MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 73 Wykresy wachlarzowe inflacji a różne wymiary nieewności Halina Kowalczyk Warszawa, 0 r.
Wykresy wachlarzowe inflacji a różne wymiary nieewności Halina Kowalczyk Instytut Ekonomiczny NBP Dziękuję koleom z Instytutu Ekonomiczneo NBP za insirację do odjęcia tematu, a Tomaszowi Łyziakowi i Recenzentowi za cenne uwai i suestie. Polądy rzedstawione w artykule są olądami własnymi autorki i nie muszą odzwierciedlać stanowiska NBP. Projekt raficzny: Oliwka s.c. Skład i druk: Drukarnia NBP Wydał: Narodowy Bank Polski Deartament Edukacji i Wydawnictw 00-99 Warszawa, ul. Świętokrzyska / tel. 653 3 35, fax 653 3-3 - Coyriht Naro dowy Bank Polski, 0 ISSN 084 658 Materiały i Studia są rozrowadzane bezłatnie Dostęne są również na stronie internetowej NBP: htt://www.nb.l
Sis treści Sis treści:. Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych.... 3 Pierwotne znaczenie ojęcia fan chart.......34 Wykresy wachlarzowe tworzone w oarciu o błędy statystyczne...4 5. Systematyka nieewności oarta na trzech wymiararach...8 9 3. Drui wymiar nieewności w oularnych metodach... 4. Trzeci wymiar nieewności a dotychczasowe metody.3 4 5. Problem wymieszania różnych tyów nieewności.....7 8 6. Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych.9 0 Dyskretny rozkład subiektywny.0 Ciąły rozkład subiektywny.. Szczeólny rzyadek ciąłeo rozkładu subiektywneo TPN. 3 Przykład wykresu wachlarzoweo dwa alternatywne scenariusze..7 7. Zakończenie 9 30 Bibliorafia....30 3 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73
Streszczenie Streszczenie W oracowaniu omówiono roblemy związane z rzedstawianiem nieewności ronoz makroekonomicznych rzy omocy wykresów wachlarzowych (fan charts). Zwrócono uwaę na konieczność odróżniania błędów statystycznych i zmienności w czasie od nieewności wynikającej z nieełnej wiedzy. Wskazano na otrzebę dokładniejszeo definiowania składowych nieewności. Pokazano oraniczenia tradycyjnych metod konstrukcji wykresów wachlarzowych w sytuacjach, dy istnieje duża nieewność co do możliwych scenariuszy. Zaroonowano modyfikacje oleające na wrowadzeniu dwóch rozkładów, z których jeden oisuje nieewność scenariuszową, a drui charakteryzuje nieewność modelu lub systemu ronostyczneo. Do rzedstawiania całkowitej nieewności wykorzystywane są mieszanki rozkładów albo sloty ęstości rawdoodobieństwa. Proonowane odejście ozwala na zachowanie informacji o scenariuszach istotnych dla rocesu decyzyjneo, a także na osobne analizowanie nieewności o różnym charakterze. Słowa kluczowe: wykresy wachlarzowe, rojekcje inflacji, subiektywne rozkłady rawdoodobieństwa, nieewność, scenariusze, slot ęstości Klasyfikacja JEL: C9, C53, E39 - - N a r o d o w y B a n k P o l s k i
Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych. Zaomniane funkcje f wykresóww wachlarzowychh Procesowi ronostycznemu towarzyszy nieewność wykorzystujemy modele, które są jedynie uroszczonym obrazem rzeczywistości; nie dysonujemy dokładnymi danymi; nie wiemy, co się wydarzy. Od lat owszechnie wykorzystywanymm sosobemm rezentowania nieewności rojekcji łównych wskaźników makroekonomicznych, ublikowanych rzez banki centralne, są wykresyy wachlarzowe (fan charts). NBP idącc za rzykładem Banku Anlii i Banku Szwecji, umieszcza je w Raortach o Inflacji od 004 roku. Wykresy wachlarzowe konstruowane są w oarciu o teoretyczne lub emiryczne funkcje ęstości rozkładów rawdoodobieństwa, otrzymane w wyniku analizy nieewności dla rzedstawianych ho- ryzontów ronozy (wykress ). Wykres Wykres wachlarzowy a funkcje ęstości Sosób uzyskiwania rozkładów, tzn. wiedza o tym jakie rzyjęto założeniaa i jaką nieew- wykresów wachlarzowych. Stało się to szczeólnie ważne w kontekście oszerzenia sek- trum modeli wykorzystywanych w bankach, bowiem zakres możliwej do rzerowadzenia analizy nieewności jest w znacznej mierze zdeterminowany tyem modelu. Nie bez zna-z czenia są też referencje zmieniających się zesołów ronostycznych. Skuiając uwaę na samymm wykresie trudno jest na oół stwierdzić, czy rzedstawiane są ność uwzlędniono w obliczeniach, ma zasadnicze znaczenie dla właściwej interretacji rzedziały ufności otrzymane w wynikuu estymacji, rzewidywana zmienność, czy też moż- liwość wystąienia różnych wartości wskaźnika odowiadają cych odmiennym scenariu- szom rozwoju sytuacji osodarczej. - - MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 3
Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych Pierwotne znaczenie ojęcia fan chart Koncecja wykresów wachlarzowych narodziła się w Banku Anlii. Pierwszy fan chart został rzedstawiony w Inflation Reort w lutym 996 roku, ale już wcześniej Bank Anlii uznawał za konieczne zwrócenie uwai na towarzyszącą ronozom nieewność i w latach 993-995 ublikował swoje rojekcje w formie wykresów rzedstawiających ścieżkę centralną otoczoną zacieniowanym (jednokolorowym) obszarem o ranicach wyznaczonych rzez średni błąd absolutny ronoz z orzednich 0 lat. Ten sosób rezentacji uznano jednak szybko za niesatysfakcjonujący (or. Britton, Fisher, Whitley 998) z nastęujących owodów: Odbiorcy ronoz inorowali informację o możliwym dużym błędzie i nadal rzywiązywali nadmierną waę do ścieżki centralnej. Granice rzedstawianeo obszaru nieewności były często błędnie interretowane jako zakres wartości ronozowaneo wskaźnika. Brakowało, istotnej dla uzasadnienia odejmowanych rzez Bank decyzji, oceny ryzyka realizacji scenariuszy odmiennych niż ten, któremu odowiadała ublikowana ścieżka centralna. Wrowadzenie wykresów wachlarzowych stworzyło możliwość odzwierciedlenia subiektywnej oceny Banku Anlii na temat resji inflacyjnej i jej rozwoju w czasie. Błąd statystyczny zastąiono rozkładem rawdoodobieństwa odzwierciedlającym dyskusję nad alternatywnymi założeniami i okazującym, jak rawdoodobne są w członków Monetary Policy Committe (MPC) różne wartości wskaźnika inflacji (rzy niezmienionych stoach rocentowych). Wykresy wachlarzowe okazywały rawdoodobieństwo rzedziałów zbudowanych wokół ronozy centralnej otrzymanej w wyniku rzeliczenia modelu dla najbardziej rawdoodobneo scenariusza oraz uwzlędniały inne - relatywnie mniej rawdoodobne scenariusze rowadzące do ścieżek o rawdoodobieństwie wynikającym z subiektywnych ocen dotyczących szans realizacji odowiednieo zestawu założeń. Otrzymanie ełneo rozkładu wymaałoby rzeliczenia modelu dla wszystkich alternatywnych założeń, co oczywiście było nierealne. W raktyce analizowano ich oraniczoną liczbę i doasowywano do wyników rozkład rawdoodobieństwa. O roblemach wynikających z ostaci zakładaneo rozkładu będzie mowa w rozdz. 4. W tym miejscu chcemy jedynie odkreślić, że ierwotnie od ojęciem fan chart rozumiano nie tylko ty wykresu, tzn. sosób raficzneo rzedstawienia rozkładu rawdoodobieństwa. Co najmniej równie istotne były rzyisane wykresowi funkcje - nie srowadzały się one do statystyczneo oisu błędów i zmienności. Brano je od uwaę w trakcie określania 4 arametrów rozkładów, ale bardzo ważne było odzwierciedlenie nieewności wynikającej oraniczonych możliwości rzewidywania rzyszłych - 3 - zjawisk makroekonomicznych. O tej znaczeniowej warstwie nie zawsze się amięta. N a r o d o w y B a n k P o l s k i
Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych one do statystyczneo oisu błędów i zmienności. Brano je od uwaę w trakcie określania arametrów rozkładów, ale bardzo ważne było odzwierciedlenie nieewności wynikającej oraniczonych możliwości rzewidywania rzyszłych zjawisk makroekonomicznych. O tej znaczeniowej warstwie nie zawsze się amięta. Wykresy wachlarzowe tworzone w oarciu o błędy statystyczne MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 5 Z czasem wykresy wachlarzowe zaczęto traktować jako uniwersalne narzędzie do rzedstawiania ronoz makroekonomicznych otrzymywanych rzy omocy różnorodnych modeli ełniących zarówno łówne, jak i omocnicze funkcje w systemach ronostycznych. Są wśród nich modele, które nie odwołują się do rzyszłych wartości zmiennych ezoenicznych, a więc nie ozwalają na bezośrednie rzerowadzanie analiz scenariuszowych stanowiących istotę wykresów wachlarzowych w ich ierwotnym wydaniu. Do teo tyu modeli należy wiele rostych modeli statystycznych, ale też złożone modele DSGE, w których jedynymi zmiennymi określanymi oza modelem są losowe szoki. Być może właśnie rosnącą rolą modeli DSGE w systemach ronostycznych banków centralnych należy tłumaczyć ewien reres w zakresie komunikowania nieewności rzejawiający się w owrocie do charakteryzowania nieewności ronoz za omocą błędów statystycznych ex ost. Dotyczy to nawet oficjalnej rojekcji Banku Szwecji, w którym wcześniej rzywiązywano dużą waę do synalizowania ryzyka wystąienia odmiennych scenariuszy, a od 007 r. zaczęto ublikować idealnie symetryczne wykresy wachlarzowe oarte na błędach historycznych. Sytuacja jest o tyle aradoksalna, że takie tendencje obserwujemy w okresie uowszechniania się metod otwierających nowe możliwości, w szczeólności metod wykorzystujących odejście bayesowskie czy filtr Kalmana. Historyczne błędy statystyczne, w tym najoularniejszy RMSE (ierwiastek błędu średniokwadratoweo) są oczywiście dobrym unktem wyjścia do szacowania nieewności, dyż uwzlędniają różne źródła błędów oełnianych w rzeszłości: nieewność modelu (dotyczącą zarówno struktury jak i oszacowań arametrów), błędy założeń, błędy omiaru wielkości wykorzystywanych rzez modele. Ale wykres wachlarzowy owstały w oarciu o RMSE informuje jedynie o tym, że twórcy ronoz mają świadomość dotychczasowych błędów towarzyszących ich ronozom unktowym i że analoiczne błędy moą dotyczyć aktualnie rzedstawianej rojekcji centralnej. Taka informacja jest ważna dla uświadomienia odbiorcom ronoz, że są one z natury nieewne i konieczne jest uwzlędnienie ryzyka łącząceo się z ich wykorzystywaniem. Daje też możliwość oszacowania teo ryzyka i ozwala wnioskować o cechach modelu lub systemu ronostyczneo. Jest natomiast niewystarczająca z unktu widzenia osób odejmujących decyzje, szczeólnie wtedy, dy w - 4 - otoczeniu osodarczym mają miejsce nietyowe zjawiska, dyż informuje jedynie o rzeciętnej wartości rzeszłych błędów a nie o błędzie w konkretnym unkcie czasowym. Mówi o tym, jakiej dokładności możemy się sodziewać ronozując dotychczasowymi metodami i
Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych łącząceo się z ich wykorzystywaniem. Daje też możliwość oszacowania teo ryzyka i ozwala wnioskować o cechach modelu lub systemu ronostyczneo. Jest natomiast niewystarczająca z unktu widzenia osób odejmujących decyzje, szczeólnie wtedy, dy w otoczeniu osodarczym mają miejsce nietyowe zjawiska, dyż informuje jedynie o rzeciętnej wartości rzeszłych błędów a nie o błędzie w konkretnym unkcie czasowym. Mówi o tym, jakiej dokładności możemy się sodziewać ronozując dotychczasowymi metodami i w zbliżonym środowisku. Nie ma jednak żadnej warancji, że rzyszłe ronozy będą obarczone analoicznym błędem. RMSE nie dostarcza onadto żadnej informacji o strukturze błędów. Będzie ona zuełnie różna dla różnych klas modeli. Wykresy wachlarzowe oarte na RMSE, moą być wykorzystywane do rzedstawienia własności ronostycznych modeli w różnych horyzontach i być omocne rzy odejmowaniu decyzji o wyborze teo czy inneo modelu dla określonych celów. Moą stanowić odstawę do orównań modeli (o ile modele nie różnią się zbytnio złożonością czy stoniem ezoeniczności), dyż jest dosyć obiektywną i uniwersalną miarą nieewności ronoz (oczywiście jedynie unktowych), co staje się dosyć istotne wobec różnorodności zarówno samych modeli jak też technik estymacji, filtracji i redykcji stosowanych w ronozowaniu makroekonomicznym. Jeżeli jednak decyzje nie dotyczą wyboru modelu, lecz sosobu rowadzenia olityki ieniężnej, to ich rzydatność jest oraniczona, dyż nie dają odowiedzi na ytania o rawdoodobieństwo znalezienia się wskaźnika makroekonomiczneo w tym czy innym rzedziale dla określoneo horyzontu ronozy. Kolejnym roblemem jest to, że RMSE nie odzwierciedla roaacji błędu w czasie. Otrzymujemy obraz błędów bezwarunkowych. Może się zdarzyć, szczeólnie w rzyadku modeli do ronozowania średnio- i dłuookresoweo, że otrzymamy zwężający się wachlarz ze wzlędu na mniejsze błędy RMSE dla dłuższych horyzontów. (Charemza i in. (009) okazują jak inaczej można oisywać statystyczne błędy ronoz uwzlędniając zależność i asymetrię rozkładów). W rzyadku ewnych klas modeli za naturalne można by uznać tworzenie wykresów wachlarzowych na odstawie teoretycznych rozkładów redyktywnych wyrowadzanych na odstawie ostaci modelu. (Przeląd metod konstrukcji rzedziałów redykcji dla wybranych tyów modeli statystycznych można znaleźć n. w Chatfield 993). Wiążą się z tym jednak ewne roblemy, mianowicie: Przedziały redykcji, otrzymywane w sosób klasyczny, bazują na doasowaniu 6 modelu do danych i oisują jedynie efekty niedokładności - 5 - estymacji arametrów i/lub nieewność rezydualną. Dla rzykładu, rzy wyrowadzaniu rozkładów redyktywnych dla modeli reresji liniowej, standardem stało się uwzlędnianie nieewności oszacowań arametrów i nieewności rezydualnej, ale już w rzyadku N amodeli r o d otyu w y ARIMA B a n k uwzlędnia P o l s k i się zazwyczaj jedynie nieewność rezydualną - nieewność arametrów jest inorowana,
Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych Przedziały redykcji, otrzymywane w sosób klasyczny, bazują na doasowaniu modelu do danych i oisują jedynie efekty niedokładności estymacji arametrów i/lub nieewność rezydualną. Dla rzykładu, rzy wyrowadzaniu rozkładów redyktywnych dla modeli reresji liniowej, standardem stało się uwzlędnianie nieewności oszacowań arametrów i nieewności rezydualnej, ale już w rzyadku modeli tyu ARIMA uwzlędnia się zazwyczaj jedynie nieewność rezydualną - nieewność arametrów jest inorowana, mimo znanych rezultatów teoretycznych (n. Fuller, Hasza 98; de Luna 000). Rozkłady redyktywne nie uwzlędniają nieewności zmiennych ezoenicznych. Jest to zresztą zrozumiałe wobec komlikacji, które byłyby z tym związane nawet w rzyadku bardzo rostych modeli (or. Feldstein 997). Rozkładom redyktywnym towarzyszy założenie o orawności ostaci modelu. Waa teo założenia jest różna w zależności od stonia weryfikacji teorii leżącej u odstaw modelu. W rzyadku modeli czysto statystycznych nieewność ostaci modelu może być składową o zasadniczym znaczeniu (or. Chatfield 995). Remedium może stanowić bayesowskie uśrednianie modeli ( Bayesian Model Averain, BMA; n. Hodes 987; Raftery, Madian, Volinsky,995). BMA jest z owodzeniem stosowane do wielu tyów modeli statystycznych. Nie rowadzi jednak do interretowalneo modelu, co oranicza obszar zastosowań. Zatem konstruowanie wykresów wachlarzowych w oarciu o teoretyczne rozkłady redyktywne nie jest raczej właściwym wyborem w kontekście decyzyjnym (nie tylko z teo owodu, że modele, dla których takie rozkłady można otrzymać, są zbyt uroszczone i moą być wykorzystywane jedynie w charakterze omocniczych). Od modeli, których zadaniem jest wsieranie rocesu decyzyjneo wymaa się znacznie więcej niż dobreo doasowania do danych. Oczekuje się, że będą objaśniały zarówno to, co się już wydarzyło, jak i to co się może wydarzyć. Powinny też dawać możliwość analizowania różnorodnych imlikacji obserwowanych lub rzewidywanych zdarzeń oraz skutków odmiennych decyzji. Zesoły odowiedzialne za rzyotowanie rojekcji na otrzeby olityki ieniężnej stają rzed roblemem uwzlędnienia istotnych źródeł nieewności związanych z formułowanymi rzez eksertów założeniami dotyczącymi stanu oczątkoweo (tzw. unktu startoweo) i rzyszłych wartości zmiennych oisujących otoczenie zewnętrzne. Pojawia się otrzeba włączenia nieewności o odmiennym charakterze nieewności, która wynika z nieełnej wiedzy i może być oisana jedynie rzy omocy subiektywnych MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 7 rozkładów rawdoodobieństwa, które nie odzwierciedlają reuł rządzących zjawiskami losowymi (w rzeciwieństwie do obiektywnych rozkładów statystycznych). - 6 - Reasumując: Rosnąca oularność wykresów wachlarzowych traktowanie ich jako uniwersalneo narzędzia rezentowania ronoz makroekonomicznych wymaa dokładniejszeo określania, co kryje się od ojęciem nieewność. Różne zesoły ronostyczne moą definiować nieewność w całkowicie odmienny sosób.
Zaomniane funkcje wykresów wachlarzowych rozkładów rawdoodobieństwa, które nie odzwierciedlają reuł rządzących zjawiskami losowymi (w rzeciwieństwie do obiektywnych rozkładów statystycznych). Reasumując: Rosnąca oularność wykresów wachlarzowych traktowanie ich jako uniwersalneo narzędzia rezentowania ronoz makroekonomicznych wymaa dokładniejszeo określania, co kryje się od ojęciem nieewność. Różne zesoły ronostyczne moą definiować nieewność w całkowicie odmienny sosób. Projekcjom ublikowanym rzez banki centralne towarzyszą zwykle wyczerujące oisy modeli i sosobu otrzymywania wykresów wachlarzowych (NBP ublikuje szczeółowe informacje na swojej stronie internetowej). Zaoznanie się z objaśnieniami jest niezbędne dla właściwej interretacji ronoz rzedstawianych w kateoriach robabilistycznych. Ma też zasadnicze znaczenie dla wykorzystania informacji o nieewności rzy odejmowaniu decyzji rzez różne odmioty. - 7-8 N a r o d o w y B a n k P o l s k i
Systematyka nieewności oarta na trzech wymiarach. Systematyka nieewności oarta na trzech wymiarach Wielu roblemów, wystęujących rzy analizowaniu i oisywaniu nieewności, można byłoby rawdoodobnie uniknąć uwzlędniając jej wielowymiarowy charakter, jak to roonują Walker i in. (003). Stworzyli oni tyoloię nieewności obejmującą, rozwijającą i orządkującą wiele innych systemów ojęciowych oracowanych rzez secjalistów z różnych dziedzin. Wydaje się, że warto ją rzenieść na runt ronozowania makroekonomiczneo. Walker i in. ojmują nieewność bardzo szeroko - jest nią każde odchylenie od nieosiąalneo ideału, jakim jest determinizm i rozatrują jej trzy wymiary. Pierwszy wymiar służy określeniu obszaru modelowania, w którym zlokalizowana jest analizowana składowa nieewności. Dwa kolejne określają jej oziom i naturę. Lokalizacja nieewności Wyróżniane są nastęujące lokalizacje: Kontekst określa, co jest rzedmiotem modelowania, jaka część realneo świata jest oisywana rzez model i jak komletny jest to ois. Kontekst decyduje o możliwościach wykorzystania modelu do określonych celów. Użycie modelu w niewłaściwym kontekście wiąże się z nieewnością wyników. Model jeo struktura (definicje zmiennych, relacje miedzy nimi, założenia, alorytmy matematyczne) a także arametry i imlementacja komuterowa. Obszar wejścia dane oisujące modelowany system i zmienne zewnętrzne wywołujące zmiany w systemie z odziałem na te, na które nie można wływać i te, które odleają kontroli czy sterowaniu (w oryinale: scenario i olicy variables). Obszar wyjścia - nieewność związana z tym obszarem, to efekt kumulacji nieewności z orzednich obszarów. Poszczeólne składowe roaowane są zodnie z loiką modelu, dając w efekcie nieewność wyników modelu a więc to, co zwykle nazywane jest błędem redykcji. Poziom nieewności Proonowana jest nastęująca radacja oziomu nieewności: determinizm nieewność statystyczna nieewność scenariuszowa uświadomiona niewiedza absolutna niewiedza. Determinizm odowiada idealnej sytuacji, tzn. ewności. Na druim krańcu jest sytuacja, dy nie jesteśmy w stanie określić nawet teo, czeo nie wiemy. Nieewność statystyczna to oziom, rzy którym możliwe jest scharakteryzowanie odchylenia od rawdziwej wartości rzy omocy formuł - 8 statystycznych. - Przyjęcie teo oziomu MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 9 nieewności związane jest z założeniem, że model dosyć wiernie oisuje analizowane zjawisko, oraz że dane użyte do estymacji/kalibracji modelu są rerezentatywne dla okolicz-
Systematyka nieewności oarta na trzech wymiarach Determinizm odowiada idealnej sytuacji, tzn. ewności. Na druim krańcu jest sytuacja, dy nie jesteśmy w stanie określić nawet teo, czeo nie wiemy. Nieewność statystyczna to oziom, rzy którym możliwe jest scharakteryzowanie odchylenia od rawdziwej wartości rzy omocy formuł statystycznych. Przyjęcie teo oziomu nieewności związane jest z założeniem, że model dosyć wiernie oisuje analizowane zjawisko, oraz że dane użyte do estymacji/kalibracji modelu są rerezentatywne dla okoliczności, w których model będzie zastosowany. Nieewność scenariuszowa jest oziomem, rzy którym mamy do czynienia z możliwością wystąienia różnych wartości, lecz mechanizm rowadzący do tych wartości nie jest na tyle rozoznany, by mół być oisany statystycznie. Scenariusze mówią nie o tym, co się zdarzy, lecz co się może zdarzyć. Uświadomiona niewiedza nieewność relacji jest tak duża, że sformułowanie scenariuszy jest niemożliwe. Natura nieewności Natura jest wymiarem ozwalającym odróżnić nieewność wynikającą z nieełnej wiedzy o analizowanym zjawisku od naturalnej zmienności charakteryzującej badane zjawisko. To rozróżnienie jest ważne, dyż różne rodzaje nieewności wymaają odmienneo traktowania. Walker i in. (003) używają określenia variability dla nieewności wynikającej ze zmienności czy rzyadkowości i eistemic dla określenia nieewności związanej z niedostateczną wiedzą. Inne terminy określające naturę nieewności sotykane w ublikacjach (łównie anlojęzycznych) to: w ierwszym rzyadku: tye I, tye A, aleatory, ontholoical; w druim: tye II, tye B (or. Kowalczyk 00). Nieewność wiedzy, może być zmniejszona orzez dokładniejsze zbadanie zjawiska. Identyfikacja teo tyu nieewności w jakimś obszarze modelowania, w ołączeniu z oceną jej wływu na otrzymywane wyniki, daje odstawy do wytyczania kierunków doskonalenia rocesu ronostyczneo. Pozwala n. stwierdzić, czy wysiłek owinien być skoncentrowany na estymacji arametrów czy może na leszym określeniu wejścia do modelu. W literaturze ekonomicznej nt. ronozowania najwięcej uwai oświęca się lokalizacji nieewności. (N. Clements i Hendry (995) analizują ten wymiar bardzo szczeółowo, czyniąc z nieo odstawę klasyfikacji błędów ronoz). Problem natury nieewności jest wrawdzie obecny w świadomości ekonomistów 0 od dawna dzięki książce Knihta (9), ale świat modeli ekonometrycznych (a także modeli matematyki finansowej) zajmuje się tylko jednym z asektów oisywanych rzez Kni- - 9 - hta. Kniht wskazywał na istnienie dwóch kateorii nieewności, z którymi sotykają się N a r o d o w y B a n k P o l s k i odmioty osodarcze. Nazywał je odowiednio ryzykiem i nieewnością, zwracając uwaę na istotne rozróżnienie omiędzy mierzalnym, możliwym do wyceny ekonomicznej ryzykiem a nieewnością towarzyszącą rzewidywaniom. Warunkiem mierzalności w Knihta
Systematyka nieewności oarta na trzech wymiarach Problem natury nieewności jest wrawdzie obecny w świadomości ekonomistów od dawna dzięki książce Knihta (9), ale świat modeli ekonometrycznych (a także modeli matematyki finansowej) zajmuje się tylko jednym z asektów oisywanych rzez Knihta. Kniht wskazywał na istnienie dwóch kateorii nieewności, z którymi sotykają się odmioty osodarcze. Nazywał je odowiednio ryzykiem i nieewnością, zwracając uwaę na istotne rozróżnienie omiędzy mierzalnym, możliwym do wyceny ekonomicznej ryzykiem a nieewnością towarzyszącą rzewidywaniom. Warunkiem mierzalności w Knihta jest możliwość określenia obiektywneo rawdoodobieństwa wystąienia zdarzenia czy rezultatu (metodami statystycznymi lub orzez wysecyfikowanie wszystkich jednakowo rawdoodobnych wyników i ich odowiednie ruowanie). Pisząc o niemierzalnej nieewności Kniht osłuiwał się rawdoodobieństwem subiektywnym, zaznaczając jednocześnie, że rzy jeo określaniu może być celowe wykorzystanie wiedzy na temat znanych rozkładów obiektywnych. Zaroonowany rzez Knihta odział nieewności na mierzalną i niemierzalną okrywa się znaczeniowo z odziałem rzerowadzonym rzez Walkera i in. na variability i eistemic uncertainty (rzez variability należy rozumieć zarówno zmienność, jak i rzyadkowość). Konstruując wykresy wachlarzowe w oarciu o rozkłady oisujące błędy statystyczne lub zaobserwowaną w rzeszłości zmienność, abstrahujemy od nieewności w rozumieniu Knihta, która z unktu widzenia odbiorców ronoz makroekonomicznych (remiów decyzyjnych czy odmiotów osodarczych) może być bardzo istotna. - 0 - MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73
Drui wymiar nieewności w oularnych metodach 3. Drui wymiar nieewności w oularnych metodach 3 Prosty sosób łączenia subiektywnych oinii eksertów (nieewność tyu II) z wiedzą dostęną dzięki modelom (związki rzyczynowe) zdecydowało o oularności metody oracowanej w Banku Szwecji (Blix i Sellin 999, 000). Pierwsze wykresy wachlarzowe ublikowane rzez NBP były również tworzone w oarciu o tę metodę. Metoda Blixa i Sellina wykorzystuje mnożniki modelowe i zależności między wariancjami w modelach liniowych, co owoduje, że jej zastosowanie nie zawsze jest możliwe. Dosyć uniwersalny wydaje się natomiast sosób konwersji oinii eksertów na rozkłady rawdoodobieństwa. Do oisu rzyszłej inflacji (metoda była też stosowana dla kb) a także zmiennych, od których ona zależy, używa się rozkładów binormalnych (binormal, two-iece normal, TPN) a więc ich ęstość ma nastęującą ostać: f Aex( ( x μ) ( x) = Aex( ( x μ) / ) / ) dla x μ dla x > μ () dzie A = / π ( + ). Niech { } = będzie zbiorem zmiennych determinujących inflację. Z j j,..., n Parametry rozkładu inflacji wyznaczane są w oarciu o oinie eksertów dotyczące rzyszłych wartości zmiennych Z j, j =,..., n. Ekserci odają dla każdej z nich wartość najbardziej rawdoodobną μ (t) i określają dla kolejnych horyzontów: j ) rawdoodobieństwo P j (t) wystąienia wartości niższych od μ (t) ; ) stoień wzrostu/sadku nieewności h j (t) w orównaniu z nieewnością historyczną, co ozwala obliczyć odchylenie standardowe ( t) = h ( t). j j hist j W oarciu o te informacje obliczane są arametry j, ( t) i j, ( t) rozkładu binormalneo oisująceo zmienną Z j w horyzoncie t : P ( ) ( ) j t Pj t, ( ) ( ) ( / ) + j t = j t π () ( ) ( ) Pj t Pj t j, Pj ( t) ( t) = ( ) ( / ) j t π ( ) Pj t Pj ( t) + ( ) Pj t - - N a r o d o w y B a n k P o l s k i
Drui wymiar nieewności w oularnych metodach Znajomość j, ( t) i j, ( t) ozwala wyznaczyć arametr asymetrii γ j (t). Jest on definiowany jako różnica między wartością oczekiwaną i dominantą (definicja ta eneruje ewne roblemy, do których wrócimy w rozdz. 6) i może być wyrażony w nastęujący sosób: ( ( t) ( )) γ j ( t) = ( / π ) j, j, t (3) Asymetria inflacji γ (t) jest aroksymowana kombinacją liniową asymetrii zmiennych Z j, j =,..., n : n γ ( t) = = β ( t) ( t) j (4) j j γ Wsółczynnikami są elastyczności β j otrzymane rzy omocy modelu. Dodatnie wartości γ (t) wskazują na większe ryzyko wystąienia wartości wyższych od 3 wartości najbardziej rawdoodobnej (uside risk), ujemne - niższych (downside risk). Znajomość arametru asymetrii γ (t) ozwala na znalezienie arametrów ( ) i ( t) rozkładu oisująceo inflację (wcześniej na odstawie odowiedzi eksertów i błędów historycznych szacuje się wariancję ( t ) ). Blix i Sellin nazywają otrzymywany w ten sosób rozkład częściowo subiektywnym odkreślając w ten sosób to, że unktem wyjścia są rozkłady obiektywne oisujące rzeszłe błędy. t Wykorzystywanie rozkładów błędów historycznych w charakterze rozkładów bazowych i modyfikowanie ich w oarciu o informacje soza róby jest standardowym odejściem stosowanym rzy tworzeniu wykresów wachlarzowych, niezależnie od teo czy stosowane są metody analityczno-aroksymacyjne czy też symulacje. Istotną wadą takieo odejścia jest brak identyfikowalności składowych nieewności o odmiennym charakterze. Do roblemu owrócimy w rozdziale 5 a w rozdziale 6 zostanie rzedstawiona roozycja rozwiązania. - - MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 3
Trzeci wymiar nieewności a dotychczasowe metody 4. Trzeci wymiar nieewności a dotychcz zasowe metody 4 Problem skali nieewności nie był dotąd brany od uwaę rzy konstrukcji wykresów wa- jest bardziej rawdoodobny od innych. Znajduje to odbicie w ostaci zakładanych rozkła- dów - są one jednomodalne. Synalizowanie możliwości wystąienia odmiennych scena- riuszy srowadza się zazwyczaj do wrowadzenia dużej asymetrii rozkładu. Może to ro- chlarzowych. Przyjmowane jest założenie, że istnieje ewien wyróżniony w scenariusz, który wadzić do roblemów rzy rzekazywaniu informacji o nieewności, jeżeli rzedziały rawdoodobieństwa są budowane wokół median, a nie wokół dominant. Zilustrujemy to rozatrując nastęującą hiotetyczną sytuację. Załóżmy, że ronozując inflację, w wyniku analizy nieewności i otrzymaliśmy dla dwóch kolejnychh rocznych hory- jest zontów funkcje ęstości rzedstawionee na wykresach a-d. Pierwsza (horyzont: r0+) symetryczna, natomiast druą (horyzont: r0+) cechuje duża asymetria. Wykresy a-d Funkcje ęstości rawdoodobieństwa dla dwóch kolejnych horyzontów i różne sosoby kon- strukcji rzedziałów o zadanym rawdoodobieństwie: a,b - rzedziały budowane wokół domi- nanty (najkrótsze); c,d - rzedziały budowane wokół mediany Horyzont: r0+ : rozkład TPN(,8; 0,5; 0,5) Horyzont: r0+ : rozkładd TPN(3,; 0,6;,) 4 Znając funkcję ęstości możemy znaleźć dowolny kwantyl, co ozwala skonstruować rze- działy o zadanym rawdoodobieństwie. Przedziały te nie są jednoznaczniee określone. N. rawdoodobieństwo każdeo z rzedziałów wyznaczonych rzez najciemniejsze obszary na wykresach b i d jest równe 0,3 a ranice rzedziałów - 3 - są różne. Przedział na wykresie b ma tę właściwość, że jest rzedziałem o najmniejszej dłuości sośród wszystkich rzedziałów o rawdoodobieństwie 0,3. Wartości funkcji ęstości N a r o d o w y B a n k P o l s k i rawdoodobieństwa na jeo końcach są sobie równe. Tak wybierane rzedziały są odstawą konstrukcji wykresów wachlarzowych, które nazwiemy modalnymi. Przykładem ta-
Trzeci wymiar nieewności a dotychczasowe metody rawdoodobieństwo każdeo z rzedziałów wyznaczonych rzez najciemniejsze obszary na wykresach b i d jest równe 0,3 a ranice rzedziałów są różne. Przedział na wykresie b ma tę właściwość, że jest rzedziałem o najmniejszej dłuości sośród wszystkich rzedziałów o rawdoodobieństwie 0,3. Wartości funkcji ęstości rawdoodobieństwa na jeo końcach są sobie równe. Tak wybierane rzedziały są odstawą konstrukcji wykresów wachlarzowych, które nazwiemy modalnymi. Przykładem takich wykresów są wykresy wachlarzowe ublikowane rzez Bank Anlii. Z kolei środkowy rzedział na wykresie d jest rzedziałem wyznaczonym rzez kwantyle rzędu 0,35 i 0,65. Jest symetryczny (biorąc od uwaę rawdoodobieństwo a nie dłuość) wzlędem mediany, która dzieli o na dwa rzedziały o rawdoodobieństwie 0,5. Wykresy wachlarzowe budowane wokół mediany rozkładu będziemy nazywać kwantylowymi. Ich zaletą jest to, że ozwalają oszacować rawdoodobieństwa wartości wyższych i niższych od ścieżki centralnej (w rzyadku wykresów modalnych znana jest tylko suma rawdoodobieństwa obszarów jednolicie okolorowanych). Wykresy kwantylowe były wykorzystywane rzez Bank Szwecji (do momentu rzejścia na błędy statystyczne ex ost). Wystęują też w Raortach o Inflacji ublikowanych rzez NBP (ten ty wykresów został wybrany m.in. od wływem uwa Wallisa (999) do rojekcji Banku Anlii a także z obawy rzed wielomodalnością, która moła wystąić rzy areowaniu ronoz otrzymywanych z różnych modeli). Jak będą wylądały wykresy wachlarzowe modalne i kwantylowe, okazujące rzedziały o rawdoodobieństwie 0,3; 0,6 i 0,9 skonstruowane na bazie omawianych funkcji ęstości, ze ścieżką centralną okazującą scenariusz najbardziej rawdoodobny, rzedstawiono na wykresach 3a-3b (odchylenia standardowe dla kwartałów -3 w kolejnych latach otrzymano droą interolacji zakładając równomierny wzrost nieewności w ciąu roku). Oba tyy wykresów wyraźnie synalizują większe rawdoodobieństwo wystąienia wyższych wartości, ale w rzyadku wykresu kwantyloweo niewiele brakuje, by ścieżka centralna znalazła się oza asmem centralnym, co mołoby rodzić zastrzeżenia dotyczące sójności rzekazu. Na wykresach modalnych ścieżka centralna leży zawsze w obszarze najciemniejszym. Można zrezynować z jej rzedstawiania (by odbiorcy ronoz nie rzywiązywali zbytniej uwai do ronoz unktowych) bez obaw, że ucieri na tym rzekaz dotyczący asymetryczneo ryzyka. Inaczej jest w rzyadku wykresów kwantylowych. Pominięcie ścieżki najbardziej 4 rawdoodobnej lub zastąienie jej ścieżką wartości oczekiwanych, sowoduje, że asyme- tria nie będzie wystarczająco synalizowana, jak to okazano naa rysunku 3c.. - 4 - Wykresy 3 a-c Silna asymetriaa a różne tyy wykresóww wachlarzowych: a-modalny; b, c - kwantylowy. Rola ścieżki centralnej: a, b - ścieżki centralne wyznaczone są rzez dominanty rozkła- dów; c kwantylowy ze ścieżką określoną rzez wartości oczekiwane MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 5 a
Trzeci wymiar nieewności a dotychczasowe metody a modalny/dominanty 4 b kwantylowy/dominanty c kwantylowy/wart.oczek. rawdoodobnej lub zastąienie jej ścieżką wartości oczekiwanych, sowoduje, że asyme- Rola ścieżki centralnej: a, b - ścieżki centralne wyznaczone są rzez dominanty rozkła- dów; c kwantylowy ze ścieżką określoną rzez wartości oczekiwane tria nie będzie wystarczająco synalizowana, jak to okazano naa rysunku 3c.. Wykresy 3 a-c Silna asymetriaa a różne tyy wykresóww wachlarzowych: a-modalny; b, c - kwantylowy. Choć wykres 3c różni się od 3b tylko tyem ścieżki centralnej, silna asymetria nie jest wi- doczna. Jest jeszcze inny roblem, który wydaje sięę istotny w rzyadku, dy orzez wykres wachlarzowy chcemy rzekazać oinie nt. rzyszłych zjawisk - ominięcie informacji o dominancie, czyli hiotezie uznanej za najbardziej rawdoodobną, może być trudne do zaakcetowania. - 5-6 Przedstawiając różne tyy wykresów wachlarzowych okazaliśmy, że roblemy z rzekazem informacji o nieewności moą wystąić nawet wtedy, dy oziom nieewności tyu II nie rzekracza statystyczneo (w rozumieniu Walkera i in). N a r o d o w y B a n k P o l s k i
kres wachlarzowy chcemy rzekazać oinie nt. rzyszłych zjawisk - ominięcie informacji o Trzeci wymiar nieewności a dotychczasowe metody dominancie, czyli hiotezie uznanej za najbardziej rawdoodobną, może być trudne do zaakcetowania. Przedstawiając różne tyy wykresów wachlarzowych okazaliśmy, że roblemy z rzekazem informacji o nieewności moą wystąić nawet wtedy, dy oziom nieewności tyu II nie rzekracza statystyczneo (w rozumieniu Walkera i in). Standardowe, bazujące na rozkładach jednomodalnych, metody tworzenia wykresów wachlarzowych wydają się wystarczające w okresach wzlędnej stabilności - można wtedy orzestać na rzedstawianiu najleszej redykcji (bez wzlędu na to, która z charakterystyk unktowych zostanie rzyjęta) i na lokalnej analizie nieewności oleającej na oisywaniu odchyleń od ścieżki centralnej. Zawodzą, dy mamy do czynienia z dużą asymetrią lub dy w oóle nie można zakładać jedneo dominująceo scenariusza i konieczne staje się dostarczenie odbiorcom ronoz informacji o otencjalnych konsekwencjach rzyjęcia innych założeń lub odjęcia odmiennych decyzji. 4-6 - MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 7
Problem wymieszania różnych tyów nieewności 5. Problem wymieszania różnych tyów nieewności W sytuacji, dy wykresy wachlarzowe tworzone są na bazie zmodyfikowanych rozkładów błędów historycznych (jest to tyowe dla większości stosowanych metod), owstaje roblem z oceną wływu oszczeólnych składowych nieewności na rozkład wynikowy. Odbiorcy ronoz na oół nie otrzymują informacji, jaka część wariancji (decydującej o szerokości rzedziałów na wykresie wachlarzowym) wynika z niedoskonałości metod ronostycznych, a jaka z nieewności co do możliwych scenariuszy. Ponadto, jeżeli błędy historyczne są duże, rzekaz dotyczący asymetrycznych odchyleń od ścieżki centralnej może ulec zniekształceniu, dy za miarę asymetrii rzyjmie się różnicę wartości oczekiwanej i dominanty. (Więcej na ten temat w kolejnym rozdziale). Problem znoszenia asymetrii jest często obserwowany, dy do wyznaczania rozkładów stosowane są symulacje oleające na wielokrotnym rozwiązywaniu modelu dla różnych 5 zestawów danych wejściowych. W symulacjach Monte Carlo dane są losowane zodnie z założonymi rozkładami rawdoodobieństwa (oważnym roblemem jest właściwe odtworzenie zależności rozkładów). W rzyadku niearametrycznych technik bootstraowych losuje się bezośrednio z róby. Liczba rzerowadzonych symulacji musi być wystarczająco duża, by dać odstawy do wyznaczenia arametrów rozkładów a w konsekwencji - uzyskać rozwiązania i rzedziały nieewności. Symulacje ozwalają uwzlędnić wiele źródeł nieewności, ale moą też rowadzić do wymieszania i nierozróżnialności oszczeólnych składowych, co srawia, że otrzymywane rozkłady są trudne do zinterretowania. Paradoksalnie, dążenie do otrzymania ełneo obrazu nieewności może rowadzić do zmniejszenia wartości informacyjnej ronoz i ich rzydatności w rocesie decyzyjnym, jeżeli nie uwzlędnimy jej wielowymiaroweo charakteru. W wielu ublikacjach odkreśla się, że konieczne jest odsearowanie skutków nieewności wiedzy od zmienności (n. Hoffman, Hammonds 994; Frey, Burmaster 999; Wu, Tsan 004). Proonowane są n. symulacje Monte Carlo druieo rzędu (second order, two-hase, two-dimensional) oleające na osobnej roaacji tych różnych tyów nieewności. W rzyadku ronoz makroekonomicznych ważne wydaje się odsearowanie skutków 8 nieewności sameo modelu (można ją traktować jako mierzalną) od nieewności związanej z obszarem wejścia do modelu (unkt startowy, rzyszłe wartości zmiennych ezoenicznych). Do oisania nieewności modelu moą być wykorzystane obiektywne rozkłady zaobserwowanych błędów czy rezyduów. Oisanie nieewności zlokalizowanej w obszarze - 7 - wejścia będzie na oół wymaało odwołania się do oinii eksertów i użycia rozkładów N a r o d o w y B a n k P o l s k i subiektywnych związanych z ersonalistyczną a nie częstościową interretacją rawdoodobieństwa. (Szerokie omówienie różnych interretacji można znaleźć n. w Hájek 009; w
Problem wymieszania różnych tyów nieewności nicznych). Do oisania nieewności modelu moą być wykorzystane obiektywne rozkłady zaobserwowanych błędów czy rezyduów. Oisanie nieewności zlokalizowanej w obszarze wejścia będzie na oół wymaało odwołania się do oinii eksertów i użycia rozkładów subiektywnych związanych z ersonalistyczną a nie częstościową interretacją rawdoodobieństwa. (Szerokie omówienie różnych interretacji można znaleźć n. w Hájek 009; w literaturze olskojęzycznej - Szreder 004). 5-8 - MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 9
Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych 6 6. Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów 6. wach Prohlarzowy ozycja inneo ch odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych Przejdziemy teraz do rzedstawienia roozycji nieco inneo sosobu konstrukcji wykre- sów Prz ejdziemy wachlarzow teraz wych. do Zaro rzeds onujemy stawienia r metodę, roozycji która niec co co inneo rawda sosobu zawiera konst zarówno trukcji eleme wykre- nty stat sów tystyczne wachlarzow jak wych. i ekserckie Zaro e, onujemy ale ozwa metodę, la na osobną która ą co analizę rawda składowych zawiera zaró nieówno ewności eleme o nty odm stat miennym tystyczne cha jak arakterze. i ekserckie Jest e, ale to możliw ozwa we la dzięki na osobną zast ą tosowaniu analizę skła łączenia adowych rozkł nieładów, ewności odcz o zas dy odm miennym tradycyjne charakterze. metody ole Jest eają to na możliw mod we dyfikacji dzięki ara zastosowaniu ametrów roz łączenia zkładów. rozkładów, odczas dy tradycyjne Zostanąą metody wyeliminow oleają wane na roble modyfikacji my ujawniaj arametrów ące się w roz syt zkładów. tuacjach, dyy nieewność zlokalizowana Zostaną w ą wyeliminow obszarze wejścia wane roble do modelu my ujawniaj jest zbyt ące duża, się w by sytuacjach, można było dyy orzestać nieewność na oi zlokalizowana sywaniu ra w wdoodobie obszarze wejścia eństwa do odch modelu yleń od jest ścież zbyt żki centralne duża, by ej można i konieczne było e orzestać jest rozważ na że- nie oisywaniu alternatywn ranych wdoodobie scenariu eństwa uszy. odchyleń od ścieżki centralnej i koniecznee jest rozważe- oku. nie alternatywn Z taką nych dużą scenariu nieewuszy. nością mieliśmy do czynienia n. na rzełomie 008 i 009 roku. Wykresy Z 4 taką a-b dużą z dwóch nieew kolejnych nością edycji mieliśi śmy Monetary do czynpolicy ienia n. Reort na t rzełomie Banku Szwe 0 ecji 008 z i teo 009 ok ro kre- su Wykresy są suestywn 4 a-b z nym dwóch rzykład kolejnych dem, jak edycji niew i wiele Monetary wynika Policy z wykresów Reort w t Banku wachlarzow Szwecji wych z teo okazu kreują- cyc su są h jeden suestywn scenariusz nym rzykład i błąd dem, statystyczn jak niewiele y. Zmiana wynika rzebieu z wykresów ście w eżki wachlarzow centralne wych ej owoduje okazu ują- rz cycesunięcie h jeden scen rzywiązane nariusz i błąd o statystyczn do niej wachlarza y. Zmiana wr rzebieu az z nią. ścieżki centralnej owoduje rzesunięcie Oczywiś rzywiązane ście nie znamy o odowied do niej wachlarza dzi na ytani wrie: az z czy nią. scenariusz odowiadający ścieżce centralnej Oczywiśz wyście kresu nie 4b znam mół my być odowied uznany dzi kilka na ytani miesie: ięcy czy wcześni scenaiej riusz za odow możliwiadający wy. Bez studio ścieżce o- wan centralnej nia dodatkow z wywych kresu materi 4b mół ałów być (n. uznan rzedstawiany kilka miesych ięcy rzez wcześni Bank iej Szwecji za możliw ak wy. ktualizacji) Bez studio mo- żem wan my nia jedynie dodatkow stwierdzić, wych materi że ałów w okresie (n. r o rzedstawiany omiędzy raortami ych rzez musi Bank ała Szwecji ojawić aktualizacji) się nieewnmo- ość zna żemy acznie jedynie większ stwierdzić, za niż statyst że tyczna, w okresie co nie oe omiędzy zostało ra odortami zwierciedlon musi ne ała w ojawić rojekcjs jach. się nieewność Wy zna ykresy acznie większ 4 a-b za Projekcje niż statyst inflacji tyczna, z co błęd nie dami e zostało statysty odycznymi zwierciedlon w okresach one w rojekcj dużej jach. nieewności a Wykresy 4 a-b Projekcje inflacji z błędami statysty b ycznymi w okresach o dużej nieewności a b Źródła : a - Monetary Policy Reort 008:3 ; b - Monetary Policy Reort February 009 ; S veries Riksbank Źródła : a - Monetary Policy Reort 008:3 ; b - Monetary Policy Reort February 009 ; S veries Riksbank 0-9 - - 9 - N a r o d o w y B a n k P o l s k i
Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych Istotą roonowaneo odejścia jest dwuetaowe hierarchiczne wyznaczanie funkcji ęstości rawdoodobieństwa, tak by uwzlędnić zarówno nieewność co do możliwych scenariuszy, jak i to, że każdemu z nich towarzyszy nieunikniony błąd statystyczny. Nie będziemy zakładać istnienia scenariusza dużo bardziej rawdoodobneo od ozostałych ani ostaci rozkładu wynikoweo. Konstrukcja wykresu wachlarzoweo będzie wymaała określenia, dla każdeo z analizowanych horyzontów, dwóch rozkładów rawdoodobieństwa: ierwszeo o charakterze subiektywnym, druieo obiektywnym. Rozkład ierwszy, związany z wejściem do modelu, będzie odzwierciedlał oinie eksertów nt. możliwości realizacji różnych scenariuszy ekonomicznych (istotnych z unktu widzenia rocesu decyzyjneo). Przyisane scenariuszom wai będą imlikowały rozkład wartości zmiennych wyjściowych (n. inflacji, kb). Może to być rozkład dyskretny, dy liczba analizowanych scenariuszy jest określona (n. rzy symulacjach deterministycznych oraniczonych do kilku wariantów) lub ciąły, dy do wyników analiz czy symulacji scenariuszowych doasowywana jest funkcja ęstości. Pojęcie scenariusza nie musi być oczywiście oraniczone do różnych wartości zmiennych ezoenicznych czy unktu startoweo może również dotyczyć rzewidywanych odstęstw od wcześniej obserwowanych zależności. Rozkład drui będzie oisywał statystyczną nieewność modelu (oólniej: systemu ronostyczneo). Może być tworzony na bazie błędów historycznych oczyszczonych z błędów wynikających z założonych danych wejściowych (by nie dulikować nieewności z tych samych źródeł). W rzyadku modeli estymowanych naturalne byłoby też wykorzystanie reszt równań. 6 Dyskretny rozkład subiektywny x i i... N Niech { ( t)} = będzie zbiorem ścieżek inflacji (ronoz unktowych dla kolejnych okresów) odowiadających możliwym scenariuszom ekonomicznym. Szanse na realizację i teo scenariusza oznaczymy rzez i. Chcielibyśmy uwzlędnić nieewność modelu dla ronozy dotyczącej horyzontu t k (arument t k zostanie ominięty dla uroszczenia zaisu). Potraktujemy model jako sweo rodzaju miernik służący do wykonywania omiarów ośrednich, tzn. zmierzone dane wejściowe ( w naszym rzyadku założone wartości zmiennych składających się na określony scenariusz) są rzetwarzane w alorytmu określoneo równaniami modelu na wynik - 0 - omiaru - wielkości wyjściowe ( n. inflację, kb). MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 Zatem: uwzlędnienie błędu ośrednieo omiaru inflacji wynikająceo z niedoskonałości modelu, wymaa zastąienia deterministycznej zmiennej x, zmienną X = x + ΔX,
Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych wejściowe ( w naszym rzyadku założone wartości zmiennych składających się na określony scenariusz) są rzetwarzane w alorytmu określoneo równaniami modelu na wynik omiaru - wielkości wyjściowe ( n. inflację, kb). Zatem: uwzlędnienie błędu ośrednieo omiaru inflacji wynikająceo z niedoskonałości modelu, wymaa zastąienia deterministycznej zmiennej dzie Δ X i jest losowym błędem omiaru. x i, zmienną X i = x + ΔX, Jak wsomnieliśmy, dokładność miernika (błąd modelu) może być oceniona metodami statystycznymi, a efekty roaacji błędu dla kolejnych horyzontów n. orzez symulacje. Skoncentrujemy uwaę na ustalonym horyzoncie ronozy. Błąd omiaru dotyczy w jednakowym stoniu każdeo scenariusza, więc rzyjmiemy, że Δ ( i =,,... N ) są zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie. Oznaczymy o rzez X i (x). Rozkład obarczonej błędem ronozy X i odowiadającej i -temu scenariuszowi będzie wtedy oisany rozkładem: i i i ( i x) = ( x x ) (5) 6 Znając rozkłady i możemy uzyskać rozkład będący robabilistycznym oisem nastęującej sytuacji: w ierwszym kroku z rawdoodobieństwem druim losujemy wartość błędu i otrzymujemy wartość wskaźnika. i wybieramy scenariusz; w Taki hierarchiczny sosób ostęowania rowadzi do rozkładu mieszaneo, któreo funkcję ęstości oznaczymy rzez f : f S ( i i i x) = ( x x ) (6) Ciąły rozkład subiektywny Gdy do oisu możliwych scenariuszy użyjemy ciąłeo rozkładu (s), zamiast (6) otrzymamy: + f x) = ( s) ( x s) ds ( (7) Wybór scenariusza nastęuje zodnie z subiektywnym rozkładem, tzn. (s) jest waą scenariusza rowadząceo do wartości s. Uwzlędniając błąd dla ustaloneo s otrzymamy wartość wynikającą z rozkładu ( x s). Dla błędu oisaneo rozkładem normalnym: - - + ) ( s)ex( ( x s) / ) f ( x) = (/ ds π (8) N a r o d o w y B a n k P o l s k i Obliczenie f (x) będzie na oół wymaało całkowania numeryczneo. Postać analityczną
Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych Wybór scenariusza nastęuje zodnie z subiektywnym rozkładem, tzn. (s) jest waą scenariusza rowadząceo do wartości s. Uwzlędniając błąd dla ustaloneo s otrzymamy wartość wynikającą z rozkładu ( x s). Dla błędu oisaneo rozkładem normalnym: + ) ( s)ex( ( x s) / ) f ( x) = (/ ds π (8) Obliczenie f (x) będzie na oół wymaało całkowania numeryczneo. Postać analityczną możemy łatwo otrzymać n. w rzyadku, dy i są rozkładami normalnymi. Rozwiązanie dla = TPN rzedstawimy w dalszej części rozdziału. Oto kilka sytuacji, dy utworzenie ciąłeo rozkładu (s) wydaje się dosyć roste i uzasadnione: Jeżeli w wyniku rzerowadzonych analiz scenariuszowych jesteśmy w stanie określić wartość wskaźnika odowiadającą scenariuszowi esymistycznemu, najbardziej rawdoodobnemu i otymistycznemu, nieewność scenariuszową możemy odzwierciedlić rzy omocy rozkładu trójkątneo. Jeżeli możemy założyć jednomodalność oraz odać wartość najbardziej rawdoodobną i rawdoodobieństwa wystąienia wartości od niej niższych lub wyższych, do wykorzystania jest rozkład binormalny (TPN ). Jeżeli możemy odać wartość wskaźnika odowiadającą scenariuszowi centralnemu i rzedziały o określonym rawdoodobieństwie (n. 50-cio i 90-cio rocentowe) to można utworzyć rozkład kawałkami jednostajny. 6 Zauważmy, że ęstość f (x) dana wzorem (7) jest slotem ęstości, czyli ęstością rozkładu sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach i. Jest to zodne z naszą wcześniejszą interretacją ęstość f jako rozkładu oisująceo wynik omiaru zmiennej X o rozkładzie, dy błąd omiaru err ma rozkład. Wynik omiaru jest wtedy sumą X + err o rozkładzie oisanym slotem ęstości. Szczeólny rzyadek ciąłeo rozkładu subiektywneo TPN Wobec oularności rozkładu binormalneo w obszarze komunikowania nieewności rojekcji inflacji i kb, rozważymy sytuację, dy = TPN ( μ,, ) a = N ( 0, ). Rozkład normalny jest szczeólnym rzyadkiem rozkładu binormalneo. Zatem slot - - * zaiszemy w ostaci: * = TPN ( μ,, ) * TPN (0,, ) (9) co ozwoli na skorzystanie z rezultatów oisanych w Garvin i McClean (997) dotyczących MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 73 3 ostaci i arametrów rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach binormalnych. Po ierwsze: możemy rzyjąć, że slot rozkładów binormalnych należy do klasy rozkładów
oół rozkładem o niewielkiej asymetrii ze wzlędu na symetrię ). Wobec oularności rozkładu binormalneo w obszarze komunikowania nieewności rojekcji inflacji i kb, rozważymy sytuację, dy = TPN ) a ) ( μ,, = N ( 0,. Proozycja inneo odejścia do konstrukcji wykresów wachlarzowych Rozkład normalny jest szczeólnym rzyadkiem rozkładu binormalneo. Zatem slot * zaiszemy w ostaci: * = TPN ( μ,, ) * TPN (0,, ) (9) co ozwoli na skorzystanie z rezultatów oisanych w Garvin i McClean (997) dotyczących ostaci i arametrów rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach binormalnych. Po ierwsze: możemy rzyjąć, że slot rozkładów binormalnych należy do klasy rozkładów binormalnych. Po druie: trzeci moment centralny sumy dwóch zmiennych o rozkładzie binormalnym jest równy sumie trzecich momentów centralnych składowych. W naszym rzyadku oznacza to, że m * ) = m ( ) + m ( r) = m ( ) (0) 3( 3 3 3 dzie: rzez m3 (...) oznaczyliśmy trzecie momenty centralne dla odowiednich rozkładów. Korzystając ze znanych (często cytowanych za Johnem (98)) wyrażeń dla momentów centralnych rozkładu binormalneo, m ( ) a co za tym idzie m ( * ), możemy obliczyć w nastęujący sosób: 3 3 4 ( * ) = ( / π )( ) ( + () π m3 ) Ponadto, wobec niezależności X i err, otrzymujemy: 6 E X + err) = E( X ) = μ + ( / π )( ) () ( Var ( X err) = + r + (3) Znając trzeci moment centralny i wariancję Var ( X + err), którą oznaczymy rzez *, możemy wyznaczyć skośność slotu: m 3 ( * ) 3 * (4) Posłuży ona do rzerowadzenia dekomozycji * na wariancję lewostronną i rawostronną, które oznaczymy odowiednio rzez - 3 - *, i *,. Dekomozycja zostanie rzerowadzona w sosób analoiczny, jak to czynią Blix i Sellin (999), jednak z wykorzystaniem rzeczywistej skośności, a nie rzybliżenia skośności różnicą wartości oczekiwanej i dominanty, która nie jest standaryzowana i nie uwzlędnia wartości wariancji. Punktem wyjścia będzie relacja zachodzącą między wariancją i arametrami i w rozkładzie binormalnym TPN μ,, ) : ( ( / π)( ) + = (5) m 3 Skośność może być obliczona jako 3, albo rzy omocy wsółczynnika Pearsona, który dla rozkładu binormalneo jest równy: ( / π )( ) /. 4 Obie miary skośności dla umiarkowanie asymetrycznych rozkładów są w rzybliżeniu równe (or. Garvin i McClean 997). (Rozkład N a r o d o w y B a n k P o l s k i * omimo silnej asymetrii, będzie na