Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych

Podobne dokumenty
c - częstość narodzin drapieżników lub współczynnik przyrostu drapieżników,

Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów

Uruchamianie Aby uruchomić środowisko Simulink należy wpisać w command window Matlaba polecenie simulink lub kliknąć na pasku zadań ikonę programu:

Podstawy Informatyki 1. Laboratorium 8

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

Modele układów dynamicznych - laboratorium. SIMULINK - wprowadzenie

Modelowanie Systemów Dynamicznych Studia zaoczne, Automatyka i Robotyka, rok II. Podstawy SIMULINKA

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 6

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa TECHNIKI REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

Laboratorium 1. Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik

Ćwiczenie 0 : Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. wyświetla listę tematów pomocy. wyświetla okno pomocy (Help / Product Help)

Laboratorium Komputerowego Wspomagania Analizy i Projektowania

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI

Materiały dodatkowe. Simulink Real-Time

Wprowadzenie do SIMULINKA

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera

Modelowanie matematyczne a eksperyment

LABORATORIUM 5: Sterowanie rzeczywistym serwomechanizmem z modułem przemieszczenia liniowego

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi

INSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 1 AUTOMATYZACJA I ROBOTYZACJA PROCESÓW PRODUKCYJNYCH

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t

WPROWADZENIE DO ŚRODOWISKA SCICOS

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

MODELE WIELOPOPULACYJNE. Biomatematyka Dr Wioleta Drobik

Prototypowanie systemów sterowania

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Wprowadzenie do programu MultiSIM

Sterowanie w programie ADAMS regulator PID. Przemysław Sperzyński

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 3 AUTOMATYKA

1.3. Proste przykłady wykorzystania Scicosa

Ploter I-V instrukcja obsługi

Ćwiczenie 1. Symulacja układu napędowego z silnikiem DC i przekształtnikiem obniżającym.

Rys.1. Model cieplny odcinka toru prądowego reprezentowany elementami biblioteki Power System Blockset

E-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu. Dynamicznych. Elektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ćwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

Elektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy. Obowiązkowy Polski VI semestr zimowy

Ćw. 0 Wprowadzenie do programu MultiSIM

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski SYSTEMY SCADA

interaktywny pakiet przeznaczony do modelowania, symulacji, analizy dynamicznych układów ciągłych, dyskretnych, dyskretno-ciągłych w czasie

ĆWICZENIE 1. Farmakokinetyka podania dożylnego i pozanaczyniowego leku w modelu jednokompartmentowym

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 3 AUTOMATYZACJA I ROBOTYZACJA PROCESÓW PRODUKCYJNYCH

Materiały dodatkowe. Simulink PLC Coder

Kinematyka: opis ruchu

Kultywator rolniczy - dobór parametrów sprężyny do zadanych warunków pracy

7.2.1 Przeglądarka elementów i dostęp do pomocy

POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII. Roman Kaula

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Maxima i Visual Basic w Excelu

Różniczkowanie numeryczne

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Podstawy Informatyki Computer basics

Badanie wpływu parametrów korektora na własności dynamiczne układu regulacji automatycznej Ćwiczenia Laboratoryjne Podstawy Automatyki i Automatyzacji

Badanie diody półprzewodnikowej

Ćwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

Ćwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

Laboratorium 1. Wprowadzenie do środowiska GnuRadio. I. Wprowadzenie

Ćwiczenie Stany nieustalone w obwodach liniowych pierwszego rzędu symulacja komputerowa

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

Ćwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

numeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i

Równania różniczkowe zwyczajne

1 Kinetyka reakcji chemicznych

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Analiza Matematyczna część 5

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4

Techniki symulacji w budowie maszyn

1. Regulatory ciągłe liniowe.

PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Materiały dodatkowe. Raspberry Pi

UWAGA. Wszystkie wyniki zapisywać na dysku Dane E: Program i przebieg ćwiczenia:

Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory

Gromadzenie danych. Przybliżony czas ćwiczenia. Wstęp. Przegląd ćwiczenia. Poniższe ćwiczenie ukończysz w czasie 15 minut.

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

Walec na równi pochyłej

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Ćw. 0: Wprowadzenie do programu MultiSIM

Kondensator, pojemność elektryczna

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Techniki programowania INP001002Wl rok akademicki 2017/18 semestr letni. Wykład 7. Karol Tarnowski A-1 p.

Simulink MATLAB Przegląd obiektów i przykłady zastosowań

1. Otwórz pozycję Piston.iam

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE LAB TEMAT: INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 0 WPROWADZENIE DO PAKIETU MATLAB/SIMULINK SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE

1. Aplikacja LOGO! App do LOGO! 8 i LOGO! 7

Po uruchomieniu Lazarusa należy wybrać z paska górnego opcję Projekt i następnie Nowy Projekt. Pokaże się okno:

UWAGA. Program i przebieg ćwiczenia:

MATLAB tworzenie własnych funkcji

Modelowanie biologicznych układów typu drapieżca - ofiara z wykorzystaniem błądzenia losowego.

PODSTAWY AUTOMATYKI. Wprowadzenie do Simulinka środowiska MATLAB. Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - - termin T3

Transkrypt:

Identyfikacja i modelowanie struktur i procesów biologicznych Laboratorium 1: Modele ciągłe. Model Lotki-Volterry. mgr inż. Urszula Smyczyńska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza 1. Ćwiczenie 1: Rozwiązanie równania różniczkowego Pierwsze, wstępne ćwiczenie polega na rozwiązaniu w 'u jednego z prostych równań różniczkowych oraz porównanie uzyskanego wyniku ze znanym rozwiązaniem analitycznym. W każdej grupie zbudowany zostanie jeden z poniżej opisanych modeli. 1.1. Prawo Malthus'a Prawo Malthus'a (1798) jest wyidealizowanym modelem demograficznym rozwoju populacji ludzkiej, sformułowanym jako następujące równanie: x liczebność populacji t - czas dx dt =rx r współczynnik wzrostu populacji w przeliczeniu na osobę. Można przyjąć r=b d, przy czym b będzie współczynnikiem urodzeń, a d współczynnikiem umieralności. 1.2. Rozwój populacji przy ograniczonej pojemności środowiska Bardziej realistyczny niż w poprzednim przykładzie model rozwoju populacji zakłada ograniczoną pojemność środowiska i jest sformułowany następująco: K pojemność środowiska dx dt =r x ( 1 x K ) Pozostałe oznaczenia - jak w przykładzie 1. 1

1.3. Prawo rozpadu promieniotwórczego Dobrze znane prawo opisuje zmiany (spadek) ilości substancji promieniotwórczej w czasie. W formie równania różniczkowego wygląda ono następująco: N ilość substancji promieniotwórczej t - czas λ stała rozpadu dn dt = λ N 1.4. Model stężenia leku w krwiobiegu pacjenta (wg Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania) Model opisuje stężenie leku w osoczu krwi w następujący sposób: C stężenie leku w krwiobiegu t - czas dc dt = kc +C z(t) k współczynnik naturalnego zanikania leku C z (t) ilość leku podawanego na jednostkę czasu Wersja A: Stałe tempo dostarczania leku Przyjmujemy, że lek jest dostarczany ze stałą szybkością, czyli: Równanie przyjmuje zatem postać: C z (t)=i dc = kc +I dt Wersja B: Szybkość podawania leku maleje liniowo Przyjmujemy, że lek podawany jest początkowo z szybkością I 0, która z czasem maleje liniowo, czyli: C z (t)=i 0 v t 2

Całe równanie ma wtedy postać: dc dt = kc +I 0 v t Uwaga: Aby zachować sens fizyczny modelu, należy dopilnować, aby C z (t) nie przyjmowało wartości ujemnych, np. ograniczając czas symulacji. Można także założyć, że spadek szybkości podawania leku trwa do momentu jej wyzerowania lub osiągnięcia innej z góry zadanej wartości; natomiast sama symulacja może trwać dłużej. 1.5. Masa na sprężynie (oscylator harmoniczny) Położenie masy na sprężynie opisujemy następująco: m masa t - czas k współczynnik sprężystości m d2 x = kx (prawo Hooke'a F= kx ) 2 dt 3

2. Ćwiczenie 2: Model Lotki-Volterry Model Volterry, pierwotnie (1926) sformułowany jako wyjaśnienie wahań liczebności populacji ryb w Adriatyku, opisuje zależność wielkości dwóch populacji współistniejących na zasadzie drapieżnik-ofiara lub ewentualnie pasożyt-żywiciel. Jest to model ciągły, dynamiczny (opisuje zmiany w czasie), zbudowany jako układ 2 równań różniczkowych: { dx =Ax Bxy (1) dt dy = Cy+ Dxy (2) dt x liczebność ofiar y liczebność drapieżników A tempo rozmnażania populacji ofiar B tempo redukcji populacji ofiar przez drapieżniki C umieralność drapieżników D tempo przyrostu populacji drapieżników wskutek zjadania ofiar Równanie (1) charakteryzuje zmiany liczby ofiar, która wzrasta w tempie proporcjonalnym do ich aktualnej liczności (Ax), a maleje z szybkością zależną zarówno od liczby ofiar jak i drapieżników (-Bxy). Równanie (2) podobnie opisuje rozwój populacji drapieżników, która maleje, gdy zwierzęta umierają w tempie zależnym od ich aktualnej liczby (-Cy), natomiast zwiększa się z szybkością zależącą od ich aktualnej liczby oraz dostępności pożywienia ofiar (Dxy). 4

3. Rozwiązywanie równań różniczkowych w 'u Do rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych lub ich układów można wykorzystać m.in. pakiet, będący częścią oprogramowania Matlab. Poniżej znajdują się podstawowe informacje o modelowaniu procesów w tym pakiecie, które mogą się przydać podczas zajęć. 3.1. Uruchamianie 'a W oknie głównym (Command Window) Matlab'a wpisujemy komendę simulink. 3.2. Nowy model File New Model lub Ctrl+N 3.3. Budowanie modelu jest środowiskiem graficznym, w którym modele konstruuje się przez wstawianie i łączenie odpowiednich elementów obliczeniowych bloczków. Umieszczona poniżej tabela zawiera opis bloczków, które mogą się przydać podczas wykonywania ćwiczenia. Sum Nazwa Schemat Opis Kategoria Suma 2 lub więcej wartości. Klikając dwukrotnie LPM 1 na bloczek można go modyfikować, np. zmienić znak + na oraz zmienić ilość sumowanych zmiennych. Subtract Różnica. Działa analogicznie do bloku Sum. Product Mnożenie 2 lub więcej liczb. Konfiguracja podobnie jak w bloczku Sum. Divide Dzielenie 1 LPM lewy przycisk myszy 5

Gain Nazwa Schemat Opis Kategoria Wzmocnienie. Mnożenie wartości wejściowej przez stałą. Wartość wzmocnienia ustalamy w parametrach bloku (po kliknięciu 2 razy LPM); opcjonalnie może to być zmienna z przestrzeni roboczej (Workspace) Matlab'a. Constant Stała. Wartość ustalamy w parametrach bloku lub pobieramy zmienną z Workspace Matlab'a. Sources Integrator Obliczanie całki funkcji (sygnału) podanej na wejściu. W ustawieniach bloku ustalamy warunek początkowy; opcjonalnie może on być drugim, oprócz funkcji podcałkowej wejściem bloku (klikamy na blok 2x LPM i w parametrach zmieniamy Initial condition source z internal na external) Continuous Derivative Różniczkowanie funkcji wejściowej. Continuous Scope Oscyloskop. Wyświetla wykres funkcji wejściowej. Sinks To Workspace Eksport wartości wejściowej blokczku do przestrzeni roboczej Matlab'a. Sinks XY Graph Wykres zależności y od x. Sinks Mux Łączenie wielu sygnałów w jeden. Wykorzystujemy go np. gdy chcemy w jednym bloku Scope mieć kilka wykresów lub przesłać jednocześnie kilka zmiennych do Workspace Matlab'a. Signal Routing 6

Step Nazwa Schemat Opis Kategoria Funkcja progowa. W parametrach określamy wartości początkową i końcową oraz, kiedy ma nastąpić zmiana. Sources Ramp Funkcja o liniowo narastającej/malejącej wartości. W parametrach określamy m.in. wartość początkową i tempo jej zmian. Sources 3.4. Parametry symulacji Parametry symulacji ustawiamy w oknie modelu przez menu Simulation Configuration Parameters... lub skrótem Ctrl+E. Możemy ustawić m.in.: 1. Czas początku (Start time) i końca symulacji (Stop time). 2. Metodę całkowania numerycznego (Solver). 3. Parametry metody rozwiązywania: Typ (Type): ze stałym (Fixed-step) lub zmiennym (Variable-step) krokiem całkowania. Minimalny (Min step size) i maksymalny krok (Max step size). 3.5. Uruchomienie symulacji Symulację uruchamiamy z menu Simulation Start, skrótem Ctrl+T lub ikoną na pasku. 7

4. Literatura [1 3] 1. Tadeusiewicz, R., Jaworek, J., Kańtoch, E., Miller, J., Pięciak, T., Przybyło, J.: Wprowadzenie do modelowania systemów biologicznych oraz ich symulacji w środowisku MATLAB. UMCS, Lublin (2012). 2. Murray, J.D.: Mathematical Biology : I. An Introduction, Third Edition. Springer (2002). 3. Brauer, F., Castillo-Chavez, C.: Mathematical models in population biology and epidemiology. Springer (2012). 8