Geometria wykreślna : podstawowe metody odwzorowań stosowane w projektowaniu inżynierskim : podręcznik dla studentów Wydziału Inżynierii Lądowej / Renata A. Górska. Kraków, 2015 Spis treści Słowo wstępne 7 W1: Geometria rzutowa a geometria euklidesowa 9 1.1. Wstęp 9 1.2. Geometria Euklidesa 10 1.2.1. Aksjomaty przynależności 10 1.3. Geometria rzutowa i przestrzeń rzutowa 11 1.3.1. Elementy niewłaściwe w przestrzeni euklidesowej 13 1.3.1.1. Pojęcie punktu niewłaściwego N 13 1.3.1.2. Prosta niewłaściwa n 13 1.4. Model przestrzeni rzutowej 14 1.4.1. Aksjomaty przestrzeni rzutowej 14 1.4.2. Zasada dwoistości 14 1.5. Stosunek podziału odcinka punktem 14 1.6. Dwustosunek czwórki punktów 16 1.6.1. Grupa harmoniczna 16 W2: Klasyfikacja odwzorowań 19 2.1. Wstęp 19 2.2. Klasyfikacja rzutów (w przestrzeni E 3+ ) 19 2.2.1. Rzut środkowy 20 2.2.2. Rzut równoległy 21 2.2.3. Rzut prostokątny 23 W3: Rzuty prostokątne - Metoda europejska i Metoda amerykańska 24 3.1. Wstęp 24 3.2. Metoda Rzutów Monge'a (MRM) 24 3.2.1. Sześć rzutów obiektu 26 W4: MRM - odwzorowanie punktu, prostej, płaszczyzny 33 4.1. Wstęp 33 4.2. Metoda Rzutów Monge'a (MRM) 33 4.2.1. Odwzorowanie punktu A 33 4.2.1.1. Obrazy punktów w MRM 35 4.2.1.2. Restytucja położenia punktu w przestrzeni E 3+ 35 4.2.1.3. Punkty w położeniu szczególnym względem układu rzutni 36
4.2.2. Obraz prostej w MRM 36 4.2.2.1. Prosta pozioma 37 4.2.2.2. Prosta pionowa 38 4.2.2.3. Prosta czołowa 39 4.2.2.4. Prosta w położeniu ogólnym względem rzutni 40 4.2.3. Odwzorowanie płaszczyzny α 41 4.2.4. Płaszczyzny w położeniu szczególnym względem rzutni 43 4.2.4.1. Płaszczyzna prostopadła do rzutni pionowej 43 4.2.4.2. Płaszczyzna prostopadła do rzutni poziomej 44 4.2.4.3. Płaszczyzna pozioma 45 W5: Transformacja 48 5.1. Wstęp 48 5.2. Transformacja punktu 49 5.3. Zastosowanie transformacji 50 5.3.1. Długość odcinka 51 5.3.2. Punktowy obraz prostej 53 5.3.3. Metryka figury płaskiej będącej w położeniu szczególnym względem rzutni poziomej (i pionowej) 54 5.3.3.1. Transformacja płaszczyzny prostopadłej do rzutni pionowej 54 5.3.3.2. Transformacja płaszczyzny prostopadłej do rzutni poziomej 55 5.3.4. Transformacja płaszczyzny dowolnej 56 5.3.4.1. Naturalna wielkość trójkąta 56 5.3.4.2. Konstrukcja wielokąta foremnego należącego do płaszczyzny ogólnej 58 W6: MRM - prostopadłość. Mierzenie odległości oraz wielkości kąta dwuściennego 64 6.1. Wstęp 64 6.2. Prosta n prostopadła do płaszczyzny - pomiar odległości punktu od płaszczyzny 64 6.2.1. Płaszczyzna β π 1 64 6.2.2. Płaszczyzna α π 2 66 6.2.3. Odległość punktu P od płaszczyzny dowolnej α 68 6.3. Kąt dwuścienny 71 W7: Bryły platońskie 74 7.1. Wstęp 74 7.2. Ostrosłupy, graniastosłupy i pryzmatoidy 75 7.3. Pięć brył platońskich 76 7.3.1. Własności brył platońskich 77 7.3.2. Siatki wielościanów foremnych 82 W8: Aksonometria ukośna 90 8.1. Wstęp 90
8.2. Twierdzenie Pohlkego 91 8.3. Konstrukcja obrazu aksonometrycznego 92 8.3.1. Obraz aksonometryczny punktu A 92 8.3.2. Aksonometria ukośna obiektu trójwymiarowego 93 8.3.3. Płaszczyzna Oxz równoległa do rzutni aksonometrycznej π 93 8.3.3.1. Aksonometria kawalerska o współczynniku deformacji liniowej m = 1:1 94 8.3.3.2. Aksonometria kawalerska o współczynniku deformacji liniowej m = 1:2 96 8.3.3.3. Konstrukcja perspektywy kawalerskiej o współczynniku deformacji liniowej m = 1:2 - przykład zadania praktycznego 97 8.3.4. Perspektywa wojskowa, czyli aksonometria planometryczna 101 8.3.5. Dimetria prawie prostokątna, czyli aksonometria dimetryczna 104 W9: Aksonometria prostokątna - własności oraz metoda konstrukcji 106 9.1. Wstęp 106 9.2. Własności aksonometrii prostokątnej 107 9.3. Rodzaje aksonometrii prostokątnej oraz ich własności 109 9.4. Dwie metody konstrukcji aksonometrii prostokątnej 110 9.4.1. Metoda tradycyjna 110 9.4.2. Metoda aksonometrii sterowanej" 110 9.5. Analiza geometrycznych zależności występujących w aksonometrii prostokątnej 116 9.5.1. Środek aksonometryczny O n w relacji do przyjętego kierunku obserwacji k 116 9.5.2. Relacja: osie aksonometryczne, kierunek obserwacji a położenie rzutni aksonometrycznej 119 9.6. Zastosowanie siatki do konstrukcji aksonometrii prostokątnej 122 9.7. Przykład wykonanej odręcznie aksonometrii prostokątnej domu 123 W10: Powierzchnie obrotowe: kula, walec, stożek 127 10.1. Wstęp 127 10.2. Sfera 128 10.2.1. Konstrukcja elipsy 133 10.3. Walec 135 10.3.1. Przekrój walca obrotowego płaszczyzną ukośną 135 10.3.2. Rozwinięcie walca obrotowego o osi pionowej 137 10.3.3. Konstrukcja Kochańskiego 139 10.3.4. Rozwinięcie walca obrotowego o osi nierównoległej do rzutni 139 10.4. Stożek obrotowy 141 10.4.1. Przekrój stożka płaszczyzną 141 10.4.2. Rozwinięcie stożka ściętego płaszczyzną 145 10.4.2.1. Stożek i płaszczyzna tnąca prostopadła do rzutni pionowej 145 10.4.2.2. Stożek i płaszczyzna tnąca w położeniu ogólnym 147
10.4.3. Konstrukcja hiperboli 149 W11: Rzut cechowany 151 11.1. Wstęp 151 11.2. Obraz punktu A 152 11.3. Obraz prostej a 153 11.3.1. Stopniowanie prostej 154 11.3.2. Moduł prostej i nachylenie prostej 155 11.3.3. Skala rysunku i jednostka 156 11.3.4. Obraz płaszczyzny α 156 W12: Dachy 160 12.1. Wstęp 160 12.2. Dachy proste 161 12.2.1. Dach dwuspadowy nad prostokątnym budynkiem 161 12.2.2. Dach czterospadowy 162 12.3. Projektowanie geometrii dachu 163 12.3.1. Wypośredniczanie połaci dachowych dla zadanego wielokąta okapu dachu 163 12.3.2. Rzut pionowy dachu 165 12.3.3. Konstrukcja warstwie dachu 166 12.4. Rozwinięcie połaci dachowych 167 12.5. Kąt zaciosu belki narożnej (lub koszowej) 170 W13: Powierzchnia topograficzna - roboty ziemne 172 13.1. Wstęp 172 13.2. Projekt poziomej platformy 172 13.3. Profil terenu wraz z projektowaną konstrukcją 179 13.4. Droga w spadku 179 W14: Sklepienia i przekrycia powłokowe w architekturze 184 14.1. Wstęp 184 14.2. Powierzchnie obrotowe 185 14.2.1. Opera w Sydney 185 14.2.2. Kopuła, sklepienie czeskie i sklepienie żaglowe 187 14.2.3. Sklepienia walcowe 189 14.2.3.1. Sklepienie krzyżowe 190 14.2.3.2. Sklepienie klasztorne 191 14.3. Powierzchnie prostokreślne 192 14.3.1. Sklepienie marsylijskie 192 14.3.2. Powierzchnie Catalana 192 14.3.2.1. Cylindroida 193 14.3.2.2. Konoida 195 14.3.2.3. Paraboloida hiperboliczna 196 14.3.3. Hiperboloida jednopowłokowa 198
W15: Perspektywa stosowana 200 15.1. Wstęp 200 15.2. Terminologia 201 15.3. Obraz prostej w perspektywie 202 15.3.1. Punkt zbiegu Z a i płaszczyzna zbiegu ξ 202 15.3.2. Obraz prostej a. Ślad tłowy T a prostej a 203 15.3.3. Obraz perspektywiczny wiązki prostych równoległych 204 15.3.4. Parametry wyznaczające perspektywę i oznaczenia 204 15.4. Perspektywa domu - konstrukcja przeprowadzona na bazie rzutów prostokątnych 206 15.4.1. Założenia do konstrukcji 206 15.4.2. Konstrukcja podstawy budynku 207 15.4.3. Konstrukcja krawędzi pionowych budynku 210 Literatura 214 oprac. BPK