Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro nam ale to zadanie również nie wymaga wskazówki Zadanie 3 Znajdź resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian Jakiego stopnia jest reszta?
Ponieważ dzielimy przez wielomian drugiego stopnia, reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego Mamy gdzie jest pewnym wielomianem Wstawiając do ostatniej równości kolejno i otrzymujemy i Czyli, Szukaną resztą jest Jak widać przy znajdowaniu reszty nie jest potrzebna znajomość wyniku dzielenia Zadanie 4 Znajdź resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian Podstaw Zadanie sprowadza się do dzielenia wielomianu przez wielomian Reszta z takiego dzielenia jest wielomianem stopnia co najwyżej 0 i wynosi ona Zadanie 5 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian
Przypomnieć definicję podzielności wielomianów i twierdzenie Bezoute'a Zadanie 6 Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej Przećwiczyć przesuwanie wykresu funkcji! Zadanie 7 Rozwiąż równanie Zamiast wskazówki zakaz: nie wolno wykonywać mnożenia
Zadanie 8 Znajdź środek symetrii wykresu funkcji Sprowadź wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej Środek symetrii znajduje się w punkcie (dlaczego?) Sprowadzamy wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej [Error parsing LaTeX formula Error 6: dimension error: 914x50] [Error parsing LaTeX formula Error 6: dimension error: 903x50] Położenie środka symetrii to Zadanie 9 Dla jakich wartości parametru równanie kwadratowe (na ) ma dwa (różne) pierwiastki ujemne Skorzystaj ze wzorów Viete'a
Aby istniały dwa pierwiastki rzeczywiste trójmianu kwadratowego jego wyróżnik musi być dodatni, aby pierwiastki te były ujemne potrzeba i wystarcza by po pierwsze suma pierwiastków była ujemna tzn po drugie iloczyn pierwiastków był dodatni odpowiedź Zbierając otrzymane wyniki otrzymujemy Zadanie 10 Wielomian ma cztery pierwiastki rzeczywiste i Znajdź wartości następujących wyrażeń: a) b) c) Wyprowadź wzory Viete'a dla równania czwartego stopnia Wielomian można przedstawić w postaci iloczynowej Po wymnożeniu otrzymujemy Porównując współczynniki otrzymujemy a), b), c)
Zadanie 11 Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania Rozwiązań szukamy pośród liczb Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy Podkreślić należy, że twierdzenia podane na wykładzie dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych Ponadto pomimo, że podstawowe twierdzenie algebry zostanie omówione później można już w tym miejscu korzystać z faktu iż wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków Zadanie 12 Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania Rozwiązań szukamy pośród liczb znalezieniu trzech pierwiastków Poszukiwania przerywamy po Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy
Patrz uwagi do poprzedniego zadania Zadanie 13 Dla funkcji znaleźć zbiór wartości, dla którego Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być ujemny tzn Odpowiedź: Zadanie 14 Rozwiąż nierówność Naszkicuj pomocniczy wykresy wielomianu ich krotności, z uwzględnieniem miejsc zerowych i Odpowiedź:
Omówić zachowanie asymptotyczne wielomianów Zadanie 15 Rozwiąż nierówność Podstaw Podstawienie daje nierówność, która jest spełniona dla Ponieważ funkcja jest rosnąca otrzymujemy wynik