POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Analiza widmowa sygnałów (2) dr inż. Robert Hanus 1
Analiza Widmowa z DFT p g p g p p p p p 2
Okienkowanie sygnału (w dziedzinie czasu) wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 3
Relacje związane z twierdzeniem o splocie (ang: convolution) dotyczące mnożenia w dziedzinie czasu x(n) h(n) h(n) x(n) Mnożenie w dziedzinie czasu jest równoważne splotowi w dziedzinie częstotliwości i odwrotnie wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 4
Relacje związane z twierdzeniem o splocie dotyczące mnożenia w dziedzinie częstotliwości x(n) h(n) h(n) x(n) Splot (dyskretny): h[n]: n 0,1,2...P 1; y[n] h[n] x[n] P Q 1 k 0 Y[m] H[m] X[m] x[n]:n 0,1,2...Q 1 h[k] x[n k]; 5
Obliczanie splotu przykład wg. Smith: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Splot jest operacją przemienną: x[n]: n 0,1,2...P 1; y[n] x[n] h[n] P Q 1 k 0 Y[m] X[m] H[m] h[n]:n 0,1,2...Q 1 x[k] h[n k] h[n] x[n] 6
Obliczanie splotu Maszyna splotowa Odwrócenie (odbicie) ciągu h(n) względem punktu n=0 wg. Smith: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów 7
Dodanie zer 8
Dodanie zer 9
Sygnał prostokątny (okno) w dziedzinie czasu i częstotliwości Dziedzina czasu Dziedzina częstotliwości 10
Widmo okna prostokątnego Widmo amplitudowe okna prostokątnego wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 11
Widmo okna prostokątnego i trójkątnego wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 12
Rozmycie (przeciek, przenikanie) widma (1) Dziedzina czasu. Sygnał wejściowy Okno Sygnał po okienkowaniu (mnożenie) Dziedzina częstotliwości Widmo sygnału wejściowego Widmo okna Widmo sygnału po okienkowaniu (splot) 13
Rozmycie (przeciek, przenikanie) widma (2) Zniekształcenie powstające w wyniku zastosowania okna wycinającego wg. materiałów firmy National Instruments 14
Efekty przecieku widma (1) 15
Efekty przecieku widma (2) 16
Przeciek widma przyczyny powstawania (1) a) A waveform that exactly fits one time record b) When replicated, no transients are introduced a) A waveform that dose not exactly fits into one time record b) When replicated, severe transients are introduced, causing leakage in the frequency domain 17
Przeciek widma przyczyny powstawania (2) a) szerokość okna wycinającego równa 2 okresom x(t) b) szerokość okna wycinającego nierówna nt 18
Przykład przecieku widma (1) Przypadek 1 brak przecieku widma: a) ciąg wejściowy o trzech okresach w ciągu danych b) moduł wartości wyjściowych DFT wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 19
Przykład przecieku widma (2) Przypadek 2 wyraźny przeciek : a) ciąg wejściowy o 3,4 okresu w ciągu danych b) moduł wartości wyjściowych DFT 20
Kształt obwiedni widma i położenie prążków (1) Odpowiedź częstotliwościowa DFT dla N punktowego ciągu wejściowego, zawierającego k okresów rzeczywistej cosinusoidy: a) odpowiedź amplitudowa jako funkcja m tego prążka, b) moduł odpowiedzi jako funkcja częstotliwości w Hz, 21
Kształt obwiedni widma i położenie prążków (2) Położenie i amplitudy prążków DFT: a) częstotliwość sygnału wejściowego = 8 khz, b) częstotliwość sygnału wejściowego = 8,5 khz, c) częstotliwość sygnału wejściowego = 8,75 khz 22
Wybrane funkcje okien Okno Hanninga: n = 0,1,2...N-1 Okno Hamminga: n = 0,1,2...N-1 Okno trójkątne: Okno Blackmana: n = 0,1,2...N-1 Okno Czebyszewa: w(n) = N - punktowa odwrotna DFT z : i m = 0,1,2...N-1 Okno Kaisera-Bessela: n = 0,1,2...N-1 i p = (N-1)/2 23
Najważniejsze parametry okien (1) szerokość listka głównego (wpływa na rozdzielczość analizy) poziom listków bocznych nachylenie charakterystyki częstotliwościowej listków bocznych współczynnik tłumienia amplitudy Charakterystyki kilku okien w dziedzinie czasu i częstotliwości 24
Najważniejsze parametry okien (2) 25
Przykładowe okna (1) Effect of Rectangular weighting in the time and frequency domains 26
Przykładowe okna (2) Effect of Hanning weighting in the time and frequency domains 27
Przykładowe okna (3) Effect of Kasiser-Bessel and flat-top weighting in the time and frequency domains 28
Przykładowe okna (4) The rectangular window,:(a) has the narrowest main lobe but the largest amplitude side lobes. The Hamming window, (b), and the Blackman window, (c), have lower amplitude side lobes at the expense of a wider main lobe. The fiat-top window, (d), is used when the amplitude of a peak must be accurately measured. 29
Okna parametryczne (1) (Czybyszewa) w(n) = N - punktowa odwrotna DFT z : m = 0,1,2...N-1 Funkcje okna Czybyszewa dla różnych wartości : a) współczynnik okna w dziedzinie czasu, b) Widma amplitudowe w dziedzinie częstotliwości w db wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 30
Okna parametryczne (2) (Kaisera) n = 0,1,2...N-1 i p = (N-1)/2 Funkcje okna Kaisera (Kaisera-Bessela) dla różnych wartości : a) współczynnik okna w dziedzinie czasu, b) Widma amplitudowe w dziedzinie częstotliwości w db, 31
Parametry okien (1) szerokość listka głównego poziom listków bocznych nachylenie charakterystyki częstotliwościowej listków bocznych wg. materiałów firmy National Instruments 32
Parametry okien (2) szerokość listka głównego poziom listków bocznych nachylenie charakterystyki częstotliwościowej listków bocznych wg. materiałów firmy National Instruments 33
Parametry okien (3) współczynnik skalowania równoważne pasmo szumowe największy błąd odwzorowania amplitudy Równoważne pasmo szumowe (równoważna szerokość widma okna) szerokość filtra prostokątnego o amplitudzie równej amplitudzie okna, przepuszczającego taką samą moc szumu białego 34
Parametry okien (4) Amplitude Error wg. materiałów firmy National Instruments 35
Parametry okien (5) - Amplitude Error 36
Parametry okien (6) - współ. skalowania Okno Hanninga: a) 64-próbkowy iloczyn okna Hanninga i wejściowego przebiegu sinusoidalnego o 3,4 okresach na przedziałach próbkowania b) wejściowe wartości DFT dla okna Hanninga w porównaniu z wyjściowymi wartościami DFT dla okna prostokątnego wg. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 37
Parametry okien (7) - współ. skalowania i wpływ listków bocznych Zwiększona czułość wykrycia sygnału osiągnięta dzięki zastosowaniu okienkowania: a) 64-próbkowy iloczyn okna Hanninga i sumy przebiegów sinusoidalnych o 3,4 okresach i 7 okresach na przedział próbkowania, b) wejściowe wartości DFT dla okna Hanninga ze zmniejszonym przeciekiem w porównaniu z wyjściowymi wartościami DFT dla okna prostokątnego 38
Zalecenia dotyczące wyboru typu okna wg. materiałów firmy National Instruments 39
Przykłady analizy sygnałów z zastosowaniem okien (1) Example of using a window in spectrai analysis. Figure (a) shows the frequency spectrum (magnitude only) of a signal consisting of two sine waves. One sine wave has a frequency exactly equal to a basis function, allowing it to be represented by a single sample. The other sine wave has a frequency between two oft he basis functions, resulting in tails on the peak. Figure (b) shows the frequency spectrum of the same signal, but with a Hamming window applied before taking the DFT. The window makes the peaks look the same and reduces the tails, but broadens the peaks. 40
Przykłady analizy sygnałów z zastosowaniem okien (2) wg. materiałów firmy National Instruments 41
Przykłady analizy sygnałów z zastosowaniem okien (3) a) prostokątne, b) Hanna, c) Gaussa α=3, d) Kaisera-Bessela β=3 42
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (1) 43
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (2) 44
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (3) f p = 1024 (brak przecieku). Amplitude correction off 45
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (4) f p = 1024 (brak przecieku). Amplitude correction on 46
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (5) f p = 1000, f s = 42 Hz (najmniejszy przeciek) 47
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (6) sin 42 Hz/4,5 V + sin 44 Hz/0,9 V 48
Okienkowanie sygnałów w DASYLab (7) sin 42 Hz/4,5 V + sin 49 Hz/0,001 V 49