruchu wody oraz transportu zanieczyszczeń w ośrodkach porowatych, zarówno w strefie nasyconej jak i nienasyconej, w tym zasady i etapy budowy modelu matematycznego. Definicje niezbędnych danych wejściowych, przypisywanie parametrów wodno-transportowych gruntów i właściwości zanieczyszczeń, określanie warunków początkowych oraz brzegowych, obliczenia symulacyjne, a także wizualizacja i interpretacja wyników zostaną praktycznie przedstawione za pomocą demonstracyjnej wersji pakietu obliczeniowego FEFLOW firmy Wasy. Zamieszczone w niniejszym podręczniku dwuwymiarowe przykłady obliczeniowe zastosowania programu FEFLOW do modelowania ruchu wody oraz transportu zanieczyszczeń w ośrodku gruntowym zostały w całości opracowane przez Autorów niniejszego podręcznika. Rozwój technik komputerowych w ostatnich dwóch dekadach XX-ego wieku umożliwił rozpowszechnienie zastosowania modelowania numerycznego tj. opisu rozbudowanych układów za pomocą języka matematyki. Generalizując można napisać, iż modele matematyczne przedstawiają swego rodzaju koncepcje lub przybliżenia opisujące systemy lub procesy fizyczne za pomocą równań matematycznych. Modelowanie może obejmować układy np. biologiczne, ekonomiczne i fizyczne w tym elektryczne, mechaniczne, hydrauliczne, termodynamiczne itp. W literaturze technicznej można znaleźć wiele definicji pojęcia modelu, w których każdorazowo autorzy akcentują różne jego aspekty. W celu podkreślenia któregoś z nich używa się danego terminu z przymiotnikami: matematyczny, numeryczny (cyfrowy, dyskretny) lub komputerowy (Kulbik, 004). Definicja encyklopedyczna podaje, że model to układ fizyczny (model fizyczny) lub opis matematyczny (model matematyczny) o pewnych własnościach zbliżonych do niektórych wyróżnionych własności obiektu modelowanego. Natomiast modelowanie to doświadczalna metoda badania różnych zjawisk i procesów lub rozwiązywania zadań matematycznych na podstawie konstruowanych modeli (Encyklopedia, 00). Leksykony techniczne określają model jako układ, którego zadaniem jest imitowanie wyróżnionych cech innego układu, zwanego oryginałem. Definiują także model matematyczny jako opis matematyczny zachowania się analizowanego obiektu, najczęściej w postaci równań różniczkowych, a modelowanie matematyczne traktują jako metodę rozwiązywania problemów, polegającą na sporządzaniu

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 7 opisu matematycznego zjawiska i na rozwiązywaniu otrzymanego układu równań (Leksykon, 001). Należy jednak wyraźnie zaznaczyć, iż wymienione modele przedstawiają najczęściej uproszczone w różnym stopniu odzwierciedlenie rzeczywistych zjawisk. Efektywność zastosowania modeli matematycznych zjawisk czy procesów fizycznych zależy bezpośrednio od przyjętego w modelowaniu stopnia uproszczenia. Oznacza to, że w celu uzyskania modelu zapewniającego statystycznie istotne wyniki niezbędne jest dogłębne zrozumienie modelowanego zjawiska czy procesu fizycznego oraz uproszczeń przyjętych w dostępnych matematycznych funkcjach opisujących badane zjawisko. Następnie, konieczne jest określenie zestawu danych wejściowych do modelu umożliwiającego, w zależności od stopnia jego złożoności przyjęcie adekwatnych warunków początkowych i brzegowych (Grabarczyk, 000). Modele matematyczne procesów ruchu wody i zanieczyszczeń jako dynamiczne modele deterministyczne wykorzystują równania matematyczne oparte na pewnych założeniach upraszczających rzeczywiste systemy, obejmujących najczęściej geometrię systemu (zlewni czy warstwy filtracyjnej) wraz z jego opisem fizycznym. Uwzględniane są także: heterogeniczność opisywanego ośrodka, właściwości płynów znajdujących się w opisywanym ośrodku, kierunek ich przepływu, mechanizmy transportu zanieczyszczeń oraz równania chemiczne reakcji zachodzące w opisywanym ośrodku (Wind, 1979; Maciejewski, 1998). Biorąc powyższe pod uwagę widoczne jest, iż modele matematyczne ruchu wody i transportu zanieczyszczeń jako opierające się na szeregu założeń oraz wymagające znacznej liczby danych wejściowych, których wyznaczenie może być obciążone błędami, należy traktować jako przybliżone próby opisu zjawisk fizycznych, a nie ich dokładne odzwierciedlenie. Wieloletnie doświadczenie licznych badaczy (np. Kowalik, 1995; Maciejewski, 1998; Zhao i in., 005) wykazuje jednak, iż pomimo wspomnianych uproszczeń i możliwych niedokładności, przy świadomości ich występowania, modele takie można traktować jako użyteczną pomoc w działalności inżynierskiej i naukowej. W praktycznym zastosowaniu w inżynierii środowiska znajdują się modele matematyczne m.in.: ruchu wody w ośrodkach porowatych (filtracja, infiltracja, eksfiltracja), bilansu wodnego określonych zlewni lub warstw, dynamiki zmian wilgotności strefy nienasyconej profilu glebowego, wpływu zmian bilansu wodnego gleb na ekosystem np. plonowanie roślin, transportu zanieczyszczeń antropogenicznych pochodzących ze źródeł punktowych i powierzchniowych w ośrodkach porowatych, przydatne zwłaszcza przy wyznaczaniu stref ochronnych ujęć wody podziemnej, powierzchniowej oraz stref ochrony bezpośredniej obiektów wodociągowych

8 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód czy też przy określaniu wpływu obiektów inżynierskich na środowisko naturalne (np. składowiska odpadów), ruch ciepła w materiałach porowatych znajdujących się w różnych stopniach nasycenia cieczami (wodą lub wodnymi roztworami związków chemicznych), rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń w postaci płynnej lub stałej w powietrzu atmosferycznym, dyspersja zanieczyszczeń stałych, ciekłych lub gazowych w środowisku wodnym, w tym w ruchu bezciśnieniowym i ciśnieniowym (cieki i zbiorniki stojące oraz systemy przewodów bezciśnieniowych i ciśnieniowych np. kanalizacja grawitacyjna i wodociągi). Przedstawione powyżej przykładowe zastosowania modelowania matematycznego w szeroko rozumianej inżynierii środowiska wskazują, że modelowanie może być traktowane jako ważny element w projektowaniu obiektów inżynierskich oraz może mieć istotne zastosowanie w zarządzaniu złożonymi systemami środowiskowymi. Zastosowanie różnorakich modeli matematycznych w praktyce inżynierskiej umożliwia zarówno sterowanie układem rzeczywistym jak i przeprowadzenie analizy jego zachowania w różnych, zmiennych warunkach. Liczni autorzy (np. de Wit i Goudriaan, 1978; Heinrich i Pepper, 1999; Grabarczyk, 000; Karafiat, 000; Knapik, 000; Cook, 00; Kulbik, 004; Król, 006; Gromiec, 007; Widomski i in., 010) podkreślają, że modelowanie może znacznie ułatwić m.in. planowanie nawodnień lub odwodnień ekosystemów rolnych, projektowanie systemów odwadniających wykopy budowlane, lokalizację obiektów na sieciach wodociągowych i kanalizacyjnych, lokalizację obiektów potencjalnie niebezpiecznych dla środowiska naturalnego (składowiska odpadów, stacje paliw, magazyny i punkty przeładunkowe nawozów sztucznych i środków ochrony roślin). Może również ułatwiać ocenę wpływu działalności rolniczej i komunikacyjnej na stan zasobów wodnych zlewni, wyznaczenie niezbędnych parametrów urządzeń tłoczących, dobór dawek dezynfekantów w sieciach wodociągowych, analizę jakości wody wodociągowej, wybór schematów płukania sieci wodociągowej, ocenę efektywności izolacji termicznych itd. Użycie modelowania matematycznego w powyższych zastosowaniach znacznie obniża koszt zarządzania systemami oraz w wielu przypadkach skraca czas procesu projektowania eliminując np. doświadczenia poligonowe czy też instalacje pilotażowe, a także dzięki możliwej wielowariantowości ułatwia podjęcie decyzji z zakresu eksploatacji badanego systemu.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 9 1 Wybrane zagadnienia opisu matematycznego ruchu wody i transportu masy w ośrodku gruntowowodnym 1.1 Procesy ruchu wody Hydrosfera to wodna powłoka Ziemi obejmująca zarówno atmosferę, jak i skorupę ziemską. Hydrosferę stanowią wody powierzchniowe: oceany, morza, jeziora, rzeki, bagna, pokrywa śnieżna, lodowce kontynentalne (lądolody), lodowce górskie, lód gruntowy (trwała marzłoć); wody podziemne oraz para wodna występująca w atmosferze (w troposferze) i skorupie ziemskiej. Niezmienne zasoby wodne hydrosfery określa się na około 1,4 mld km 3, z czego tylko,5% stanowią wody słodkie. Największe ilości wody słodkiej zmagazynowane są w lodowcach (około 69% ilości wody słodkiej na planecie) oraz w wodach podziemnych (około 30%) (Dębski, 1970; Chełmicki, 00). Całość zasobów wodnych hydrosfery podlega ciągłemu i nieprzerwanemu cyklowi hydrologicznemu, zwanemu obiegiem wody w przyrodzie. Poza procesami zachodzącymi w atmosferze (parowanie, kondensacja, transport, opady atmosferyczne) czy na powierzchni Ziemi (ruch wód powierzchniowych) lub w biosferze, niezwykle istotnym składnikiem obiegu wody w przyrodzie są procesy ruchu wody zachodzące w zewnętrznej warstwie skorupy ziemskiej. 1.1.1 Postacie wody podziemnej Woda znajdująca się w skorupie ziemskiej może występować w trzech fazach: stałej, ciekłej i gazowej. Podlega ona działaniu siły ciężkości i sił przyciągania międzycząsteczkowego. Siły przyciągania międzycząsteczkowego (tzw. siły van der Waalsa) mogą występować w różnej postaci (Wieczysty, 198; Gabryszewski i Wieczysty, 1985; Zaradny, 1990; Kowalik, 007): jako siły przyciągania między cząsteczkami skały i wody, między cząsteczkami wody, jako siły napięcia powierzchniowego, jako siły osmotyczne, dodatkowo występować może siła ssąca roślin korzeniowych. Ta część skorupy ziemskiej, w obrębie której pory lub szczeliny wypełnione są całkowicie wodą, tworzy strefę nasycenia (saturacji). Powyżej, gdzie pory i szczeliny tylko częściowo wypełnione są wodą, nosi nazwę strefy nienasyconej, napowietrzenia lub aeracji. Granicę między tymi dwoma strefami tworzy zwierciadło wody gruntowej (podziemnej).

10 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Woda w postaci pary: łatwo zmienia swoją objętość. W fazę ciekłą przekształca się poprzez kondensację (poniżej punktu rosy). Podniesienie temperatury powoduje przekształcenie się fazy ciekłej w gazową (Wieczysty, 198; Kowalik, 1995). Woda higroskopowa: woda utrzymująca się na powierzchni ziaren gruntu dzięki adsorpcji jako cienka powłoka, nie zawsze ciągła, lecz silnie przywierająca. Nie podlega ona sile ciążenia. Nie przekazuje także ciśnienia hydrostatycznego i z punktu widzenia praktyki inżynierskiej nie odgrywa większej roli. Woda błonkowata: także otacza ziarna gruntu cienką, ciągłą błonką i występuje w stanie ciekłym. Utrzymuje się na powierzchni ziaren dzięki sile przyciągania cząsteczek wody przez cząsteczki skały. Nie podlega sile ciężkości. Woda włoskowata (kapilarna): jest to woda wolna wypełniająca włoskowate przewody pory. Woda ta podlega sile ciężkości. Wznosi się ponad zwierciadło wody podziemnej dzięki istnieniu napięcia powierzchniowego (Walden i Stasiak, 1971; Mitosek, 001) Rys. 1.1. d h Rys. 1.1. Schemat zjawiska wzniosu kapilarnego h σ cos θ ρ g d (1.1) gdzie: wartość napięcia powierzchniowego (woda 0 o C 0,073 N m 1 ), ρ gęstość płynu, g przyspieszenie ziemskie. Woda wolna (grawitacyjna): w miarę wzrastania wilgotności skały działanie sił przyciągania międzycząsteczkowego słabnie, a po przekroczeniu pewnej granicy pojawia się wolna woda podlegająca sile ciężkości. Wypełnia ona pory i szczeliny, może także przemieszczać się tworząc strumienie i zbiorniki wody podziemnej. Przekazuje ciśnienie hydrostatyczne. Ma ona zasadnicze znaczenie w praktyce inżynierskiej. Woda w stanie stałym: występuje jedynie w strefie przemarzania (przypowierzchniowej). Woda higroskopowa zamarza w temperaturze 78 o C, błonkowata 1,5 o C, włoskowata i wolna przy 1,0 o C.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 11 Woda krystalizacyjna: jest to woda związana w minerałach i biorąca udział w budowie ich siatki krystalicznej. Woda chemicznie związana: woda będąca częścią składową różnych związków chemicznych znajdujących się w skale. 1.1. Formy występowania wody grawitacyjnej Woda grawitacyjna (wolna) wypełnia pory i szczeliny. Jeżeli przedostaje się przez warstwę przepuszczalną, wówczas w jej obrębie może tworzyć zbiorniki wody podziemnej. W zbiorniku takim ruch jest bardzo powolny (Rys. 1. po lewej). W przypadku, gdy zwierciadło wody podziemnej ma wyraźny spadek w kierunku przepływu, a warstwa wodonośna małą pojemność, wówczas mówimy o strumieniu wody podziemnej (Rys. 1. po prawej), o znacznie szybszej wymianie wody (Gabryszewski i Wieczysty, 1985). Rys. 1.. Różne rodzaje ułożenia zwierciadła wód podziemnych (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Ośrodek wodonośny: skała wodoprzepuszczalna o dowolnej rozciągłości i miąższości, wypełniona wodą w całości lub do pewnego poziomu. W ośrodku takim zwierciadło wody gruntowej może się przemieszczać. Ośrodki wodonośne mogą być jednorodne lub niejednorodne pod względem własności filtracyjnych, mogą być również jedno lub wielowarstwowe. Warstwa wodonośna: to taki ośrodek wodonośny, w którym nie występuje warstwowe zróżnicowanie właściwości hydrogeologicznych. Warstwa nieprzepuszczalna: warstwa, której przepuszczalność wodna jest tak mała, że praktycznie można ją uznać za szczelną. Z racji położenia może ona mieć dodatkowe nazwy Rys. 1.3. Miąższość warstwy nawodnionej: wysokość napełnienia tej warstwy wodą grawitacyjną (strefy nasycenia). Wielkość ta często ulega zmianom w czasie.

1 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód strop, powierzchnia stropowa warstwa nieprzepuszczalna ośrodek wodonośny spąg powierzchnia spągowa Rys. 1.3. Nazewnictwo w ośrodku wodonośnym (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Swobodne zwierciadło wody podziemnej: występuje, gdy brak jest leżącej na ośrodku wodonośnym warstwy nieprzepuszczalnej (Rys. 1.4 po lewej). Napięte zwierciadło wody podziemnej: występuje w przypadku istnienia stropowej warstwy nieprzepuszczalnej i przy całkowitym wypełnieniu ośrodka wodonośnego wodą (Rys. 1.4 po prawej): Rys. 1.4. Swobodne (po lewej stronie rysunku) i napięte (po prawej) zwierciadło wód podziemnych (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Wody artezyjskie: wody podziemne o napiętym zwierciadle, mające zwierciadło hydrostatyczne wznoszące się ponad teren (możliwość wypływu na powierzchnię po przebiciu warstwy stropowej). 1.1.3 Hydrogeologiczne właściwości skał Podstawowy podział obejmuje skały (Grabowska-Olszewska, 1998): sypkie: np. piasek, żwir, spoiste: np. iły i gliny, zwięzłe: np. granit, piaskowiec (warto już teraz zwrócić uwagę na szczelinowy charakter przepływu wód podziemnych). Do podstawowych parametrów skał zalicza się: porowatość, średnicę miarodajną ziaren, wilgotność, odsączalność grawitacyjną i sprężystą oraz wodoprzepuszczalność.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 13 Porowatość Cecha opisująca wolne przestrzenie pomiędzy ziarnami skały. Przestrzenie te są najczęściej połączone ze sobą, tworząc system naczyń połączonych. Ośrodki, w których występują wolne przestrzenie pomiędzy drobinami skał nazywamy ośrodkami porowatymi. Miarą porowatości objętościowej jest stosunek objętości porów V p do całkowitej V c objętości wyodrębnionej bryły (Orzechowski i in., 1997). Stosunek ten nazywany jest współczynnikiem porowatości. V V Tabela 1.1. Wybrane wartości współczynników (Wieczysty, 198) Skała (-) Żwir 0,5 0,30 Piasek 0,36 0,45 Piasek gliniasty 0,45 0,49 Granit 0,0005 0,0090 Bazalt 0,006 0,013 Wapień 0,006 0,169 Torf 0,70 0,96 p c (1.) Średnica miarodajna ziaren Mianem tym określa się średnicę zastępczą wykorzystywaną do uproszczonego opisu własności skał: d e gid g gdzie: g i ciężar frakcji ziaren o średniej średnicy d i, g i ciężar całej próbki. i i (1.3) Wilgotność objętościowa Jest to stosunek objętości wody zawartej w porach V w do objętości V badanej wyodrębnionej próbki (Kowalik, 007). V w V (1.4)

14 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód W przypadku, gdy wilgotność próbki osiąga wartość równą porowatości, mamy do czynienia z warunkami pełnego nasycenia ( = sat ), w przypadku zaś, gdy woda gruntowa nie wypełnia całej objętości przestrzeni międzyziarnowych, mówimy o stanie nienasyconym. Saturacja Stopień saturacji (nasycenia) definiowany jest jako stosunek uwilgotnienia aktualnego do uwilgotnienia w warunkach pełnego nasycenia wypełnienia wodą całej objętości przestrzeni międzyziarnowych (Kowalik, 007). S akt sat (1.5) gdzie: S stopień saturacji (-), θ sat wilgotność w stanie pełnego nasycenia (-), θ akt wilgotność aktualna (-). Odsączalność grawitacyjna Jest to zdolność skały do oddawania zawartej w jej porach wody pod wpływem siły ciężkości. Jej miarą jest współczynnik odsączalności grawitacyjnej, stanowiący stosunek objętości wody odsączonej V w do całkowitej objętości osuszonej V co wyodrębnionej próbki. V V w co (1.6) Tabela 1.. Przykładowe wartości współczynnika odsączalności (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Skała μ (-) Piaski drobne i pylaste 0,10 0,18 Żwiry 0, 0,8 Grunty gliniaste 0,01 0,05 Gliny 0,04 0,10 Odsączalność sprężysta Zdolność skały do oddawania wody pod wpływem zmian ciśnienia hydrostatycznego, np. w obrębie leja depresji (Gabryszewski i Wieczysty, 1985). spr 1 g M; 0 E E w war (1.7)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 15 gdzie: 0 początkowy współczynnik porowatości skały, E w i E war moduły odkształcalności wody oraz warstwy, M miąższość warstwy, współczynnik sprężystości warstwy. Tabela 1.3. Przykładowe wartości współczynnika odsączalności sprężystej (Wieczysty, 198; Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Skała μ spr. (-) Piasek pylasty 6,310 3 1510 3 Piasek drobny 6,010 3 1010 3 Piasek średni i pospółka 4,010 3 810 3 Otoczaki i żwiry,010 3 410 3 Wodoprzepuszczalność Zdolność skały do przewodzenia przez nią wody. Definiowana jest ona przez współczynnik wodoprzepuszczalności k (filtracji, przesączalności) (np. Gabryszewski i Wieczysty, 1985; Orzechowski i in., 1997). Zdolność ta charakteryzowana jest poprzez prawo filtracji Darcy (równanie 1.9). Wartości współczynników określane są zatem empirycznie, a nie na podstawie ogólnych praw filtracji. Tabela 1.4. Przykładowe wartości współczynników filtracji (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Skała k (m s 1 ) Piasek gliniasty 1,010 7 5,010 6 Piasek drobny i średni 1,010 5,510 5 Piasek drobny,510 5 1,010 4 Piasek średni 1,010 4,910 4 Piasek gruby,310 4 9,010 4 Piasek gruby ze żwirem 5,010 4 1,010 3 Żwir z piaskiem 8,010 4,010 3 Żwir 1,010 3 8,010 3 Otoczaki,310 3 i więcej Glina 1,010 8 6,010 8 Glina piaszczysta 1,010 7 6,010 7 Niektóre skały charakteryzują się zróżnicowaniem własności wodoprzepuszczalności w zależności od kierunku filtracji. Mówimy wówczas o anizotropowych warunkach filtracji.

16 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Stopień anizotropii a, umożliwiający uwzględnienie wpływu anizotropii ośrodka na ruch wody w ośrodku porowatym, może być zdefiniowany następująco (Iwanek, 008): K a K sh sv (1.8) gdzie: K sh, K sv współczynnik wodoprzepuszczalności w stanie pełnego nasycenia wyznaczony odpowiednio dla przepływu poziomego i pionowego. 1.1.4 Różniczkowe równanie filtracji wód gruntowych Równania klasycznej hydrodynamiki nie dadzą się bezpośrednio zastosować do opisu ruchu cieczy przez oddzielne pory gruntu, na skutek zróżnicowanych wielkości i kształtu porów itd. W zagadnieniach ruchu wód podziemnych rozważane są więc średnie wartości ciśnienia i prędkości filtracji poprzez makroskopowo małe przekroje, choć równocześnie duże w porównaniu z porami gruntu. Grunt rzeczywisty zastępujemy takim gruntem fikcyjnym (obliczeniowym), w którym opór hydrauliczny będzie równy oporowi gruntu rzeczywistego. Podstawowym prawem opisującym ruch wody w ośrodkach porowatych jest prawo Darcy, często opisywane w literaturze jako (m.in. Orzechowski i in., 1997; Mitosek, 001): v k I (1.9) gdzie: k współczynnik filtracji, I spadek hydrauliczny zwierciadła wody podziemnej. Prawo powyższe obowiązuje przy przepływie laminarnym: lub v d Re, e 0 33 η (1.10) 10 k Re v.3 (1.11) gdzie: d e średnica miarodajna ziaren, v średnia prędkość filtracji, η współczynnik porowatości, ν współczynnik lepkości kinematycznej. Jednakże zapis powyższy odnosi się jedynie do szczególnego przypadku jednowymiarowego przepływu wody. Postać ogólną powyższego równania można zapisać dla gruntów izotropowych jako (np. Zaradny, 1990; Kowalik, 007): v k gradh (1.1)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 17 lub dla gruntów anizotropowych: czyli: lub v x H k x v grad( k H) v y H k y v z H k z (1.1a) (1.13) k H k H x y k z H vx v y vz x y z (1.13a) W równaniach powyższych H oznacza wysokość naporu cząstek wody opisywany poprzez równanie (np. Diersch, 005, 005a; Kowalik, 007): p H z ρ g (1.14) gdzie: z współrzędna wysokościowa, p ciśnienie, ρ gęstość cieczy, g przyspieszenie ziemskie. Do dalszych rozważań przyjmijmy izotropowość gruntu. Przyjmując założenie o przepływie cząstek wody w polu potencjalnym można stwierdzić, że wysokość naporu zależy od współrzędnych x, y i z. Składowe prędkości filtracji można wyrazić w postaci pochodnych cząstkowych funkcji = k h, zwanej potencjałem prędkości filtracji: vx v y vz x y z (1.15) Podstawmy równania 1.15 do równania ciągłości dla ustalonego ruchu cieczy nieściśliwej (Wieczysty, 198; Mitosek, 001): v x div v x v y y v z z 0 otrzymamy równanie Laplace a dla potencjału prędkości filtracji: 0 x x y y z z 0 x y z (1.16) (1.17) (1.18)

18 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Zagadnienie ustalonego ruchu wód gruntowych w gruncie izotropowym sprowadza się do rozwiązania równania Laplace a z uwzględnieniem warunków brzegowych. Równanie powyższe opisuje tzw. sztywny charakter filtracji w warunkach ustalonych i w polu jednorodnym oraz izotropowym. W równaniu tym potencjał może być zastąpiony poprzez wysokość naporu H (wówczas k można wyciągnąć przed nawias i przenieść na drugą stronę równania) (Wieczysty, 198; Gabryszewski i Wieczysty, 1985). Dla najczęściej występujących zadań dwuwymiarowych równanie powyższe można uprościć do postaci: H H 0 0 x y lub x y (1.19) Równanie Laplace a dla filtracji przy napiętym zwierciadle wody stosowane jest wprost, zaś przy swobodnym zwierciadle wymaga linearyzacji. Przy poziomej warstwie nieprzepuszczalnej i ruchu wolnozmiennym, przyjmując wysokość poziomu odniesienia na poziomie spągu i określając miąższość strumienia przez h otrzymujemy: ( h ) ( h ) 0 x y (1.0) Jest to równanie opisujące przepływ w warunkach zwierciadła swobodnego. Jeżeli istnieje dodatkowe zasilanie złoża W (x, y, z) to początkowe równanie ruchu można zapisać w postaci: H W ( x, y, z) (1.1) gdzie: H = H (x, y, z). Odpowiednio dla filtracji w warunkach zwierciadła swobodnego i ruchu dwuwymiarowego otrzymamy: ( h ) W ( x, y ) (1.) 1.1.5 Ruch nieustalony wody podziemnej Dla przepływów nieustalonych, przy sztywnym reżimie filtracji najczęściej stosowane jest nieliniowe równanie Boussinesqa w postaci (Wieczysty, 198; Gabryszewski i Wieczysty, 1985): h k t W h t x x (1.3)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 19 Równanie to jest słuszne dla strumienia jednowymiarowego, przy nachylonym spągu. Może być ono również linearyzowane i otrzymuje wówczas postać: W x h a t h s (1.4) gdzie: a s = h h śr / = const., współczynnik odsączalności, t czas, W dodatkowe zasilanie złoża, h miąższość złoża. Dla strumieni dwuwymiarowych równanie powyższe (dla zwierciadła swobodnego) może być uogólnione do postaci: W y h T y x h T x t h (1.5) gdzie: T = k h. Równanie sprężystej filtracji Różniczkowe równanie nieustalonej filtracji w ośrodku jednorodnym i izotropowym, przy sprężystym charakterze filtracji ma postać (Gabryszewski i Wieczysty, 1985): z H y H x H t H T spr (1.6) 1 z H y H x H t H a (1.7) gdzie: a = T/ spr. spr spr spr T M M k k a oraz w s spr g, s współczynnik objętościowej ściśliwości (sprężystości) skały, w współczynnik objętościowej ściśliwości wody, porowatość. W przypadku istnienia funkcji źródłowej W s opisującej zasilanie w ośrodku sprężystym otrzymujemy równanie: spr W s z H T z y H T y x H T x t H (1.8) 1.1.6 Filtracja wody w ośrodkach niejednorodnych i anizotropowych Jeżeli współczynnik wodoprzepuszczalności k zależy od położenia rozpatrywanego punktu w ośrodku wodonośnym lub w warstwie wodonośnej k (x, y, z), to występuje wówczas niejednorodność filtracyjna Rys. 1.5.

0 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód k k 1 k k 1 k k 3 ośrodek ośrodek ośrodek jednowarstwowy dwuwarstwowy kilkustrefowy k = const. k 1 k k 1 k k 3 k k ośrodek o niejednorodności chaotycznej k (x, y, x) ośrodek o niejednorodności uporządkowanej (k rośnie ku dołowi) Rys. 1.5. Możliwe niejednorodności filtracyjne (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Uwzględnienie niejednorodności filtracyjnej możliwe jest poprzez: sprowadzenie ośrodka niejednorodnego do umownie jednorodnego, stosowanie wzorów dostosowanych do rodzaju niejednorodności, stosowanie metod iteracyjnych np. różnic lub elementów skończonych. Najczęściej stosowany jest sposób pierwszy, jednak wymaga on wstępnych badań terenowych zmierzających do określenia średniego współczynnika filtracji. Ośrodki dwuwarstwowe można traktować jako jednowarstwowe, jeżeli spełniona jest nierówność (Wieczysty, 198; Olszta, 004): k k 1 h h 1 100 (1.9) Ośrodki wielowarstwowe dają się dodatkowo opisać poprzez utworzenie siatki przestrzennej elementów skończonych. Ruch wody przy takim schemacie ( lub 3 wymiarowym) opisuje się różniczkowym równaniem filtracji, przy założeniu jednorodności i izotropowości wydzielonych elementów skończonych. Ważną cechą ośrodka jest jego anizotropowość. O ośrodku mówimy, że jest izotropowy, gdy jego przepuszczalność wodna jest jednakowa we wszystkich kierunkach (k x = k y = k z ). W przeciwnym przypadku mówimy, że ośrodek jest anizotropowy. Wprowadzenie założenia anizotropowości komplikuje nieco opis ruchu wód podziemnych.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 1 Wyprowadzenie podstawowego równania filtracji w ośrodku anizotropowym opiera się na równaniu ciągłości w następującej postaci (Wieczysty, 198; Mitosek, 001): div (k grad H) = 0 (1.30) Przekształcając równanie 1.30 dla ośrodka niejednorodnego anizotropowego otrzymamy: 0 z H k z y H k y x H k x z y x (1.31) zaś dla ośrodka jednorodnego anizotropowego: 0 z H k y H k x H k z y x (1.3) Przekształcenie ośrodka anizotropowego w równorzędny mu izotropowy następuje poprzez zmianę skal układu współrzędnych. W miejsce współrzędnych x, y, z wprowadza się współrzędne X, Y, Z związane ze sobą następującymi zależnościami: 1 1 1 z c c x c k k z Z ky k y Y k k x X (1.33) Prowadzi to do równania Laplace a w postaci: 0 Y H Y H X H (1.34) Ośrodek niejednorodny można sprowadzić do równoważnego mu jednorodnego wprowadzając zastępczy współczynnik filtracji k s : 1 c z y x s k k k k k (1.35) W niektórych zagadnieniach anizotropowość ośrodka opisywana jest przez współczynnik B o (Diersch, 005, 005a). Warto zwrócić tu uwagę na różnice ze współczynnikiem anizotropii przedstawionym w równaniu 1.8: min max k k B o (1.36)

M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 1.1.7 Granice obszaru geofiltracji, warunki brzegowe i warunek początkowy Wszystkie równania filtracji można sprowadzić do postaci ogólnej równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (Gabryszewski i Wieczysty, 1985). H H H H A1 A A3 ch N W x x y y z z t (1.37) gdzie: H funkcja opisująca rozkład wysokości potencjalnej (ciśnienia), A 1, A, A 3, c, N współczynniki określające ośrodek geofiltracji i filtrującą ciecz, W funkcja źródłowa. Uwaga! Jeżeli choć jeden ze współczynników A 1, A, A 3, c, N zależy od wielkości H, to proces staje się nieliniowym (równanie różniczkowe nieliniowe). Jeżeli N = 0, to równanie przechodzi w eliptyczne, którego postać kanoniczna wygląda następująco: H H H H f x, y, z, H,,, x y z Jeżeli N 0, to równanie przechodzi w paraboliczne o postaci kanonicznej: (1.38) H H H H H f x, y, z, t, H,,,, x y z t (1.39) Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że rozwiązywanie równań typu eliptycznego wymaga określenia warunków brzegowych dotyczących powierzchni lub linii zamykających dany obszar. W przypadku zaś równań typu parabolicznego wymagane jest określenie warunków zarówno brzegowych jak i początkowych. Geometryczne granice obszaru geofiltracji Przy bardzo dużym zasięgu obszaru w stosunku do obszaru wpływu urządzeń odwadniających lub nawadniających, można mówić, że stosowne granice są nieskończenie odległe. Granice geometryczne mogą być zewnętrzne (wododział, rzeka) oraz wewnętrzne (np. obrys stawu, z którego czerpiemy wodę). W obliczeniach stosuje się najczęściej uproszczenia polegające na wygładzaniu lub wyprostowywaniu granic geometrycznych i sprowadzaniu ich do jednego z poniższych przypadków Rys. 1.6.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 3 ujęcie wody granica geometryczna warstwa nieograniczona warstwa półograniczona warstwa pasmowa warstwa półograniczona warstwa pasmowa, warstwa prostokątna z kątem prostym jednostronnie ograniczona lub kołowa Rys. 1.6. Możliwe granice obszaru filtracji (Gabryszewski i Wieczysty, 1985) Fizyczne granice geofiltracji Geometryczne granice obszaru geofiltracji mogą mieć różny charakter fizyczny: Granice nieprzepuszczalne: występują, gdy można założyć, że nie zachodzi przez nie przepływ wody podziemnej. Mogą one być naturalne (np. podkład iłów) lub sztuczne (np. ścianka szczelna). Wobec braku przepływu w kierunku normalnym do tej granicy, gradient hydrauliczny rozporządzalnej wysokości ciśnienia (spadek) jest równy zero: H 0 x (1.40) Często, jako nieprzepuszczalną traktuje się granicę warstwy, której wodoprzepuszczalność jest znacznie mniejsza od podstawowej. Najczęściej ma to miejsce, gdy k 1 /k 100 i wówczas warstwę z współczynnikiem k można uważać za nieprzepuszczalną. Granice wodne: stanowią powierzchnię rozdziału między warstwą wodonośną, a zbiornikiem wody powierzchniowej płynącej lub stojącej; na takiej granicy zakłada się warunek: H = z+h = const. (1.41)

4 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Powierzchnia swobodnego wysączenia: jest to granica, na której woda podziemna wysącza się z warstwy wodonośnej do obszaru zajętego przez powietrze. Dla tej powierzchni zakłada się p = 0 lub H = z, gdzie: z rzędna dowolnego punktu na granicy. Swobodna powierzchnia wód podziemnych: jest swobodnym zwierciadłem wody, na którym panuje ciśnienie atmosferyczne p = 0, H = z. Granica z zasilaniem: jest to powierzchnia, na której zachodzi dodatkowy dopływ do obszaru geofiltracji (lub też ubytek wody), na takiej granicy zakłada się wartość zasilania W (człon źródłowy). Granica warstw o różnej wodoprzepuszczalności charakteryzuje się załamaniem linii prądu. Istnieją metody pozwalające obliczyć kąt załamania linii prądu (Diersch, 005, 005a). Jeżeli wzdłuż całej granicy C zadane są wartości funkcji H lub to mamy do czynienia z warunkami brzegowymi pierwszego rodzaju (tzn. mówimy o zadaniu Dirichleta rozdział 3..4). Jeżeli wzdłuż całej granicy C istnieją zadane wartości pochodnej H/ n lub φ/ n to wówczas zostały określone warunki brzegowe drugiego rodzaju (tzn. mówimy o zadaniu Neumanna rozdział 3..4). Jeżeli wzdłuż całej granicy C zadane są wartości stanowiące liniową kombinację funkcji H lub i jej pochodnych normalnych H/ n lub φ/ n, to zostały określone warunki brzegowe trzeciego rodzaju (tzn. mówimy o zadaniu Dirichleta-Neumanna rozdział 3..4). Warunek brzegowy czwartego rodzaju występuje na granicy dwóch warstw o różnej wodoprzepuszczalności, gdy zakłada się na niej warunek równości wysokości hydraulicznych i prędkości do nich normalnej (lub warunek ciągłości tych wielkości). Warunek początkowy: określa powierzchnię swobodnego zwierciadła wody podziemnej lub powierzchnię piezometryczną wód o zwierciadle napiętym w początkowym momencie czasu t 0. 1.1.8 Opis powstawania i znaczenie siatki hydrogeologicznej Większość programów symulujących przepływ wody w ośrodku gruntowym bazuje na metodzie elementów skończonych. Obliguje to użytkownika do odpowiedniego przygotowania danych wejściowych. Optymalnym sposobem formatowania danych jest najczęściej siatka hydrogeologiczna (zwykła siatka kwadratów), z uwagi na to, że jest ona czytelna zarówno dla użytkownika, jak i większości programów symulujących.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 5 Obrazem przepływu jest siatka hydrodynamiczna (siatka przepływu) Rys. 1.7, na którą składają się linie jednakowych wysokości potencjalnych H (linie jednakowych wysokości hydraulicznych lub linie jednakowego potencjału prędkości) oraz linie prądu. Linie jednakowych wartości H noszą także nazwę linii ekwipotencjalnych (Wieczysty, 198). Rys. 1.7. Linie ekwipotencjalne 1 i linie prądu (Wieczysty, 198) Zbiór wszystkich strug przepływu przechodzących przez dowolne wyróżnione w siatce pole A o skończonych wymiarach nazywamy strumieniem. W zagadnieniach związanych z filtracją wyróżniamy strumienie jednowymiarowe, płaskie i przestrzenne. W strumieniu jednowymiarowym wszystkie jego elementy hydrauliczne (prędkość filtracji i wysokość hydrauliczna) są funkcjami jednej współrzędnej przestrzennej. W strumieniu płaskim (dwuwymiarowym) elementy strumienia są funkcjami dwóch współrzędnych przestrzennych. Strumienie dwuwymiarowe dzielimy na płaskie w przekroju lub płaskie w rzucie poziomym. Strumienie płaskie występują wówczas, gdy wszystkie cząstki cieczy przemieszczają się równolegle do pewnej nieruchomej płaszczyzny. Jeżeli płaszczyzna ta jest pionowa, to strumień jest płaski w przekroju. Jeżeli jest ona pozioma, to strumień jest płaski w rzucie poziomym. W strumieniu przestrzennym (trójwymiarowym) jego hydrauliczne elementy zależą od trzech współrzędnych przestrzennych.

6 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 1.1.9 Wybrane zagadnienia opisu ruchu wody w strefie nienasyconej ośrodka porowatego Poniżej zostaną przedstawione najistotniejsze z punktu widzenia przydatności w modelowaniu zagadnienia dotyczące ruchu wody w strefie nasyconej i nienasyconej ośrodka porowatego. Krzywa pf Ciśnienie ssące, określane także w literaturze jako ssanie gruntu (np. Zaradny, 1990; Sobczuk, 1996; Kowalik, 007), jest miarą siły utrzymującą określoną ilość wody w gruncie. Amerykańska norma ASTM D 598-94 definiuje całkowite ssanie h jako sumę ssania matrycowego h m i osmotycznego h s : ujemne ciśnienie (wyrażone jako wartość dodatnia) w stosunku do zewnętrznego ciśnienia powietrza działającego na wodę w gruncie. Ssanie matrycowe h m wyraża podciśnienie względem otaczającego ciśnienia atmosferycznego oddziałującego na wodę gruntową, któremu musi być poddany roztwór identyczny w składzie jak woda gruntowa, aby pozostał on w równowadze z wodą gruntową podczas kontaktu przez porowatą, przepuszczalną przegrodę. Natomiast ssanie osmotyczne h s jest to ujemne ciśnienie, któremu musi być poddana powierzchnia czystej chemicznie wody, aby pozostawała ona w równowadze z roztworem identycznym jak woda gruntowa, w kontakcie przez półprzepuszczalną membranę. Wzajemna relacja pomiędzy uwilgotnieniem, a ciśnieniem ssącym nazywana jest wilgotnościową i retencyjną charakterystyką gleby. Ponieważ wartość ciśnienia ssącego zmienia się od zera do wartości bardzo wysokich, na przykład rzędu 100 MPa, najczęściej krzywą retencyjną przedstawia się w skali półlogarytmicznej, aby na jednym rysunku przedstawić zarówno wysokie jak i niskie wartości ciśnień ssania. Tak otrzymaną krzywą nazwano krzywą pf, gdzie za pf rozumiemy (m.in. Zaradny, 1990; Olszta i Zaradny, 1994; Olszta, 004; Kowalik, 007): pf log(h) (1.4) gdzie: h ciśnienie ssące gruntu, wyrażone w cm słupa wody. Rysunek 1.8 przedstawia przykładową krzywą pf dla kilku rodzajów gruntu. Prowadzenie pomiarów krzywej retencyjnej oraz interpretacja wyników są utrudnione przez występowanie zjawiska histerezy (np. Zaradny, 1990; Brzostowski i Olszta, 1996; Marianoschi, 008). Występuje ono jako efekt uzależnienia kształtu krzywej pf od kierunku prowadzenia procesu nawilżania i osuszania. Krzywa ukazująca zależność h = f () w przypadku zwilżania gruntu jest zawsze usytuowana poniżej analogicznej krzywej w czasie osuszania gruntu. Oznacza to, że w czasie osuszania gleba wiąże większe ilości wody niż w czasie procesu odwrotnego przy tych samych wartościach pf.

woda grawitacyjna woda kapilarna Pełna pojemność wodna woda higroskopijna Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 7 pf 7 6 Zawartość wilgodci przy temp. 105 C 5 4,7 4, 4 3 Poziom wody higroskopijnej Punkt trwałego więdnięcia Polowa pojemność wodna 1 1 4 3 0 0 10 0 30 40 50 60 0[%] Rys. 1.8. Krzywa pf dla przykładowych gruntów: 1 piasek słabogliniasty, glina lekka, 3 ił, 4 piaski słabogliniaste/gliny lekkie (Kowalik, 007) W praktyce często używa się górnej gałęzi krzywej pf, tak zwanej krzywej desorpcyjnej lub też krzywej opartej na wartościach średnich (Stauffer i Kinze, 001; Werner i Lockington, 003; Kowalik, 007). Model van Genuchtena Jednym z problemów rozwiązywanych w procesie modelowania numerycznego ruchu wody w ośrodkach porowatych, jest konieczność wyznaczania wartości współczynnika przewodnictwa wodnego w warunkach niepełnego nasycenia. Można tego dokonać poprzez wprowadzenie tzw. względnej przewodności hydraulicznej K r. Van Genuchten (1980), wykorzystując zależności podane uprzednio przez Mualema i Burdine a (Burdine, 1953; Mualem, 1976), zaproponował następujący wzór służący jej wyznaczeniu dla gruntów nienasyconych: K r n 1 m ( ah) [ ] n 1 [ n 1( h) 1 ( ah) ] m p (1.43) gdzie: = i p = l według Burdine a = 0,5 i p = według Mualema, m= l A/n. Parametry i n we wzorze (1.43) wyznacza się aproksymując krzywą θ = f (h) według równania Mualema (1976):

8 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód s r n [1 ( h) ] m r (1.44) gdzie: h wysokość ciśnienia ssącego, r resztowa zawartość wody, pozostała w próbce po wyprażeniu w temperaturze 105 st. Celsjusza, zawartość wody ( s dla pełnego nasycenia), A = l według Mualema oraz A = według Burdine a. Wyznaczanie przewodności hydraulicznej w stanie nienasyconym przyjęte w programie FEFLOW oparte jest o zmodyfikowaną postać równania (1.43) (np. Raats, 001; Diersh, 005): K K sat l S 1 1 S 1 m m (1.45) gdzie: l parametr kształtu funkcji K=f (h) przyjmowany przez Diersha (005) jako równy 0,5, S saturacja, rozumiana jako (np. Raats, 001): r S s r (1.46) Równanie Richardsa W celu wyprowadzenia równania opisującego dynamikę zmian wilgotności w glebach nienasyconych i nasyconych należy określić stan energetyczny wody oraz uwzględnić równania zachowania masy i pędu (np. Richards, 1931; Zaradny, 1990; Olszta i Zaradny, 1994; Raats, 001): stan energetyczny wody gruntowej: Φ Ψ z (1.47) równanie ciągłości ruchu (równanie zachowania masy): q S( ) t (1.48) równanie zachowania pędu (uogólnione równie Darcy): q k( ) (1.49) gdzie: wysokość piezometryczna lub tzw. całkowita wysokość hydrauliczna, ciśnienie wody w glebie, tzw. ciśnieniowy równoważnik potencjału wody glebowej utożsamiany ze ssaniem osmotycznym h s ( < 0 dla wody w strefie nienasyconej, 0 dla wody w strefie nasyconej), z wysokość położenia względem

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 9 przyjętego poziomu odniesienia na powierzchni profilu, dla którego z = 0, S () człon źródłowy lub upustowy, umożliwiający uwzględnienie poboru wody z gleby przez system korzeniowy roślin, k () przewodnictwo hydrauliczne gleby przy zawartości wody, t czas. Podstawiając zależności (1.47) i (1.48) do równania (1.49) otrzymujemy równie ruchu wody w ośrodku glebowym, znane jako równanie Richardsa (np. Richards, 1931; Zaradny, 1990; Raats, 001; Pachepsky i in., 003; Marianoschi, 008): ( k( ) ) S( ) t (1.50) Przedstawione powyżej równanie może być stosowane tylko w przypadku homogenicznych profili glebowych, tj. charakteryzowanych poprzez ciągłą funkcję (z, t). Dla profili niejednorodnych, składających się z kilku warstw różnych gleb nieciągłą funkcję (z, t) należy zastąpić zawsze ciągłą funkcją (z, t). Po wprowadzeniu do równania różniczkowej pojemności wodnej gleby, definiowanej jako (np. Zaradny, 1990): otrzymujemy: θ C(Ψ ) Ψ (1.51) Ψ C( Ψ ) k( Ψ ) Ψ S( Ψ ) t (1.5) Podane powyżej równanie jest nazywane w literaturze pełnym równaniem Richardsa. Równanie to przedstawiane bez członu źródłowego znane jest jako tzw. uproszczone równanie Richardsa (Olszta i Zaradny, 1994; Pachepsky i in., 003; Kowalik, 007). W przypadku pominięcia zjawiska histerezy zwilżania, funkcje K () i K () można stosować wymiennie, wykorzystując zależność ciśnienia wody od jej zawartości w glebie = f (). W celu dokonania pełnego opisu zagadnienia ruchu wody w omawianym ośrodku niezbędne jest określenie warunków początkowych i brzegowych dla równania Richardsa. Warunki początkowe można określić w postaci znanych wartości funkcji: z, t ),0 z H, t t 0 ( 0 0 lub Ψ Ψ( z,t0), 0 z H,t t0 0 gdzie: H głębokość położenia zwierciadła wody gruntowej pod powierzchnią terenu (m).

30 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Warunki brzegowe mogą przyjmować dwie postacie: warunków brzegowych typu Dirichleta (rozdział 3..4) określona jest wartość funkcji: Ψ = Ψ (z b, t), gdzie z b współrzędna brzegu górnego (z b = 0) lub brzegu dolnego (z b = H), t > t 0, warunków brzegowych typu Neumanna (rozdział 3..4) określona jest wartość pochodnej funkcji Ψ/ z w punkcie z b = 0 lub z b = H, t > t 0. 1. Opis procesów transportu masy w gruncie W środowisku naturalnym, w gruntowym ośrodku porowatym, następuje ciągłe przemieszczanie się masy wody i substancji w niej rozpuszczonych. Procesy transportu spowodowane są zmieniającymi się warunkami brzegowymi, zależnymi od opadów, parowania i zmian poziomu wód w zbiornikach otwartych, mających kontakt z wodami podziemnymi. Innymi przyczynami wymuszającymi ruch wód gruntowych jest pobór wody z ujęć oraz przez system korzeniowy roślin. Transport zanieczyszczeń w ośrodku gruntowym ma niezwykle istotne znaczenie praktyczne, gdyż może doprowadzić do zanieczyszczenia wód podziemnych, zarazem zmniejszając ilość wody dostępnej dla flory i fauny, w tym dla populacji ludzkiej zamieszkującej daną zlewnię. 1..1 Podstawowe równania Woda gruntowa może być traktowana jako roztwór różnych substancji. Są to zarówno substancje przenikające do niej z zewnątrz ośrodka, jak i wymywane z fazy stałej. Substancje te, przedostają się do wody na skutek różnorodnych procesów fizyko-chemicznych. Mogą one występować bądź w formie koloidalnej, bądź w formie jonowej. Substancje dostające się do wody gruntowej są transportowane przez wypełnione wodą przestrzenie między cząstkami gruntu i tu następuje ich stopniowe rozcieńczanie. Proces mieszania spowodowany jest dyfuzją molekularną oraz różnicami prędkości poszczególnych strumieni wody w gruncie, powstającymi na skutek złożonej geometrii porów gruntowych oraz tzw. preferencyjnych dróg przepływu. Mieszanie powstające na skutek niejednorodności pola prędkości przepływu wody gruntowej nazwane jest dyspersją mechaniczną (Wilson i Gelhar, 1981; Maciejewski, 1998; Sawicki, 003). Z punktu widzenia hydromechaniki, zjawisko dyspersji hydrodynamicznej dotyczy przepływu cieczy wieloskładnikowej w ośrodku wielofazowym (np. Dagan, 1989). Grunt można traktować jako ośrodek trójfazowy i wieloskładnikowy. Składa się z fazy stałej, ciekłej i gazowej. Fazę stałą stanowią cząstki gruntu, fazę ciekłą woda gruntowa, a fazę gazową powietrze w porach gruntu. W hydromechanice cieczy w ośrodku porowatym zakłada się, że poszczególne jego fazy i składniki stanowią ośrodek ciągły, a ich stan określony jest poprzez pa-

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 31 rametry zmienne w czasie i przestrzeni (Maciejewski, 1998). Parametry te definiuje się w taki sposób, aby były one wielkościami mierzalnymi makroskopowo. Te mierzalne makroskopowo wielkości, jak na przykład zawartość wody, ciśnienie ssące, przewodność hydrauliczna, strumień przepływu czy współczynnik dyspersji hydrodynamicznej, są funkcjami wielkości mikroskopowych. Takimi wielkościami mikroskopowymi w przypadku gruntowego ośrodka porowatego, mogą być wielkości ziaren gruntowych, siły oddziaływania pomiędzy cząsteczkami wody i powierzchnią ziaren gruntowych, czy też parametry opisujące rozkład cząsteczek wody na powierzchni ziaren gruntowych i wewnątrz porów lub prędkości cząsteczek wody w porach gruntowych. Wielkości mierzalne są średnimi wartościami parametrów mikroskopowych. Uśrednienie to ma na celu eliminację fluktuacji parametrów ośrodka, związanych z jego mikrostrukturą. Przez mikrostrukturę rozumie się w tym przypadku strukturę ośrodka na poziomie pojedynczych ziaren gruntowych. Przyjęcie odpowiedniej wielkości obszaru jest bardzo istotne zarówno dla rozważań teoretycznych, jak i dla prawidłowej interpretacji wyników pomiaru. Dlatego wielkości opisujące aktualny stan gruntu, takie jak: gęstość, stężenie rozpuszczonych substancji, strumień przepływu, porowatość, itd. definiuje się dla pewnej minimalnej w skali makroskopowej, reprezentatywnej dla danego ośrodka objętości. Fluktuacje parametrów ośrodka związane są nie tylko z uśrednianiem w przestrzeni, ale wiążą się także z uśrednianiem względem czasu. Uśredniania tego dokonuje się dla reprezentatywnego elementarnego czasu RET (ang. representative elementary time) (Sawicki, 003; Zienkiewicz i in., 005, 005a). Dla każdego rozpatrywanego składnika poruszającego się w przestrzeni ośrodka porowatego musi obowiązywać zasada zachowania masy, którą można zapisać w postaci równania ciągłości (np. Dagan, 1989; Maciejewski, 1998; Diersch, 005): k t k i q x i S k (1.53) gdzie: q k natężenie strumienia cząstek składnika k, S k objętościowy człon źródłowy k tego składnika, t czas, x współrzędna przestrzenna. Jednym z podstawowych parametrów służących do opisu zawartości substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej jest jej stężenie: dm C w dv (1.54) gdzie: m jest masą substancji rozpuszczonej w objętości V w wody gruntowej. Zależność pomiędzy stężeniem substancji w wodzie gruntowej C i jej gęstością możemy wyrazić w następującej formie:

3 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód dm dm dv C w dv dv dv w (1.55) gdzie: objętościowa zawartość wody (wilgotność) ośrodka gruntowego. dv w dv, V objętość 1.. Równanie dyspersji hydrodynamicznej Prędkości cząstek poszczególnych składników wody gruntowej są z reguły różne. Różnicę pomiędzy prędkością cząstek jednego składnika i średnią prędkością wszystkich cząstek cieczy w elementarnej objętości reprezentacyjnej nazywa się prędkością dyspersyjną (Maciejewski, 1998; Diersch, 005): v d v v (1.56) gdzie: v d prędkość dyspersyjna, v prędkość cząstek rozpatrywanego składnika, v średnia prędkość masowa cieczy (np. wody gruntowej). W ogólnym przypadku średnia prędkość masowa wieloskładnikowej cieczy zdefiniowana jest następująco: v n k1 n v k1 k k k n k1 v k c k (1.57) gdzie: v k prędkości cząstek k tego składnika, k gęstość k tego składnika, c gęstość fazy ciekłej, n ilość składników cieczy. Najczęściej w zagadnieniach modelowania transportu masy rozpatrywane są zagadnienia przepływu wody tylko z jednym rozpuszczonym składnikiem o małej koncentracji. Pomija się więc często wskaźnik określający dany składnik i przyjmuje, że średnia prędkość masowa roztworu równa się prędkości wody gruntowej. Korzystając ze wzoru na prędkość dyspersyjną można wyznaczyć dyspersyjny strumień przepływu (Maciejewski, 1998; Diersch, 005): d d q v v v q q (1.58) gdzie: q strumień przepływu masy rozpatrywanego składnika w gruncie, _ q strumień cząstek rozpatrywanego składnika przy założeniu, że poruszają się one z prędkością średnią cieczy, gęstość rozpatrywanego składnika.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 33 Całkowite natężenie strumienia masy q substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej można podzielić na strumień konwekcyjny _ q związany ze średnią prędkością masową przepływu cieczy w ośrodku porowatym i strumień dyspersyjny q d. W przypadku bardzo złożonego układu, jakim jest ośrodek gruntowy można przyjąć, że prędkości poszczególnych cząstek cieczy oscylują wokół średniej prędkości przepływu. W takim przypadku przyjmuje się, że strumień dyspersyjny jest proporcjonalny do gradientu stężenia C. Zależność ta nosi nazwę prawa Ficka (np. Hassanizadeh, 1986; Maciejewski, 1998; Sawicki, 003; Diersh, 005): q d i C Dij x j (1.59) gdzie: D ij elementy tensora dyspersji hydrodynamicznej. Korzystając z prawa Ficka, całkowity strumień masy dowolnej substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej można przedstawić w następującej postaci: i d i q q _ C q Dij x j C v i (1.60) Podstawiając powyższą zależność do równania ciągłości otrzymuje się równanie dyspersji hydrodynamicznej z członem źródłowym S powszechnie używane do opisu dyspersji hydrodynamicznej. Wspomniany człon źródłowy uwzględnia zewnętrzne źródła i upusty substancji dyspergowanej, dla fazy ciekłej nasyconego i nienasyconego ośrodka porowatego: _ C vi C C D ij S t x i x j xi (1.61) W przypadku przepływu w strefie nasyconej jednorodnego gruntu, gdzie = sat = const, równanie dyspersji hydrodynamicznej przyjmuje postać (Maciejewski, 1998): C C C vi S D ( ij ) t x i x j xi sat (1.6) Powyższy opis ruchu substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej zakłada, że cała woda gruntowa bierze udział w ruchu oraz, że prędkości poszczególnych cząstek cieczy wewnątrz reprezentatywnej objętości elementarnej fluktuują przypadkowo wokół wartości średniej. _

34 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód W przypadku istnienia w ośrodku kilku charakterystycznych strumieni przepływu, zakłada się dla każdego z nich, że prędkości cząstek cieczy w każdym z nich fluktuują wokół charakterystycznych dla nich wartości średnich. Modele opisujące zachowanie się cieczy w takim ośrodku muszą uwzględniać różne charakterystyki hydrauliczne każdego ze strumieni oraz wymianę cząsteczek cieczy, jaka zachodzi pomiędzy strumieniami. Najbardziej popularnym i reprezentatywnym modelem z tej grupy jest model przepływu w spękanym ośrodku skalnym, gdzie własności hydrauliczne szczelin różnią się zdecydowanie od własności hydraulicznej skały, która może posiadać charakterystyczną porowatość związaną z mikroszczelinami. W takim przypadku zakłada się, że woda w szczelinach bierze udział w ruchu, a wymiana z wodą zawartą w porowatej skale następuje na skutek dyfuzji. W literaturze dotyczącej procesów transportu w nienasyconym ośrodku gruntowym spotykamy też pogląd, że nie cała woda gruntowa bierze udział w ruchu. W takim przypadku wodę gruntową dzieli się na tzw. wodę mobilną i wodę stagnacyjną. Woda stagnacyjna związana jest ze szkieletem gruntowym siłami oddziaływania pomiędzy cząsteczkami wody, a cząsteczkami stanowiącymi cząstki i ziarna gruntu. Może to być także woda zamknięta w porach ślepych (ang. dead-end pore water). Warto pamiętać, że woda w fazie stagnacyjnej pozostaje nieruchoma. Transport wody oraz substancji w niej rozpuszczonych odbywa się w strefie mobilnej. Zakłada się, że prędkości przepływu cząstek cieczy w fazie mobilnej przypadkowo fluktuują wokół wartości średniej, a wielkość tych fluktuacji związana jest ze współczynnikiem dyspersji. Przyjmuje się, że na skutek dyfuzji istnieje wymiana pomiędzy fazą mobilną i stagnacyjną. Wymiana ta jest proporcjonalna do różnicy stężeń rozpuszczonego składnika w obu strefach. Najczęściej zakłada się, że całkowita zawartość wody jest sumą zawartości wody w fazie mobilnej i w fazie stagnacyjnej (np. Maraqa i in., 1997). Podobnie gęstość substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej jest sumą gęstości w strefie mobilnej i stagnacyjnej, co możemy zapisać w postaci (Olszta i Zaradny, 1994): m s m s m m s s C C (1.63) gdzie: m, s odpowiednio zawartości wody w strefie mobilnej i w strefie stagnacyjnej, m, s odpowiednio gęstości substancji rozpuszczonej w strefie mobilnej i w strefie stagnacyjnej wody, C m, C s odpowiednio stężenia substancji rozpuszczonej w strefie mobilnej i w strefie stagnacyjnej wody. Równanie ciągłości dla substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej możemy zapisać w następujący sposób (Maciejewski, 1998):

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 35 m ( ) t x s m m v S (1.64) gdzie: v m wektor prędkości przepływu wody mobilnej. Zakładając, że w strefie wody mobilnej obowiązuje prawo Ficka możemy dla przedstawionego modelu ośrodka porowatego napisać równanie dyspersji hydrodynamicznej (Maciejewski, 1998): m m s s m m m m ( C C ) m C C vi D ( ) ij S t x i x j xi (1.65) Wymiana cząstek pomiędzy strefą mobilną i stagnacyjną odbywa się na drodze dyfuzji. Zakłada się, że jest ona proporcjonalna do różnicy stężeń rozpatrywanej substancji w fazie mobilnej i fazie stagnującej, co możemy zapisać: t s C m C s (1.66) gdzie: współczynnik charakteryzujący szybkość wymiany. Badanie mające na celu wyjaśnienie, czy w danym ośrodku istnieje strefa wody mobilnej i strefa wody stagnacyjnej, polega na analizie tzw. krzywej przejścia znacznika. Istnienie wody stagnacyjnej w ośrodku porowatym uwidacznia się zmianą charakteru krzywej jego przejścia przez badany profil. Przed rozpoczęciem tego badania należy jednak wyeliminować zjawisko absorbcji, które w niektórych przypadkach może zmienić krzywą przejścia w podobny sposób, jak to ma miejsce w przypadku istnienia wody stagnacyjnej. 1..3 Współczynnik dyspersji hydrodynamicznej Współczynnik dyspersji hydrodynamicznej charakteryzuje zdolność mieszania się substancji rozpuszczonej z wodą w ośrodku porowatym (np. Wilson i Gelhar, 1981). Mieszanie to zależy od dyfuzji molekularnej, geometrii porów gruntowych i rozkładu prędkości wody gruntowej, która zależy także od zawartości wody. Jeżeli prędkość wody gruntowej równa się zeru, to proces mieszania następuje jedynie na skutek dyfuzji molekularnej. Zasięg dyfundujących cząstek roztworu w ośrodku porowatym jest mniejszy od zasięgu w wodzie wolnej, co tłumaczy się tym, iż cząstki substancji rozpuszczonej przemieszczają się w krętych porach gruntowych, przez co zmniejsza się ich efektywne przesunięcie. Krętość ośrodka porowatego, definiuje się następująco (Maciejewski, 1998): L c L 1 (1.67)

36 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód gdzie: L odległość w linii prostej, jaką pokonała dyfundująca cząsteczka, L c rzeczywista droga, jaką przebyła cząsteczka w ośrodku porowatym przemieszczając się przez kanaliki między cząstkami gruntu. Rzeczywista droga dyfundującej cząsteczki może też być określana z zależności: L c L (1.68) W miarę wzrostu prędkości przepływu wody gruntowej, wzrasta prędkość mieszania cieczy spowodowana różnicami prędkości przepływu w poszczególnych porach gruntowych. Zjawisko to nazywa się dyspersją mechaniczną lub konwekcyjną. Dyspersja mechaniczna charakteryzuje więc wpływ fluktuacji pola prędkości cieczy w ośrodku porowatym na proces mieszania. Współczynnik dyspersji hydrodynamicznej w ośrodku porowatym D jest sumą współczynnika dyspersji mechanicznej D m i współczynnika dyfuzji molekularnej D d, co możemy zapisać w postaci zależności: D = D m + D d (1.69) Współczynnik dyfuzji molekularnej w gruncie opisany jest wzorem: D d = D *d (1.70) gdzie: D *d współczynnik dyfuzji w wodzie, krętość ośrodka porowatego. W ogólnym przypadku współczynnik dyfuzji molekularnej w gruncie jest tensorem. Zakładając rozważanie przepływów w ośrodku izotropowym można przyjąć, że dyfuzję molekularną i krętość opisują wielkości skalarne. Natomiast współczynnik dyspersji hydrodynamicznej zależy zarówno od charakterystyki porów gruntowych, jak i charakterystyki pola prędkości przepływu. Współczynnik ten nawet w przypadku opisu przepływu przez jednorodny izotropowy grunt jest tensorem rzędu drugiego. Podstawowe własności współczynnika dyspersji hydrodynamicznej wynikają z następujących prostych założeń fizycznych: podczas przepływu cieczy w ośrodku porowatym następuje mieszanie cieczy we wszystkich kierunkach, w jednorodnym izotropowym ośrodku tylko kierunek przepływu jest kierunkiem wyróżnionym, proces dyfuzji molekularnej w gruncie izotropowym nie zależy od kierunku przepływu. Proces mieszania zachodzący w wyróżnionym kierunku (kierunku przepływu) nazywa się dyspersją podłużną. Mieszanie w pozostałych kierunkach nazywa się dyspersją poprzeczną. Zatem, w układzie współrzędnych, w którym kierunek osi X' l pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości przepływu wody gruntowej, składowe tensora dyspersji hydrodynamicznej można przedstawić następująco:

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 37 j l j3 l Dd jl ' ij DL j1 l1 DT 3 D (1.71) gdzie: D L współczynnik dyspersji podłużnej, D T współczynnik dyspersji poprzecznej, D d współczynnik dyfuzji molekularnej, jl delta Kroneckera. Ze znanych własności współczynnika dyspersji hydrodynamicznej scharakteryzowanych przez przedstawione zależności wynika, że na podstawie jednowymiarowych eksperymentów możemy wyznaczyć współczynnik dyspersyjności podłużnej i współczynnik dyfuzji molekularnej, natomiast na bazie eksperymentów dwuwymiarowych możemy określić wszystkie parametry opisujące dyspersję, to znaczy współczynnik dyspersji podłużnej D L, współczynnik dyspersji poprzecznej D T oraz współczynnik dyfuzji D d. Ponieważ dyspersja mechaniczna zależy od prędkości przepływu wody, stąd również dyspersja podłużna i poprzeczna winny od niej zależeć. Ponadto w strefie nienasyconej dyspersja zależy także od stopnia nasycenia wodą. Przy analizie wpływu prędkości przepływu na dyspersję używa się bezwymiarowej liczby Pecleta zdefiniowanej następująco: v d Pe D d (1.7) gdzie: d średnia średnica ziaren lub inna długość charakterystyczna dla badanego ośrodka, v rzeczywista prędkość ruchu wody gruntowej, D d współczynnik dyfuzji molekularnej. W obszarze zmienności prędkości przepływu można wyznaczyć pięć stref zależności stosunku dyspersji podłużnej do dyfuzji molekularnej od liczby Pecleta (Maciejewski, 1998; Sawicki, 003) Rys. 1.9. 10 +7 10 +6 DL / Dd 10 +5 10 +4 10 +3 10 + IV V 10 +1 III 10 0 I II 10-1 10-10-1 10 0 10+1 10+ 10+3 10+4 10+5 10+610+7 liczba Pecleta Rys. 1.9. Zależność dyspersji podłużnej od liczby Pecleta (Maciejewski, 1998)

38 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Strefa I. Dominującą rolę odgrywa dyfuzja molekularna, Pe < 0,4. D L / D d = f(pe) = const, D L << D d. Z doświadczenia dotyczącego rozprzestrzeniania się substancji rozpuszczonej, przy średnim strumieniu przepływu cieczy gruntowej równemu zero (q = 0), można wyznaczyć współczynnik dyfuzji molekularnej D d dla gruntu, a stąd krętość ośrodka porowatego. Strefa II. Odpowiada liczbie Pecleta (w przybliżeniu) z przedziału pomiędzy 0,4 a 5. W strefie tej efekt rozproszenia substancji w wodzie gruntowej spowodowany dyfuzją molekularną jest wielkością tego samego rzędu, co rozproszenie spowodowane przez dyspersję mechaniczną. W związku z powyższym oba zjawiska muszą być uwzględnione podczas analizy transportu substancji rozpuszczonej w ośrodku gruntowym. Strefa III. Głównym mechanizmem powodującym mieszanie w tej strefie jest dyspersja mechaniczna, natomiast dyfuzja molekularna odgrywa tu poważną rolę w mieszaniu poprzecznym redukując dyspersję podłużną. Modele, które pomijają dyfuzję molekularną lub modele, które starają się uwzględnić wpływ dyfuzji (jako członu addytywnego) nie opisują dobrze wyników eksperymentalnych. Analizy wyników eksperymentalnych pokazują, że można w tej strefie przyjąć następujący związek pomiędzy dyspersją podłużną i dyfuzją: D L / D d = (Pe) m ; 0,5; 1 < m <1,. Strefa IV. Dyspersja mechaniczna odgrywa zasadniczą rolę w procesie mieszania, natomiast dyfuzja molekularna jest zaniedbywalna. Wciąż znajdujemy się w obszarze przepływu laminarnego (obowiązuje prawo Darcy). Związek między współczynnikiem dyspersji podłużnej, a współczynnikiem dyfuzji ma postać: D L / D d = Pe; 1,8. Strefa V. Dyspersja mechaniczna odgrywa rolę decydującą, ale w przeciwieństwie do strefy IV mamy tu do czynienia z przepływem turbulentnym. Tangens nachylenia krzywej stopniowo staje się mniejszy od jedności. W ośrodku gruntowym mamy do czynienia z reguły z przepływami laminarnymi i zgodnie z przedstawioną charakterystyką współczynnika dyspersji podłużnej, możemy go wyrazić w funkcji prędkości przepływu w przybliżony sposób: D L = n gdzie:, n współczynniki empiryczne. Można przyjąć, że współczynnik dyspersji hydrodynamicznej jest liniowo zależny od prędkości przepływu wody gruntowej. Dotyczy to także współczynnika dyspersji poprzecznej. Przyjęcie takiego opisu procesu dyspersji pozwala na modelowanie z wystarczającą dokładnością praktycznych zagadnień transportu. Tą li-

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 39 niową zależność pomiędzy współczynnikiem dyspersji podłużnej i poprzecznej oraz prędkością przepływu możemy zapisać: D L = L v; D T = T v (1.73) gdzie: L dyspersyjność podłużna, T dyspersyjność poprzeczna. 1..4 Sorpcja Środowisko gruntowo-wodne rozpatruje się zwykle jako układ składający się z trzech faz: stałej, ciekłej i gazowej. Na powierzchni graniczących ze sobą faz przebiega szereg procesów fizycznych i fizyko-chemicznych. Wśród tych procesów poczesne miejsce zajmują zjawiska powierzchniowe. Powierzchnia graniczna pomiędzy fazą stałą (ziarnami) i fazą ciekłą (wodą lub roztworem różnych związków chemicznych), jest miejscem występowania wielu zjawisk fizyko-chemicznych, do których zalicza się adsorpcję wody błonkowatej i jonów, oddziaływania elektrokinetyczne, procesy wymiany, kohezję, itp. Wszystkie procesy zachodzące na granicy faz ciał stałych, cieczy i gazów, które prowadzą do wysycenia powierzchni ziaren gruntu, nazywamy sorpcją. Sorpcję powierzchniową określamy terminem adsorpcja, natomiast sorpcję zachodzącą w całej objętości wzajemnie oddziałujących faz nazwano absorpcją. Rozpatrując grunt jako ośrodek ciągły, możemy mówić o procesie absorpcji substancji rozpuszczonych w wodzie (Maciejewski, 1998). Wzajemne oddziaływanie faz układu heterogenicznego może zachodzić w warunkach stagnacji, jak i przy względnym ruchu faz. Względny ruch oddziaływujących faz może mieć dwojaki charakter. Jest to albo bezładne, chaotyczne mieszanie się faz, albo ukierunkowany względem siebie przepływ. W gruncie mamy do czynienia z tym drugim zjawiskiem. Modele opisujące zjawisko sorpcji możemy podzielić na dwie grupy. Pierwsza zawiera modele zakładające natychmiastową równowagę pomiędzy substancją zaadsorbowaną na powierzchni ziaren gruntu i substancją rozpuszczoną w wodzie gruntowej, natomiast modele drugiej grupy uwzględniają dynamikę sorpcji. Modele sorpcji należące do pierwszej grupy stosuje się w przypadkach, gdy czas ustalania równowagi pomiędzy substancją zaadsorbowaną i substancją w roztworze jest bardzo krótki w porównaniu z czasem przemieszczania się substancji w ośrodku gruntowym. Modele drugiej grupy stosuje się natomiast, gdy czas ustalania równowagi pomiędzy substancją zaadsorbowaną i substancją rozpuszczoną jest porównywalny lub większy od czasu przemieszczania się substancji, związanego z konwekcją i dyspersją hydrodynamiczną. Sorpcja ma istotne znaczenie dla wielu zjawisk zachodzących w ośrodkach gruntowo-wodnych z uwagi na migrację do tego środowiska wielu zanieczyszczeń. Można wyróżnić dwa główne rodzaje zanieczyszczeń (np. Forebs, 1976; Echeverria i in. 1998; Maciejewski, 1998; Sawicki, 003):

40 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód geochemiczne naturalne: metale ciężkie, węglowodory, radionuklidy, antropogeniczne: odpady przemysłowe, ścieki, produkty spalania paliw, radionuklidy sztuczne, chemikalia, petrochemikalia. Zanieczyszczenia pochodzące z tych dwóch źródeł mogą się rozprzestrzeniać we wszystkich elementach środowiska naturalnego. Czas ich przebywania w środowisku może być mierzony w minutach (tlenki siarki), w latach (DDT) czy w stuleciach (pluton 39). Za własności sorpcyjne odpowiedzialne są głównie minerały ilaste (glinokrzemiany, krystaliczne tlenki żelaza i tlenki glinu). Adsorpcję substancji chemicznych w środowisku gruntowo-wodnym można podzielić na adsorpcję fizyczną i adsorpcję chemiczną. Adsorpcja fizyczna wywołana jest siłami van der Waalsa o charakterze elektrostatycznym. Jest to oddziaływanie wzajemne dipol-dipol pomiędzy częścią związku chemicznego z jednej strony, a ładunkiem jonowym wewnątrz i wokół koloidu gruntowego z drugiej. Adsorpcja chemiczna wywołana jest przez wymianę jonową, wiązania wodorowe i wiązania kowalencyjne. 1..5 Model sorpcji zakładający równowagę chemiczną Cząstki cieczy przebywające w ośrodku gruntowym oddziałują z powierzchniową warstwą ziaren i cząstek gruntowych. Większość koloidalnych cząstek gruntowych posiada ujemny powierzchniowy ładunek elektryczny, dlatego jony dodatnie są adsorbowane na ich powierzchni podczas przepływu wody gruntowej. Równowaga w procesie adsorpcji jonów na powierzchni cząstek gruntowych zachodzi praktycznie natychmiastowo, stąd celowe jest zastosowanie w takim przypadku modelu sorpcji statycznej. Procesy adsorpcji i desorpcji mogą być rozpatrywane na poziomie analizy zjawisk w ujęciu mikroskopowym lub makroskopowym. Procesy na poziomie analizy mikroskopowej są bardzo złożone, a ich opis jest skomplikowany. Wynika stąd mała przydatność takiego podejścia w przypadku rozwiązywania zagadnień makroskopowych przepływów w ośrodku porowatym. Do opisu powyższych procesów stosuje się w praktyce podejście fenomenologiczne, badające związki pomiędzy stężeniem substancji w wodzie gruntowej, a masą substancji zaadsorbowanej. Grunty jako naturalny sorbent posiadają powierzchnię heterogeniczną. W takim przypadku najbardziej przydatnym modelem sorpcji jest model opisany tzw. izotermą Freundlicha (np. Sheindorf i in., 1981; Maciejewski, 1998; Sawicki, 003). Ogólnie można ją zapisać w postaci: m a n KC g m (1.74)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 41 gdzie: m a masa sorbatu zaadsorbowanego na powierzchni sorbentu (cząstek szkieletu gruntowego), m g masa szkieletu gruntowego, C stężenie sorbatu w fazie ciekłej w stanie równowagi (masa sorbatu w jednostce objętości roztworu), K stała równowagi (charakteryzuje zdolność adsorpcyjną sorbentu), oznacza ilość zaadsorbowaną przez jednostkę wagową sorbentu przy jednostkowym stężeniu sorbatu, n współczynnik zależny od rodzaju gruntu i rodzaju substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej. W równaniu Freundlicha zakłada się, że sorbent ma nieograniczoną pojemność sorpcyjną, a stężenie sorbatu w roztworze w stanie równowagi może dowolnie rosnąć. Jest to założenie słuszne jedynie dla małych stężeń, ponieważ każdy sorbent ma ograniczoną powierzchnię zdolną zaadsorbować pewne maksimum sorbatu. Stała n charakteryzuje stopień nieliniowości izotermy adsorpcji. Stała K określa intensywność adsorpcji, a jej wartość bezwzględna zależy od doboru jednostek pomiaru. Stwierdzono eksperymentalnie, że w przypadku mikrostężeń, n zmierza do 1 i wtedy wykres izotermy adsorpcji w układzie współrzędnych C i m a / m g jest linią prostą. Najczęściej taką właśnie zależność przyjmuje się dla wyrażenia podziału sorbatu pomiędzy fazę stałą (np. grunty, gleby) i ciekłą (roztwór) (Maciejewski, 1998): m m a g K d C (1.75) gdzie: K d stała równowagi K dla n = 1, zwana stałą podziału adsorpcji. Stała K d jest najczęściej stosowana dla scharakteryzowania możliwości sorpcji wielu związków w gruntach. Wprowadzając do pierwszego równania gęstość zdefiniowaną zależnością: otrzymamy: dm a a dv K d dm g g oraz dv a g C (1.76) (1.77) gdzie: a gęstość substancji zaadsorbowanej w gruncie, g gęstość szkieletu gruntowego. Stałą K d wyznacza się przeważnie w laboratorium i wykorzystuje w modelach określających zachowanie się substancji rozpuszczonych podczas przepływu wody w ośrodku gruntowym. Wartości parametru K d mogą zmieniać się w szerokim zakresie w zależności od rodzaju substancji rozpuszczonych, a także od rodzaju grun-

4 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód tu. Zakres zmienności obrazują następujące znane wyniki wyrażone w cm 3 g 1 ; dla 131 I K d w zakresie 0-0,0, dla 85 Sr + 1,3-5, dla 134 Cs + 4-340 oraz dla 14 C 0,08. Gęstość rozpatrywanej substancji w gruncie jest sumą gęstości substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej i gęstości substancji zaadsorbowanej. Prawo zachowania masy dla rozpatrywanej substancji możemy zapisać oddzielnie dla substancji znajdującej się w fazie ciekłej i dla substancji związanej z fazą stałą w postaci odpowiedniego równania ciągłości. Równanie to dla substancji znajdującej się w wodzie gruntowej ma następującą postać (Maciejewski, 1998): (vi ) s t x i wg s w (1.78) gdzie: gęstość substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej, v prędkość przepływu cząstek substancji rozpuszczonej, s wg człon źródłowy opisujący wymianę substancji między fazą ciekłą, a fazą stałą, s w człon źródłowy opisujący pozostałe źródła i upusty dla substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej. Natomiast równanie ciągłości dla rozpatrywanej substancji znajdującej się w fazie stałej gruntu można zapisać w postaci: a t s gw s g (1.79) gdzie: a gęstość substancji zaadsorbowanej, s gw człon źródłowy opisujący wymianę substancji między fazą stałą, a fazą ciekłą, s g człon źródłowy opisujący pozostałe źródła i upusty dla substancji zasorbowanej przez fazę stałą. Pomiędzy członami źródłowymi musi zachodzić następujący związek: s wg = s gw (1.80) Przekształcając powyższe równania otrzymujemy równanie ciągłości dla rozpatrywanej substancji znajdującej się w gruncie (w obu fazach ciekłej i stałej): a ( ) ( vi ) s t x i w s g (1.81) W przypadku sorpcji zakładającej natychmiastową równowagę pomiędzy substancją rozpuszczoną w wodzie gruntowej i substancją zasorbowaną przez grunt, gęstość substancji związanej z fazą stałą jest równa: a KdC (1.8) Równanie dyspersji dla substancji sorbowanej przez grunt przy założeniu, że proces sorpcji przebiega natychmiastowo, a gęstość substancji zasorbowanej przez grunt opisana jest powyższym wyrażeniem, możemy otrzymać w dwojaki sposób. Pierwszy to podstawienie tego wyrażenia do równania ciągłości opisującego prawo g

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 43 zachowania masy rozpatrywanej substancji w gruncie. Drugi sposób polega na podstawieniu członu źródłowego do równania opisującego zachowanie masy składnika rozpuszczonego w wodzie gruntowej. W obu przypadkach zakładamy, że strumień przepływu substancji rozpuszczonej opisany jest równaniem: q i q d i _ C q Dij x j C v i (1.83) Ostatecznie równanie dyspersji hydrodynamicznej dla omawianego przypadku przyjmuje następującą postać: g ( C Kd C) C C v D ( ) ij s t x i x j xi w s g (1.84) gdzie: v prędkość przepływu wody gruntowej. W przypadku przepływu nieściśliwej cieczy (div v = 0) w strefie nasyconej jednorodnego gruntu, zawartość wody równa się porowatości n ( sat = n = const). Równanie dyspersji hydrodynamicznej możemy w takim przypadku zapisać w postaci: C t Dij x i Rd C v x j R i d w C s s x R n gdzie: R d współczynnik opóźnienia (ang. retardation factor) równy: i d g (1.85) Rd 1 K d n (1.86) W wyniku adsorpcji obserwujemy opóźnienie w przemieszczaniu się substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej w porównaniu ze średnią prędkością przepływu wody. Średnia prędkość przemieszczania się substancji rozpuszczonej może być opisana za pomocą poniższego równa, przy czym R d >1. v v R d g (1.87) 1..6 Model uwzględniający kinetykę sorpcji W modelach opisujących kinetykę sorpcji, zakłada się brak równowagi pomiędzy sorbatem, a sorbentem. Modele teoretyczne opisują proces wymiany substancji znajdującej się w roztworze z substancją zaadsorbowaną na powierzchni cząstek gruntowych. Najprostszym modelem uwzględniającym kinetykę sorpcji jest model liniowy przy następujących założeniach:

44 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód proces sorpcji jest izotermiczny, rozpatrywana jest sorpcja jednego składnika. W takim przypadku równanie opisujące proces przemieszczania się masy pomiędzy roztworem a sorbentem możemy zapisać w następującej postaci (Sawicki, 003; Diersch, 005): gw S KCm m (1.88) gdzie: S gw masowy człon źródłowy opisujący wymianę masy substancji pomiędzy fazą stałą i fazą ciekłą w jednostce czasu. Korzystając z tego zrównania możemy przedstawić równanie ciągłości, opisujące zachowanie masy rozpatrywanej substancji związanej z fazą stałą na skutek sorpcji, w postaci: a t g g a g KC s oraz po przekształceniach równanie dyspersji hydrodynamicznej: ( C ) C C v D ( ) ij t x i x j xi a g a w g K C s s (1.89) (1.90) 1..7 Reakcje pierwszego rzędu Podczas przepływu roztworu w gruncie może nastąpić na drodze chemicznej lub fizycznej rozkład cząstek rozpatrywanej substancji. Ograniczymy się tu do opisu najprostszej reakcji tzw. reakcji pierwszego rzędu. Przykładem takiej reakcji może być rozpad, podczas którego następuje dekompozycja cząstek zarówno substancji rozpuszczonej, jak i zaadsorbowanych przez grunt. Wielkość tego rozpadu zależnego od gęstości można opisać wprowadzając ujemny człon źródłowy w następującej postaci (Sawicki, 003; Diersch, 005): s w s g g a ( ) (1.91) gdzie: stała rozpadu. Stała rozpadu pierwiastków radioaktywnych definiowana jest jako = (ln ) / T n, przy czym T n jest czasem połowicznego rozpadu. Ogólne równanie dyspersji hydrodynamicznej uwzględniające sorpcję oraz reakcję pierwszego rzędu możemy zapisać jako:

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 45 C C K x v C x C D x t C K C g i i j ij i g d ) ( ) ( (1.9) Równanie powyższe jest powszechnie używane do opisu transportu substancji rozpuszczonej w wodzie gruntowej. Przedstawione tu modele sorpcji i reakcji są w praktyce powszechnie używane i z reguły są one wystarczająco dokładne, biorąc pod uwagę dokładność danych pomiarowych.

46 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Wybrane zagadnienia modelowania numerycznego ruchu wody i zanieczyszczeń w ośrodku gruntowo wodnym.1 Metoda elementów skończonych Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego MES (ang. FEM, finite-element method) to zaawansowana matematycznie metoda obliczeń fizycznych opierająca się na podziale obszaru (tzw. dyskretyzacja, ang. mesh), najczęściej powierzchni lub przestrzeni, na skończone elementy uśredniające stan fizyczny ciała i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału (Zienkiewicz, 197; Leksykon, 001; Podgórski i in., 001; Zienkiewicz i in., 005, 005a; Zagrajek i in., 005). Poza węzłami wyznaczana właściwość jest przybliżana na podstawie wartości w najbliższych węzłach. Metoda elementów skończonych (MES) jest obecnie powszechnie stosowanym narzędziem obliczeń inżynierskich (np. Chmielewski i in., 00; Cook, 00; Skrzat, 003; Rakowski i Kacprzyk, 005; Zagrajek i in., 005). Jej rozwój przebiegał, i nadal przebiega, równolegle z rozwojem techniki komputerowej. Pierwsze prace stosujące metodę elementów skończonych zostały opublikowane w latach czterdziestych dwudziestego wieku. W tych samych latach powstały pierwsze komputery (np. ENIAC w 1946 r.). Początkowo obliczenia przeprowadzane za pomocą metody elementów skończonych dotyczyły obiektów o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) i stałych własnościach materiałowych oraz zjawisk opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi. Rys..1. Schemat przykładowego modelu filtracji wody przez zaporę wykonanego w MES (www.zarembski.com/mes/)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 47 Od lat siedemdziesiątych metodę elementów skończonych zaczęto stopniowo stosować do rozwiązywania problemów nieliniowych, jednak dalej dla obiektów o stosunkowo prostych geometriach, modelowanych jako 1D lub D (Rys..1). Gwałtowny rozwój techniki komputerowej w latach osiemdziesiątych, związany z coraz większą mocą obliczeniową komputerów oraz możliwością operowania i przechowywania bardzo dużych zbiorów informacji, umożliwił zastosowanie metody elementów skończonych do obliczeń problemów nieliniowych dla obiektów o dowolnie złożonych geometriach, szczególnie 3D..1.1 Podstawy metody elementów skończonych W przestrzeni liniowej F zdefiniowano iloczyn skalarny, a funkcje z określonym działaniem np. dodawanie funkcji i mnożenie funkcji przez liczbę są elementami tej przestrzeni. Podprzestrzeń liniową przestrzeni F można zdefiniować jako U F, w której to podprzestrzeni jest określony ten sam iloczyn skalarny, L natomiast oznacza liniowy operator różniczkowy określony na przestrzeni U o wartościach należących do F. Symetryczny operator L określony jest dodatkowo przez (Matwiejew, 1989; Fortuna i in., 1993; Huebner, 001): Luv u Lv (.1) dla każdego u, v U Luv dla wszystkich u U, z wyjątkiem u = 0. Zatem iloczyn skalarnym w przestrzeni U. Iloczyn 0 (.) u v L Luv dla każdego u, v U będzie nowym iloczynem u v będzie nazywany iloczynem energetycznym względem operatora L a przestrzeń U zawierająca iloczyn skalarny przestrzenią energetyczną operatora L. Natomiast normą energetyczną określone zostanie wyrażenie: u L u v Do dalszych rozważań przyjmujemy równanie różniczkowe: L (.3) Lu = f (.4) gdzie: f dana funkcja należąca do F, przy założeniu, że równanie to ma w podprzestrzeni U jednoznaczne rozwiązanie. Rozwiązania powyższego równania różniczkowego można poszukiwać w n wymiarowej podprzestrzeni U oznaczonej jako U N. Rozwiązanie równania przybliżone funkcjami z przestrzeni U N dla elementu u N U N przybiera postać:

48 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód u u N L min uu N u u L (.5) Istnieje dokładnie jeden element spełniający powyższe równanie. Jeżeli elementy przestrzeni U N to wielomianowe funkcje, także sklejane, to powyższa metoda nosi nazwę metody elementu skończonego (metody elementów skończonych) a funkcja u N nazywa się elementem skończonym aproksymującym rozwiązanie u z przestrzeni U N..1. Zastosowanie metody elementów skończonych Dla ogólnego przypadku, gdy elementami U N są funkcje dowolnego typu i (i = 1,,N) stanowiące bazę przestrzeni U N, gdzie c i są liczbami rzeczywistymi (Matwiejew, 1989; Fortuna i in., 1993): u c... Elementu u N poszukiwać będziemy następująco: g c, c,... c 1 n N u u N L u N 1 1 c c N N (.6) N i1 c i i L u N i1 c u i i N j 1 c u v c j u j cic j i j L L L i1 i, j 1 (.7) Poszukiwanym elementem u N jest taki element z przestrzeni U N, którego współczynnikami w rozwinięciu są liczby c 1,...,c N spełniające równanie: g c 1,..., c N 1 1 N min c,..., c N c,..., c W celu wyznaczenia minimum funkcji g c,..., c g, k 1, c k..., N, i przyrównuje je do zera: g c k u c k L N j 1 Funkcja u jest rozwiązaniem równania.4 więc: u k L Lu jk L j j j L (.8) 1 N oblicza się pochodne k j f L k 0 (.9) (.10)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 49 Stąd po podstawieniu otrzymujemy następującą zależność: gdzie: f k, j k. N j 1 k, jc j f,k (.11) Powyższe równania tworzą układ N równań z N niewiadomymi c k, macierz takiego układu jest macierzą nieosobliwą i symetryczną. Układ ten posiada więc jednoznaczne rozwiązanie dające punkt, w którym funkcja g (.8,.9) osiąga swoje minimum (Grądzki, 00). Dostępnych jest wiele metod rozwiązywania takich układów równań, które to metody są wbudowywane w modele numeryczne. Rozwiązanie postawionych problemów za pomocą metody elementów skończonych można podzielić na następujące etapy (m.in. Zienkiewicz, 197; Łaczek, 1999; Podgórski i in., 001; Sieczkowski, 001; Zienkiewicz i in., 005): Analizowany obszar dzieli się na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych. Zakłada się, że te elementy połączone są ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach (najczęściej są to punkty narożne). Noszą one nazwę węzłów. Poszukiwane wartości wielkości fizycznych stanowią podstawowy układ niewiadomych. Należy także przeprowadzić numerację węzłów (w przypadku gotowych modeli numerycznych, komercyjnych lub open source, numeracja jest przeprowadzana automatycznie). Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, w zależności od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu. Funkcje kształtu zależą od problemu jakim się aktualnie zajmujemy i kształtu wyznaczonych elementów skończonych. Definicja: Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Funkcje te nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu. Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym (ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów. Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu). Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie

M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 50 jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach, których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a w pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero (Radwańska, 004). Dla elementu skończonego, jakim jest odcinek (Rys..), funkcje kształtu przyjmują postać (Pietrzyk, 199): 1 1 1 1 x x x x N x x x x N (.1) Rys... Schemat odcinkowego elementu skończonego (Pietrzyk, 199) Trójkątny element skończony dzieli się na trzy przyległe trójkąty poprzez obranie punktu wewnątrz elementu. Wartość funkcji kształtu w wierzchołku 1 otrzymujemy przez podzielenie pola powierzchni trójkąta, do którego należy bok leżący naprzeciw wierzchołka 1, przez pole powierzchni całego elementu skończonego. Dla dwuwymiarowego elementu skończonego, jakim jest trójkąt (Rys..3), funkcje kształtu przyjmują postać (Pietrzyk, 199): 3 1 1 3 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 1 3 3 1 1 3 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 3 1 1 03 3 1 1 3 1 3 3 1 3 3 3 3 1 0 1 3 3 1 3 3 y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x S S N y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x S S N y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x S S N (.13)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 51 Rys..3. Schemat trójkątnego elementu skończonego (Pietrzyk, 199) W przypadku elementu czworokątnego należy dokonać transformacji układu współrzędnych, a funkcja kształtu musi być kwadratowa. Dla dwuwymiarowego elementu skończonego jakim jest czworokąt (Rys..4), funkcje kształtu przyjmują postać (Pietrzyk, 199): (.14) Rys..4. Czworokątny element skończony (Pietrzyk, 199) W przypadku trójwymiarowych elementów skończonych o kształcie czworościanu funkcje kształtu konstruuje się podobnie jak w przypadku dwuwymiarowych elementów skończonych o kształcie trójkątnym z tym, że zamiast pól powierzchni stosuje się objętości czworościanów cząstkowych. Dla trójwymiarowego elementu skończonego, jakim jest czworościan, funkcje kształtu przyjmują postać (Pietrzyk, 199):,,, (.15) Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko (np. ruch wody w ośrodku porowatym, transport zanieczyszczeń i ciepła) przekształca się, poprzez zastosowanie tzw. funkcji wagowych, do równań metody elemen-

5 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód tów skończonych. Są to równania algebraiczne. Jeżeli w przestrzeni L (Ω), gdzie Ω jest dowolnym zbiorem mierzalnym, z miarą µ, zostanie określony iloczyn skalarny: f g f ( x) g( x) ( x) dx (.16) to funkcja (x): Ω C nazywana jest funkcją wagową wymienionego wyżej iloczynu skalarnego w ciele C. Na podstawie równań metody elementów skończonych przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Jeżeli rozwiązywane zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle. Do tak utworzonego układu równań wprowadza się warunki brzegowe. Wprowadzenie tych warunków następuje poprzez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron. Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach. W zależności od typu rozwiązywanego problemu lub potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości. Jeżeli zadanie jest niestacjonarne, to czynności opisane w powyższych punktach powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej, w którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny parametr. Programy komputerowe, w których stosowana jest metoda elementów skończonych składają się z trzech zasadniczych części: preprocesora, w którym budowane jest zadanie do rozwiązania, procesora, czyli części obliczeniowej, postprocesora, służącego do graficznej prezentacji uzyskanych wyników. Najbardziej pracochłonnym i czasochłonnym etapem rozwiązywania zadania jest podział obszaru obliczeniowego na elementy skończone w preprocesorze. Należy tutaj nadmienić, że nieprawidłowy podział na elementy skończone powoduje uzyskanie błędnych wyników.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 53. Metoda różnic skończonych Ponieważ arytmetyka, z jaką mamy do czynienia w komputerze, jest jednocześnie dyskretna i skończona, nie zaś ciągła i nieskończona, więc istotne jest w metodach obliczeniowych fizyki sformułowanie w postaci skończonej równań wchodzących w obszar naszych analiz. Najbardziej podstawową i szeroko stosowana metodą jest metoda różnic skończonych, w której rozważa się własności małych elementów ciągłego układu fizycznego (Grądzki, 00). Konieczne jest przedstawienie w postaci dyskretnej zarówno zmiennych czasowych, oznaczonych jako t, jak i zmiennych przestrzennych, oznaczonych przez x. Powstaje siatka czasowa i przestrzenna, jednak w odróżnieniu od zmiennych typu przestrzennego siatkę czasową tworzy się często za pomocą zabiegu całkowania, zatem pochodne czasowe oraz przestrzenne traktuje w związku z tym różnie. Ze względu na wyjątkową efektywność rachunku różniczkowego jako narzędzia matematycznego, szeroki wachlarz zagadnień fizycznych formułowano wychodząc z abstrakcyjnej koncepcji ośrodka ciągłego. W wyniku otrzymano opis matematyczny oparty na różnych postaciach równań różniczkowych, w wielu wypadkach nierozwiązanych, często przy tym rozumianych w sposób powierzchowny. Jeśli chcemy rozwiązać te równania i zinterpretować je, musimy wykonać pracę w pewnym sensie odwrotną do tej, którą przeprowadzili ich twórcy i z równań różniczkowych otrzymać różnicowe równania algebraiczne (Zienkiewicz, 197)...1 Reprezentacja dyskretna zmiennej ciągłej Rozważmy ciągłą zmienną niezależną x, leżącą w obszarze X = <X 1, X > przy czym X 1 x X. Ciągłość (kontinuum) zastępujemy siatką punktów, dzieląc obszar X na zbiór J 1 elementów. Można następnie skonstruować wektor {x j }, o skończonym wymiarze J (Rys..5), definiując ciągłą x jedynie w punktach j, przy czym 1 j J. x X 1 X x 1 x x x j 3 1 3 4 J Rys..5. Mechanizm tworzenia siatki przestrzennej (Huebner, 001). Punkty 1 j J nazywane są węzłami siatki. Rozmieszczone są one w odległościach x j, które nazywamy krokami przestrzennymi

54 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód x J 1 j X1 x p p1 (.17) Rozszerzając zmienną niezależną na funkcję f (x) opisaną na niej możemy ją przybliżyć w odpowiednim sensie, definiując odpowiadający jej wektor {f j } na niezależnej zmiennej siatki {x j }: f j = f (x j ). Ponieważ funkcja f jest określona dla wszystkich wartości ciągłej zmiennej x, reprezentacja {f j } stanowi pewien niepełny opis funkcji f (x). Dokładność przybliżenia można jednak zwiększyć poprzez wektor {f j } w dowolnym punkcie x : x j x x j+1 za pomocą interpolacji po składowych wektora f j i f j+1, pomiędzy sąsiednimi punktami. Jeżeli dodatkowo zapiszemy: to efekt interpolacji można opisać jako: x' x j ε x x f* ε f 1 ε j 1 j1 j (.18) f j (.19) gdzie: f* przybliżenie f. Uwagi: za pomocą powyższej aproksymacji opisujemy jedynie długofalowe własności funkcji f w jej przestrzeni (kontinuum), jeżeli funkcja f zmienia się szybko w obrębie elementu x j, to f* jest ubogą aproksymacją f (Rys..6), za pomocą powyższej aproksymacji nie można opisywać długości fal mniejszych od x j, im więcej punktów na siatce, tym lepsza dokładność aproksymacji, lepsza reprezentacja f. f f f j f j x j x x j x Rys..6. Niewłaściwe (po lewej) i właściwe (po prawej) przybliżenie funkcji f (x) za pomocą siatki przestrzennej (Grądzki, 00)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 55.. Pochodne różnicowe w przestrzeni Pochodna funkcji dostarcza informacji o lokalnej zmienności funkcji w przestrzeni, w konsekwencji więc pochodna różnicowa sprzęga ze sobą sąsiednie węzły siatki. df Aproksymacją pierwszej pochodnej w j węźle siatki 1 <j < J jest: dx ' x f j f j1 j1 f (.0) gdzie: długość kroku siatki, x f j różnicowy zapis pochodnej funkcji f w punkcie j po zmiennej x. Podobnie jak poprzednio uzyskamy dobre przybliżenie, o ile funkcja f nie zmienia znacznie przebiegu w obrębie kroku siatki (Rys..7): f f f j f j-1 f j f j+1 f j-1 f j+1 j-1 j j+1 x j-1 j j+1 x Rys..7. Różnicowa aproksymacja pierwszej pochodnej funkcji: złe (po lewej) i dobre (po prawej) przybliżenie (Grądzki, 00) Dla drugiej pochodnej, dobrą i prostą aproksymację 1< j < J stanowi (Rys..8): '' x f j f j1 f j f j1 d dx f w j węźle siatki (.1)

56 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód f f j-1 f j f j+1 j-½ j+½ j-1 j+1 j x Rys..8. Różnicowa aproksymacja drugiej pochodnej funkcji (Dahlquist i Bjorck, 1983) Powyższe aproksymacje pierwszej i drugiej pochodnej stosowane są powszechnie do symulowania równań różniczkowych występujących w fizyce. Można tu stosować wzory bardziej złożone od przedstawionych. Takie wzory powstają również przy konieczności wyznaczania wyższych pochodnych, jednakże metoda analizy i jej filozofia pozostają niezmienne...3 Ogólne sformułowanie zagadnienia początkowego W zagadnieniach czasopodobnych rozwiązanie należy rozwijać w czasie rzeczywistym komputera. Zdefiniowanie pochodnych względem czasu może nie być tak łatwe, jak w przypadku zmiennych przestrzennych. Zagadnienia te wymagają raczej określenia procedury całkowania na siatce czasowej (Śródka, 004). Termin czasopodobny odnosi się do całej klasy zagadnień, w których występują jednopunktowe warunki brzegowe. Zagadnienia w czasie rzeczywistym są bardzo często opisywane, a wywodząca się z nich notacja jest powszechnie stosowana. Podstawowym elementem tej notacji jest tzw. zagadnienie początkowe. Zagadnienie początkowe występuje w każdej gałęzi modelowania. Ma ono znaczenie fundamentalne, gdyż wyraża ono w istocie ideę wykorzystywanego przewidywania. Spotyka się go najczęściej przy określaniu równań ruchu cząstki lub układu cząstek, opisywanych przez równania różniczkowe zwyczajne lub układy takich równań. Podobnie dzieje się przy opisie ewolucji układu ciągłego. Weźmy układ określony przez wektor stanu u (r, t), w obszarze przestrzeni R = R (r). Jeżeli w chwili początkowej t = 0, u = u 0 i jeżeli dodatkowo u jest określone na powierzchni S w przestrzeni R dla wszystkich czasów t, to możemy określić u dla wszystkich czasów t w przestrzeni R. Stan układu dla wszystkich czasów t możemy otrzymać w postaci rozwiązań zagadnienia początkowego: du dt L u (.)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 57 gdzie: L w ogólnym przypadku operator nieliniowy, algebraiczny dla równań różniczkowych zwyczajnych. Aby przybliżyć przedstawione powyżej zagadnienia aproksymacji i zagadnienia początkowego, rozpatrzmy dynamikę zmian zachodzących w prostym jednowymiarowym oscylatorze harmonicznym o masie m, stałej charakteryzującej siłę, zmiennej x opisującej położenie i prędkości v. Wektor opisujący stan układu: u = (x, v). Operator (w tym przypadku liniowy, macierzowy): 0 L a m 1 0 gdyż równania ruchu oscylatora wyrażają się związkami: dx dt dv dt a m (.3) v x (.4) Wracając do ogólnego zagadnienia początkowego (.) całkujemy je po czasie, idąc małymi krokami równolegle do czasu rzeczywistego komputera: t n n p1 Δt n=0 n=1 n= n t=0 t t 1 t p (.5) Rys..9. Siatka czasowa. Zagadnienia początkowe całkowane są po małych przyrostach czasowych t (Grądzki, 004) Rysunek.9 przedstawia zdefiniowaną siatkę czasową. Zazwyczaj w celu odróżnienia siatki czasowej od przestrzennej stosuje się zapis indeksów u góry (dla siatki czasowej) lub u dołu (dla siatki przestrzennej) zmiennej. Całkując zależne od czasu rozpatrywane równanie wiążemy ze sobą wektory u n+1 i u n, opisujące stan układu w sąsiednich punktach czasowych t n+1 i t n : n1 n u u Lu dt' n t (.6) Całki powyższej nie możemy wyliczyć dokładnie, gdyż wektor u (t ) nie jest znany dla wszystkich czasów t z przedziału t n t t n+1. Stąd podstawową aproksymację różnicową wprowadza się zakładając, że dla małych kroków czasowych n1 t

58 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód t = t n+1 t n, wyrażenie podcałkowe można aproksymować rozwinięciem w szereg Taylora (Zienkiewicz, 197): u n1 u n n1 t p-1 n t r0 co po scałkowaniu prawej strony daje: d dt r r p Lu O(t' ) dt' n t r t' r! (.7) (.8) gdzie: p rząd dokładności ze względu na krok czasowy t, z jakim przeprowadza się całkowanie. Zazwyczaj jednak ogranicza się rozwinięcie (.8) do rzędu nie wyższego niż : u d Lu Δt Lu dt Δ n1 n n t u n t (.9) Należy teraz zdefiniować pochodną względem czasu zapisaną w powyższym równaniu. Można tego dokonać na szereg sposobów, spróbujmy jednak wykorzystać zmienne w późniejszym o krok czasie t n+1. Schemat całkowania przedstawia się wtedy równaniem: u u Lu n 1 εδt Lu ε Δt n 1 n 1 (.30) gdzie: parametr interpolacyjny 0 1. Dokładność drugiego rzędu jest zachowana jedynie gdy = ½. W przypadku gdy = 0 uzyskuje się: n1 n u u 1 Δt L (.31) W tym przypadku mówimy o tzw. metodzie jawnej, natomiast gdy 0 o tzw. metodzie niejawnej całkowania. n 1 1 εδt L u 1 1 ε Rozwiązania dla każdego kroku czasowego: u n1 1 1 εδt L 1 1 ε u n 1 Tt, u n Δt L u n Δt L u n (.3) (.33) gdzie: T operator różnicowy wiążący między sobą kolejne punkty na siatce czasowej.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 59 Operator ten nie jest określony jednoznacznie i zależy od wyboru konkretnego schematu całkowania po czasie oraz od przestrzennego schematu różnicowego. Należy teraz postawić pytanie jakie warunki muszą być spełnione przy wyborze tego operatora (zgodność, dokładność, stabilność i efektywność)...4 Wymagania stawiane różnicowemu rozwiązaniu zagadnienia początkowego Zgodność aproksymacji różnicowej Zgodność aproksymacji różnicowej jest to własność podstawowa, warunkująca jako pierwsza zasadność stosowania danego schematu obliczeniowego. Układ różnicowy musi być zgodny z układem różniczkowym. Musi on dobrze aproksymować, w założonym sensie, rozpatrywany układ różniczkowy. Formalnie warunek zgodności można określić następująco (Dahlquist i Bjorck, 1983): T Δt, Δ 1 Δt lim lim L β Δ t 0 Δ 0 Δt Δ (.34) gdzie: L rozpatrywany wcześniej operator różniczkowy, wartość skończona. Nawet zakładając spełnienie powyższego warunku należy uważnie przyglądać się schematowi różnicowemu, ponieważ nigdy skończone kroki w czasie i przestrzeni nie będą w pełni zgodne z kontinuum. Dokładność aproksymacji różnicowej Dokładność rozwiązania numerycznego jako aproksymacji rozwiązania równania różniczkowego pogarsza się wskutek występowania dwóch źródeł błędów (Dahlquist i Bjorck, 1983): błędu obcięcia, ciągła zmienna niezależna zastępowana zbiorem izolowanych punktów, błędu zaokrąglenia, prowadzenie obliczeń na określonych typach zmiennych, wykorzystujących skończoną liczbę bitów do ich zapamiętywania. Stabilność schematu różnicowego Gdyby schemat różnicowy prowadził do rozwiązania, którego błąd wzrastałby nieustannie, wówczas mówimy o nim, że jest niestabilny numerycznie. Jeżeli jakikolwiek błąd stale narasta, na każdym kroku czasowym, wówczas szybko pochłania on rozwiązanie, które nie przedstawia sobą wtedy żadnej wartości. Metoda numeryczna jest stabilna, jeśli mały błąd na dowolnym etapie obliczeń przenosi się dalej z malejącą amplitudą. Każda użyteczna metoda numeryczna dla zagadnienia początkowego musi być przynajmniej pod pewnymi warunkami metodą stabilną.

60 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód W celu ilościowego określenia pojęcia stabilności wystarczy rozważyć pojedyncze równanie różniczkowe zwyczajne. Zmienna niezależna jest wartością skalarną i łatwo jest zdefiniować błąd n, występujący na kroku n. Wzrost amplitudy tego błędu na kroku n+1 można opisać jako (Dahlquist i Bjorck, 1983): n+1 = g n (.35) gdzie: g tzw. współczynnik wzmocnienia, związany z konkretnym schematem całkowania jaki stosujemy. Odnosi się on do błędu obcięcia (metody) nie uwzględnia jednak błędów zaokrąglenia. Metoda jest stabilna jeżeli: ε n1 ε n (.36) g ε n ε n (.37) Stabilność numeryczną osiąga się zatem dla warunku g 1. W przypadku rozważania układu równań różniczkowych, w miejsce współczynnika wzmocnienia pojedynczej zmiennej wprowadza się pojęcie macierzy wzmocnienia. Efektywność schematu różnicowego Ponieważ każdy komputer ma skończony czas działania i skończoną pamięć, nie da się na ogół stosować dowolnie złożonego schematu całkowania numerycznego. Efektywnością konkretnego schematu różnicowego nazywa się całkowitą liczbę operacji arytmetycznych, logicznych i podstawienia, jakie musi przeprowadzić procesor w celu otrzymania rozwiązania na jednym kroku czasowym. Z jednej strony efektywność maleje wraz ze wzrostem złożoności schematu, jednakże z drugiej strony prowadzi to do wzrostu dokładności rozwiązania. Stale wymaga to odpowiedniego kompromisu...5 Wybrane metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne: du dt f u, t 0 (.38) gdzie: u = u (t) i określone są warunki początkowe u (t 0 ) = u 0. Równanie powyższe można scałkować na siatce czasowej między punktami czasowymi t n i t n+1, w przedziale czasu t:

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 61 pamiętając, że: u n n Δ t t 1 t. n1 u n n1 t n t f u,t dt (.39) Metoda Eulera pierwszego rzędu Najprostszą aproksymacją całki w rozpatrywanym równaniu jest przybliżenie funkcji podcałkowej f dla wszystkich czasów t z przedziału t n t t n+1 funkcją f w czasie t n (Rys..10). f f n t n t n+1 t Rys..10. Najprostsza aproksymacja funkcji podcałkowej (Dahlquist i Bjorck, 1983) Otrzymuje się wtedy algorytm dla metody Eulera: n1 n n n u u f u,t Δt (.40) Jest to metoda jawna i dokładna jedynie w odniesieniu do wyrazów pierwszego rzędu. Jest również prosta i efektywna, jednak należy zapytać w jakich warunkach jest stabilna. Załóżmy, że zmienna zależna u n w czasie t n obarczona jest błędem n. Spróbujmy znaleźć błąd zmiennej u n+1 : n n n n n n n u ε u ε f u ε,t 1 1 Δt (.41) Po przekształceniach, z wykorzystaniem szeregu Taylora oraz założeń, że n jest wielkością małą, dla równania wyjściowego otrzymuje się wzór na współczynnik wzmocnienia:

6 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód f g 1 Δt u n (.4) Rozpatrując funkcję f można powiedzieć, że ogólnie rzecz biorąc rozróżniamy trzy klasy zagadnień: f równanie typu rozpadu, gdzie 0, u f wymagany warunek stabilności t lub inaczej u n t f f równanie typu wzrostu, gdzie 0 u w tym przypadku mamy do czynienia z brakiem stabilności, równanie typu oscylacyjnego, w której zmienna zależna u jest zespolona, odpowiada to parze równań sprzężonych, dla których f / u jest urojone, wówczas warunek stabilności: gdzie: częstotliwość oscylacji. u n g =1 i t (.43) Metoda skokowa Jest ona jedną z popularnych metod centrowania w czasie funkcji podcałkowej, pozwalająca uzyskać dokładność drugiego rzędu (Rys..11): w punkcie n+1 w punkcie n+ n n u,t Δt n u 1 n 1 u f (.44) u u f n1 n 1 u,t Δt n n (.45) Sposób obliczeń można kontynuować dla u n+3 itd. Dokładność tej metody bardzo silnie zależy jednak od dokładności z jaką znamy u 1 (w odróżnieniu od u 0 w pierwszej metodzie).

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 63 f f n f n+1 t n-1 t n t n+1 t n+ t Stabilność tej metody może być określona poprzez współczynnik wzmocnienia: Rys..11. Aproksymacja funkcji podcałkowej dokładność drugiego rzędu (Dahlquist i Bjorck, 1983) f gdzie: α Δt. u n g α α 1 (.46) Współczynnik ten ma dwa pierwiastki (rzeczywisty i urojony). Wynika stąd, że metoda ta nie nadaje się raczej do równań typu wzrostu lub rozpadu. Z powodzeniem jednak stosuje się ją w odniesieniu do typu oscylacyjnego. Jawna metoda dwustopniowa (ulepszona metoda Eulera) Jest to szeroko stosowana procedura wycentrowania w czasie rozpatrywanej wcześniej całki (.39). Jako wstępny etap wykorzystuje się tu zwyczajną metodę Eulera (obliczenia pomocnicze) w celu wyznaczenia zmiennej zależnej u dla czasu pośredniego t n+½ (Rys..1): wzór pomocniczy: wzór główny: u Δ n 1 t n n n u f u,t (.47) n 1 n 1 n 1 n u u f u,t Δt (.48) Wartości u n+½ traktowane są jako pomocnicze i nie zachowuje się ich powyżej poziomu czasowego t n+1.

64 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód f f n f n+½ t n t n+½ t n+1 t Rys..1. Aproksymacja funkcji podcałkowej jawna metoda dwustopniowa (Dahlquist i Bjorck, 1983) f Wymagany warunek stabilności: t u n lub inaczej t f u n Metoda niejawna drugiego rzędu W przedstawionych powyżej metodach rozwiązanie na zmienną zależną otrzymuje się w postaci jawnej, przy czym warunek stabilności musi być zawsze spełniony. Dla prostych równań różniczkowych zwyczajnych opłaca się często stosować metodę niejawną (Rys..13), w której rozpatrywaną całkę wyznacza się z dokładnością drugiego rzędu, wprowadzając średnią w czasie wartości funkcji podcałkowej f pomiędzy poziomami czasu t n i t n+1 : u u n n n1 n1 f u,t f u,t Δ n1 n t współczynnik wzmocnienia tej metody można opisać wzorem: (.49) f t 1 u n g f t 1 u n 1 (.50)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 65 f f n f n+1 t n t n+1 t Rys..13. Aproksymacja funkcji podcałkowej metoda niejawna drugiego rzędu (Dahlquist i Bjorck, 1983) Dla równań typu rozpadu, gdzie f / u > 0, współczynnik wzmocnienia jest zawsze mniejszy od jedności. Dla równań oscylacyjnych wartość bezwzględna tego współczynnika jest równa jedności. Dla obu typów równań metoda ta jest bezwzględnie stabilna...6 Równania różniczkowe dla ośrodków ciągłych Rachunek operatorowy Analiza przepływu polega na opisywaniu językiem matematycznym pól skalarnych, wektorowych i tensorowych. Wygodnie przy tym posługiwać się następującymi pojęciami opisanymi poniżej. Skalar: wielkość bezkierunkowa, określana wyłącznie przez swoją wartość. W przypadku gdy pole opisywane jest przez jednakowe skalary wówczas mówimy o polu jednorodnym, w przeciwnym wypadku niejednorodnym (np. pole ciśnień). Wektor: w przestrzeni euklidesowej wektor stanowi uporządkowaną trójkę liczb (W 1, W, W 3 ), zwanych składowymi wektora. Zależą one od przyjętego układu współrzędnych czyli od bazy, określonej trójką wersorów: x ei ( i 1,,3) xi (.51) gdzie: x wektor promień, x i oś współrzędnych. Jeżeli baza jest ortogonalna, to dowolny wektor W można przedstawić za pomocą jego składowych (Huebner, 001): W ew 1 1 ew e3w 3 ew i i lub skrótowo 3 i1 W ew i (.5)

66 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Operator: operator różniczkowy nabla, jest to operator różniczkowania przestrzennego: ei x i (.53) Gradient: niech będzie dane jednorodne pole skalarne S (x). Można je przedstawić za pomocą zbioru powierzchni izoskalarnych, tzn. takich, na których skalary mają jednakową wartość c: S (x) = c = const. Aby scharakteryzować jednorodność pola pomnóżmy operator nabla przez S, otrzymamy wektor: W układzie kartezjańskim mamy: S grad S i x S grad S S S S j k ei y z x i (.54) (.55) Gradient skalara w dowolnym punkcie pola jest wektorem prostopadłym do powierzchni izoskalarnej, przechodzącej przez ten punkt. Jest również wektorem wskazującym kierunek, w którym poruszając się dotrzemy po najkrótszej drodze do sąsiedniej powierzchni izoskalarnej o większej wartości skalara (Mitosek, 001). Potencjał: o ile każdemu polu skalarnemu można przyporządkować odpowiednie wektorowe pole gradientu, o tyle operacja odwrotna nie zawsze jest możliwa. Tylko niektóre pola wektorowe mają określające je pola skalarne, są to tzw. pola potencjalne. Jeżeli polu wektorowemu W = e i W i (x) można przyporządkować pole skalara S (x) takie, że W = grad S to mówimy, że pole wektorowe jest potencjalne, a funkcję miejsca S (x) nazywamy potencjałem pola. Dla układu kartezjańskiego (ortogonalnego): S S W x W y S W x y z,, z (.56) Rotacja: pole wektorowe jest wtedy potencjalne, kiedy jego wirowość jest równa zeru (pole bezwirowe). Wirowość można opisać za pomocą tzw. rotacji: gdzie: mnożenie wektorowe: rot W W (.57) W i x W x j y W y k z W z (.58)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 67 stąd, po rozwinięciu wyznacznika i równania definicyjnego otrzymamy: W W z y ( rotw ) x y z Wx Wz Wk ( rotw ) y ( rotw ) i i, j, k z x x j W y Wx ( rotw ) z x y (.59) Dywergencja: inaczej nazywana rozbieżnością wektora W. Określa ona występowanie lub brak źródła w obrębie rozpatrywanego pola. Jest to skalarny iloczyn operatora nabla przez wektor pola W. Wx div W x W div W (.60) W y y Wz z W x i i (.61) Pole wektorowe, którego dywergencja równa się zeru nazywa się polem bezźródłowym lub solenoidalnym (Mitosek, 001)..3 Zasady zachowania w zastosowaniu do ośrodków ciągłych W opisie ośrodków ciągłych często wykorzystuje się tzw. równania zachowawcze. Bazują one na zasadach takich jak: zasada zachowania masy, zasada zachowania energii, zasada zachowania pędu i inne. Przy opisie transportu cząstek, pędu lub energii wykorzystuje się także równanie dyfuzji. W szczególnym przypadku pojawia się ono przy opisie rozkładu temperatur w ciele stałym, w którym klasycznie transport ciepła odbywa się dzięki przewodnictwu. Powołując się na zasadę zachowania energii, która musi być spełniona, kiedy rozważamy energię w skończonej objętości V ciała o powierzchni S, szybkość zmian energii w objętości V musi być równa strumieniowi energii q przepływającemu przez powierzchnię S: ( (x, t) gęstość energii w ciele, zmienna czasowa) (Puzyrewski i Sawicki, 1998). Zatem: energia w objętości: V ( x, t) d (.6)

68 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód strumień przez powierzchnię: Q qds S możemy zatem zapisać jak w poniższym równaniu: t ( x, t) d S qds (.63) (.64) Stosując twierdzenie o dywergencji (bezźródłowości) do drugiego członu i przy stałej objętości V otrzymujemy: V q d 0 t (.65) Ponieważ gęstość energii jest proporcjonalna do gradientu temperatury T, wprowadzając jako współczynnik proporcjonalności współczynnik przewodzenia, otrzymujemy równanie dyfuzji (Sawicki, 003): T k T 0 t (.66) W przypadku równań opisujących dynamikę cieczy korzystamy z klasycznych zasad zachowania masy, pędu i energii. Określając zmienną (x, t) jako gęstość cieczy odwołujemy się do pierwszej z tych zasad, by stwierdzić, że szybkość zmian masy w objętości V musi być równa strumieniowi masy przecinającemu jej powierzchnię S: t V d S VdS (.67) Następnie korzystając z twierdzenia o dywergencji, otrzymujemy równanie różniczkowe na zachowanie masy: V 0 t (.68) Podobnie żądając zachowania pędu otrzymamy równanie ruchu cieczy. Rozważmy teraz zachowanie pędu danego ciała w kierunku X. Całkowity pęd w jego objętości wyniesie: P V v x d (.69)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 69 Składowa X pędu cieczy w objętości V rośnie w czasie dzięki konwekcji pędu i jego działania w kierunku X: e x wektor jednostkowy w kierunku X: Px vx pe S (.70) Porównując oba równania i stosując twierdzenie o dywergencji, otrzymuje się równanie ruchu cieczy w kierunku x: ρv ρvx v pex 0 t (.71) W podobny sposób można otrzymać równania dla składowych y i z (Puzyrewski i Sawicki, 1998)..3.1 Zjawiska fizyczne i związek dyspersyjny Równania różniczkowe cząstkowe wiążą punkty w przestrzeni i czasie. Proste własności liniowe tych równań lub ich układów można opisać poprzez zachowanie się fali w przestrzeni i czasie. Mając daną zmienna zależną u (x, t), która spełnia równanie różniczkowe cząstkowe można rozważyć wynik działania operatora różniczkowego na pojedyncza falę w przestrzeni i czasie (Dahlquist i Bjorck, 1983): u( x, t) ue x i( tkx) ds (.7) gdzie: częstość fali, k liczba falowa związana z długością, k = /. Po podstawieniu równania.71 do rozważanego równania różniczkowego cząstkowego otrzymuje się związek dyspersyjny. = (k) (.73) Związek dyspersyjny opisuje relację między częstotliwością (czyli inaczej charakterystyczną skalą czasową) a odpowiednią długością fali dla zjawiska opisywanego przez równanie różniczkowe cząstkowe. Częstość może być rzeczywista, gdy opisywane są oscylacje lub zjawiska falowe, lub urojona, gdy dotyczy to równań typów wzrostu lub zaniku..3. Fale i równanie falowe Rozważmy przypadek szczególny, fali na napiętej strunie (Rys..14), gdzie przemieszczenie (x, t) struny opisane jest przez równanie falowe: t V s x 0 (.74)

70 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód =(x) x Rys..14. Przemieszczenie falowe struny (Dahlquist i Bjorck, 1983) Parametr V s określony jest w tym przypadku przez napięcie T struny i masę m na jednostkę długości struny: V s T m (.75) Podstawiając L jako długość charakterystyczną struny można zdefiniować czas w jakim biegnąca fala przebędzie odległość L: lub stosując wcześniej wykazany związek: ξ L V s iωtkx x,t ξe co po podstawieniu do równania falowego daje: k V s 0 (.76) (.77) (.78).3.3 Równanie adwekcji Równanie adwekcji związane jest z równaniem falowym i służy do opisu sytuacji, w której własności cieczy ulegają unoszeniu (adwekcji lub konwekcji) przez ciecz. Zasadę zachowania masy cieczy można zapisać następująco (Sawicki, 003): dρ ρ v 0 dt (.79) gdzie: d / dt = / t + v jest tzw. pochodną substancjalną, którą można rozważać lokalnie w elemencie cieczy. W przypadku cieczy nieściśliwej równanie zachowania masy przyjmuje postać równania adwekcji: dρ ρ v ρ 0 dt t (.80) Wykorzystując wcześniej opisane równanie falowe można wyznaczyć czas charakterystyczny przemieszczania się środka masy:

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 71 v k k (.81).3.4 Równanie dyfuzji Dla jednego wymiaru i w najprostszym przypadku równanie dyfuzji przyjmuje postać (Maciejewski, 1998): u u κ t x x 0 (.8) gdzie: współczynnik dyfuzji. Wykorzystując wcześniej opisany związek falowy oraz zakładając stały współczynnik dyfuzji można napisać: iω κ k 0; iκ k (.83) Częstość jest teraz wielkością urojoną, a zatem zanikającą w czasie. Skala czasowa tego zaniku może być opisana wzorem: τ π π λ κ k κπ (.84).3.5 Klasyfikacja równań różniczkowych We wcześniejszej części pracy (rozdział 1) podano trzy główne procesy zachodzące w ośrodkach ciągłych: dyspersja, adwekcja, dyfuzja. Każdy z tych procesów związany jest z klasą typowych, powtarzających się równań różniczkowych cząstkowych. Wszystkie one stanowią przykład dwuwymiarowego (x, t) równania drugiego rzędu: a b c d e f g 0 x xy y x y (.85) gdzie: a, b, c, d, e, f, g mogą być stałymi, funkcjami zmiennych niezależnych x i y ewentualnie zmiennej zależnej (wówczas równanie staje się nieliniowym). Formalnie równania różniczkowe możemy klasyfikować następująco: hiperboliczne: gdy b 4 a c > 0, paraboliczne: gdy b 4 a c = 0, eliptyczne: gdy b 4 a c < 0.

7 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Równania eliptyczne pojawiają się często w zagadnieniach brzegowych (równanie Laplace a i Poisson a). Powstają one przy rozważaniu zagadnień rozwiązań statycznych, albo w układach, w których założono natychmiastowe przenoszenie się informacji..4 Równanie dyfuzji i adwekcji na siatce różnicowej Przypomnijmy podane wcześniej równanie dyfuzji: u u u u κ 0 κ 0 t x x lub zapisując inaczej t x (.86) Najprostszym sposobem rozwiązania równania dyfuzji w czasie jest użycie metody jawnej pierwszego rzędu, analogicznej do metody Eulera dla równań różniczkowych zupełnych. Podobnie jak poprzednio, dla czasu t = 0 warunki początkowe określają zmienną zależną u na siatce przestrzennej x j. Podejmujemy próbę scałkowania przedstawionego powyżej równania dyfuzji, z krokiem czasowym t (Rys..15). Operator przestrzenny /x jest określony różnicowo jak w rozdziale..3: stąd: f,, j1 f j f j1 x f j (.87) Wielkość zmiennej zależnej w kroku n+1 można zapisać jak poprzednio: u u n 1 j u( t n1, x kt n n ( u 1 1) j u j u j n1 n n j u j j ) (.88) (.89) t n+1 t u j n+1 n j -1 j j + 1 x Rys..15. Całkowanie równania dyfuzji w metodzie jawnej pierwszego rzędu (Huebner, 001)

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 73 Aby spełnione było kryterium stabilności musi być w tym przypadku spełnio- 1 ny warunek: t k. Podobnie można postępować z równaniem adwekcji, wprowadzonym wcześniej w rozdziale.3.3, w postaci: u u v 0 t x (.90) Definiując pochodną przestrzenną jak w rozdziale..3: f, j1 f j1 n 1 n 1 x f j oraz wykorzystując zapis u j u( t, x j ) uzyskujemy wzór całkowania z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu względem t (jak w metodzie Eulera) (Rys..16): vt n1 n n n u j u j u j u j1 (.91) t n+1 u j n+1 t n vt u n j 1 u j n vt j -1 j j + 1 n u j 1 x Rys..16. Całkowanie równania adwekcji w metodzie jawnej pierwszego rzędu (Huebner, 001) Niestety schemat ten (Rys..16), choć narzucający się, jest niestabilny wewnętrznie. Współczynnik wzmocnienia jest tu zawsze większy od jedności. Konieczna jest zatem modyfikacja schematu poprzez wykorzystanie równania średniej arytmetycznej w przestrzeni: u n1 1 n n vt n n j ( u j1 u j1 ) u j u j 1 Uzyskujemy przez to schemat przedstawiony na Rys..17. (.9)

74 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód t n+1 o e o e krok n e o e o x Rys..17. Modyfikacja schematu całkowania równania adwekcji w metodzie jawnej pierwszego rzędu (Huebner, 001) w którym posiadamy dwie naprzemienne, niesprzężone, siatki (adwekcja na siatce e zachodzi niezależnie od adwekcji na siatce o). Warunek stabilności wymaga spełnienia równania t. v.5 Zasady zachowania na siatce różnicowej Rozpatrzmy obszar przestrzeni R, dwuwymiarowej, prostokątnej, ograniczonej przez brzeg B. Obszar ten dzielimy na zbiór elementarnych prostokątnych komórek, każda o objętości Rys..18: N W C E S Rys..18. Siatka różnicowa (Zienkiewicz, 197) Uzyskaliśmy I J prostokątnych komórek. Rozpatrywany już wcześniej układ zachowawczy równań różniczkowych cząstkowych: u f t 0 (.93) można scałkować po każdej komórce czasowo-przestrzennej (o objętości t), pomiędzy przestrzenno-podobnymi powierzchniami t n i t n+1. Przykładowo całkując po objętości komórki C o powierzchni A otrzymujemy:

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 75 n1 n1 t t C n t u dt n1 C dτ u dτ t C n dt n t u dτ C n1 t f dτ dt n t A f ds (.94) (.95) Lewa strona została scałkowana po czasie, zaś do prawej strony zastosowano twierdzenie o dywergencji tak, że całka po objętości została zamieniona na całkę powierzchniową po powierzchni A komórki C. Teraz, zamiast definiować zmienne intensywne, opisujące np. gęstość czy gęstość pędu, zdefiniujmy na siatce odpowiadające im wielkości całkowitej masy lub całkowitego pędu, dla każdej komórki: n τ ui, j C u n dτ (.96) Ponadto strumienie f ds. zdefiniowane są jedynie na powierzchni. Dla każdej komórki i, j, istnieją cztery strumienie związane z czterema otaczającymi ją komórkami ( = E, S, N, W Rys..18): stąd: F,, i j f ds A (.97) u n1 i, j u n i, j n1 t n t 1 dt t F, i, j (.98)

76 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 3 Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń za pomocą programu FEFLOW 3.1 Opis programu Program FEFLOW firmy WASY Institute for Water Resources Planning and Systems Research Ltd. FEFLOW (Finite Element subsurface FLOW systems) jest interaktywnym, opartym o graficzny interfejs, narzędziem modelowania. Pozwala prowadzić symulacje ruchu wody gruntowej w trójwymiarowych lub dwuwymiarowych układach, zarówno w strefie aeracji, jak i saturacji, z uwzględnieniem anizotropowości ośrodka gruntowego. Ponadto FEFLOW umożliwia numeryczną symulację transportu zanieczyszczeń oraz ciepła w ośrodkach porowatych. FEFLOW oparty jest o metodę elementów skończonych. Program został napisany w języku ANSI C/C++ i jest przystosowany do pracy w środowisku Windows oraz Linux. Program FEFLOW został wielokrotnie pozytywnie zweryfikowany w zróżnicowanych zastosowaniach naukowo-inżynierskich (np. Diersch i Kolditz, 00; Zhao i in., 005; Mazzia i Putti, 006; Trefry i Muffels, 007; Widomski, 007; Widomski i in., 010). Znane zastosowania modelu FEFLOW obejmują: studia nad przemieszczaniem się zanieczyszczeń antropogenicznych pochodzących ze źródeł punktowych lub powierzchniowych, opracowanie strategii remediacji i dekontaminacji obszarów skażonych, studia nad zmianami zasobów wodnych w rejonach górniczych, modelowanie sposobów odwadniania kopalni, projektowanie ujęć wody podziemnej oraz powierzchniowej i infiltracyjnej, projektowanie elektrowni wykorzystujących wody geotermalne, analizę procesu infiltracji i eksfiltracji do i z przewodów podziemnych, obliczenia przesiąkania przez zapory i wały przeciwpowodziowe, modelowanie procesów podsiąku kapilarnego i infiltracji w kolumnach glebowych, szacowanie dostępnych zasobów wód gruntowych, ocenę i zarządzanie strategiami gospodarki wodnej, projektowanie stref bezpieczeństwa wokół obiektów wodociągowych objętych ochroną bezpośrednią i pośrednią, tworzenie raportów oddziaływania inwestycji na środowisko naturalne. Poniższy rysunek (Rys. 3.1) przedstawia interfejs programu FEFLOW 5.4 w wersji demonstracyjnej.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 77 Rys. 3.1. Interfejs programu obliczeniowego FEFLOW Podstawowe zalety modelu FEFLOW to: potwierdzona wysoka jakość obliczeń, szerokie możliwości zastosowania: o uwzględnianie nienasyconych, częściowo nasyconych i nasyconych warunków ośrodka, o modelowanie przepływu wody oraz transportu ciepła i zanieczyszczeń w ośrodku porowatym, o uwzględnienie zmienności gęstości faz ośrodka w modelowaniu, o modelowanie zjawiska sorpcji, o uwzględnianie przypadkowych procesów reakcji. Program umożliwia (Diersch, 005a): import i eksport parametrów modelowych i map z i do plików ASCI, GIS, CAD i TIF, całkowitą lub częściową automatyzację generowania siatki elementów skończonych z możliwością manualnej korekty położenia węzłów oraz sprawdzaniem poprawności siatki, wbudowaną regionalizację wszystkich parametrów,

78 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód zastosowanie zaawansowanych algorytmów symulacyjnych w obliczeniach złożonych, wieloparametrowych procesów, analizę i wizualizację rezultatów obliczeń, śledzenie poruszającego się elementu płynu, wykorzystanie izopowierzchni w modelowaniu, stosowanie otwartego środowiska programowania, prowadzenie obliczeń symulacyjnych w warunkach ustalonych i nieustalonych, stosowanie różnych metod ustalania kroku czasowego: stałego kroku, zmiennej, predefiniowanej długości kroku oraz w pełni zautomatyzowanej procedury ustalania długości kroku czasowego opartej o schematy przewidywania i poprawy oraz agresywnej korekty długości kroku, stosowanie zróżnicowanych metod modelowania swobodnej powierzchni cieczy: ruchomej siatki elementów skończonych, liniowej relacji saturacja przewodność hydrauliczna oraz modelowania dla warunków nienasyconych z zastosowaniem równania Richardsa, automatyczną kalibrację opartą na programie PEST, wykorzystanie zróżnicowanych solverów opartych o technikę iteracyjną Newtona i Picarda, szybkie i bezpośrednie iteracje PCG and Restarted-OR- THOMIN oraz alternatywny solver algebraiczny SAMG, obliczenia transportu dowolniej ilości zanieczyszczeń chemicznych, rozpuszczonych bądź zaabsorbowanych, oparte o liniową bądź nieliniową postać równania dyspersji, w tym równoczesne modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń oraz ciepła, wykorzystanie reakcji pierwszego rzędu oraz reakcji Michaelisa-Menten, wybór modelu sorpcji: Henry ego, Freundlicha oraz Langmuira, własną definicję stopnia i prędkości reakcji, symulację transportu substancji radioaktywnych o określonym czasie rozpadu. Opis matematyczny ruchu wody w ośrodku porowatym zastosowany w modelu FEFLOW oparty jest na prawie Darcy oraz różnych postaciach równania Richardsa, w tym z członem źródłowym. Wymienione wyżej równania są rozwiązywane w oparciu o dokonaną parametryzację ośrodka, wprowadzone dane początkowe oraz określone warunki brzegowe. Parametryzacja ośrodka porowatego może być przeprowadzana w oparciu o następujące modele: van Genuchtena, Brooksa Coreya, Haverkampa oraz model wykładniczy i liniowy (Diersch, 005, 005a). Możliwe jest uwzględnienie w obliczeniach numerycznych występowania zjawiska histerezy kapilarnej.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 79 Program FEFLOW, jako oparty na metodzie elementów skończonych, wymaga od użytkownika pracy w trzech etapach wykorzystujących (Diersch, 005a): preprocesor umożliwiający określenie geometrii ośrodka, utworzenia siatki elementów skończonych, edycję rozpatrywanego zagadnienia (wybór klasy problemu, metody rozwiązania, czasu trwania oraz kroku czasowego symulacji itp.), określenie właściwości hydraulicznych ośrodka, parametrów zanieczyszczeń oraz zdefiniowanie warunków początkowych i brzegowych (Rys. 3.), Rys. 3.. Menu główne preprocesora Rys. 3.3. Menu procesora obliczeniowego programu FEFLOW

80 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód procesor umożliwiający przeprowadzenie właściwych obliczeń dynamiki uwilgotnienia i ruchu wody oraz transportu zanieczyszczeń w rozpatrywanym profilu w oparciu o określone w preprocesorze warunki początkowe i brzegowe Rys. 3.3, postprocesor (Rys. 3.4) służący do graficznej bądź tabelarycznej wizualizacji wyników przeprowadzonych w procesorze obliczeń, możliwy jest także eksport rezultatów obliczeń do innych programów w jednym z kilku dostępnych formatów. Rys. 3.4. Postprocesor modelu FEFLOW Dane niezbędne do przeprowadzenia obliczeń w metodzie elementów skończonych na utworzonej wcześniej siatce opisującej rozpatrywany profil gruntowy to (np. Diersh, 005a; Widomski, 007): parametry fizyczno-hydrauliczne ośrodka gruntowego: porowatość, przewodnictwo hydrauliczne w stanie nasyconym, współczynnik anizotropii, pojemność warstwy wodonośnej itp. oraz wartości saturacji i współczynniki empiryczne niezbędne do wybranego modelu przewodnictwa hydraulicznego w warunkach nienasyconych,

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 81 wartości początkowe do obliczeń dynamiki uwilgotnienia oraz przepływu wody w gruncie program umożliwia wybór pomiędzy saturacją, wysokością ciśnienia oraz zawartością wilgoci. Wartości początkowe oraz parametry określające zdolności hydrauliczne są wprowadzane na kilka różnych sposobów: w poszczególnych węzłach, wybranych elementach siatki pomiędzy węzłami, poprzez wskazanie większego prostokątnego obszaru, zwanego popularnie oknem oraz import danych z zewnętrznej bazy danych w formatach ESRI, dbase lub ASCII. Wprowadzenie warunków brzegowych do programu polega na wyborze jednego z czterech dostępnych rodzajów warunków, zdefiniowaniu ich wartości liczbowej oraz przypisaniu do elementu siatki. Dostępne w modelu FEFLOW rodzaje warunków brzegowych dla przepływu wody w ośrodku porowatym to (Diersch, 005, 005a): Warunek pierwszego rodzaju (Dirichleta) określa wysokość potencjału wody w danym węźle siatki elementów skończonych. Warunek drugiego rodzaju (Neumana) określający dopływ lub odpływ wody do układu w danym węźle siatki elementów skończonych. Warunek trzeciego rodzaju (Couchy ego) definiujący referencyjną wysokość ciśnienia hydraulicznego obszaru znajdującego się poza rozpatrywanym ośrodkiem. W odróżnieniu od pierwszego przypadku może tu nastąpić dopływ lub odpływ z rozpatrywanego ośrodka, zależnie od obliczonych w czasie wartości wysokości ciśnienia w rozpatrywanym ośrodku. Warunek czwartego rodzaju, opisuje zarówno wprowadzanie jak i wyprowadzanie wody z ośrodka poprzez pojedynczą studnię. Przedstawione powyżej warunki brzegowe mogą mieć stałą wartość w całym okresie symulacji, lub też mogą zmieniać swoją wartość w czasie trwania symulacji. Przedstawione warunki brzegowe zostaną szczegółowo omówione w dalszej części opracowania. Wyniki obliczeń symulacji ruchu wody w gruncie wykonane za pomocą procesora modelu mogą być przedstawiane na wiele różnych sposobów. Program umożliwia wizualizację za pomocą izolinii wybranych parametrów (ciśnienie, wysokość ciśnienia, prędkość przepływu, saturacja itp.) z naniesionym polem wektorów przepływu, oraz wykresów zmian wybranych parametrów w funkcji czasu w kartezjańskim układzie współrzędnych. Więcej informacji dotyczących programu FEFLOW, wprowadzania warunków początkowych, brzegowych, prowadzenia obliczeń oraz wizualizacji wyników zawarto w dokumentacji oprogramowania.

8 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 3. Preprocesor programu FEFLOW Preprocesor programu ma za zadanie umożliwić użytkowi zbudowanie modelu numerycznego, gotowego do przeprowadzenia obliczeń symulacyjnych. W tym celu tworzymy obszar obliczeniowy, dokonujemy dyskretyzacji obszaru za pomocą punktów węzłowych i siatki elementów skończonych, zakładamy układ współrzędnych, określamy parametry symulacji (czas trwania, krok symulacji, kryterium zbieżności itp.) oraz przypisujemy elementom modelu charakterystyki transportowo -wodne, jak i warunki początkowe oraz brzegowe. 3..1 Budowa siatki elementów skończonych Pierwszym krokiem w obliczeniach symulacyjnych jest budowa siatki elementów skończonych dyskretyzującej obszar obliczeniowy. Może być ona realizowana od podstaw w obszarze modelu lub też może być wspomagana importem cyfrowych plików zawierających mapy. Wczytywanie map przygotowanych np. w formacie TIFF lub DXF odbywa się poprzez wybór polecenia Add Map z menu File Rys. 3.5. Rys. 3.5. Wczytywanie map z plików zewnętrznych Za pomocą standardowego okna wyboru plików (Rys. 3.6) wczytujemy wybraną mapę, pamiętając aby rozwinąć listę wyboru rodzajów rozszerzeń plików.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 83 Rys. 3.6. Wybór lokalizacji oraz typu pliku mapy zewnętrznej Po wyborze pliku pojawi się okno skalowania mapy umożliwiające określenie skali mapy oraz lokalizacji początku układu współrzędnych (Rys. 3.7). Rys. 3.7. Wstawianie mapy do obszaru modelu

84 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Po zatwierdzeniu skali obiektu (identycznie jak w programie AutoCAD) przyciskiem OK, mapa zostanie wczytana. W przestawionym na Rys. 3.8 przypadku wczytano schemat kolumny glebowej o wymiarach 1,0 m na 0,30 m. Rys. 3.8. Wczytana mapa w formacie DXF Zarządzanie mapami wczytywanie, włączanie, wyłączanie oraz usuwanie realizowane jest poprzez Map menagera (Rys. 3.9).

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 85 Rys. 3.9. Lokalizacja Map managera w menu File Po wyborze Map managera z listy poleceń w menu File na ekranie monitora ukaże się następujące okno Rys. 3.10: Zarządzanie mapami Lista wczytanych map Rys. 3.10. Zarządzanie mapami Map manager Budowa siatki elementów skończonych realizowana jest poprzez zbiór poleceń zawartych w zakładce menu Edit Design superelement mesh. Po wyborze powyższego polecenia zostanie otwarte pokazane na Rys. 3.11 okno edytora siatki Mesh editor.

86 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.11. Menu edytora siatki (Mesh editor) Proces edycji nowej siatki elementów skończonych rozpoczynamy wybierając polecenie New mesh editor (Rys. 3.11), w wyniku czego pojawia się okno prezentowane na kolejnym rysunku (Rys. 3.1). Rys. 3.1. Rozpoczęcie tworzenia siatki elementów skończonych

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 87 Następnie należy za pomocą polecenia Add polygons utworzyć główne, narożne punkty węzłowe przyszłej siatki elementów skończonych. Sieć poligonowa musi zostać zamknięta tzn. tworzyć figurę geometryczną o zróżnicowanym kształcie, ale zamkniętym obwodzie. W tym celu należy kliknąć kursorem na punkt początkowy naszej siatki. Ułatwienia w nawiązywaniu punktów siatki do punktów charakterystycznych wczytanej mapy można włączyć poprzez zaznaczenie opcji Map: Active, a następnie wciśnięcie przycisku Snap Rys. 3.13. Rys. 3.13. Aktywacja mapy w odniesieniu do przechwytywania punktów charakterystycznych Oktreślenie dokładności odnajdowania punktów charakterystycznych odbywa się za pomocą Feflow Snap Distancer. W oknie Snap distance by (Rys. 3.14) podajemy wartość dokładności w pikselach. Rys. 3.14. Ustalanie dokładności lokalizacji punktów charakterystycznych mapy Odnajdowanie punktów charakterystycznych w czasie rysowania siatki umożliwia wybór, pokazanego na rysunku poniżej (Rys. 3.15), polecenia Snap Point. Rysunek oznaczony jako Rys. 3.16 przedstawia gotowy obszar obliczeniowy przed przystąpieniem do generacji siatki elementów skończonych. Siatka z czterema punktami narożnymi przedstawia wczytaną wcześniej dwuwymiarową, prostokątną w przekroju kolumnę glebową o wymiarach 1,0 x 0,3 m.

88 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.15. Wstawianie poligonów granic obszaru obliczeniowego Rys. 3.16. Utworzony obszar obliczeniowy W celu zakończenia edycji siatki podstawowej wybieramy polecenie Stop editing. Wprowadzanie dalszych zmian w wykonanej już siatce głównej jest możliwe z poziomu Mesh editora po wyborze następujących poleceń: Continue mesh design kontynuacja projektowania siatki. Correct superelements poprawa położenia głównych węzłów siatki. Add-in lines/points dodawanie linii i punktów na istniejącej już siatce. Copy superelements kopiowanie węzłów głównych siatki. Erase superelements usuwanie punktów z siatki głównej.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 89 Zadanie Wykonać następujące obszary obliczeniowe (wg przykładu widocznego na poniższym rysunku: Trzy kolumny glebowe jednorodną, dwu i trzywarstwową Rys. 3.17. Trzy profile gruntowe dwu, trzy i czterowarstwowy Rys. 3.18. Rys. 3.17. Zadane obszary obliczeniowe kolumny glebowe Rys. 3.18. Zadane obszary obliczeniowe profile gruntowe Generowanie siatki elementów skończonych, po wyznaczeniu obszaru obliczeniowego, rozpoczynamy wybierając polecenie Start mesh generator Rys. 3.19.

90 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.19. Menu generatora siatki elementów skończonych Mesh generator umożliwia edycję siatki na jeden z trzech wybranych sposobów: generacja w pełni automatyczna (Generate automatically), generacja powierzchniowa (Generate aerally) oraz generacja stopniowa (Generate gradually). Generator siatki udostępnia także dostęp do opcji generacji poprzez polecenie Generator options (Rys. 3.0). Rys. 3.0. Opcje generatora siatki

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 91 Dostępne poprzez Generator options opcje to: sposób budowy siatki elementów skończonych, liczba iteracji wykonywanych podczas wyrównywania siatki, sposób wyznaczania położenia węzłów i odcinków w przypadku siatki trójkątnej (możliwość wyboru triangulacji) oraz automatyczna zmiana widoku siatki podczas budowy siatki metodami powierzchniową i stopniową. Budowa siatki elementów skończonych za pomocą metody automatycznej polega, po wybraniu polecenia Generate automatically, na podaniu liczby oczekiwanych elementów, na którą ma zostać podzielony nasz obszar obliczeniowy Rys. 3.1. Rys. 3.1. Generowanie automatyczne siatki zadawanie gęstości siatki Po zatwierdzeniu podanej liczby elementów i wydaniu polecenia Start program automatycznie utworzy siatkę elementów skończonych o zadanej liczbie elementów. Poniżej przedstawiono przykład siatki elementów skończonych w liczebności elementów wynoszącej 500 wygenerowanej automatycznie dla znanego już obszaru obliczeniowego kolumny glebowej 1,0 x 0,3 m Rys. 3.. Kolejnym ze sposobów budowy siatki jest generowanie powierzchniowe uruchamiane poprzez wybór polecenia Generate arreally. Po wywołaniu polecenia na ekranie pojawi się pokazane na rysunku 3.3 okno, w którym zostanie nam udostępnione zestawienie dostępnych obszarów siatki głównej oraz sugerowana liczba elementów skończonych.

9 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.. Siatka wygenerowania automatycznie Rys. 3.3. Generator powierzchniowy siatki elementów skończonych

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 93 Przedstawione powyżej narzędzie jest niezwykle przydatne w przypadku, gdy zaplanowaliśmy podzielić obszar obliczeniowy (np. ze względu na zmienną budowę profilu gruntowego) na kilka, kilkanaście czy też kilkadziesiąt części, a dla każdej z tych części planujemy zastosowanie innej gęstości siatki. Trzeci z zaimplantowanych sposobów budowy siatki elementów skończonych, generowanie odcinkowe (Generate gradually), opiera się na podaniu dokładnej liczby węzłów jaka ma znajdować się na każdym z odcinków poligonu, za pomocą którego ograniczyliśmy obszar obliczeniowy. Przykład zastosowania powyższej metody przedstawiono na obszarze jednorodnej kolumny glebowej o wymiarach 1,0 x 0,3 m. Rys. 3.4. Generowanie odcinkowe siatki elementów skończonych Strzałka widoczna na rysunku nr 3.4 oznacza aktualnie wybrany element ograniczający obszar roboczy, natomiast liczba 5 widoczna w oknie Keyboard request oznacza liczbę węzłów na danym odcinku. Po zakończeniu budowy siatki elementów skończonych z wykorzystaniem jednej z trzech przedstawionych wcześniej metod, możliwa jej jest dalsza, szczegółowa edycja. Polecenia wykorzystywane w edycji siatki elementów skończonych zebrane są w menu Mesh Geometry Editor (Rys. 3.5).

94 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.5. Menu Mesh Geometry Editor Menu Mesh Geometry Editor zawiera następujące polecenia: Mesh Enrichment polecenie, za pomocą którego możemy zwiększyć (refine) lub zmniejszyć (derefine) gęstość siatki w elemencie wskazanym kursorem myszy i klikniętym LPM. Delete elements umożliwia usuwanie elementów skończonych ze schematu obliczeniowego, poprzez wskazanie ich kursorem myszy i LPM. Transform mesh polecenie umożliwiające dokonywanie przekształceń gotowej siatki obrót (rotate), wygładzanie (smoothing) oraz geotransformację. Move node przemieszczanie wybranego węzła siatki elementów skończonych. Check properties zbiór poleceń umożliwiających sprawdzenie właściwości oraz poprawności zaprojektowanej siatki elementów skończonych (Rys. 3.6).

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 95 Rys. 3.6. Sprawdzanie właściwości siatki elementów skończonych Mesh property checker umożliwia sprawdzenie ilości trójkątów rozwartych w siatce, zliczenie liczby otworów w siatce, wskazanie trójkątów naruszających regułę Delaunay a oraz pomiar całkowitego pola powierzchni i objętości elementów siatki. Zadanie Dla utworzonych obszarów obliczeniowych wygenerować następujące siatki elementów skończonych: Kolumna jednorodna o wymiarach 1,0 x 0,3 m: 300 elementów generowanie automatyczne (Rys. 3.7). Rys. 3.7. Zadana siatka elementów skończonych jednorodna kolumna glebowa, siatka generowana automatycznie

96 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Kolumna dwuwarstwowa o wymiarach 1,0 x 0,3 m: 00 elementów w górnej warstwie i 00 elementów w dolnej warstwie generowanie obszarowe (powierzchniowe), Rys. 3.8. Kolumna trójwarstwowa o wymiarach 1,0 x 0,3 m: 100 elementów w każdej warstwie generowanie obszarowe (powierzchniowe), Rys. 3.9 Rys. 3.8. Zadana siatka elementów skończonych dwuwarstwowa kolumna glebowa, siatka generowana obszarowo Rys. 3.9. Zadana siatka elementów skończonych trójwarstwowa kolumna glebowa, siatka generowana obszarowo

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 97 Kolumna jednowarstwowa o wymiarach 1,0 x 0,3 m: 5 węzłów na dolnej i górnej granicy obszaru, 15 węzłów na bokach obszaru Rys. 3.30. Rys. 3.30. Zadana siatka elementów skończonych jednorodna kolumna glebowa, generowanie odcinkowe

98 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Profil gruntowy dwuwarstwowy o wymiarach 10,0 x 3,0 m: górna warstwa 00 elementów, dolna 100, generowanie obszarowe (powierzchniowe), Rys. 3.31. Rys. 3.31. Zadana siatka elementów skończonych dwuwarstwowy profil gruntowy, siatka generowana obszarowo Profil gruntowy trójwarstwowy o wymiarach 10,0 x 3,0 m: warstwa górna 150 elementów, warstwa środkowa 00 elementów, warstwa dolna 150 elementów, generowanie obszarowe (powierzchniowe), Rys. 3.3. Rys. 3.3. Zadana siatka elementów skończonych trójwarstwowy profil gruntowy, siatka generowana obszarowo Profil gruntowy czterowarstwowy, nieregularny o wymiarach 10,0 x 3,0 m: warstwy, licząc od góry 80, 80, 150 i 180 elementów Rys. 3.33. Rys. 3.33. Zadana siatka elementów skończonych czterowarstwowy profil gruntowy, siatka generowana obszarowo

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 99 3.. Parametry sterujące symulacji Sterowanie obliczeniami symulacyjnymi takimi jak klasa problemu (ruch wody, czy też ruch wody i transport zanieczyszczeń lub ciepła), typ ośrodka (nasycony nienasycony), długość trwania obliczeń, sposób określania kroku czasowego oraz przypisywanie parametrów transportowo-wodnych ośrodka porowatego, określanie warunków początkowych i brzegowych, odbywa się poprzez zbiór poleceń zebranych w menu Problem editor Rys. 3.34. Rys. 3.34. Menu Problem editor przedprocesor programu FEFLOW Menu Problem editor zawiera następujące grupy poleceń (Diersch, 005a): Problem classifier (Rys. 3.35) umożliwiający określenie definicji problemu, czyli ogólnej klasy problemu rozumianej jako ruch wody w strefie nasyconej lub nienasyconej (Saturated media lub Unsaturated or variably saturated media), klasy problemu, czyli przepływu wody gruntowej lub przepływu wody gruntowej wraz z transportem masy lub ciepła. W przypadku transportu zanieczyszczeń dysponujemy możliwością wyboru pomiędzy obliczeniami dla jednego lub dla wielu zanieczyszczeń (Singlespecies lub Multi-species transport). Kolejną istotną opcją zawartą w Problem definition jest Problem projection umożliwiający określenie orientacji przestrzennej i wymiarowej modelowanego zjawiska.

100 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.35. Podstawowe ustawienia modelu rodzaj problemu, transport zanieczyszczeń, ciepła itp. Temporal and control data zawierający zbiór opcji dotyczących ustawień czasowych i kontrolnych symulacji przedstawiony jest na kolejnym rysunku (Rys. 3.36). Jakiekolwiek zmiany dokonywane w omawianym menu muszą być świadome i przemyślane. Określenie niewłaściwych parametrów symulacji, czy też niewłaściwe określenie dopuszczalnego błędu i wymaganej zbieżności procedur iteracyjnych może drastycznie wpłynąć na jakość wyników przeprowadzonych obliczeń lub czasem nawet uniemożliwić ich zakończenie.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 101 Rys. 3.36. Ustawienia zarządzania czasem symulacji oraz kryteria błędu i zgodności obliczeń iteracyjnych Najistotniejsze opcje zawarte w Temporal and control data to (Diersch, 005a): Wybór sposobu określania przez model długości kroku czasowego: stałej długości kroku (Constant time steps), zmiennego kroku czasowego (Varying time steps) oraz automatycznej kontroli długości kroku (Automatic time step control) poprzez jedną z czterech dostępnych procedur: predictor corector (dwa modele Eulera i Adamsa Bashfortha) i agressive targetbased (Euler oraz schemat trapezowy).

10 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Sterowanie długością symulacji w zależności od sposobu sterowania długością kroku czasowego: określenie długości kroku oraz liczby kroków, podanie dokładnej liczby i długości poszczególnych kroków oraz określenie czasu zakończenia symulacji Final time (d) i definicję długości pierwszego kroku czasowego Initial time step lenght (d). Określenie czasu początkowego momentu startu symulacji Initail time (d). Poziom przełączania na wysoko rzędowy schemat Cranka Nicolsona Level to switch to CN-scheme, (dotyczy wyłącznie stałych kroków czasowych), nie zalecamy zmiany tego ustawienia (wartość domyślna 00 kroków czasowych). Określenie kierunku działania siły grawitacji Direction of gravity, umożliwia określenie kierunku działania siły grawitacji w modelu, zgodnie z kierunkami i zwrotami osi kartezjańskiego układu współrzędnych. Edycja funkcji uzależnionych od czasu Edit time varying power functions, wykorzystywanych zwłaszcza przy określaniu zmiennych warunków brzegowych. Zestawienie parametrów materiałów zmiennych w czasie List time related materials. Określenie kryteriów dopuszczalnego błędu obliczeń iteracyjnych oraz norm zbieżności Error and convergence criteria. W tym przypadku mamy możliwość określenia wyboru rodzaju błędu (Maximum Error norm, Absolute integral error norm i Eucledian integral error norm) wraz z określeniem wartości dopuszczalnej błędu Error tolerance (wartość domyślna = 10 3 ) i zdefiniowaniem maksymalnej liczby iteracji przypadających na jeden krok czasowy Maximum number of iterations per time step oraz określenie dopuszczalnego błędu siatki Adaptive mesh error i wybór schematu oceny błędu (metody Onate-Bugenda lub Zienkiewicz- Zhu). A posteriori error estimator. W przypadku braku wiedzy u użytkownika na temat wpływu zmian poszczególnych opisanych powyżej ustawień na przebieg obliczeń symulacyjnych najlepszym wyjściem jest pozostawienie wbudowanych przez autorów modelu ustawień domyślnych norm błędów i zbieżności obliczeń. Zmiany geometrycznych parametrów modelu możliwe są poprzez menu Problem measure umożliwiające zmianę szerokości modelu oraz odkształcenia pionowego (stosunku szerokość/wysokość), a także przemieszczenie początku układu współrzędnych Shift origin (Rys. 3.37).

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 103 Uwaga! zmiana położenia początku układu współrzędnych ma wpływ na wynik obliczeń symulacyjnych, dlatego też jakiekolwiek zmiany powinny być przeprowadzane w sposób świadomy i przemyślany. Rys. 3.37. Zmiana położenia początku układu współrzędnych 3..3 Parametry symulacji ruchu wody w ośrodku porowatym Dane opisujące parametry wodno-transportowe ośrodka gruntowego, niezbędne do wprowadzenia do modelu w celu wykonania obliczeń symulacyjnych pogrupowane są w menu Flow Data na trzy grupy: Flow initials, Flow boundaries i Flow materials (Rys. 3.38). Rys. 3.38. Menu Flow Data parametry wodno transportowe ośrodka Parametry fizyko-wodne materiałów porowatych opisujące właściwości wodno -transportowe ośrodka porowatego zostały zebrane w menu Flow materials, z podziałem na właściwości nasycone i nienasycone (saturated and unsaturated props). Rys. 3.39. Możliwe sposoby przypisywania parametrów do elementów skończonych

104 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Wszystkie parametry mogą zostać przypisane na cztery sposoby (Rys. 3.39): globalnie (Global), do wszystkich elementów skończonych siatki, do poszczególnych elementów (Elemental) siatki poprzez wskazanie kursorem myszy i naciśnięcie LPM, za pomocą okna (rubberbox) wskazywanego i rozciąganego kursorem myszy, z wykorzystaniem zewnętrznych baz danych (Database). Kontrola właściwości siatki oraz przypisanych do danego elementu parametrów wodno-transportowych może być realizowana poprzez wykorzystanie Mesh Inspectora (Rys. 3.40). Rys. 3.40. Kontrola przypisanych właściwości elementom siatki Mesh Inspector Spośród parametrów nasyconych najistotniejsze to (Diersch, 005a): Conductivity (Kmax) (10 4 m s 1 ) maksymalne przewodnictwo wodne ośrodka w stanie pełnego nasycenia. Anisotropy factor (Kmin/Kmax) współczynnik anizotropii rozpatrywanego gruntu wyznaczany jako stosunek minimalnej i maksymalnej wartości przewodnictwa wodnego. Angle from +x-axis to Kmax ( o ) kąt nachylenia pomiędzy osią x, a kierunkiem występowania K max, mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 105 Density ratio (10 4 ) opisuje stosunek gęstości maksymalnej do gęstości minimalnej, wg równania: Storage compressibility (m 1 ) opisuje zdolność szkieletu gruntowego do odkształceń pod wpływem obciążeń zewnętrznych. Source(+)/Sink( ) (10 4 d 1 ) dopływ lub odpływ powierzchniowy do obszaru modelu (wody gruntowe, parowanie) dopływ ma wartość dodatnią odpływ ujemną. Transfer rate (10 4 d 1 ) współczynnik wycieku i kolmatacji, opisuje właściwości hydrauliczne warstwy kolmatacyjnej ograniczającej przepływ wody pomiędzy zbiornikiem powierzchniowym, a wodami gruntowymi (Rys. 3.41). Rys. 3.41. Właściwości nasycone ośrodka porowatego Dostęp do menu parametrów nienasyconych uzyskujemy poprzez wybór polecenia Unsaturated Properties Rys. 3.4.

106 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.4. Właściwości nienasycone ośrodka porowatego Wybór niezbędnych do wprowadzenia danych uzależniony jest od wybranego modelu obliczania przewodności nienasyconej oraz wilgotności aktualnej. Program FEFLOW udostępnia użytkownikowi następujące modele (zmienne do definicji zaznaczone są prostokątami, Rys. 3.43 Rys. 3.48): Rys. 3.43. Model van Genuchtena

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 107 Rys. 3.44. Model Brooksa Corey a Rys. 3.45. Model zmodyfikowany van Genuchtena Rys. 3.46. Model wykładniczy

108 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.47. Model Haverkampa Rys. 3.48. Model liniowy gdzie: s s saturacja maksymalna gruntu, s r saturacja resztowa gruntu, ciśnienie kapilarne, A,, n, współczynniki empiryczne. Wybór modelu obliczeniowego przewodności nienasyconej oraz wilgotności aktualnej w funkcji ciśnienia kapilarnego (krzywa pf), powinien być poprzedzony dogłębnymi studiami literaturowymi oraz dokładnym rozpoznaniem badanego profilu gruntowego. Dodatkowo, przy definiowaniu parametrów ruchu w nienasyconym środowisku gruntowym należy określić: Porowatość gruntu (Porosity) (-). Występowanie lub nie zjawiska histerezy (Histeresis) przy nawilżaniu i osuszaniu gruntu. W przypadku wyboru uwzględnienia zjawiska histerezy użytkownik musi zadecydować, czy podana przez niego krzywa retencyjna jest krzywą osuszania (Drying curve) czy też krzywą nawilżania (Wetting curve) Rys. 3.49.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 109 Rys. 3.49. Histereza krzywej pf W celu sprawdzenia poprawności przypisania właściwości nienasyconych gruntu do elementów siatki wykorzystujemy Mesh Inspector, lecz w tym przypadku mamy możliwość podglądu charakterystyk wodno-transportowych w postaci krzywych lub wartości liczbowych. Należy w tym celu przed przystąpieniem do sprawdzenia zaznaczyć odpowiednio Inspect as Curves lub Values (Rys. 3.50). Rys. 3.50. Mesh Inspector dla właściwości nienasyconych ośrodka porowatego Zadanie Przypisać podstawowe parametry fizyko-wodne do siatek elementów skończonych opracowanych uprzednio. Zastosować parametry podane w tabeli na kolejnej stronie (uwaga na jednostki).

110 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Tabela 3.1. Przykładowe właściwości ośrodka porowatego wg modelu van Genuchtena (m.in. van Genuchten, 1980; Bohne i Olszta, 1988; van Dam i in., 1997; Diersch, 005; Widomski, 007) Przewodnicto nasycone K s (m d 1 ) Wsp. Anizotropi (-) Saturacja max. s (m 3 m 3 ) Saturacja resztowa r (m 3 m 3 ) Parametr (cm 1 ) Parametr n (-) 0,49,30 0,3895 0,07 0,0051 1,445 0,60 0,870 0,448 0,051 0,008 1,3664 0,60 0,870 0,4434 0,051 0,009 1,357 0,479,770 0,3667 0,065 0,009 1,890 0,480 1,150 0,3844 0,050 0,0039 1,3644 0,480 1,150 0,406 0,050 0,0048 1,3816 7,690 1,000 0,4 0,010 0,0100 1,9600 0,180 1,000 0,433 0,009 0,00596 1,489 0,0 1,100 0,370 0,006 0,0191 1,1510 7,18 1,000 0,430 0,045 0,145,680 0,06 1,150 0,460 0,034 0,016 1,370 0,108 1,00 0,450 0,067 0,00 1,410 3..4 Warunki początkowe i brzegowe Warunki początkowe Warunki początkowe określają stan wyjściowy modelu w chwili t = 0, to znaczy w momencie startu obliczeń symulacyjnych. Program FEFLOW oferuje cztery podstawowe rodzaje warunków początkowych, które zebrane są w menu Flow initials (Rys. 3.51) (Diersch, 005a): Hydraulic head (m) wysokość ciśnienia. Saturation (-) stopień nasycenia (saturacja). Moisture content (-) zawartość wilgoci. Pressure (KPa) ciśnienie. Po wyborze rodzaju warunku początkowego należy w oknie Keyboard request wpisać żądaną wartość warunku oraz za pomocą kursora myszy (elemental i rubberbox) zaznaczyć obszar przypisania danej wartości warunku na siatce elementów skończonych.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 111 Rys. 3.51. Menu Flow Initials warunki początkowe dla modelowania ruchu wody Rysunek poniżej (Rys. 3.5) przedstawia przypisanie zaznaczonemu fragmentowi siatki elementów skończonych warunku brzegowego Saturation o wartości 0,6 (-). Rys. 3.5. Określanie warunku początkowego

11 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Sprawdzenie przypisania wartości warunków początkowych odbywa się poprzez polecenie Show (pasek poleceń Assign) oraz wybór rodzaju warunku początkowego. Poniżej przedstawiono sprawdzenie warunków początkowych dla kolumny glebowej (Rys. 3.53). Rys. 3.53. Sprawdzenie przypisanego warunku początkowego Zadanie Do siatki elementów skończonych przedstawiającej kolumnę glebową zgodną z Rys. 3.7 przypisać następujące warunki początkowe: Jednorodne nasycenie wynoszące 70% Saturation 0.7 (-), Global. Zmienne nasycenie kolumny glebowej 60 % do ½ wysokości, następnie 45% Saturation 0.6 (-), Elemental lub Rubberbox, Saturation 0.45 (-), Elemental lub Rubberbox. Jednorodny potencjał glebowy wynoszący.5 m Hydraulic head,.5 m, Global.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 113 Zadanie Przypisać warunki początkowe do dwuwarstwowego profilu gruntowego rys. Rys. 3.31: I warstwa zmienne nasycenie 60 % do ½ wysokości, następnie nasycenie 45% Saturation 0.6 i 0.45 (-), II warstwa nasycenie wynoszące 70% Saturation 0.7 (-). Warunki brzegowe Rozwiązanie uogólnionego równania różniczkowego ruchu wód podziemnych wymaga określenia szeregu warunków brzegowych oraz początkowych. Stosowane są w tym celu cztery podstawowe warunki brzegowe zgrupowane w menu Flow boundaries Rys. 3.54. Rys. 3.54. Warunki brzegowe ruchu wody menu Flow Boundaries Podstawowy wybór warunku brzegowego ogranicza się do wyboru polecenia (typu warunku z listy), podania wartości liczbowej warunku (okno Keyboard request) oraz naniesienia warunku za pomocą kursora na siatkę elementów skończonych (Rys. 3.55).

114 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.55. Przypisane przykładowe warunki brzegowe Zmienny w czasie warunek brzegowy Warunki brzegowe, jak podano powyżej, mogą przyjmować stałą wartość dla całego czasu trwania symulacji lub możliwe jest także przypisanie wartości warunku brzegowego zmiennego w czasie. Przebieg zmienności funkcji warunku brzegowego w czasie trwania symulacji określamy poprzez wybór polecenia Timevarying function ID, które to polecenie udostępnia widoczne na kolejnym rysunku (Rys. 3.56) okno FEFLOW Power Function Editor. Rys. 3.56. Zmienna w czasie funkcja warunku brzegowego

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 115 Edytor udostępnia listę zdefiniowanych wcześniej funkcji, umożliwia podgląd przebiegu zmienności wybranej z listy funkcji oraz utworzenie nowej funkcji. Umożliwia także przypisanie wartości argumentów i funkcji dla istniejących lub nowo generowanych zbiorów danych oraz eksport i import opracowanych funkcji. W projektowanych przez użytkownika funkcjach przypisane wartości funkcji mogą zostać połączone polilinią o różnym stopniu wygładzenia lub krzywą schodkową. Wybór polecenia Edit curve data udostępnia użytkownikowi okno manualnej edycji wartości funkcji. Przebieg zmienności wybranej funkcji jest przedstawiony jako tabela zestawiająca dwie kolumny czas w (d) oraz wartość funkcji (fvalue) Rys. 3.57. Wprowadzone zmiany należy zatwierdzić a nowo utworzonej funkcji nadać numer identyfikacyjny (ID). Rys. 3.57. Edytor funkcji warunku brzegowego Wybór typu warunku brzegowego tj. wybór pomiędzy warunkiem o stałej wartości (Time constant) oraz warunkami o wartościach zmiennych w czasie odbywa się poprzez pasek przycisków pokazany na kolejnym rysunku (Rys. 3.58).

116 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.58. Wybór pomiędzy warunkiem o stałej i zmiennej w czasie wartości Należy jednak pamiętać, że aby uzyskać możliwość wyboru typu warunku brzegowego należy w pierwszej kolejności zdefiniować co najmniej jedną funkcję poprzez Power function editor. Warunki brzegowe w FEFLOW Warunki brzegowe w programie FEFLOW zdefiniowane są w sposób opisany poniżej (Diersch, 005). Warunek pierwszego rodzaju (Dirichleta) Head Rys. 3.59 h (x i, t) = h 1 R (t) w przestrzeni czasowej 1 = [t, ), h 1 R (t) narzucona wysokość hydrauliczna w czasie t. Warunek ten stosowany jest przede wszystkim do symulowania naporu wody pochodzącego od rzeki czy jeziora. Wartość i zasięg tego warunku mogą ulegać zmianom w czasie, jednak wymaga to specjalnej procedury obliczeń (zatrzymywania, zmian i ponownego uruchamiania). Najłatwiej stosować ten warunek do symulacji wejścia lub wyjścia wody do rozpatrywanego ośrodka. Rys. 3.59. Graficzna interpretacja warunku Head Uwaga! Wysokość ciśnienia należy podawać jako sumę współrzędnej geometrycznej (pionowej) oraz wysokości hydraulicznej naporu wody. Wybór warunku pierwszego rodzaju realizowany jest poprzez przycisk Head. Po wyborze polecenia należy, w przypadku warunku typu Time constant podać wartość potencjału w oknie Keyboard request a następnie nanieść warunek brzegowy na siatkę elementów skończonych Rys. 3.60. W przypadku zastosowania warunku zmiennego w czasie, przed wyborem polecenia zaznaczamy numer funkcji, a następnie nanosimy warunek na siatkę elementów skończonych Rys. 3.61. Zastosowanie warunku brzegowego o zmiennej wartości zastanie uwidocznione poprzez wyświetlenie obok symbolu warunku numeru ID zastosowanej funkcji.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 117 Rys. 3.60. Warunek brzegowy Head o stałej wartości na dolnej granicy obszaru obliczeniowego Rys. 3.61. Warunek brzegowy Head o zmiennej w czasie wartości na dolnej granicy obszaru obliczeniowego

118 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Warunek drugiego rodzaju (Neumann a) Flux Warunek drugiego rodzaju definiowany jest następująco (Diersch, 005): R, ( ) h o q n x t q t k f e n dla 3Di pionowego D h p h ij j i x j o R h qn x, t q ( t) k n dla D poziomego swobodnego t[0, ) h p h ij i x j R h q n x p, t qh ( t) Tij ni dla D poziomego napietego h x j gdzie: q R h (t) założony dopływ w czasie, T transmisyjność T ij = B k ij, n i jednostkowy wektor normalny. Warunek ten stosowany jest w przypadku znanej wartości dopływu do rozpatrywanego ośrodka. Wartość tą podaje się w jednostkach objętości lub pola powierzchni na jednostkę czasu np. m 3 d 1, m d 1. Najczęściej można spotkać ten warunek, gdy znany jest dopływ wody podziemnej z zewnętrznych, w stosunku do rozpatrywanego obiektu, warstw lub dopływ czy też odpływ poprzez powierzchnię profilu. Rys. 3.6. Warunek brzegowy Flux o stałej w czasie wartości na górnej granicy obszaru obliczeniowego

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 119 Definiowanie warunku drugiego rodzaju Flux (Rys. 3.6) odbywa się w identyczny sposób jak warunku pierwszego rodzaju Head. Należy jednak zwrócić szczególną uwagę na znak poprzedzający podawaną wartość strumienia oznaczający kierunek przepływu względem zwrotu osi układu współrzędnych. Warunek trzeciego rodzaju (Cauchy ego) Transfer Warunek trzeciego rodzaju Transfer definiowany jest w FEFLOW następująco (Diersch, 005): q nh R xi, t h h h dla R q x, t h h h nh i 3Dlub poziomegoi swobodnego dla poziomego napietego D Współczynnik transferu h opisywany jest poprzez dwie formy: h in h out h dla h R R dla h h h w pionie wartość (dla przepływów D napiętych) D 3 t[0, ) podobnie opisywana jest jego uśredniona h in h out h dla h R dla h R h h gdzie: h R opisana wartość wysokości ciśnienia dla warunku brzegowego. Warunek ten opisuje referencyjną wysokość ciśnienia hydraulicznego obszaru znajdującego się poza rozpatrywanym ośrodkiem np. rzeki czy jeziora. W odróżnieniu od pierwszego przypadku może tu nastąpić dopływ lub odpływ z rozpatrywanego ośrodka (Rys. 3.63), zależnie od obliczonych w czasie wartości wysokości ciśnienia w rozpatrywanym ośrodku. Warunek powyższy wymaga dodatkowo zdefiniowania współczynnika transferu, znajdującego się w opcji Flow Materials. Tym sposobem można także opisać proces kolmatacji dna zbiornika wodnego lub rzeki. k o in d obliczone zwierciadło wody podziemnej k o out d h R k 1 h h R k 1 h Rys. 3.63. Sens fizyczny warunku brzegowego Transfer

10 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód W przypadku symulowania zjawiska kolmatacji konieczne jest zachowanie warunku (Diersch, 005): k in 1, k out k 1 << k 1, in in d 1 o h d, W przypadku obliczeń przepływu horyzontalnego ze zwierciadłem napiętym należy korzystać z uśrednionego w pionie współczynnika transferu zgodnie ze wzorami (Diersch, 005): in h B in h ko B d in 1 md out h out out out ko lub odpowiednio: B B m d 1 h h d k out o d d 1. Rys. 3.64. Warunek brzegowy Transfer o zmiennej w czasie wartości na granicy obszaru obliczeniowego Definiowanie warunku trzeciego rodzaju Transfer (Rys. 3.64) odbywa się w identyczny sposób jak warunku 1 rodzaju Head czy rodzaju Flux.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 11 Warunek czwartego rodzaju Well W programie FEFLOW warunek ten definiowany jest jako (Diersch, 005): Q w p ( x, t) i Q x m w m i i x m i w wypadku, gdy x i, x i m (rozpatrywany obszar). Warunki swobodnej powierzchni mogą być jednocześnie w wystarczającym stopniu spełnione poprzez (Diersch, 005): P o h e n t h x l i q n h dla 4 t[0, ) gdzie: Q p w funkcja studni, Q m w wielkość pompowania z lub do ośrodka (pojedynczej studni), x i m współrzędna pojedynczej studni, P o wielkość infiltracji (odnawialność wody podziemnej), e efektywna porowatość, n i wektor jednostkowy normalny, x l wyniesienie (wysokość), funkcja delta Diraca. Warunek ten opisuje zarówno wprowadzanie, jak i wyprowadzanie wody z ośrodka poprzez pojedynczą studnię. Najefektywniej zachowuje się, gdy dysponujemy zdefiniowaną i zdyskretyzowaną powierzchnią, na której w pojedynczym węźle zaznaczamy pojedynczą studnię (zawsze patrząc od góry). Niezwykle trudno zastosować ten warunek w przypadku rozpatrywania pionowego przekroju przez ośrodek. Jedyna możliwość to wypływ ciśnieniowy np. z uszkodzonego przewodu wodociągowego lub kanalizacji ciśnieniowej tłocznej, np. Rys. 3.65. Rys. 3.65. Warunek brzegowy Well o zmiennej w czasie wartości na obszarze obliczeniowym

1 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Usuwanie warunków brzegowych Usuwanie wprowadzonych warunków brzegowych odbywa się poprzez wybór polecenia Erasing Rys. 3.66. Następnie musimy zdecydować, który z warunków brzegowych zostanie usunięty. Możemy usunąć poszczególne rodzaje warunków lub usunąć wszystkie wprowadzone warunki. Rys. 3.66. Usuwanie warunków brzegowych Program FEFLOW umożliwia także poprzez menu Constraint Conditions of Flow Boundaries wprowadzenie ograniczenia warunków brzegowych poprzez (Rys. 3.67): Head (potencjał hydrauliczny) Flux (przepływ). Flux Head. Transfer Head lub Flux (wybór z rozwijalnego menu). Well Head. Wywołanie menu ograniczenia warunków brzegowych odbywa się poprzez wybór przycisku zlokalizowanego po prawej stronie każdego z warunków. Rys. 3.67. Ograniczenia warunków brzegowych Wartość ograniczająca warunek brzegowy musi być wprowadzona w tym samym węźle, w którym wprowadzono wcześniej warunek ograniczany.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 13 Zadanie Utworzyć funkcję zawierającą zmienny w czasie warunek brzegowy o wartościach podanych w tabeli poniżej: Tabela 3.. Przykładowe wartości zmiennego w czasie warunku brzegowego Czas Wartość A Wartość B Wartość C (d) (mm d 1 ) (mm d 1 ) (m) 1,06 3,6 5,14,49 1 5,18 3 3,7 0,5 5,1 4 3,04 0,5 5, 5,9 0 5,19 6 1,87 1,3 5,18 7,35 4 5,17 8,76 0,8 5,16 9,9 0 5,17 10 3,09 0 5,0 Założyć warunek brzegowy I rodzaju Head o wartości 0 m na dolnej krawędzi wybranej siatki elementów skończonych. Założyć warunek brzegowy I rodzaju Head o wartości,5 m na dolnej krawędzi wybranej siatki elementów skończonych. Założyć warunek brzegowy I rodzaju Head o zmiennej wartości wg wartości C z tabeli powyżej. Założyć warunek brzegowy II rodzaju Flux o stałej wartości 0,01 m d 1 na górnej krawędzi wybranej siatki elementów skończonych. Założyć warunek brzegowy II rodzaju Flux o zmiennej wartości na górnej krawędzi obszaru obliczeniowego wg wartości A z tabeli powyżej. Obliczyć wartość wymaganego górnego warunku brzegowego wiedząc, że czas trwania symulacji wynosi 5 dni, średnie parowanie w czasie symulacji 1,1 mm d 1, w czasie eksperymentu wystąpiły dwa opady: o godzinie 1.00 drugiego dnia symulacji 3,0 mm w czasie 1h oraz o godzinie 18.00 czwartego dnia symulacji 0,6 mm w czasie h.

14 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 3..5 Parametry symulacji transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym Parametry transportowe ośrodka Uaktywnienie parametrów dotyczących transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym odbywa się poprzez wybór w menu Problem editor (w przedprocesorze, Rys. 3.68). Rys. 3.68. Podstawowe ustawienia modelu ruchu wody i transportu masy w ośrodku porowatym Definiowanie parametrów sterujących symulacji (Temporal & control data) w przypadku modelowania transportu zanieczyszczeń w środowisku gruntowym nie różni się od omówionego dla modelowania ruchu wody w środowisku porowatym, dlatego nie będzie ponownie opisywane.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 15 Polecenia związane z określaniem właściwości transportowych ośrodka, właściwości zanieczyszczeń oraz warunków początkowych i brzegowych zostały zgrupowane w menu Transport Data Rys. 3.69. Rys. 3.69. Menu Transport Data warunki początkowe, brzegowe oraz parametry transportowe Opis materiału ośrodka (Mass transport material, Rys. 3.70) zawiera następujące polecenia (Diersch, 005a): Rys. 3.70. Właściwości transportowe ośrodka gruntowego Aquifer thickness miąższość warstwy wodonośnej (poddanej transportowi masy) (m), aktywna dla obliczeń 3 D. Porosity porowatość (-). Sorption coeff (Rys. 3.71). o współczynnik sorpcji (absorbcji), o wg Henrego (-) domyślna wartość 0,0, o wg Freundlicha (mg dm 3 ).

16 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.71. Wybór rodzaju modelu sorpcji Przypisanie współczynnika sorpcji odbywa się poprzez przycisk Coeff i wpisanie wartości współczynnika w oknie Keyboard Request: Molecular diffusion współczynnik dyfuzji molekularnej (10 9 m s 1 ), domyślna wartość 1,0. Longitudinal dispersivity dyspersyjność podłużna (m), wartość domyślna 5,0. Transverse dispersivity dyspersyjność poprzeczna (m), wartość domyślna 0,5. Linear/nonlinear dispersion rodzaj funkcji opisującej dyspersję podłużną i poprzeczną, preferowane (na początek) zastosowanie funkcji liniowej. Reakcja rozpadu (Rys. 3.7): Rys. 3.7. Wybór rodzaju modelu rozpadu 1/ First order decay współczynnik rozpadu w reakcji pierwszego rzędu ln (10 4 s 1 ), wartość domyślna 0 (brak rozpadu), przypisanie warto- t ści poprzez przycisk Rate i okno Keyboard Request. Michaelis Menten rozpad wg. modelu Michaelisa Menten (Rys. 3.73) rozpad substancji na produkty reakcji pod wpływem enzymów, przypisanie wartości poprzez przyciski Vm i Km oraz okno Keyboard Request. Rys. 3.73. Parametry modelu Michaelis Menten

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 17 Decay chains rozpad łańcuchowy (Rys. 3.74), przypisanie wartości poprzez przyciski ka i kb oraz okno Keyboard Request. Rys. 3.74. Parametry modelu rozpadu łańcuchowego Multi reaction rozpad wielu składników, aktywny wyłącznie w przypadku uaktywnienia obliczeń dla wielu zanieczyszczeń w Problem editor. Source/sink źródło i upust (do warunku 4 rodzaju). In/out transfer rate współczynnik transferu (m d 1 ) domyślnie wartość 0.0. Wszystkie parametry transportowe ośrodka mogą zostać przypisane na cztery sposoby: globalnie (Global), do wszystkich elementów skończonych siatki, do poszczególnych elementów (Elemental) siatki poprzez wskazanie kursorem myszy i naciśnięcie LPM, za pomocą okna (Rubberbox) wskazywanego i rozciąganego kursorem myszy, z wykorzystaniem zewnętrznych baz danych (Database). Kontrola właściwości siatki oraz przypisanych do danego elementu parametrów transportowych może być realizowana poprzez wykorzystanie Mesh Inspectora. Zadanie Przypisać podstawowe parametry transportowe zanieczyszczeń do siatek elementów skończonych opracowanych uprzednio Rys. 3.7 do Rys. 3.33. Zastosować parametry podane w tabeli poniżej (uwaga na jednostki).

CHROM KADM 18 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Tabela 3.3. Przykładowe parametry transportowe zanieczyszczeń (kadmu i chromu) w ośrodku porowatym (Huyakorn i in., 1986; Baker i Pavlik, 1990; Dunnivant i in., 199; Vukovic i Biscan, 1998; Lichner i Cipakova, 00) sorpcji wg Henry ego (-) Współczynniki dyfuzji molekularnej (m s 1 ) rozpadu w reakcji I rz. (s 1 ) Dyspersjność podłużna (m) (m) 79,57 1,0 10 9 1,77 10 8 4,00 0,5 9,70 1,0 10 9 1,77 10 8 36,00 0,5 7,94 1,0 10 9 1,77 10 8,50 0,5 8,16 1,0 10 9 1,77 10 8 1,50 0,5 8,16 1,0 10 9 1,77 10 8 1,50 0,5 8,16 1,0 10 9 1,77 10 8 1,50 0,5 8,16 1,0 10 9 1,77 10 8 1,50 0,5,43 1,0 10 9,886 10 7 4,00 0,5 0,0 1,0 10 9,886 10 7 36,00 0,5 0,191 1,0 10 9,886 10 7,50 0,5 0,19 1,0 10 9,886 10 7 1,50 0,5 0,19 1,0 10 9,886 10 7 1,50 0,5 0,19 1,0 10 9,886 10 7 1,50 0,5 0,19 1,0 10 9,886 10 7 1,50 0,5 Dyspersjność poprzeczna Warunki początkowe Program FEFLOW umożliwia zastosowania następujących warunków początkowych zgrupowanych w menu Mass Initials (Rys. 3.75) uaktywnianym poprzez wybór Mass transport initials. Warunki początkowe opisują początkowe stężenie zanieczyszczeń (masy) w rozpatrywanych elementach, węzłach lub granicach. Początkowo, w przypadku braku danych tzw. tła dobrze jest określić to stężenie w całym ośrodku na poziomie 0. Pozwala to ocenić jedynie stopień wpływu danego obiektu na stan środowiska gruntowo-wodnego. W wielu przypadkach ocena taka jest wystarczająca. Rys. 3.75. Menu Mass Initails warunki początkowe transportu masy

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 19 Polecenie Mass pozwala na przypisanie wartości początkowej stężenia zanieczyszczenia w badanym ośrodku w mg dm 3. Przypisanie wartości odbywa się poprzez przycisk Mass i okno Keyboard Request. Stężenie referencyjne zanieczyszczenia, przy którym zostały wyznaczone gęstość i lepkość dynamiczna płynu będące podstawą do obliczenia/wyznaczenia przewodnictwa hydraulicznego ośrodka, jest definiowane poprzez polecenie Reference mass (Co) Rys. 3.76. Rys. 3.76. Reference concentration stężenie referencyjne zanieczyszczenia Wybór polecenia Reference mass (Co) prowadzi do otwarcia okna Reference concentrations, w którym możemy zdefiniować wartość stężenia referencyjnego (0 mg dm 3 dla wody gruntowej bez zanieczyszczeń), bądź też dokonać wyboru przypisania stężenia Co z minimalnych i maksymalnych warunków początkowych lub brzegowych. Content analyzer umożliwia obliczenie początkowej zawartości zanieczyszczenia w badanym obszarze ośrodka porowatego (przycisk Apply) Rys. 3.77. Rys. 3.77. Content analyzer obliczenia zawartości zanieczyszczenia w rozpatrywanym profilu

130 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Zadanie Do wybranej siatki elementów skończonych przypisać warunek początkowy Mass wynoszący 0,0 mg dm 3 (profil bez zanieczyszczenia). Do wybranej siatki elementów skończonych przypisać warunek początkowy Mass wynoszący 0,1 mg dm 3 (profil z zanieczyszczeniem tła ). Do wybranej dwuwarstwowej siatki elementów skończonych przypisać warunek początkowy Mass: I warstwa 0,3 mg dm 3 oraz II warstwa 0,05 mg dm 3. Warunki brzegowe Warunki brzegowe transportu masy zanieczyszczeń zostały w programie FE- FLOW zgrupowane w menu Mass Boundaries (Rys. 3.78) wywoływanym poprzez Mass transport boundaries z Transport data. Rys. 3.78. Mass Boundaries warunki brzegowe transportu masy w profilu gruntowym Analogicznie jak w przypadku modelowania ruchu wody bez zanieczyszczeń w ośrodku porowatym udostępniono użytkownikowi cztery rodzaje warunków brzegowych (Rys. 3.78): Mass masa (stężenie) w mg dm 3. Flux przepływ (strumień zanieczyszczeń) w mg dm 3 m d 1. Transfer dopływ w mg dm 3. Well studnia (źródło punktowe) w mg dm 3 m 3 d 1.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 131 Sposób przypisywania warunków brzegowych tzn. Nodal, Border, Rubberbox i Database, ich możliwe typy (Time constant i Time-varying function) oraz sposób ich sprawdzania za pomocą Mesh inspektora, a także usuwanie zadanych już wartości warunków zostały omówione wcześniej. Warunek pierwszego rodzaju (Dirichlet a) Mass poprzednio potencjał hydrauliczny Warunek ten definiowany jest następująco (Diersch, 005): C (x p, t) = C R 1 (t) w przestrzeni 5 x t [0, ) gdzie: C (x p, t) stężenie danego rodzaju zanieczyszczenia w gruncie w zależności od czasu i położenia, C R 1 (t) stężenie referencyjne (na wejściu). Warunek ten stosowany jest przede wszystkim do symulowania koncentracji zanieczyszczeń na granicy ośrodka (np. oczyszczalnia ścieków, zbiorniki odpadów). Wartość i zasięg tego warunku mogą ulegać zmianom w czasie, jednak wymaga to specjalnej procedury obliczeń (zatrzymywania, zmian i ponownego uruchamiania). Można również wybrać opcję Time-Varying Function, co wymaga wykorzystania niewielkiej bazy danych. Wybór warunku brzegowego pierwszego rodzaju i jego naniesienie na siatkę elementów skończonych jest realizowany poprzez polecenie Mass, wpisanie wartości warunku w okno Keyboard Request (lub zdefiniowanie i wybranie funkcji zależnej od czasu Time-varying function) i naniesienie warunku na siatkę za pomocą kursora i LPM Rys. 3.79. Rys. 3.79. Warunek brzegowy Mass (stężenie) o stałej wartości na górnej granicy obszaru obliczeniowego

13 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Warunek drugiego rodzaju (Neumann a) Flux poprzednio przepływ Warunek ten definiowany jest w przestrzeni 6 x t [0, ): Dla przepływu 3D i D (pionowego i osiowo symetrycznego) (Diersch, 005): Forma konwekcyjna: R C qn c ( xp, t) qc ( t) Dij ni x przy czym C Dij ni określa przepływ dyspersyjny. x j Forma dywergencji (równanie ciągłości): R R C qn ( x p, t) qc ( t) C qn Dij n c c x R C przy czym C qn Dij n c i określa przepływ całkowity. x j j Dla przepływu D poziomego (swobodnego i napiętego) (Diersch, 005): Forma konwekcyjna: _ q n c ( x p _ R, t) q c _ ( t) D ij C n x Forma dywergencji (równanie ciągłości) q nc p _ R ( x, t) q c ( t) C R q _ nc j _ D ij i j j C ni x gdzie: C 1 R, C R, C 3 R przyjęte wartości brzegowe stężenia C, D ij współczynnik dyspersji hydrodynamicznej. Warunek ten stosowany jest w przypadku znanej wartości dopływu masy (zanieczyszczeń) do rozpatrywanego ośrodka. Można go stosować do symulowania pracy studni chłonnych i innych obiektów służących do wprowadzania zanieczyszczeń do gruntu. Wybór warunku brzegowego drugiego rodzaju i jego naniesienie na siatkę elementów skończonych jest realizowany poprzez polecenie Flux, wpisanie wartości warunku w okno Keyboard Request (lub zdefiniowanie i wybranie funkcji zależnej od czasu Time-varying function) i naniesienie warunku na siatkę za pomocą kursora i LPM Rys. 3.80. i

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 133 Rys. 3.80. Warunek brzegowy Flux o stałej wartości na górnej granicy obszaru obliczeniowego Warunek trzeciego rodzaju (Cauchy ego) Transfer poprzednio transfer w przestrzeni 7 x t [0,) Dla przepływu 3D i pionowego D (Diersch, 005): q n c ( x, t) ( C3 C) p Dla przepływu poziomego D: _ q n c c R ( x p, t) c ( C3 _ R C) gdzie: współczynnik transferu przedstawiony w dwóch formach: in R _ in dlac C _ c 3 c dlac c oraz out R c out c dlac 3 C _ c dlac Współczynnik transferu można wyznaczyć ze wzoru: D in in o c (m d 1 ) d R 3 R 3 C C in in D0 oraz analogicznie dla problemu horyzontalnego C BC B (m d 1 ) d gdzie: D in o współczynnik dyfuzji w warstwie o podwyższonym oporze, d grubość warstwy (np. poddanej kolmatacji), B miąższość warstwy, w której zachodzi transport masy. _ in

134 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Warto pamiętać, że wstawienie = 0 oznacza warstwę nieprzepuszczalną dla danego rodzaju zanieczyszczeń, natomiast duże wartości sprowadzają warunek trzeci do warunku drugiego rodzaju. Warunek ten opisuje referencyjne stężenie zanieczyszczeń na obszarze znajdującym się poza rozpatrywanym ośrodkiem np. zasolenie rzeki czy jeziora. W odróżnieniu od pierwszego przypadku może tu nastąpić dopływ lub odpływ masy z rozpatrywanego ośrodka, zależnie od obliczonych w czasie wartości wysokości ciśnienia w rozpatrywanym ośrodku (analogicznie do opcji przepływu FLOW). Podobnie jak poprzednio warunek ten wymaga zdefiniowania współczynnika transferu. Wybór warunku brzegowego trzeciego rodzaju i jego naniesienie na siatkę elementów skończonych jest realizowany poprzez polecenie Transfer, wpisanie wartości warunku w okno Keyboard Request (lub zdefiniowanie i wybranie funkcji zależnej od czasu Time-varying function) i naniesienie warunku na siatkę za pomocą kursora i LPM Rys. 3.81. Rys. 3.81. Warunek brzegowy Transfer o stałej wartości na lewej granicy obszaru obliczeniowego

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 135 Warunek czwartego rodzaju (źródło punktowe pojedyncze) w przestrzeni 7 x t[0,) W c Q x, t) C Q ( x x ) p m w m w m i i m i ( dla x i, oraz x m i, należącego do przestrzeni (Diersch, 005). Warunek ten opisuje punktowe wprowadzanie masy (zanieczyszczeń) do ośrodka np. poprzez pojedynczą studnię. Najefektywniej wykorzystuje się go, gdy dysponujemy zdefiniowaną i zdyskretyzowaną powierzchnią, na której w pojedynczym węźle zaznaczamy pojedynczą studnię (zawsze patrząc od góry). Podobnie jak w przypadku symulacji przepływu wody trudno zastosować ten warunek w przypadku rozpatrywania pionowego przekroju przez ośrodek. Możliwym zastosowaniem w przypadku modelowania D jest wyciek zanieczyszczeń z uszkodzonego przewodu np. kanalizacyjnego lub instalacji czy sieci przemysłowych (ropociągów itp.). Wybór warunku brzegowego czwartego rodzaju i jego naniesienie na siatkę elementów skończonych jest realizowany poprzez polecenie Well, wpisanie wartości warunku w okno Keyboard Request (lub zdefiniowanie i wybranie funkcji zależnej od czasu Time-varying function) i naniesienie warunku na siatkę za pomocą kursora i LPM Rys. 3.8. Rys. 3.8. Warunek brzegowy Well o stałej wartości na obszarze obliczeniowym

136 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Program FEFLOW umożliwia także poprzez menu Constraint Conditions of Mass Boundaries wprowadzenie ograniczenia warunków brzegowych (zarówno o stałej wartości jak i o wartościach zmiennych w czasie) poprzez Rys. 3.83: Mass (stężenie zanieczyszczenia) Mass Flux (przepływ, strumień zanieczyszczenia) i Head (potencjał wody gruntowej). Flux Mass i Head. Transfer Head lub Mass Flux. Well Mass i Head. Wywołanie menu ograniczenia warunków brzegowych odbywa się poprzez wybór przycisku zlokalizowanego po prawej stronie każdego z warunków. Zadanie Rys. 3.83. Możliwe ograniczenia warunków brzegowych transportu masy Utworzyć zmienne w czasie funkcje warunków brzegowych wg danych zawartych w tabeli poniżej. Tabela 3.4. Przykładowe zmienne w czasie warunki brzegowe do obliczeń transportu zanieczyszczeń Czas (d) Wariant A (mg dm 3 ) Wariant B (mg dm 3 ) Wariant C (mg dm 3 m d 1 ) 0 0 0 0,0 1 0 0,33 0,03 0 0,8 0,03 3 1, 0,4 0,05 4 1,6 0,1 0,05 5 0,19 0,03 6 3 0,15 0,0 7,5 0,11 0,01 8 1,6 0,06 0,01 9 0,5 0,01 0,007 10 0 0,01 0,005

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 137 Nanieść warunek brzegowy I rodzaju Mass o wartości 0,1 mg dm 3 na górny brzeg obszaru obliczeniowego. Nanieść warunek brzegowy II rodzaju Flux o wartości 1,11 mg dm 3 m d 1 na lewy brzeg wybranej siatki elementów skończonych. Nanieść warunek brzegowy III rodzaju Transfer o wartości 0,18 mg dm 3 na wybrany bok obszaru obliczeniowego. Nanieść warunek brzegowy I rodzaju Mass o zmiennej wartości wg Wartość A na górny brzeg obszaru obliczeniowego. Nanieść warunek brzegowy III rodzaju Transfer o zmiennej wartości wg Wartość C na wybrany bok obszaru obliczeniowego. Wyznaczyć warunek brzegowy dla symulacji trwającej 10 dni jeżeli w 3 dniu o godzinie 1.00 rozpoczął się trwający 48 godzin wyciek zanieczyszczenia o stężeniu początkowym 0,35 a przebieg natężenia wycieku zmieniał się następująco pierwsze 5 godzin 100% stężenia początkowego, kolejne 19 godzin 60%, kolejne 1 godzin 40 % oraz ostatnie 1 godzin 0%. 3..6 Punkty obserwacyjne Wprowadzanie do modelu punktów obserwacyjnych umożliwiających zebranie i analizę wyników obliczeń symulacyjnych odbywa się poprzez edytor zawarty w menu Reference data (Rys. 3.84). Rys. 3.84. Menu punktów i linii obserwacyjnych Możliwe jest wprowadzanie punktów obserwacyjnych jako pojedyncze punkty obserwacyjne (Observation single points) lokalizowane przez użytkownika w żądanych węzłach siatki elementów skończonych (Rys. 3.85), grupy punktów (Observation point groups) oraz sekcje (Fences (sections)).

138 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.85. Punkty i linie obserwacyjne naniesione na obszar obliczeniowy Podsumowanie problemu Program FEFLOW udostępnia bardzo przydatne narzędzie ułatwiające pracę w preprocesorze Problem Summary, które przedstawia podstawowe dane modelu, umożliwia ocenę stopnia zaawansowania naszego modelu oraz jego gotowości do uruchomienia (Rys. 3.86). Zadanie Na obszarze obliczeniowym jednorodnej kolumny glebowej rozmieścić dowolnie 5 punktów obserwacyjnych. Na obszarze obliczeniowym dwuwarstwowej kolumny glebowej rozmieścić w jej osi symetrii 3 punkty obserwacyjne oraz na linii podziału warstw nanieść linię obserwacyjną. Na obszarze obliczeniowym trójwarstwowej kolumny obliczeniowej założyć cztery linie obserwacyjne: na dnie i sklepieniu kolumny oraz na liniach podziału warstw.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 139 Rys. 3.86. Okno podsumowania problemu ruch wody W przypadku, kiedy stwierdzimy, iż Problem Summary poinformuje nas o przypisaniu wszystkich niezbędnych warunków początkowych i brzegowych oraz odpowie pozytywnie na pytanie Redy To Run?, możemy opuścić przedprocesor. W przypadku wykonywania obliczeń symulacyjnych ruchu wody i transportu zanieczyszczeń należy zwrócić w Problem summary szczególną uwagę na informacje podane w Descriptions (Problem class i Time class) oraz w Transport conditions Rys. 3.87.

140 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.87. Okno podsumowania problemu ruch wody i transport zanieczyszczeń 3.3 Procesor programu FEFLOW Uruchomienie procesora modelu odbywa się poprzez wybór polecenia Run Start Simulator z menu głównego programu (Rys. 3.88). Wybór polecenia Start simulator spowoduje uruchomienie menu Simulator run. Rys. 3.88. Uruchamianie procesora FEFLOW

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 141 Rys. 3.89. Uruchomiony procesor programu FEFLOW Na obszarze roboczym modelu pokazanym na Rys. 3.89 pojawią się nowe okna: Legend legenda dla sporządzanej przez model na bieżąco wizualizacji wyników. Time step history graficzna interpretacja zmienności zastosowanego kroku czasowego. Finite element mesh schemat oraz podstawowe dane wczytanej siatki elementów skończonych. Hydraulic head wykres przebiegu zmienności potencjału w punktach obserwacyjnych. Balanced Fluid Flux wykres natężenia przepływu wody przez utworzone sekcje obserwacyjne.

14 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Możliwa jest także obserwacja innych niż domyślny potencjał parametrów obliczanych przez model: ciśnienia, saturacji oraz zawartości wilgoci. Dostęp do menu pokazanego na kolejnym rysunku (Rys. 3.90) uzyskujemy poprzez kliknięcie prawym przyciskiem myszy na obszarze wykresu. Rys. 3.90. Wybór parametru do wyświetlania na wykresie w czasie rzeczywistym symulacji W przypadku obliczeń transportu zanieczyszczeń na obszarze modelu pojawiają się dwa nowe okna: Average Mass (mg dm 3 ) oraz Local Mass (mg dm 3 ) przedstawiające średnie stężenie zanieczyszczenia w badanym profilu oraz stężenie zanieczyszczenia w założonych punktach obserwacyjnych w funkcji czasu symulacji (Rys. 3.91). Podstawowe opcje dostępne w Simulator run to: (Re-) Run Simulator pozwala na uruchomienie lub ponowne uruchomienie (po przerwaniu obliczeń) procesora. Edit/modify problem pozwala na powrót do preprocesora w celu zmiany parametrów symulacji, właściwości ośrodka porowatego czy też warunków brzegowych lub początkowych. Halt and view results pozwala na zatrzymanie symulacji w celu obejrzenia i analizy uzyskanych wyników. Content analyzer oraz Special operations zawierają modele obliczania zawartości wody w środowisku glebowym oraz umożliwiają przestrzenne operacja na potencjale hydraulicznym Uwaga! zaleca się aby użytkownik bez gruntownej wiedzy oraz świadomości podejmowanych działań nie dokonywał w tych menu żadnych zmian. Output control umożliwia zarządzanie plikami wynikowymi z symulacji.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 143 Rys. 3.91. Przykładowe obliczenia ruchu wody i transportu masy Menu Output control (Diersch, 005a) umożliwia (Rys. 3.9): Wybór rodzaju pliku wynikowego tj. pełny plik wynikowy zapisany w formacie binarnym lub ASCII umożliwiający odtworzenie każdego kroku czasowego wykonanej symulacji (Record complete data format *.dac ) lub zredukowany plik tekstowy (Record reduced data format *.dar) zawierający wyniki obliczeń wyłącznie dla punktów i sekcji obserwacyjnych. Możliwość wyboru częstotliwości zapisywanych kroków czasowych (Number of steps between output). Możliwość narzucenia zapisu wyników dla wybranych kroków czasowych (Edit time stages (d) for which saving is desired). Określenie rozdzielczości izolinii w pikselach (Isoline resolution). Natychmiastowe zapisanie wyników w danym momencie Data Rescuer.

144 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.9. Menu Output control zarządzanie plikami wynikowymi Wybór sposobu zapisu wyników obliczeń w plikach wynikowych powinien zostać przeprowadzony przez użytkownika przed uruchomieniem symulacji. Podgląd graficznej interpretacji wyników możliwy jest poprzez wybór polecenia Halt and view results, które prowadzi do uruchomienia FEFLOW Result Viewer (Rys. 3.93). Opcja ta udostępnia użytkownikowi możliwość określenia sposobu wyświetlenia wyników obliczeń w aktualnym kroku czasowym, zdefiniowanie parametrów tworzonych wykresów oraz zapis i eksport plików wykresów. Wyświetlanie wykresów odbywa się poprzez wybór przycisku Show, natomiast ich zrzut do pamięci komputera poprzez przycisk Capture.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 145 Rys. 3.93. FEFLOW Result viewer podgląd, edycja i eksport wyników obliczeń w postaci graficznej Przed przystąpieniem do kreślenia wykresów przedstawiających wyniki obliczeń należy wybrać, który z parametrów obliczeniowych symulacji zostanie na wykresach przedstawiony graficznie: Mass masa (stężenie) zanieczyszczenia w przypadku obliczeń transportu zanieczyszczeń. Heat ciepło w przypadku obliczeń transportu ciepła w ośrodku porowatym. Head potencjał hydrauliczny wody gruntowej. Pressure ciśnienie wody gruntowej. Streamline linie przepływu wody gruntowej. Velocity wartość bezwzględna prędkości przepływu wody gruntowej. Saturation nasycenie ośrodka porowatego wodą. Content zawartość wilgoci w ośrodku porowatym.

146 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód FEFLOW Result Viewer udostępnia następujące opcje kreślenia wykresów (Rys. 3.94): Rys. 3.94. Opcje kreślenia wykresów Izolinie i wektory prędkości (Isolines plus velocities) lub same izolinie (Isolines pattern) z możliwością wyboru pomiędzy wykreśleniem mapy barwnej wybranej zmiennej (Rys. 3.95 i Rys. 3.96 ) oraz mapy konturowej. Pole prędkości przepływu wody w ośrodku porowatym (Velocity field). Śledzenie ruchu cząstek (Particle tracking) z możliwością określenia kierunku śledzenia (Forward i Backward) oraz rodzaju ruchu (Unsteady i Steady). Wykresów zmian wartości wybranego parametru na zadanej linii obserwacyjnej (Line selection and segments) Rys. 3.97. Wykresów trójwymiarowych rozkładu badanej zmiennej (3D Projections) z możliwością określenia lokalizacji punktu obserwacji wykresu cztery lokalizacje (Rys. 3.98).

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 147 Rys. 3.95. Układ nasycenia kolumny gruntowej wodą w wybranym kroku czasowym Rys. 3.96. Rozkład stężenia zanieczyszczeń w profilu glebowym

148 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.97. Rozkład stężenia zanieczyszczeń na wybranej linii obserwacyjnej Rys. 3.98. Trójwymiarowy wykres rozkładu nasycenia kolumny gruntowej wodą w wybranym kroku czasowym

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 149 Dostępne w FEFLOW Result Viewer parametry wykresów obejmują: Poziom odniesienia izolinii (Reference isoline level). Minimalny i maksymalny poziom izolinii (Minimum i Maximum isoline level). Częstotliwość kreślenia izolinii (Equidistant levels by) definiowaną przez liczbę izolinii na wykresie (Number) lub wartość wykreślanego parametru (Value). Wysokość czcionki opisu izolinii w mm (Height of level line font). Odległość opisu izolinii od jej początku w mm (Label distance from line start). Częstotliwość opisu izolinii (Label level frequency). Częstotliwość pogrubiania izolinii (Line thickness frequency). Orientację opisu (Label orientation) w górę lub w dół (Upward, Dawnward). Określenie liczby kolumn i rzędów opisu izolinii (Number of block columns and block rows). Zdefiniowanie linii rozmieszczonych nieregularnie (Non-Equidistant levels). Możliwe jest wyświetlanie bądź ukrywanie na wykresach lokalizacji punktów obserwacyjnych. Służy do tego polecenie Unhide symbols i Hide symbols. Zapisywanie plików wykresów, z możliwością wyboru ich rodzaju możliwe jest w następujących formatach: ASCII, ESRI Shappe lub AutoCAD DXF. Eksport wartości wybranych parametrów w węzłach siatki odbywa się poprzez wybór odpowiedniego przycisku opisanego nazwą możliwego do wyeksportowania parametru (Rys. 3.99). Rys. 3.99. Ustawienia eksportu plików wygenerowanych wykresów Po zakończeniu obliczeń symulacyjnych użytkownik może przejść do postprocesora programu FEFLOW.

150 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 3.4 Postprocesor programu FEFLOW Uruchomianie postprocesora FEFLOW odbywa się poprzez wybór polecenia Postprocess Load and run oraz wczytanie pełnego pliku wynikowego w formacie *.dac Rys. 3.100. Rys. 3.100. Uruchomienie postprocesora FEFLOW Po wczytaniu wybranego pliku wynikowego na ekranie ukaże się menu postprocesora oraz widok siatki elementów skończonych Rys. 3.101. Rys. 3.101. Postprocesor FEFLOW

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 151 Postprocesor umożliwia dostęp do następujących poleceń: File information najistotniejsze informacje o pliku wynikowym, między innymi: nazwa pliku, nazwa problemu, wymiarowość problemu (D lub 3D), typ i klasa problemu, liczba warstw, wymiary modelu, schemat obliczania kroku czasowego, liczba analizowanych zanieczyszczeń, rodzaj siatki elementów skończonych, liczba jej elementów i węzłów, liczba kroków czasowych oraz czas startu i zakończenia symulacji (Rys. 3.10). Background maps umożliwia dodanie nowych map oraz daje dostęp do znanego już Map managera. Rys. 3.10. Informacje o pliku wynikowym i modelu obliczeniowym File information

15 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.103. Wybór kroku czasowego Browse file Browse file umożliwia wybór kroku czasowego z listy wszystkich zapisanych kroków czasowych (schemat zapisu określamy w menu Control output) do dalszej analizy wyników. Wybór kroku czasowego realizujemy poprzez kliknięcie LPM na liście oraz naciśnięcie przycisku Apply Rys. 3.103. View results at umożliwia uruchomienie omówionego wcześniej FE- FLOW Result Viewer dla wybranego w Browse file kroku czasowego. Bugdet analyzer program umożliwiający wyznaczenie bilansu przepływającej wody, transportowanych zanieczyszczeń lub ciepła przez granice modelu lub zdefiniowaną przez użytkownika linię na siatce elementów skończonych. Możliwe jest wyznaczenie bilansu dla aktualnego, wybranego w Browse file kroku czasowego lub określonego przedziału czasu (Time period for balancing) poprzez określenie początkowego i końcowego kroku czasowego w dobach (Initial time i Final time). Uzyskane wyniki można wyeksportować do pliku tekstowego Rys. 3.104.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 153 Rys. 3.104. Obliczanie bilansu wody i zanieczyszczeń dla rozpatrywanego profilu Budget analyzer Rys. 3.105. Obliczanie natężenia przepływu wody przez węzły i elementy siatki Fluid flux analyzer

154 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Fluid flux analyzer umożliwia dokładniejszą niż w przypadku Budget analyzer analizę przepływu wody przez zadane elementy siatki czy też linie obserwacyjne. Możliwe jest wyznaczenie bilansu dla aktualnego, wybranego w Browse file kroku czasowego lub określonego przedziału czasu (Time period to be encountered) poprzez określenie początkowego i końcowego kroku czasowego w dobach (Initial time i Final time), Rys. 3.105. Możliwy jest także wybór sumowanego przepływu przepływ poprzez węzły siatki lub przepływ przez elementy siatki. Przykład analizy natężenia przepływu przez elementy siatki oraz zakumulowanej objętości wody dla wybranej linii obserwacyjnej został przedstawiony na rysunku poniżej Rys. 3.106. Rys. 3.106. Przykładowe wyniki obliczeń natężenia przepływu Rys. 3.107. Wyniki obliczeń objętości wody znajdującej się w danym kroku czasowym w obszarze obliczeniowym

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 155 Content analyzer polecenie występujące także w procesorze FEFLOW, umożliwiające obliczenie objętości wody zawartej w środowisku gruntowym Rys. 3.107. Special operations polecenie omówione w rozdziale poprzednim. Reflect about symmetric plane polecenie umożliwiające dokonanie przekształcenia siatki elementów skończonych jej lustrzanego odbicia (Rys. 3.108). Uwaga! Ponieważ nie ma możliwości cofnięcia polecenia, zaleca się aby użytkownik bez pełnej świadomości swoich działań nie wykonywał w/w polecenia. History of observation points menu umożliwiające zmianę lub dodanie nowych punktów obserwacyjnych a także usunięcie już istniejących Rys. 3.109. Rys. 3.108. Przekształcenia siatki elementów skończonych Rys. 3.109. Edycja punktów obserwacyjnych Recreate polecenie otwierające menu Postprocessor Data Recreation (Rys. 3.110) umożliwiające utworzenie danych wejściowych do modelu z wyników symulacji uzyskanych w danym kroku czasowym w aktualnych obliczeniach oraz zmianę /redukcję pliku *.dac.

156 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.110. Polecenie Data Recreation To problem editor polecenie umożliwiające powrót do edytora problemu przedprocesora programu FEFLOW. Continue simulation umożliwia kontynuację obliczeń symulacyjnych poprzez menu Continued Simulation from Postprocessor Rys. 3.111. Rys. 3.111. Menu kontynuacji obliczeń symulacyjnych Rys. 3.11. Zmiany ustawień czasu oraz kryteriów zbieżności i błędu procedury iteracyjnej

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 157 Możliwe jest uruchomienie symulacji kontynuującej nasze dotychczasowe obliczenia. Parametry czasowe nowej symulacji są określane w oknie FEFLOW Rerun Decision Menu pojawiającym się po wybraniu przycisku Start (continue) simulation. Start (continue) simulation i wyświetlone okno FEFLOW Rerun Decision Menu w tym miejscu decydujemy o czasie trwania przedłużonych obliczeń oraz określamy wartość błędu oraz rodzaj normy błędu iteracji, a także definiujemy maksymalną liczbę iteracji na krok czasowy Rys. 3.11. Control output zarządzanie plikami wynikowymi, które zostało dokładnie omówione przy opisie procesora FEFLOW. Modify solver options umożliwia modyfikację opcji solvera (wybór sposobu rozwiązywania równań symetrycznych i niesymetrycznych) mających bezpośredni wpływ na wartość wyników i stabilność symulacji. Uwaga! W przypadku braku wiedzy użytkownika na temat wpływu zmiany metod obliczeniowych na przebieg obliczeń symulacyjnych najlepszym wyjściem jest pozostawienie wbudowanych przez autorów modelu ustawień domyślnych. 3.5 Przykłady obliczeniowe modelowania ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym Poniżej zostaną zaprezentowane opracowane przez Autorów niniejszego podręcznika dwuwymiarowe przykłady obliczeniowe ruchu wody oraz transportu zanieczyszczeń oparte o przedstawione w poprzednich podrozdziałach zróżnicowane obszary obliczeniowe, właściwości ośrodka oraz omówione warunki początkowe i brzegowe. 3.5.1 Modelowanie ruchu wody Przykład nr 1 Przeprowadzić obliczenia symulacyjne podsiąku kapilarnego wody w kolumnie piaskowej o wymiarach 100 x 30 cm w czasie 10 dni (zmienny krok czasowy schemat Euler/Euler) dla następujących danych: Tabela 3.5. Dane wejściowe do Przykładu nr 1 Materiał Wypełnienie piaskowe Warstwa K s (cm d 1 ) s (-) cm 1 n (-) 0-100 cm 769,0000 0,400 0,0100 1,9600

158 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Warunki początkowe i brzegowe: Warunek początkowy saturacja (nasycenie) kolumny piaskowej 0%. Górny warunek brzegowy stałe parowanie wynoszące 0, mm d 1. Dolny warunek brzegowy stała wysokość potencjału hydraulicznego wynosząca 100 cm. Sprawdzić rozkład nasycenia wody gruntowej w czasie 1 (d), 5 (d) i 10 (d). Założenia do obliczeń: Zmienny krok czasowy. Maksymalna długość kroku czasowego 0,1 doby. Model obliczania przewodności nienasyconej gruntów van Ganuchtena. Trzy punkty obserwacyjne w osi symetrii kolumny. Nie uwzględniamy histerezy krzywej retencyjnej (pf). Nasycenie resztowe (S r ) równe 0 (-). Porowatość równa maksymalnemu nasyceniu. Preprocesor Tworzymy siatkę elementów skończonych o wymiarach 1,0 x 0,3 m, Rys. 3.113. Rys. 3.113. Tworzenie zadanej siatki elementów skończonych

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 159 Przenosimy początek układu współrzędnych na górną krawędź siatki Rys. 3.114. Rys. 3.114. Zmiana lokalizacji początku układu współrzędnych Ustalamy typ symulacji (dwuwymiarowy, nieustalony przepływ wody oparty o standardowe równanie Richardsa) Rys. 3.115. Rys. 3.115. Wybór podstawowych ustawień modelu

160 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Ustalamy czas trwania symulacji oraz sposób ustalania kroku czasowego, Rys. 3.116. Rys. 3.116. Wybór czasu trwania symulacji i sposobu obliczania kroku czasowego Ograniczamy długość maksymalnego kroku czasowego do 0,1 doby Rys. 3.117. Rys. 3.117. Ograniczenie maksymalnej dopuszczalnej długości trwania kroku czasowego Przypisujemy warunek początkowy nasycenie (saturacja) 0%, Rys. 3.118.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 161 Rys. 3.118. Określenie warunku początkowego Przypisujemy do elementów siatki parametry fizyko-wodne gruntu (wł. nasycone i nienasycone) Rys. 3.119. Rys. 3.119. Przypisanie elementom siatki parametrów fizyko-wodnych gruntu Przypisujemy dolny warunek brzegowy Head 1,0 m, Rys. 3.10. Rys. 3.10. Określenie dolnego warunku brzegowego

16 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Przypisujemy górny warunek brzegowy Flux 0,00 m d 1 Rys. 3.11. Rys. 3.11. Określenie górnego warunku brzegowego Zakładamy trzy punkty obserwacyjne w osi kolumny wg Rys. 3.1. Rys. 3.1. Naniesione punkty obserwacyjne

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 163 Sprawdzamy gotowość modelu Problem summary, Rys. 3.13. Rys. 3.13. Podsumowanie modelu Zapisujemy utworzony model numeryczny pod nazwą Przyklad 1.fem i przechodzimy do procesora obliczeniowego. Procesor Wybieramy sposób zapisu plików wynikowych pełny zapis symulacji plik z rozszerzeniem *.dac np. Przyklad 1.dac Rys. 3.14. Uruchamiamy symulację przyciskiem (Re-) Run Simulator Rys. 3.15. Po wykonaniu obliczeń przechodzimy do postprocesora.

164 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.14. Ustawienia zapisu pliku wynikowego Rys. 3.15. Obliczenia symulacyjne ruchu wody w kolumnie glebowej

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 165 Postprocesor Wczytujemy zapisany plik wynikowy. Sprawdzamy zadane rozkłady nasycenia gruntu wodą gruntową w czasie 1, 5 i 10 (d) poprzez wybór odpowiedniego kroku czasowego (Browse file) i podgląd rezultatów. Wygenerowane wykresy eksportujemy w dowolnym formacie. Przykład nr Przeprowadzić obliczenia symulacyjne podsiąku kapilarnego wody w dwuwarstwowej kolumnie glebowej o wymiarach 100 x 30 cm w czasie 10 dni (zmienny krok czasowy schemat Euler/Euler) dla następujących danych: Tabela 3.6. Dane wejściowe do Przykładu nr Materiał Warstwa K s s n (cm d 1 ) (-) cm 1 (-) Warstwa 1 0-50 cm 18 0,433 0,00596 1,489 Warstwa 50-100 cm 0,37 0,00113 1,946 Warunki początkowe i brzegowe: Warunek początkowy saturacja (nasycenie) kolumny glebowej warstwa I 50%, warstwa II 60%. Górny warunek brzegowy stałe parowanie wynoszące 0,5 mm d 1. Dolny warunek brzegowy stała wysokość potencjału hydraulicznego wynosząca 00 cm. Założenia do obliczeń: Zmienny krok czasowy. Maksymalna długość kroku czasowego 0,1 doby. Model obliczania przewodności nienasyconej gruntów model van Ganuchtena. Dwa punkty obserwacyjne w osi symetrii kolumny oraz linia obserwacyjna na podziale warstw. Nie uwzględniamy histerezy krzywej retencyjnej (pf). Nasycenie resztowe (S r ) równe 0 (-). Porowatość równa maksymalnemu nasyceniu. Sprawdzić rozkład nasycenia wody gruntowej i potencjału w czasie 1 (d), 5 (d) i 10 (d) oraz wyznaczyć objętość przepływu przez zadaną linię pomiarową w całym okresie symulacji.

166 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Za pomocą narzędzie Fluid flux analyzer wyznaczyć przepływ wody gruntowej przez płaszczyznę obserwacyjną w czasie trwania symulacji. Preprocesor Tworzymy siatkę elementów skończonych dwuwarstwowej kolumny o wymiarach 1,0 x 0,3 m (300 elementów, po 150 dla każdej z warstw) wg Rys. 3.16. Rys. 3.16. Utworzona siatka elementów skończonych Zmieniamy położenie początku układu współrzędnych Rys. 3.17. Rys. 3.17. Zmienione położenie początku układu współrzędnych

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 167 Ustalamy typ symulacji, czas jej trwania, sposób obliczania długości kroku czasowego oraz ograniczamy jego maksymalną długość do 0,1 doby. Przypisujemy zadane warunki początkowe warstwa I saturacja 0,5 (-) warstwa II saturacja 0,6 (-) wg Rys. 3.18. Rys. 3.18. Przypisywanie warunków początkowych Przypisujemy do elementów siatki parametry fizyko-wodne gruntu (właściwości nasycone i nienasycone), Rys. 3.19. Rys. 3.19. Przypisywanie parametrów fizyko-wodnych do elementów siatki

168 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Przypisujemy dolny warunek brzegowy wg Rys. 3.130 Head =,0 m. Rys. 3.130. Dolny warunek brzegowy Przypisujemy górny warunek brzegowy wg Rys. 3.131 Flux = 0,005 m. Rys. 3.131. Górny warunek brzegowy Zakładamy dwa punkty obserwacyjne w osi kolumny oraz linię obserwacyjną na podziale warstw, Rys. 3.13. Rys. 3.13. Założone punkty i linie obserwacyjne

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 169 Sprawdzamy gotowość modelu Problem summary. Zapisujemy utworzony model numeryczny pod nazwą Przyklad.fem. Procesor Wybieramy sposób zapisu plików wynikowych pełny zapis symulacji zawiera plik z rozszerzeniem *.dac. Uruchamiamy symulację przyciskiem (Re-)Run Simulator. Rys. 3.133. Wizualizacja pliku wynikowego w postprocesorze Po wykonaniu obliczeń przechodzimy do postprocesora. Rys. 3.134. Zmiany nasycenia gruntu wodą w czasie symulacji w wybranych punktach

170 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Postprocesor Wczytujemy zapisany plik wynikowy Rys. 3.133. Sprawdzamy zadane rozkłady nasycenia gruntu wodą gruntową w czasie 1, 5 i 10 (d) poprzez wybór odpowiedniego kroku czasowego (Browse file) i podgląd rezultatów. Wygenerowane wykresy eksportujemy w dowolnym formacie (Rys. 3.134). Za pomocą Fluid flux analyzer sprawdzamy objętość przepływu przez zadaną linię pomiarową, tak jak na Rys. 3.135 i Rys. 3.136. Rys. 3.135. Obliczenia natężenia przepływu wody gruntowej przez elementy siatki obszaru obliczeniowego Rys. 3.136. Wyniki obliczeń natężenia przepływu wody gruntowej przez elementy siatki

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 171 Przykład nr 3 Przeprowadzić obliczenia symulacyjne ruchu wody w trójwarstwowym profilu o szerokości 10 m i głębokości 3 m w czasie 0 dni (zmienny krok czasowy schemat Euler/Euler) dla następujących danych: Tabela 3.7. Dane wejściowe do Przykładu nr 3 Materiał Warstwa K s s r n (cm d 1 ) (-) (-) cm 1 (-) Warstwa 1 0-100 cm 5,91 0,43 0,0 0,034 1,801 Warstwa 100-180 cm 14,07 0,40 0,00 0,0194 1,50 Warstwa 3 180-300 cm 1,98 0,4 0,01 0,0084 1,441 Warunki początkowe i brzegowe: Warunek początkowy saturacja (nasycenie) kolumny glebowej warstwa I 30%, warstwa II 35%, warstwa III 31%. Górny warunek brzegowy zmienne parowanie dobowe wg tabeli poniżej: Tabela 3.8. Górny warunek brzegowy dla Przykładu nr 3 Dzień Średnie dobowe parowanie (mm) 1-4 1, 5-1 1,8 13-16,5 17-0,7 Dodatkowo w 15 dniu okresu obliczeniowego o godzinie 1 odnotowano opad o wysokości 1 mm w czasie 1 h, przy współczynniku spływu powierzchniowego wynoszącym 0,1. Dolny warunek brzegowy stała wysokość potencjału hydraulicznego wynosząca 150 cm. Założenia do obliczeń: Zmienny krok czasowy. Maksymalna długość kroku czasowego 0,1 doby. Model obliczania przewodności nienasyconej gruntów model van Genuchtena. Dwie linie obserwacyjne na granicach warstw. Nie uwzględniamy histerezy krzywej retencyjnej (pf). Nasycenie resztowe (S r ) równe 0 (-). Porowatość równa maksymalnemu nasyceniu.

17 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Wyznaczyć bilans przepływu wody gruntowej przez przyjęte płaszczyzny obserwacyjne. Preprocesor Wczytujemy przygotowaną wcześniej mapę profilu z pliku *.dxf, wg Rys. 3.137. Rys. 3.137. Wczytana mapa cyfrowa obszaru obliczeniowego Na podstawie mapy wczytanej w pkt. 1 budujemy siatkę elementów skończonych oraz ustawiamy początek układu współrzędnych na poziomie powierzchni terenu, tak jak na Rys. 3.138. Rys. 3.138. Tworzenie siatki elementów skończonych oraz zmiana lokalizacji położenia początku układu

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 173 Określamy zadane w treści problemu warunki początkowe Saturation warstwa I 0,3 (-), II 0,35 (-), III 0,31 (-) wg Rys. 3.139. Rys. 3.139. Określenie warunków początkowych Przypisujemy do elementów siatki parametry fizyko-wodne gruntu (właściwości nasycone i nienasycone), Rys. 3.140. Rys. 3.140. Przypisanie parametrów fizyko-wodnych gruntu do elementów siatki Przypisujemy do dolnej krawędzi siatki elementów skończonych warunek brzegowy I rodzaju Head = 1,5 m, wg Rys. 3.141. Rys. 3.141. Dolny warunek brzegowy

174 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Definiujemy funkcję określającą górny warunek brzegowy jak na Rys. 3.14. Rys. 3.14. Zmienna w czasie funkcja górnego warunku brzegowego Przypisujemy do górnej krawędzi siatki elementów skończonych warunek brzegowy Flux o zmiennej wartości funkcja ID 1 z Rys. 3.143. Rys. 3.143. Górny warunek brzegowy Ustalamy położenie linii obserwacyjnych wg Rys. 3.144.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 175 Rys. 3.144. Założone linie obserwacyjne Sprawdzamy gotowość modelu (Rys. 3.145) Problem summary. Rys. 3.145. Podsumowanie modelu Zapisujemy utworzony model numeryczny pod nazwą Przyklad 3.fem i przechodzimy do procesora obliczeniowego.

176 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Procesor Wybieramy sposób zapisu plików wynikowych pełny zapis symulacji plik z rozszerzeniem *.dac np. Przykład 3.dac. Uruchamiamy symulację przyciskiem (Re-)Run Simulator Rys. 3.146. Rys. 3.146. Obliczenia symulacyjne ruchu wody w trójwarstwowym profilu gruntowym Po wykonaniu obliczeń przechodzimy do postprocesora. Postprocesor Wczytujemy zapisany plik wynikowy. Za pomocą Fluid flux analyzer sprawdzamy objętość przepływu przez zadane płaszczyzny/linie pomiarowe: 1-1 i - wg Rys. 3.147 i Rys. 3.148.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 177 Rys. 3.147. Obliczenia natężenia przepływu wody gruntowej przez zadane linie pomiarowe Rys. 3.148. Wyniki obliczeń natężenia przepływu wody gruntowej przez zadane linie pomiarowe

178 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód 3.5. Przykłady modelowania transportu masy z FEFLOW Przykład nr 1 Przeprowadzić obliczenia numeryczne transportu kadmu w kolumnie glebowej opisanej w przykładzie nr 1 (Przykład 1.fem). Zastosować następujące parametry transportu zanieczyszczenia: Tabela 3.9. Dane wejściowe do Przykładu nr 1 transportu masy Współczynniki Dyspersjność Dyspersjność sorpcji Henry ego (-) dyfuzji molekularnej (m s 1 ) rozpadu w reakcji I rz. (s 1 ) podłużna (m) poprzeczna (m) 78,97 1,0 10 9 1,77 10 8 7,60 0,5 Warunki początkowe i brzegowe: Warunki początkowe: stężenie zanieczyszczenia 0,01 mg dm 3. Warunki brzegowe: 10 cm pas warunku I rodzaju Mass o wartości 0,1 mg dm 3 na górnej krawędzi profilu gruntowego. Należy przeanalizować rozkład zanieczyszczenia w 10 dniu symulacji. Preprocesor Wczytujemy zapisany wcześniej plik zawierający model ruchu wody w jednorodnej kolumnie glebowej Przyklad 1.fem. Poprzez Menu Edit Edit problem attributes uruchamiamy preprocessor. Zmieniamy parametry symulacji w oknie Problem Class (Rys. 3.149) włączamy opcje modelowania transportu pojedynczego zanieczyszczenia nieustalony ruch wody i nieustalony transport zanieczyszczeń. Do elementów siatki przypisujemy parametry transportowe wybranego zanieczyszczenia, Rys. 3.150. Przypisujemy warunek początkowy wg Rys. 3.151, Mass = 0,01 mg dm 3. Określamy stały warunek brzegowy Mass = 0,1 mg dm 3 na 10 cm pasie górnej krawędzi obszaru obliczeniowego, tak jak pokazano na Rys. 3.15. Za pomocą polecenia Problem summary (Rys. 3.153) sprawdzamy główne ustawienia modelu oraz jego gotowość do uruchomienia.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 179 Rys. 3.149. Podstawowe ustawienia modelu transportu masy zanieczyszczenia Rys. 3.150. Przypisanie parametrów transportu masy zanieczyszczenia

180 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.151. Określenie warunku początkowego transportu masy zanieczyszczenia Rys. 3.15. Górny warunek brzegowy transportu masy zanieczyszczenia

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 181 Rys. 3.153. Podsumowanie utworzonego modelu Zapisujemy opracowany model pod nazwą Przyklad 1 Transport.fem. Przechodzimy do procesora programu FEFLOW. Procesor Wybieramy sposób zapisu plików wynikowych pełny zapis symulacji, plik z rozszerzeniem *.dac np. Przyklad 1 Transport.dac. Uruchamiamy symulację (Rys. 3.154) przyciskiem (Re-)Run Simulator.

18 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.154. Obliczenia numeryczne ruchu wody i transportu zanieczyszczenia w procesorze Po zakończeniu obliczeń przechodzimy do postprocesora. Postprocesor Wczytujemy zapisany plik wynikowy Przykład 1 Transport.dac. Za pomocą polecenia Browse file wybieramy interesujący nas krok czasowy. Poprzez polecenie View results at wyświetlamy zadane wyniki obliczeń. Wygenerowane wykresy eksportujemy w dowolnym formacie (Rys. 3.155).

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 183 Rys. 3.155. Wykres wynikowy obliczeń stężenia zanieczyszczenia w kolumnie glebowej Przykład nr Przeprowadzić obliczenia transportu zanieczyszczenia (chromu) o parametrach podanych poniżej w czasie 10 dni (zmienny krok czasowy schemat Euler/Euler) w profilu dwuwarstwowej kolumny glebowej o wymiarach 100 x 30 cm opisanej w przykładzie nr modelowania ruchu wody w ośrodku porowatym. Tabela 3.10. Dane wejściowe do Przykładu nr transportu masy Nr Współczynniki Dyspersjność sorpcji Henry ego dyfuzji molekularnej rozpadu w reakcji I rz. podłużna (-) (m s 1 ) (s 1 ) (m) (m) 1 0,0 1,0 10 9,886 10 7 36,00 0,5 0,191 1,0 10 9,886 10 7,50 0,5 Dyspersjność poprzeczna

184 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Dane glebowo-wodne oraz założenia do obliczeń bez zmian poza: Górny warunek brzegowy (ruch wody) stała wartość infiltracji wynosząca 1,8 mm d 1 w ciągu pierwszych trzech dni symulacji, następnie stała wartość parowania 1, mm d 1. Założenia do obliczeń transportu zanieczyszczeń Warunek początkowy równomierne stężenie tła 0,7 mg dm 3. Wejście zanieczyszczeń do profilu przez lewą połowę górnej krawędzi. Górny warunek brzegowy stałe natężenie dopływu zanieczyszczenia do profilu Flux = 5 mg dm 3 w czasie pierwszych trzech dni symulacji. Stężenie referencyjne c 0 = 0,0 mg dm 3. Sprawdzić rozkład zanieczyszczeń w czasie 5 (d) i 10 (d). Preprocesor Wczytujemy do programu zapisany wcześniej plik zawierający model ruchu wody w jednorodnej kolumnie glebowej Przykład.fem. Poprzez Menu Edit Edit problem attributes uruchamiamy preprocessor. Zmieniamy parametry symulacji w oknie Problem Class włączamy opcje modelowania transportu pojedynczego zanieczyszczenia nieustalony ruch wody i nieustalony transport zanieczyszczeń. Zmieniamy górny warunek brzegowy usuwamy istniejący warunek brzegowy, poprzez polecenie Time varying functions ID tworzymy funkcję opisującą zadany górny warunek brzegowy oraz nanosimy nowy warunek brzegowy na górną krawędź obszaru obliczeniowego wg Rys. 3.156 i Rys. 3.157. Rys. 3.156. Zmienna w czasie funkcja górnego warunku brzegowego

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 185 Rys. 3.157. Zmienny w czasie górny warunek brzegowy naniesiony na granicę modelu Określamy warunek początkowy stężenia zanieczyszczeń Mass = 0,7 mg dm 3 poprzez polecenie Transport Data, Mass Transport Initials, Mass wg Rys. 3.158. Rys. 3.158. Warunek początkowy obliczeń transportu zanieczyszczenia Definiujemy zmienną w czasie funkcję górnego warunku transportu masy (Transport Data, Mass Transport Boundaries, Time varying functions ID) oraz nanosimy zmienny w czasie warunek drugiego rodzaju Flux na lewą połowę górnej granicy przyjętego obszaru obliczeniowego, wg Rys. 3.159 i Rys. 3.160. Następnie przypisujemy zadane parametry transportu zanieczyszczenia do siatki elementów skończonych, Rys. 3.161.

186 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.159. Zmienna w czasie funkcja górnego warunku brzegowego transportu substancji Rys. 3.160. Zmienny w czasie górny warunek brzegowy transportu zanieczyszczenia Rys. 3.161. Przypisane do elementów siatki parametry transportowe ośrodka

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 187 Rys. 3.16. Podsumowanie modelu Za pomocą polecenia Problem Summary sprawdzamy ustawienia modelu oraz jego gotowość do uruchomienia Rys. 3.16. Zapisujemy utworzony model jako plik np. Przykład Transport.fem i przechodzimy do procesora. Procesor Wybieramy sposób zapisu plików wynikowych pełny zapis symulacji plik z rozszerzeniem *.dac np. Przyklad Transport.dac. Uruchamiamy symulację przyciskiem (Re-)Run Simulator, Rys. 3.163. Po zakończeniu obliczeń numerycznych przechodzimy do postprocesora.

188 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Postprocesor Rys. 3.163. Obliczenia numeryczne w procesorze FEFLOW W postprocesorze wczytujemy zapisany plik wynikowy Przyklad Transport.dac. Za pomocą polecenia Browse file wybieramy interesujący nas krok czasowy. Poprzez polecenie View results at wyświetlamy zadane wyniki obliczeń. Wygenerowane wykresy (Rys. 3.164) eksportujemy w dowolnym formacie.

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 189 Rys. 3.164. Rozkład zanieczyszczenia ośrodka chromem w zadanych krokach czasowych Przykład nr 3 Przeprowadzić obliczenia transportu zanieczyszczenia fenolem w czasie 0 dób w trójwarstwowym profilu glebowym dla ruchu wody w ośrodku porowatym. Dane glebowo-wodne oraz założenia do obliczeń bez zmian poza: Lewy warunek brzegowy dla środkowej warstwy Flux = 0,008 m d 1 w czasie 5-10 dnia symulacji. Założenia do obliczeń transportu zanieczyszczeń Tabela 3.11. Tabela 3.11. Dane wejściowe do Przykładu nr 3 transportu masy Nr Współczynniki Dyspersjność sorpcji Henry ego dyfuzji molekularnej rozpadu w reakcji I rz. podłużna (-) (m s 1 ) (s 1 ) (m) (m) 1 0,1485 1,0 10 9 1,146 10 6 36,00 0,5 0,1408 1,0 10 9 1,146 10 6 1,50 0,5 3 0,1408 1,0 10 9 1,146 10 6 1,50 0,5 Dyspersjność poprzeczna

190 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Warunek początkowy równomierne stężenie tła 0,03 mg dm 3. Wejście zanieczyszczeń do profilu przez lewą stronę środkowej warstwy analizowanego profilu. Górny warunek brzegowy stałe natężenie dopływu zanieczyszczenia do profilu Flux = 0,35 mg dm 3 w czasie 5-10 (d) symulacji. Stężenie referencyjne c 0 = 0,0 mg dm 3. Obliczyć zawartość zanieczyszczenia w profilu glebowym po 10 dniu symulacji oraz natężenie przepływu wody przez pionową linię obserwacyjną zlokalizowaną w odległości 1,0 metra od lewej granicy obszaru obliczeniowego. Preprocesor Wczytujemy zapisany wcześniej plik zawierający model ruchu wody w jednorodnej kolumnie glebowej Przykład 3.fem. Poprzez Menu Edit Edit problem attributes uruchamiamy przedprocesor. Zmieniamy parametry symulacji w oknie Problem Class włączamy opcje modelowania transportu pojedynczego zanieczyszczenia nieustalony ruch wody i nieustalony transport zanieczyszczeń, wg Rys. 3.165. Rys. 3.165. Podstawowe ustawienia modelu transportu fenolu w profilu gruntowym

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 191 Definiujemy boczny warunek brzegowy określający dopływ wody do profilu glebowego poprzez polecenie Time varying functions ID tworzymy funkcję opisującą zadany boczny warunek brzegowy oraz nanosimy nowy warunek brzegowy na górną krawędź obszaru obliczeniowego, jak na Rys. 3.166 i Rys. 3.167. Rys. 3.166. Zmienna w czasie funkcja bocznego warunku brzegowego Rys. 3.167. Boczny warunek brzegowy Definiujemy warunek początkowy stężenia zanieczyszczeń Mass = 0,03 mg dm 3 poprzez polecenie Transport Data, Mass Transport Initials, Mass, Rys. 3.168.

19 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Rys. 3.168. Warunek początkowy transportu masy Definiujemy zmienną w czasie funkcję bocznego warunku brzegowego transportu masy (Transport Data, Mass Transport Boundaries, Time varying functions ID) oraz nanosimy zmienny w czasie warunek drugiego rodzaju Flux na lewą krawędź granicy środkowej warstwy przyjętego obszaru obliczeniowego wg Rys. 3.169 i Rys. 3.170. Rys. 3.169. Zmienna w czasie funkcja bocznego warunku brzegowego dla transportu zanieczyszczenia Rys. 3.170. Zmienny w czasie boczny warunek brzegowy dla transportu zanieczyszczenia

Modelowanie ruchu wody i transportu zanieczyszczeń w ośrodku porowatym 193 Przypisujemy zadane parametry transportu zanieczyszczenia do siatki elementów skończonych (Rys. 3.171) Transport Data, Mass Transport Materials. Rys. 3.171. Przypisane parametry transportowe ośrodka Za pomocą polecenia Problem Summary sprawdzamy ustawienia modelu oraz jego gotowość do uruchomienia (Rys. 3.17). Zapisujemy utworzony model jako plik np. Przykład 3 Transport.fem i przechodzimy do procesora. Rys. 3.17. Podsumowanie opracowanego modelu

194 M. Widomski, D. Kowalski, G. Łagód Procesor Wybieramy sposób zapisu plików wynikowych pełny zapis symulacji, plik z rozszerzeniem *.dac np. Przyklad Transport.dac. Uruchamiamy symulację (Rys. 3.173) przyciskiem (Re-)Run Simulator. Rys. 3.173. Obliczenia numeryczne w procesorze Po zakończeniu obliczeń numerycznych przechodzimy do postprocesora. Za pomocą Postprocesora wczytujemy zapisany plik wynikowy Przyklad 3 Transport.dac. Dla czasu symulacji t = 0 (d) uruchamiamy narzędzie Content Analyzer i wyznaczamy masę rozpuszczonego zanieczyszczenia (Dilluted mass) wg Rys. 3.174. Rys. 3.174. Zawartość (masy) zanieczyszczenia w rozpatrywanym profilu po zakończeniu obliczeń