Modelowanie danych hodowlanych
1. Wykład wstępny. Algebra macierzowa 3. Wykorzystanie różnych źródeł informacji w predykcji wartości hodowlanej 4. Kowariancja genetyczna pomiędzy spokrewnionymi osobnikami 5. Best Linear Unbiased Prediction (BLUP): model jednocechowy z pojedynczym efektem losowym 6. Best Linear Unbiased Prediction (BLUP): model wielocechowy 7. Metody redukcji wymiarów modeli wielocechowych BLUP 8. Analiza danych powtarzalnych w czasie 9. Wykorzystanie markerów genetycznych w predykcji wartości hodowlanej 1. Predykcja genomowej wartości hodowlanej 11. Analiza przeżycia 1. Estymacja parametrów genetycznych 13. Rozwiązywanie układu równań liniowych 14. Spotkanie z osobą praktycznie zaangażowaną w prowadzenie rutynowej oceny wartości hodowlanej bydła 15. Podsumowanie tematyki przedmiotu. Dyskusja.
1. Dane powtarzalne w czasie. Model regresji stałej 3. Model regresji losowej Copyright 16, Joanna Szyda
Dane powtarzalne w czasie
Dane powtarzalne w czasie Próbne udoje (test day records) Rutynowa kontrola użytkowości w stadach krów mlecznych Średnio raz w miesiącu Wydajność mleka, tłuszczu, białka + SCC DIM (days in milk) Liczba dni pomiędzy początkiem laktacji, a próbnym udojem R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Dane powtarzalne w czasie Laktacja 35-cio dniowa Wydajności próbnych udojów przeliczone na standardową 35-cio dniową wydajność Wydajność krowy w laktacji wyrażona 1 liczbą Problemy w modelowaniu statystycznym Zmiany wartości efektów stałych w czasie laktacji np. stado Osobniki z niezakończonymi laktacjami Zmienne wartości parametrów genetycznych w czasie trwania laktacji R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Dane powtarzalne w czasie Liczba próbnych udojów w ciągu laktacji 5 1 st lactation nd lactation 3 rd lactation number of tests 15 1 5 5 35 65 95 15 155 185 15 45 75 35 DIM R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Dane powtarzalne w czasie Wariancja fenotypowa próbnych udojów 35 3 1 st lactation nd lactation 3 rd lactation 5 phenotypic variance 15 1 5 5 35 65 95 15 155 185 15 45 75 35 DIM R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Dane powtarzalne w czasie Odchylenie wydajności próbnego udoju osobnika od średniej dla grupy stado-dzień_testu-laktacja average deviation of milk yield [kg] 6 4 - -4 1 st lactation nd lactation 3 rd lactation -6 5 35 65 95 15 155 185 15 45 75 35 DIM R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej
Model regresji stałej Ptak and Schaeffer (1993) Modelowanie przebiegu całej laktacji Wykorzystanie informacji o kowariancji pomiędzy poszczególnymi próbnymi udojami Grupy krów = grupy efektów stałych odrębne krzywe laktacji R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej model NF y tij = htd i + φ tjk β k + u j + pe j + e tij k= y tij wydajność pr. udoju t krowy j w i-tej klasie htd htd i i-ta klasa stado-próbny_udój NF stopień wielomianu Legendra dla efektów st. β k k-ty współczynnik regresji (efekt stały) φ tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra u j efekt addytywnie genetyczny osobnika j pe j efekt trwały środowiskowy osobnika j e tij błąd dla rekordu t krowy j w i-tej klasie htd R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej model y tij = htd i + NF k= φ tjk β k + u j + pe j + e tij y tij wydajność próbnego udoju t krowy j w i-tej klasie htd htd i i-ta klasa stado-próbny_udój β k współczynnik regresji (efekt stały) φ tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra u j efekt addytywnie genetyczny osobnika j pe j efekt trwały środowiskowy osobnika j e ij błąd dla rekordu t krowy j w i-tej klasie htd R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej Lagendre polynomials Współczynniki wielomianu Legendra: φ t = φ t = φ DIM DIM = 1 + DIM DIM min DIM max DIM min dla k= φ t = 1 dla k=1 φ t = DIM dla k= φ t = 1 3DIM 1 dla k=3 φ t = 1 5DIM 3 3DIM dla k=4 φ t = 1 8 35DIM 4 3DIM + 3 R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej model y tij = htd i + NF k= φ tjk β k + u j + pe j + e tij y tij wydajność próbnego udoju t krowy j w i-tej klasie htd htd i i-ta klasa stado-próbny_udój β k współczynnik regresji (efekt stały) φ tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra u j efekt addytywnie genetyczny osobnika j pe j efekt trwały środowiskowy osobnika j e ij błąd dla rekordu t krowy j w i-tej klasie htd R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej model Efekt trwały środowiskowy permanent environmental effect Efekt nie-genetyczny osobnika Wpływ środowiska na powtarzalne wydajności osobnika np. na poszczególne próbne udoje R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej model y tij = htd i + NF k= φ tjk β k + u j + pe j + e tij y tij wydajność próbnego udoju t krowy j w i-tej klasie htd htd i i-ta klasa stado-próbny_udój β k współczynnik regresji (efekt stały) φ tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra u j efekt addytywnie genetyczny osobnika j pe j efekt trwały środowiskowy osobnika j e ij błąd dla rekordu t krowy j w i-tej klasie htd R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej struktura kowariancji var u j = Aσ u var pe j = Iσ pe var e tij = Iσ e Identyczna struktura kowariancji? Różne wymiary wektorów pe i e, różne macierze wystąpień pe liczba krów x 1 e liczba próbnych udojów x 1 R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Copyright 16, Joanna Szyda Model regresji stałej struktura kowariancji R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Wariancja próbnego udoju: σ = σ u + σ pe + σ e Korelacja pomiędzy próbnymi udojami: r = σ u +σ pe σ. r symm r r r r r V y Macierz kowariancji fenotypowych próbnych udojów pojedynczej krowy
Model regresji stałej Model y = Xb + Qu + Zpe + e MME X T R 1 X X T R 1 Q X T R 1 Z Q T R 1 X Q T R 1 Q + A 1 σ e Q T R 1 Z σ u Z T R 1 X Z T R 1 Q Z T R 1 Z + σ e σ pe b u pe = X T R 1 y Q T R 1 y Z T R 1 y R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej y = Xb + Qu + Zpe + e Xb = X 1 b 1 + X b standardowe efekty stałe np. htd współczynniki wielomianów Legendra Wymiary: X 1 = N tds x N htd X = N tds x NF R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej - dane R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej macierz wystąpień współcz. Unormowane współczynniki φ DIM X = N tds x NF dla k= φ t = 1 dla k=1 φ t = DIM dla k= φ t = 1 3DIM 1 dla k=3 φ t = 1 5DIM 3 3DIM dla k=4 φ t = 1 8 35DIM 4 3DIM + 3 1 φ 3 φ 1 5 φ 7 φ 3 9 φ 4 krowa 4; próbny udój dla DIM=4 krowa 4; próbny udój dla DIM=38 krowa 4; próbny udój dla DIM=7 R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values krowa 8; pr. udój dla DIM=4 krowa 8; pr. udój dla DIM=76 krowa 8; pr. udój dla DIM=31 Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji stałej macierz wystąpień efektu u Q = N tds x N cows Q = q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 q i wektor 1 dla pr. udojów osobnika i R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej rozwiązania efektów stałych wydajność próbnego udoju k beta DIM DIM* standfi(k=) fi(k=1) fi(k=) fi(k=3) fi(k=4) std_fi(k=) std_fi(k=1) std_fi(k=) sdt_fi(k=3) std_fi(k=4) solution for a fixed curve 16.38 1-1.63 1-1.63 1.7971-1.1658 1.7893.7717-1.5687 1.77188 -.17499.71144 9.673985 1 -.57-1.1967 1-1.1967 1.59597-1.195 1.5563.7717-1.4884 1.67537 -.9711.557384 9.779996 -.145 3-1.1311 1-1.1311 1.396-1.7998 1.13557.7717-1.481 1.643755 -.47.478 9.8835 3.5355 4-1.656 1-1.656 1.19737-1.3967 1.66546.7717-1.378 1.61345-1.9454.6486 9.98459 4 -.4195 5-1 1-1 1-1 1.7717-1.474 1.581139-1.8783.113 1.834 6 -.99344 1 -.99344.9839 -.9698.935389.7717-1.1671 1.55136-1.7978 1.98459 1.17949 7 -.98689 1 -.98689.96914 -.96.87683.7717-1.868 1.519338-1.76 1.8514 1.7338 8 -.9833 1 -.9833.941564 -.88485.811853.7717-1.65 1.488744-1.6554 1.71 1.36494 9 -.97377 1 -.97377.9343 -.84774.75871.7717-1.196 1.458353-1.58597 1.5978 1.45419 1 -.9671 1 -.9671.935 -.8115.69576.7717-1.18459 1.48167-1.5177 1.475816 1.54118 11 -.9666 1 -.9666.88489 -.77539.64331.7717-1.17656 1.398184-1.4563 1.358348 1.6591 1 -.9541 1 -.9541.865456 -.7415.586717.7717-1.16853 1.36845-1.38469 1.44615 1.7844 13 -.94754 1 -.94754.846751 -.755.534835.7717-1.165 1.338831-1.3199 1.134557 1.78878 14 -.9498 1 -.9498.88175 -.67151.484658.7717-1.1546 1.3946-1.568 1.8115 1.86697 15 -.93443 1 -.93443.8979 -.6381.436157.7717-1.14443 1.893-1.19378.959 1.9434 16 -.9787 1 -.9787.791411 -.653.38935.7717-1.1364 1.51331-1.1341.8584 11.17 17 -.9131 1 -.9131.773 -.5739.34473.7717-1.1837 1.57-1.715.7989 11.889 18 -.91475 1 -.91475.755163 -.54148.3436.7717-1.134 1.19417-1.131.6373 11.15876 19 -.98 1 -.98.7373 -.5145.58365.7717-1.1131 1.165666 -.95497.54874 11.661 -.9164 1 -.9164.71943 -.48.17833.7717-1.148 1.137519 -.8983.4694 11.948 1 -.8958 1 -.8958.71758 -.4516.178814.7717-1.965 1.19576 -.8418.3793 11.35639 -.8885 1 -.8885.68414 -.489.14181.7717-1.88 1.81837 -.7874.9973 11.41838 3 -.88197 1 -.88197.666799 -.3918.158.7717-1.818 1.543 -.7337.3181 11.47847 4 -.87541 1 -.87541.649514 -.3644.7569.7717-1.715 1.6971 -.6816.149699 11.53669 5 -.86885 1 -.86885.63357 -.33647.37337.7717-1.641.999844 -.6948.794 11.5936 6 -.863 1 -.863.61539 -.3946.5487.7717-1.569.9791 -.57895.11639 11.6476 7 -.85574 1 -.85574.598431 -.831 -.51.7717-1.486.946 -.5946 -.535 11.739 8 -.84918 1 -.84918.581661 -.571 -.5417.7717-1.43.919687 -.481 -.11491 11.75139 9 -.846 1 -.846.565 -.3175 -.83.7717-1.3.893375 -.43356 -.1741 11.866 3 -.8367 1 -.8367.54858 -.694 -.1861.7717-1.397.86768 -.38715 -.339 11.848 31 -.8951 1 -.8951.5316 -.1867 -.13393.7717-1.1594.841365 -.34174 -.8411 11.8941 3 -.895 1 -.895.51587 -.15893 -.158.7717-1.79.815665 -.9733 -.3351 11.9383 33 -.81639 1 -.81639.499747 -.1357 -.1891.7717 -.99987.7917 -.5391 -.38376 11.9891 34 -.8984 1 -.8984.48375 -.1134 -.61.7717 -.99184.764879 -.1148 -.498 1.19 35 -.838 1 -.838.467885 -.988 -.315.7717 -.98381.739791 -.173 -.47338 1.6131 36 -.7967 1 -.7967.45147 -.694 -.457.7717 -.97578.71498 -.1955 -.51456 1.9916 37 -.7916 1 -.7916.436539 -.481 -.687.7717 -.96775.698 -.9 -.55338 1.13548 38 -.78361 1 -.78361.4159 -.75 -.788.7717 -.9597.665753 -.5145 -.58989 1.173 39 -.7775 1 -.7775.4578 -.739 -.943.7717 -.95169.641481 -.1383 -.6415 1.365 4 -.7749 1 -.7749.39486.117 -.3934.7717 -.94366.617413.856 -.656 1.3554 41 -.76393 1 -.76393.375394.3139 -.3343.7717 -.9356.59355.5861 -.6861 1.66 4 -.75738 1 -.75738.3643.49949 -.33653.7717 -.9759.56989.93446 -.71388 1.955 43 -.758 1 -.758.345595.688 -.34865.7717 -.91956.546434.17366 -.7396 1.373 44 -.7446 1 -.7446.3389.8577 -.3598.7717 -.91153.5318.16381 -.7633 1.3495 45 -.7377 1 -.7377.316313.1894 -.377.7717 -.935.5134.19497 -.7854 1.3744 46 -.73115 1 -.73115.31865.119585 -.37941.7717 -.89547.47791.373 -.8485 1.3977 47 -.7459 1 -.7459.87546.13585 -.38786.7717 -.88744.454651.5467 -.878 1.411 48 -.7183 1 -.7183.73357.151557 -.39546.7717 -.87941.4315.83537 -.83889 1.4414 49 -.71148 1 -.71148.5996.166846 -.41.7717 -.87138.49983.3114 -.8531 1.46114 5 -.749 1 -.749.45364.181676 -.4814.7717 -.86334.387955.339885 -.8658 1.4798 51 -.69836 1 -.69836.31561.19651 -.4137.7717 -.85531.366131.366779 -.87668 1.49731 5 -.6918 1 -.6918.17888.9977 -.41763.7717 -.8478.344511.3983 -.8859 1.5136 53 -.6855 1 -.6855.4343.3455 -.41.7717 -.8395.3395.41847 -.89354 1.588 54 -.67869 1 -.67869.1997.3649 -.448.7717 -.831.3188.44436 -.89961 1.5484 55 -.6713 1 -.6713.17764.4991 -.46.7717 -.8319.8874.4667 -.9415 1.55579 56 -.66557 1 -.66557.164483.6157 -.4766.7717 -.81516.67.488767 -.971 1.56765 57 -.659 1 -.659.151454.7993 -.4843.7717 -.8713.3947.5174 -.9883 1.57846 58 -.6546 1 -.6546.138554.8435 -.4854.7717 -.7991.1973.531885 -.996 1.5883 59 -.6459 1 -.6459.15783.95195 -.48.7717 -.7916.198881.5559 -.9793 1.59698 6 -.63934 1 -.63934.11314.35669 -.4685.7717 -.7833.178893.571854 -.955 1.6474 61 -.6379 1 -.6379.169.31573 -.451.7717 -.775.15918.59677 -.9178 1.61153 6 -.663 1 -.663.8845.35384 -.477.7717 -.76697.13958.68737 -.89684 1.61736 63 -.61967 1 -.61967.7599.334633 -.41988.7717 -.75894.1151.6641 -.8969 1.67 64 -.61311 1 -.61311.63865.343483 -.41644.7717 -.7591.1979.64597 -.8834 1.666 14 1 1 8 6 solution for a f 4 5 55 15 155 DIM R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej rozwiązania efektów losowych R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji stałej rozwiązania efektów losowych Dzienna wydajność tłuszczu 1.5 1..5. 5 55 15 155 5 55 35 355 -.5-1. DIM Wartość hodowlana stała w ciągu laktacji EBV = u 1 do 35-day yield -.33*35 EBV np. do dnia 1 -.33*1 R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji losowej
Model regresji stałej Schaeffer and Dekkers (1994) Modelowanie przebiegu całej laktacji Wykorzystanie informacji o kowariancji pomiędzy poszczególnymi próbnymi udojami Różne korelacje w zależności od DIM Każda krowa odrębna krzywa laktacji R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej model NF NR NP y tij = htd i + φ tjk β k + ω tjk u jk + ρ tjk pe jk + e tij k= k= k= y tij wydajność próbnego udoju t krowy j w i-tej klasie htd htd i i-ta klasa stado-próbny_udój β k k-ty współczynnik regresji (efekt stały) φ tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra dla efektów stałych dla krowy j NF stopień wielomianu Legendra dla efektów stałych e tij błąd dla rekordu t krowy j w i-tej klasie htd R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji losowej model NF NR NP y tij = htd i + φ tjk β k + ω tjk u jk + ρ tjk pe jk + e tij k= k= k= u jk k-ty współczynnik regresji efektu addytywnie poligenicznego dla krowy j (efekt losowy) ω tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra dla efektu addytywnie poligenicznego krowy j NR stopień wielomianu Legendra dla efektu addytywnie poligenicznego var u = A G A = N cows N cows G = NR NR R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Model regresji losowej model NF NR NP y tij = htd i + φ tjk β k + ω tjk u jk + ρ tjk pe jk + e tij k= k= k= pe jk k-ty współczynnik regresji efektu trwałego środowiskowego dla krowy j (efekt losowy) ρ tjk k-ty współczynnik wielomianu Legendra dla efektu trwałego środowiskowego krowy j NP stopień wielomianu Legendra dla efektu trwałego środowiskowego var pe = I P I = N cows N cows P = NP NP R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 17, Joanna Szyda
Copyright 16, Joanna Szyda Model regresji losowej struktura kowariancji R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Wariancja próbnego udoju: σ i = σ ui + σ pei + σ ei Korelacja pomiędzy próbnymi udojami: r = σ u +σ pe σ i σ j Macierz kowariancji fenotypowych próbnych udojów pojedynczej krowy 1 1 1 3 3 1 1 3 1 13 1 1 1,. n n n n n n n n n n y r symm r r r r r V
Model regresji losowej Model y = Xb + Qu + Zpe + e MME X T R 1 X X T R 1 Q X T R 1 Z Q T R 1 X Q T R 1 Q + A 1 G 1 Q T R 1 Z Z T R 1 X Z T R 1 Q Z T Z + A P 1 b u pe = X T R 1 y Q T R 1 y Z T R 1 y R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej dane R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej macierz wystąpień współcz. Unormowane współczynniki φ DIM X = N tds x NF dla k= φ t = 1 dla k=1 φ t = DIM dla k= φ t = 1 3DIM 1 dla k=3 φ t = 1 5DIM 3 3DIM dla k=4 φ t = 1 8 35DIM 4 3DIM + 3 1 φ 3 φ 1 5 φ 7 φ 3 9 φ 4 krowa 4; próbny udój dla DIM=4 krowa 4; próbny udój dla DIM=38 krowa 4; próbny udój dla DIM=7 R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values krowa 8; pr. udój dla DIM=4 krowa 8; pr. udój dla DIM=76 krowa 8; pr. udój dla DIM=31 Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej macierz wystąpień efektu u Q = N tds x NR N cows Q = Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 np. Q 6 = R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Unormowane współczynniki ω DIM NR=3 1 ω 3 ω 1 5 ω.717 1.47 1.5811.717.955.6441.717.684.586.717.48.571.717.1361.7613 krowa 6; próbny udój dla DIM=4 krowa 6; próbny udój dla DIM=38 krowa 6; próbny udój dla DIM=7 krowa 6; próbny udój dla DIM=16 krowa 6; próbny udój dla DIM=14 Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej rozwiązania efektów stałych NF NR NP y tij = htd i + φ tjk β k + ω tjk u jk + ρ tjk pe jk + e tij k= k= k= R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej rozwiązania ef. losowych NF NR NP y tij = htd i + φ tjk β k + ω tjk u jk + ρ tjk pe jk + e tij k= k= k= 35 ω i=1 35 ω 1 i=1 35ω u jk i=1 u jk u jk 35 ρ i=1 35 ρ 1 i=1 35ρ pe jk i=1 pe jk pe jk R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej rozwiązania ef. losowych wydajność próbnego udoju.3.5..15.1.5 -.5 -.1 -.15 solution for a random additive genetic curve cow 1 cow cow 3 5 55 15 155 5 55 35 355 DIM R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej ocena rutynowa CAN R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej ocena rutynowa DEU R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
Model regresji losowej ocena rutynowa POL R.A. Mrode 5 Linear Models for the Prediction of Animal Breeding Values Copyright 16, Joanna Szyda
1. Dane powtarzalne w czasie. Model regresji stałej 3. Model regresji losowej