Mechanika relatywistyczna Wykład 15

Mechanika relatywistyczna Wykład 15 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/40

Czterowektory kontrawariantne i kowariantne Wszystkie obiekty, które przy transformacji Lorentza transformują siętakjak kontrawariantnyczterowektorpołożeniax µ = (ct, x),tzn. x µ = Λ µ ν x ν, nazywamy czterowektorami kontrawariantnymi. kowariantnyczterowektorpołożeniax µ = (ct, x),tzn. x µ =x ν Λ 1ν µ =x ν Λ Tν µ, nazywamy czterowektorami kowariantnymi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/40

Czteroprędkość Wzory transformacyjne dla wektora prędkości były skomplikowane, gdyż w jego definicji v = d x dt występują zarówno składowe przestrzenne, jak i składowa czasowa czterowektorapołożeniax µ = (ct, x). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/40

Czteroprędkość Wzory transformacyjne dla wektora prędkości były skomplikowane, gdyż w jego definicji v = d x dt występują zarówno składowe przestrzenne, jak i składowa czasowa czterowektorapołożeniax µ = (ct, x). Zdefiniujmy czterowekor prędkości u µ = dxµ dt 0, gdziet 0 jestczasemwłasnym,mierzonymwukładzie spoczynkowym cząstki. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/40

Czteroprędkość Czaswukładzie,wktórymcząstkaporuszasięzprędkością v, wiąże się z czasem własnym wzorem dt =γdt 0 d dt 0 = dt dt 0 d dt =γd dt i kontrawariantny czterowektor prędkości przybiera postać u µ = dxµ =γ d ( d(ct) dt 0 dt (ct, x) =γ, d x ) =γ(c, v). dt dt Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/40

Czteroprędkość Czaswukładzie,wktórymcząstkaporuszasięzprędkością v, wiąże się z czasem własnym wzorem dt =γdt 0 d dt 0 = dt dt 0 d dt =γd dt i kontrawariantny czterowektor prędkości przybiera postać u µ = dxµ =γ d ( d(ct) dt 0 dt (ct, x) =γ, d x ) =γ(c, v). dt dt Zdefiniujmy kontrawariantny czterowektor pędu p µ =mu µ =mγ(c, v). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/40

Czterowektor energii pędu Ponieważ czynnik Lorentza γ jest bezwymiarowy, to widzimy, że relatywistyczny pęd ciała o masie m należałoby zdefiniować jako a relatywistyczną energię jako p =γm v, E =γmc 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/40

Czterowektor energii pędu Ponieważ czynnik Lorentza γ jest bezwymiarowy, to widzimy, że relatywistyczny pęd ciała o masie m należałoby zdefiniować jako a relatywistyczną energię jako p =γm v, E =γmc 2. Zatem czterowektor energii pędu możemy zapisać w formie p µ = (mγc,mγ v) = (E/c, p). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/40

Relatywistyczna energia i pęd Zauważmy, że energia ciała o masie m, E =γmc 2 = mc2 1 v2 c 2 w układzie spoczynkowym, gdzie v = 0, jest niezerowa i wynosi E 0 =mc 2. Tak właśnie powinien wyglądać słynny wzór Einsteina, w którym często zapomina się albo czynnika γ, albo indeksu 0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/40

Relatywistyczna energia i pęd Znajdźmy przybliżenie nierelatywistyczne wzoru na energię ciała E =γmc 2 = mc2. 1 v2 c 2 Jeżeli v c x = v2 c 2 1imożemyzastosowaćprzybliżenia 1 1 x 1 1 1 2 x 1+1 2 x, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/40

Relatywistyczna energia i pęd Znajdźmy przybliżenie nierelatywistyczne wzoru na energię ciała E =γmc 2 = mc2. 1 v2 c 2 Jeżeli v c x = v2 c 2 1imożemyzastosowaćprzybliżenia 1 1 x 1 1 1 2 x 1+1 2 x, które wynikają z następujących przybliżonych równości ( 1 1 2 x ) 2 =1 x + 1 4 x2 1 x, (1+ 1 2 x )(1 1 2 x ) =1 1 4 x2 1. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/40

Relatywistyczna energia i pęd Wtedy ( ) E mc 2 1+ v2 2c 2 =mc 2 + 1 2 m v2 =E 0 +T. Dla pędu w przybliżeniu nierelatywistycznym otrzymamy natomiast ( ) p =γm v m v 1+ v2 2c 2 m v. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/40

Czterowektor energii pędu Obliczmy kwadrat normy czteropędu p 2 = p p =E 2 /c 2 p 2 =γ 2 m 2 c 2 γ 2 m 2 v 2 = m 2 c 2 γ 2( 1 v 2 /c 2) =m 2 c 2. Wzórtenczęstopiszesięwformie E 2 p 2 c 2 =m 2 c 4. Jest to oczywiście niezmiennik relatywistyczny. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/40

Czterowektor energii pędu Obliczmy kwadrat normy czteropędu p 2 = p p =E 2 /c 2 p 2 =γ 2 m 2 c 2 γ 2 m 2 v 2 = m 2 c 2 γ 2( 1 v 2 /c 2) =m 2 c 2. Wzórtenczęstopiszesięwformie E 2 p 2 c 2 =m 2 c 4. Jest to oczywiście niezmiennik relatywistyczny. Zatem, w dowolnym układzie odniesienia, energia wiąże się z pędem wzorem E = p 2 c 2 +m 2 c 4, gdzie odrzuciliśmy drugie, ujemne rozwiązanie. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/40

Zasada zachowania energii pędu Podobnie jak zrobiliśmy to w przypadku nierelatywistycznym, można pokazać, że symetria układu fizycznego, a więc niezmienniczość funkcji Lagrange a, względem translacji x µ x µ =x µ +a µ, a µ =const. prowadzi do zasady zachowania czteropędu układu. Ponieważ w czasoprzestrzeni Minkowskiego czas traktujemy na podobnych zasadach jak współrzędne przestrzenne, to dowodu zasady zachowania energii nie trzeba przeprowadzać osobno. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/40

Zasada zachowania energii pędu Podobnie jak zrobiliśmy to w przypadku nierelatywistycznym, można pokazać, że symetria układu fizycznego, a więc niezmienniczość funkcji Lagrange a, względem translacji x µ x µ =x µ +a µ, a µ =const. prowadzi do zasady zachowania czteropędu układu. Ponieważ w czasoprzestrzeni Minkowskiego czas traktujemy na podobnych zasadach jak współrzędne przestrzenne, to dowodu zasady zachowania energii nie trzeba przeprowadzać osobno. Wynika ona z zasady zachowania czteropędu p µ i = i i (E i /c, p i ) =const i E i =const i p i =const. i Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/40

Zasada zachowania energii pędu Przykład1.Relatywistycznakulkazplastelinyomasiem a i prędkości v a zderzasięzespoczywającąkulkąomasiem b.obie kulki sklejają się tworząc jedną kulkę. Jaka jest masa m i prędkość v kulki utworzonej w wyniku zderzenia? m a v a m b m v (przed zderzeniem) (po zderzeniu) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/40

Zasada zachowania energii pędu Przykład1.Relatywistycznakulkazplastelinyomasiem a i prędkości v a zderzasięzespoczywającąkulkąomasiem b.obie kulki sklejają się tworząc jedną kulkę. Jaka jest masa m i prędkość v kulki utworzonej w wyniku zderzenia? m a v a m b m v (przed zderzeniem) (po zderzeniu) Zasada zachowania czteropędu daje p a +p b =p, gdziep a,p b czteropędyprzed,ap czteropędpozderzeniu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/40

Zasada zachowania energii pędu p a = ( ) Ea ( ) c, p a =γ a m a (c, v a ), p b = m b c, 0. (p a +p b ) 2 =p 2 =m 2 c 2 m 2 = 1 c 2 (p a +p b ) 2 m 2 = 1 c 2 ( p 2 a +p 2 b +2p a p b ) = 1 c 2 ( m 2 ac 2 +m 2 bc 2 +2p a p b ) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/40

Zasada zachowania energii pędu p a = ( ) Ea ( ) c, p a =γ a m a (c, v a ), p b = m b c, 0. (p a +p b ) 2 =p 2 =m 2 c 2 m 2 = 1 c 2 (p a +p b ) 2 m 2 = 1 c 2 ( p 2 a +p 2 b +2p a p b ) = 1 c 2 ( m 2 ac 2 +m 2 bc 2 +2p a p b ) p a p b = E a c m bc p a 0 =E a m b m 2 =ma 2 +mb 2 +2 E am b c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/40

Zasada zachowania energii pędu p a = ( ) Ea ( ) c, p a =γ a m a (c, v a ), p b = m b c, 0. (p a +p b ) 2 =p 2 =m 2 c 2 m 2 = 1 c 2 (p a +p b ) 2 m 2 = 1 c 2 ( p 2 a +p 2 b +2p a p b ) = 1 c 2 ( m 2 ac 2 +m 2 bc 2 +2p a p b ) p a p b = E a c m bc p a 0 =E a m b m 2 =ma 2 +mb 2 +2 E am b c 2 m = m 2 a +m 2 b +2γ am a m b, gdzie γ a = 1 1 v 2 a/c 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/40

Zasada zachowania energii pędu Znajdźmy końcową prędkość. Ze wzorów na energię i pęd E =γmc 2, p =γm v v = pc2 E. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/40

Zasada zachowania energii pędu Znajdźmy końcową prędkość. Ze wzorów na energię i pęd E =γmc 2, p =γm v v = pc2 E. Z zasady zachowania czteropędu E =E a +m b c 2, p = p a =γ a m a v a v = γ am a v a c 2 E a +m b c 2 = γ a m a v a c 2 γ a m a c 2 +m b c 2 = γ a m a γ a m a +m b v a. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/40

Zasada zachowania energii pędu W granicy nierelatywistycznej v a c γ a = 1 1 v 2 a/c 2 1, więc v = m = γ a m a m a v a v a, γ a m a +m b m a +m b ma 2 +mb 2 +2γ am a m b m a +m b. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/40

Układ środka masy Wiązka protonów zderza się z protonami tarczy. Jaki jest związek pomiędzy energią całkowitą dwóch zderzających się protonów w układzie laboratoryjnym(lab), w którym tarcza spoczywa, z ich energią całkowitą w układzie środka masy(cm), w którym p 1 + p 2 = 0? m p p LAB 1 m p m p p p m p (uk lad LAB) (uk lad CM) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/40

Układ środka masy Wiązka protonów zderza się z protonami tarczy. Jaki jest związek pomiędzy energią całkowitą dwóch zderzających się protonów w układzie laboratoryjnym(lab), w którym tarcza spoczywa, z ich energią całkowitą w układzie środka masy(cm), w którym p 1 + p 2 = 0? m p p LAB 1 m p m p p p m p (uk lad LAB) (uk lad CM) Porównajmy ( ) 2 ( ) 2. p1 LAB +p2 LAB = p1 CM +p2 CM Kwadrat czterowektora jest niezmiennikiem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/40

Układ środka masy Stąd ( E LAB 1 +m p c 2) 2 c 2 ) 2 ( ) 2 (E CM p 1 LAB 1 +E2 CM + 0 = c 2 0 2, Pomnóżmyobiestronytegorównaniaprzezc 2 izauważmy,że E CM 1 +E CM 2 =E CM, gdziee CM jestcałkowitąenergiąwukładzieśrodkamasy,wówczas dostaniemy Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/40

Układ środka masy Stąd ( E LAB 1 +m p c 2) 2 c 2 ) 2 ( ) 2 (E CM p 1 LAB 1 +E2 CM + 0 = c 2 0 2, Pomnóżmyobiestronytegorównaniaprzezc 2 izauważmy,że E CM 1 +E CM 2 =E CM, gdziee CM jestcałkowitąenergiąwukładzieśrodkamasy,wówczas dostaniemy ( ) 2 ( ) 2c ( E1 LAB p 1 LAB 2 2 +mpc 4 +2E1 LAB m p c 2 = E CM) 2. }{{} mp 2c4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/40

Układ środka masy azatem ( 2m p c 2 całkowita energia {}}{ E1 LAB +m p c 2) = }{{} E LAB (E CM) 2 E LAB = (E CM) 2 2m p c 2. Przykład 2. Jaka musi być całkowita energia protonów w układzie laboratoryjnym, aby energia całkowita w układzie środka masy wynosiła 20 GeV? Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/40

Układ środka masy azatem ( 2m p c 2 całkowita energia {}}{ E1 LAB +m p c 2) = }{{} E LAB (E CM) 2 E LAB = (E CM) 2 2m p c 2. Przykład 2. Jaka musi być całkowita energia protonów w układzie laboratoryjnym, aby energia całkowita w układzie środka masy wynosiła 20 GeV? m p =938.27203±0.00008MeV/c 2 m p c 2 1GeV E LAB = (E CM) 2 2m p c 2 202 2 GeV =200GeV. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/40

Układ środka masy Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych, w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/40

Układ środka masy Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych, w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami. W akceleratorach wiązek przeciwbieżnych, jeżeli zderzane są cząstkipunktoweotejsamejmasie,jaknp.elektronipozyton,to układ laboratoryjny pokrywa się z układem środka masy, w którym sumaryczny pęd jest zerowy i cała energia może być wykorzystana na wygenerowanie masy(energii spoczynkowej) produktów reakcji. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/40

Układ środka masy Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych, w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami. W akceleratorach wiązek przeciwbieżnych, jeżeli zderzane są cząstkipunktoweotejsamejmasie,jaknp.elektronipozyton,to układ laboratoryjny pokrywa się z układem środka masy, w którym sumaryczny pęd jest zerowy i cała energia może być wykorzystana na wygenerowanie masy(energii spoczynkowej) produktów reakcji. Wielki Zderzacz Hadronów LHC w CERN-ie jest też tego rodzaju akceleratorem, ale zderzane w nim protony są cząstkami złożonymi. Ich składniki, tzw. partony, czyli kwarki i gluony, unoszą różne ułamki pędu macierzystych protonów, dlatego układ środka masy zderzających się partonów porusza się w układzie laboratoryjnym. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/40

Czteropęd cząstki bezmasowej Zauważmy, że dla cząstki bezmasowej,(np. fotonu), m = 0, E 2 p 2 c 2 =0 E 2 = p 2 c 2 p = E c. Cząstka bezmasowa o niezerowej energii ma relatywistyczny pęd, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/40

Czteropęd cząstki bezmasowej Zauważmy, że dla cząstki bezmasowej,(np. fotonu), m = 0, E 2 p 2 c 2 =0 E 2 = p 2 c 2 p = E c. Cząstka bezmasowa o niezerowej energii ma relatywistyczny pęd, a jej czteropęd ( ) E p µ = c, p = ( p, p) jest czterowektorem o zerowej normie, gdyż p µ 2 =p p = ( p 0) 2 ( p) 2 = p 2 p 2 =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/40

Czterowektor falowy Przypomnijmy postulat Einsteina(dla światła) E =hν = ω, gdzie ω =2πν, h 2π i postulat de Broglie go(dla fotonu lub cząstki masowej) p = k, gdzie k wektorfalowy,którywiążesięzdługościąfaliλwzorem k = 2π λ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/40

Czterowektor falowy Przypomnijmy postulat Einsteina(dla światła) E =hν = ω, gdzie ω =2πν, h 2π i postulat de Broglie go(dla fotonu lub cząstki masowej) p = k, gdzie k wektorfalowy,którywiążesięzdługościąfaliλwzorem k = 2π λ. Zdefiniujmy czterowektor falowy wzorem ) ω p µ = k µ = ( c, k. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/40

Efekt Dopplera dla światła k µ jestnapewnopoprawniezdefiniowanymczterowektorem. x 2 S x 2 S źród lo (uk lad S ) θ V x 1 (uk lad S) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/40

Efekt Dopplera dla światła k µ jestnapewnopoprawniezdefiniowanymczterowektorem. x 2 S x 2 S źród lo (uk lad S ) θ V x 1 (uk lad S) Dlatego jego zerowa składowa transformuje się wg wzoru k 0 =γ (k 0 βk 1). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/40

Efekt Dopplera dla światła k µ jestnapewnopoprawniezdefiniowanymczterowektorem. x 2 S x 2 S źród lo (uk lad S ) θ V x 1 (uk lad S) Dlatego jego zerowa składowa transformuje się wg wzoru k 0 =γ (k 0 βk 1). Podstawmyk 0 = ω c, k1 = k cosθ = ω c cosθ, k 0 = ω c. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/40

Efekt Dopplera dla światła k µ jestnapewnopoprawniezdefiniowanymczterowektorem. x 2 S x 2 S źród lo (uk lad S ) θ V x 1 (uk lad S) Dlatego jego zerowa składowa transformuje się wg wzoru k 0 =γ (k 0 βk 1). Podstawmyk 0 = ω c, k1 = k cosθ = ω c cosθ, k 0 = ω c. ω =γω(1 βcosθ) ω = ω γ(1 βcosθ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/40

Efekt Dopplera dla światła Ponieważω jestczęstotliwościąświatłamierzonąwukładzie źródła, które porusza się względem obserwatora z prędkością V = (V,0,0),tooznaczmyω =ω 0.Wówczas ω = ω 0 γ(1 βcosθ), gdzie ω częstotliwość światła mierzona przez obserwatora, θ kątpomiędzywektoremprędkościźródła Vakierunkiem obserwacji światła. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/40

Efekt Dopplera dla światła Jeżeli źródło porusza się w kierunku obserwatora znajdującego się nadodatniejpółosiox,tzn.θ=0 cosθ =1,to ω = ω 0 γ(1 β), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/40

Efekt Dopplera dla światła Jeżeli źródło porusza się w kierunku obserwatora znajdującego się nadodatniejpółosiox,tzn.θ=0 cosθ =1,to a uwzględniając, że otrzymamy γ = ω = ω 0 γ(1 β), 1 = 1 1 β 2 (1 β)(1+β) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/40

Efekt Dopplera dla światła Jeżeli źródło porusza się w kierunku obserwatora znajdującego się nadodatniejpółosiox,tzn.θ=0 cosθ =1,to a uwzględniając, że otrzymamy γ = ω = ω 0 γ(1 β), 1 = 1 1 β 2 (1 β)(1+β) ω = 1+β 1 β ω 0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/40

Efekt Dopplera dla światła Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to izwzoru widzimy, że 1<β =v 1 /c <1 ω = 1+β 1 β ω 0 jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn. β<0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/40

Efekt Dopplera dla światła Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to izwzoru widzimy, że 1<β =v 1 /c <1 ω = 1+β 1 β ω 0 jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn. β<0 ω<ω 0, (przesunięciekuczerwieni) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/40

Efekt Dopplera dla światła Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to izwzoru widzimy, że 1<β =v 1 /c <1 ω = 1+β 1 β ω 0 jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn. β<0 ω<ω 0, (przesunięciekuczerwieni) jeśli źródło zbliża się do obserwatora, tzn. β>0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/40

Efekt Dopplera dla światła Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to izwzoru widzimy, że 1<β =v 1 /c <1 ω = 1+β 1 β ω 0 jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn. β<0 ω<ω 0, (przesunięciekuczerwieni) jeśli źródło zbliża się do obserwatora, tzn. β>0 ω>ω 0. (przesunięciedofioletu) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 3 γ, p 1 e, p 2 θ e, p 4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 1 e, p 2 θ γ, p 3 Skorzystajmy z zasady zachowania czteropędu p 1 +p 2 = p 3 +p 4 e, p 4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 1 e, p 2 θ γ, p 3 Skorzystajmy z zasady zachowania czteropędu p 1 +p 2 = p 3 +p 4 [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 e, p 4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 1 e, p 2 θ γ, p 3 Skorzystajmy z zasady zachowania czteropędu p 1 +p 2 = p 3 +p 4 [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 = e, p 4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 1 e, p 2 θ γ, p 3 Skorzystajmy z zasady zachowania czteropędu p 1 +p 2 = p 3 +p 4 [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 = p 2 4 e, p 4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 1 e, p 2 θ γ, p 3 Skorzystajmy z zasady zachowania czteropędu p 1 +p 2 = p 3 +p 4 [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 = p 2 4 =m 2 ec 2, e, p 4 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Arthur Compton 1923 r. Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu? Załóżmy, że rozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowaniafotony. γ, p 1 e, p 2 θ γ, p 3 Skorzystajmy z zasady zachowania czteropędu p 1 +p 2 = p 3 +p 4 [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 = p 2 4 =m 2 ec 2, e, p 4 gdziewykorzystaliśmyzwiązekp 2 4 =m2 ec 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/40

Efekt Comptona Przekształćmy lewą stronę równania [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 = (p 1 p 3 ) 2 +2(p 1 p 3 ) p 2 +p 2 2 =p 2 1 2p 1 p 3 +p 2 3 +2p 1 p 2 2p 3 p 2 +p 2 2 =m 2 ec 2. Uwzgędniającrelacjęp 2 2 =m2 ec 2 ibezmasowośćfotonu,tzn. p 2 1 =p2 3 =0,dostaniemy 2p 1 p 3 +2p 1 p 2 2p 3 p 2 =0, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/40

Efekt Comptona Przekształćmy lewą stronę równania [(p 1 p 3 )+p 2 ] 2 = (p 1 p 3 ) 2 +2(p 1 p 3 ) p 2 +p 2 2 =p 2 1 2p 1 p 3 +p 2 3 +2p 1 p 2 2p 3 p 2 +p 2 2 =m 2 ec 2. Uwzgędniającrelacjęp 2 2 =m2 ec 2 ibezmasowośćfotonu,tzn. p 2 1 =p2 3 =0,dostaniemy 2p 1 p 3 +2p 1 p 2 2p 3 p 2 =0, a po prostych przekształceniach otrzymamy p 1 p 2 p 3 p 2 =p 1 p 3. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/40

Efekt Comptona Czteropędy cząstek początkowych mają postać p 1 = ( p 1,0,0, p 1 ) = ω 0 c (1,0,0,1), p 2 = (m e c,0,0,0), a czteropędy cząstek końcowych wyrażają się wzorami p 3 = ω c ( ) 1,ˆk = ω ( ) c (1,sinθcosϕ,sinθsinϕ,cosθ), p E4 4 = c, p 4. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/40

Efekt Comptona Czteropędy cząstek początkowych mają postać p 1 = ( p 1,0,0, p 1 ) = ω 0 c (1,0,0,1), p 2 = (m e c,0,0,0), a czteropędy cząstek końcowych wyrażają się wzorami p 3 = ω c ( ) 1,ˆk = ω ( ) c (1,sinθcosϕ,sinθsinϕ,cosθ), p E4 4 = c, p 4. Skąd,wykorzystującwzóra b =a 0 b 0 a b,otrzymamy p 1 p 2 p 3 p 2 = (ω 0 ω) m e c = m e (ω 0 ω) c p 1 p 3 = 2 ω 0 ω c 2 (1 cosθ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/40

Efekt Comptona Wstawiając te wyniki do równania otrzymamy p 1 p 2 p 3 p 2 =p 1 p 3 m e (ω 0 ω) = 2 ω 0 ω c 2 (1 cosθ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/40

Efekt Comptona Wstawiając te wyniki do równania otrzymamy p 1 p 2 p 3 p 2 =p 1 p 3 m e (ω 0 ω) = 2 ω 0 ω c 2 (1 cosθ). Podzielmyobiestronyprzez m e ω 0 ω,wówczasdostaniemy 1 ω 1 ω 0 = m e c 2 (1 cosθ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/40

Efekt Comptona Aby przejść do związku dla długości fali skorzystajmy ze związków λ =ct = c ν =2πc ω i pomnóżmy związek dla częstości obustronnie przez 2πc, wówczas otrzymamy związek 2πc ω 2πc = 2πc (1 cosθ) =2π ω 0 m e c2 m e c (1 cosθ), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/40

Efekt Comptona Aby przejść do związku dla długości fali skorzystajmy ze związków λ =ct = c ν =2πc ω i pomnóżmy związek dla częstości obustronnie przez 2πc, wówczas otrzymamy związek 2πc ω 2πc = 2πc (1 cosθ) =2π ω 0 m e c2 m e c (1 cosθ), który możemy wyrazić przez długość fali promieniowania rentgenowskiego λ λ λ 0 = 2π m e c (1 cosθ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/40

Efekt Comptona Zdefiniujmy komptonowską długość fali elektronu λ e = 2π m e c = h m e c, przy czym[particle Data Group 2014] λ e 2π = m e c =3.8615926800(25) 10 13 m, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/40

Efekt Comptona Zdefiniujmy komptonowską długość fali elektronu λ e = 2π m e c = h m e c, przy czym[particle Data Group 2014] λ e 2π = m e c =3.8615926800(25) 10 13 m, wówczas zmiana długości fali wyraża się wzorem λ =λ e (1 cosθ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/40

Efekt Comptona Zdefiniujmy komptonowską długość fali elektronu λ e = 2π m e c = h m e c, przy czym[particle Data Group 2014] λ e 2π = m e c =3.8615926800(25) 10 13 m, wówczas zmiana długości fali wyraża się wzorem λ =λ e (1 cosθ). Największa zmiana długoći fali następuje przy rozpraszaniu do tyłu, a najmniejsza przy rozpraszaniu do przodu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/40

Efekt Comptona Doświadczenie Comptona było jednym z pierwszych dowodów na korpuskularną naturę promieniowania elektromagnetycznego. Około roku 1920 większość fizyków, w tym również Compton, nie akceptowała hipotezy kwantów światła zaproponowanej przez Plancka i Einsteina traktując ją jedynie jako model matematyczny pozwalający wyjaśnić pewne zjawiska, jak widmo promieniowania ciała doskonale czarnego, czy zjawisko fotoelektryczne. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/40

Efekt Comptona Doświadczenie Comptona było jednym z pierwszych dowodów na korpuskularną naturę promieniowania elektromagnetycznego. Około roku 1920 większość fizyków, w tym również Compton, nie akceptowała hipotezy kwantów światła zaproponowanej przez Plancka i Einsteina traktując ją jedynie jako model matematyczny pozwalający wyjaśnić pewne zjawiska, jak widmo promieniowania ciała doskonale czarnego, czy zjawisko fotoelektryczne. Aby poprawnie opisać zjawisko Comptona musieliśmy założyć, że fotonyniosąnietylkoenergię,aleipędirozpraszająsięw zderzeniach z pojedynczymi elektronami, czyli że zachowują się jak klasyczne cząstki. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/40

Efekt Comptona Z drugiej strony jednak, pomiar energii rozproszonego promieniowania, tzn. jego długości fali, opierał się o zjawisko dyfrakcji, a więc wykorzystywał falową naturę promieniowania elektromagnetycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 32/40

Siła w teorii względności Pojęcie siły w teorii względności jest dość skomplikowane, m.in. dlatego, że wektor F = d p dt nie jest dobrze określoną częścią przestrzenną czterowektora. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 33/40

Siła w teorii względności Pojęcie siły w teorii względności jest dość skomplikowane, m.in. dlatego, że wektor F = d p dt nie jest dobrze określoną częścią przestrzenną czterowektora. Ponadto, masa, która wiąże się z energią w układzie spoczynkowym wzorem E 0 =mc 2 m = E 0 c 2, nie musi być wielkością stałą dla ciał złożonych. Np. jeśli podgrzejemy takie ciało, to jego energia wewnętrzna wzrośnie. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 33/40

Siła w teorii względności Pojęcie siły w teorii względności jest dość skomplikowane, m.in. dlatego, że wektor F = d p dt nie jest dobrze określoną częścią przestrzenną czterowektora. Ponadto, masa, która wiąże się z energią w układzie spoczynkowym wzorem E 0 =mc 2 m = E 0 c 2, nie musi być wielkością stałą dla ciał złożonych. Np. jeśli podgrzejemy takie ciało, to jego energia wewnętrzna wzrośnie. Zmiany masy wynikające ze zmiany energii wewnętrznej są na ogół nieznaczne. Dlatego założymy, że masa ciała nie zmienia się w czasie. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 33/40

Siła w teorii względności Mimo skomplikowanych własności transformacyjnych definicja F = d p dt dobrze zgadza się z siłą Lorentza ( ) F =q E + v B działającą na ładunek q w polu elektromagnetycznym o natężeniu Eiindukcji B. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 34/40

Siła w teorii względności Nasza definicja spełnia również związek pomiędzy przyrostem energii kinetycznej ciała, a pracą nad nim wykonaną. Aby się o tym przekonać, zróżniczkujmy związek d dt / E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 2E de =2 p d p dt de p d p dt =c2 E dt = c2 2γm v d p γmc dt = v F, dt c2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 35/40

Siła w teorii względności Nasza definicja spełnia również związek pomiędzy przyrostem energii kinetycznej ciała, a pracą nad nim wykonaną. Aby się o tym przekonać, zróżniczkujmy związek d dt / E 2 = p 2 c 2 +m 2 c 4 2E de =2 p d p dt de p d p dt =c2 E dt = c2 2γm v d p γmc dt = v F, dt c2 awięc de dt = v F de = F d x. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 35/40

Siła w teorii względności Uwzględniając, że E =mc 2 +T, gdzie T jest energią kinetyczną ciała, otrzymamy dt = F d x. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 36/40

Siła w teorii względności Uwzględniając, że E =mc 2 +T, gdzie T jest energią kinetyczną ciała, otrzymamy dt = F d x. Przyrost energii kinetycznej ciała jest równy wykonanej nad nim pracy. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 36/40

Ruchwpolustałejsiły Załóżmy,że F =const.wchwilit=0ciałospoczywawpoczątku układu,czyli x(0) = 0i v(0) = 0 p(0) = 0.Wówczas E 2 = d p = Fdt p = Ft. ( γmc 2) 2 =m 2 c 4 + p 2 c 2 γ = gdzie odrzuciliśmy ujemne rozwiązanie. 1+ p2 m 2 c 2, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 37/40

Ruchwpolustałejsiły Załóżmy,że F =const.wchwilit=0ciałospoczywawpoczątku układu,czyli x(0) = 0i v(0) = 0 p(0) = 0.Wówczas E 2 = d p = Fdt p = Ft. ( γmc 2) 2 =m 2 c 4 + p 2 c 2 γ = 1+ p2 m 2 c 2, gdzie odrzuciliśmy ujemne rozwiązanie. Z definicji pędu v = p mγ = Ft = F m 1+ 2 t 2 m 2 c 2 Ft. m 1+ F2 t 2 m 2 c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 37/40

Ruchwpolustałejsiły Załóżmy,że F =const.wchwilit=0ciałospoczywawpoczątku układu,czyli x(0) = 0i v(0) = 0 p(0) = 0.Wówczas E 2 = d p = Fdt p = Ft. ( γmc 2) 2 =m 2 c 4 + p 2 c 2 γ = 1+ p2 m 2 c 2, gdzie odrzuciliśmy ujemne rozwiązanie. Z definicji pędu v = p mγ = x = m Ft F 1+ 2 t 2 Ft vdt = m m 2 c 2 = Ft. m 1+ F2 t 2 m 2 c 2 1+ F2 t 2 m 2 c 2 dt = F m t dt. 1+ F2 t 2 m 2 c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 37/40

Ruchwpolustałejsiły Podstawmy u = 1+ F2 t 2 m 2 c 2 du = 2 F2 m2ctdt 2 F 2 tdt = 2 1+ F2 t 2 m 2 c 2 u m 2 c 2 tdt = m2 c 2 F 2 udu i obliczmy całkę F x(t) = m tdt F m 2 c 2 = 1+ F2 t 2 m F 2 m 2 c 2 = mc2 F 2 Fu + C = mc2 F 2 F udu u =mc2 F 2 F 1+ F2 t 2 m 2 c 2 + C. du Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 38/40

Ruchwpolustałejsiły Uwzględnijmy warunek początkowy x(0) = 0 x(0) = mc2 F 2 F 1+ F2 0 2 m 2 c 2 + C = mc2 F 2 F + C = 0 C = mc2 F 2 F. Ostateczny wynik ma postać x(t) = mc2 F 2 1+ F2 t 2 m 2 c 2 1 F. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 39/40

Ruchwpolustałejsiły Uwzględnijmy warunek początkowy x(0) = 0 x(0) = mc2 F 2 F 1+ F2 0 2 m 2 c 2 + C = mc2 F 2 F + C = 0 C = mc2 F 2 F. Ostateczny wynik ma postać x(t) = mc2 F 2 1+ F2 t 2 m 2 c 2 1 F. Dla krótkich czasów otrzymujemy x(t) mc2 F 2 ( 1+ 1 F 2 t 2 ) 2m 2 c 2 1 F = 1 F 2m t2 = 1 2 at2, a więc wynik taki sam jak w przypadku nierelatywistycznym. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 39/40

Czterowektor siły Można zdefiniować czterowektor siły K µ = dpµ dt 0, gdziet 0 czaswłasny. Jesttoniewątpliwiepoprawniezdefiniowanyczterowektor,gdyżt 0 jest lorentzowskim skalarem. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 40/40

Czterowektor siły Można zdefiniować czterowektor siły K µ = dpµ dt 0, gdziet 0 czaswłasny. Jesttoniewątpliwiepoprawniezdefiniowanyczterowektor,gdyżt 0 jest lorentzowskim skalarem. Związek z trójsiłą ma postać K µ =γ dpµ dt ( ) 1 de ( =γ cdt,d p =γ v F/c, F dt ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 40/40

Czterowektor siły Można zdefiniować czterowektor siły K µ = dpµ dt 0, gdziet 0 czaswłasny. Jesttoniewątpliwiepoprawniezdefiniowanyczterowektor,gdyżt 0 jest lorentzowskim skalarem. Związek z trójsiłą ma postać K µ =γ dpµ dt ( ) 1 de ( =γ cdt,d p =γ v F/c, F dt ). Czterosiła nie ma większego zastosowania, głównie ze względu na to,żewjejdefinicjiwystępujeczaswłasny,amynaogółchcemy badać ruch ciał(ewolucję układu w czasie) w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 40/40