http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1

Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania rozumowań matematycznych oraz opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących zbiorów, relacji i funkcji. 2

Program wykładu 1. Rachunek zdań 2. Rachunek kwantyfikatorów 3. Metody dowodzenia twierdzeń 4. Zbiory 5. Funkcje 6. Relacje 7. Teoria mocy 8. Konstrukcje zbiorów liczbowych 3

Literatura podstawowa Jan Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT 2007, 2012. Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN (wiele wydań). Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN (wiele wydań). 4

Literatura uzupełniająca Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN 2005. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wstęp do matematyki: zbiór zadań, PWN 2005. Roman Murawski, Kazimierz Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, UAM 2006. Julian Musielak, Wstęp do matematyki, PWN 1970. Kenneth Ross, Charles Wright, Matematyka dyskretna, PWN 2005. 5

Gary Chartrand, Albert Polimeni, Ping Zhang, Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics, Pearson, 2012. Robert Bond, William Keane, An Introduction to Abstract Mathematics, Waveland Press, 2007. Richard Hammack, Book of proof, Virginia Commonwealth University, http://www.people.vcu.edu/~rhammack/bookofproof/bookofproof.pdf 6

Wymagania egzaminacyjne: zaliczenie ćwiczeń na ocenę, egzamin pisemny z wykładu. Egzamin składa się z dwóch części: testu z podstawowych pytań i poleceń trwającego 15 minut, zawierającego 10 pytań ocenianych w skali od 0 do 1, części zadaniowej trwającej 75 minut, zawierającej 5 zadań ocenianych w skali od 0 do 2. Łącznie można otrzymać od 0 do 20 punktów. Ocena z egzaminu zależy od liczby uzyskanych punktów: 10 3, 12 3+, 14 4, 16 4+, 18 5. 7

Skrypt wykładu, przykładowe pytania i zadania znajdują się na stronie www: http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 8

Hasło matematyka w słownikach i encyklopediach Słownik Języka Polskiego PWN, http://sjp.pwn.pl/szukaj/matematyka Oxford Dictionary, http://www.oxforddictionaries.com/definition/ english/mathematics Encyklopedia PWN, http://encyklopedia.pwn.pl/haslo/3938552/ matematyka.html Wikipedia, http://pl.wikipedia.org/wiki/matematyka Wikipedia, wersja angielska, http://en.wikipedia.org/wiki/mathematics 9

Co to jest matematyka? Courant Richard, Robbins Herbert, Co to jest matematyka? Matematyka, jako wyraz myśli ludzkiej, odzwierciedla czynną wolę, kontemplacyjny rozum i dążenie do doskonałości estetycznej. Jej podstawowymi elementami są: logika i intuicja, analiza i konstrukcja, uogólnianie i indywidualizowanie. Różne tradycje podkreślały różne spośród tych aspektów, jednak tylko gra przeciwstawnych sił, walka o ich syntezę stanowi o żywotności, użyteczności i ogromnym znaczeniu matematyki. Matematyka jest zawieszona pomiędzy rzeczywistością a nierzeczywistością; jej sens nie tkwi ani w formalnej abstrakcji, ani w świecie fizycznym. (... ) Matematyka wiąże abstrakcyjny świat pojęć umysłu ze światem fizycznym, nie będąc częścią żadnego z nich. 10

Davis Philip, Hersh Reuben, Świat matematyki Co to jest liczba? Co to jest zbiór? Co to jest dowód? Co wiemy o matematyce? I jak to wiemy? Co to jest ścisłość matematyczna? Co to jest intuicja matematyczna? Kiedy sformułowałem te pytania, zdałem sobie sprawę, że nie znam na nie odpowiedzi. (... ) Co gorsza, nie miałem podstawy czy kryterium, które pozwoliłoby mi mierzyć różne opinie, bronić lub atakować jakiś pogląd. Nawiązałem rozmowy z innymi matematykami na temat dowodu, wiedzy, matematycznej rzeczywistości i okazało się, że mój stan mglistej niepewności był typowy. 11

Historia logiki w kilkunastu zdaniach Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, WSiP 1995, str. 276, 277. 12

Oznaczenia zbiorów N = {0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych z zerem, N 1 = {1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych bez zera, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} zbiór liczb całkowitych, Q zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych. 13

Rachunek zdań 14

Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Zdania fałszywe: 2 + 2 = 5, 2 Q, Q Z. 15

Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeśli trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny, to a 2 + b 2 = c 2? (a, b, c dane liczby dodatnie) 16

Zdanie posiadające jedną z dwóch wartości logicznych: prawda lub fałsz, nazywamy zdaniem logicznym. Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r,.... Wartość logiczną fałsz oznaczamy symbolem 0, a wartość logiczną prawda symbolem 1. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to piszemy v(p) = 0, a jeśli jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1. Złożone zdania logiczne są zbudowane z innych zdań logicznych za pomocą spójników logicznych: jednoargumentowego i dwuargumentowych,,,,. 17

Negacja p nie p, nieprawda, że p negacja zdania p Przykład: 1 nie jest liczbą pierwszą, dokładniej: nieprawda, że 1 jest liczbą pierwszą. Zdanie p jest negacją zdania p: 1 jest liczbą pierwszą. 18

Zdanie p jest: prawdziwe, gdy p jest fałszywe, fałszywe, gdy p jest prawdziwe. v(p) v( p) 0 1 1 0 19

Koniunkcja p q p i q koniunkcja zdań p i q Przykład: 2 jest liczbą pierwszą i parzystą, dokładniej: 2 jest liczbą pierwszą i 2 jest liczbą parzystą. Jest to koniunkcja p q, gdzie p oznacza zdanie 2 jest liczbą pierwszą, a q oznacza zdanie 2 jest liczbą parzystą. 20

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q są prawdziwe, fałszywe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 21

Alternatywa p q p lub q alternatywa zdań p i q Przykład. Wybierzmy pewną liczbę całkowitą x i rozważmy zdanie: x < 1 lub x > 1. Jest to alternatywa p q, gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q oznacza zdanie x > 1. W przypadku x = 0 oba zdania są prawdziwe i alternatywa też jest zdaniem prawdziwym. 22

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe, fałszywe, gdy oba zdania p i q są fałszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 23

Alternatywa rozłączna p q p albo q alternatywa rozłączna zdań p i q Przykład. Rozważmy dwie (różne) proste na płaszczyźnie. Mówimy: Dane proste się przecinają albo są równoległe. Jest to alternatywa rozłączna p q, gdzie p oznacza zdanie Dane proste się przecinają, a q oznacza zdanie Dane proste są równoległe. 24

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe, fałszywe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 25

Alternatywy rozłącznej (w zdaniu prawdziwym) używamy, gdy chcemy podkreślić, że oba zdania nie mogą jednocześnie być prawdziwe. Uwaga. Jeśli zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q też jest prawdziwe, np.: Dane proste się przecinają lub są równoległe. Jeśli zdanie p q jest prawdziwe, to zdanie p q nie musi być prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > 1. 26

Równoważność p q p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p dokładnie wtedy, gdy q równoważność zdań p i q. Przykład. Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Zdanie: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC jest równoważnością zdań p: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu i q: AB + CD = AD + BC. 27

Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania p i q są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe, fałszywe, gdy jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, a drugie fałszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 28

Implikacja p q jeśli p, to q, p implikuje q implikacja o poprzedniku p i następniku q Jak określamy wartość logiczną implikacji? 29

Przykład. Zdanie x = 1 x 2 = 1 jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej x. Zwróćmy uwagę na wartość logiczną poprzednika oraz następnika tej implikacji dla poszczególnych wartości x. x = 1 x 2 = 1 dla x = 1 prawda prawda dla x = 0 fałsz fałsz dla x = 1 fałsz prawda 30

Prawdziwość implikacji oznacza, że jeśli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q też musi być prawdziwe (a jeśli p nie jest prawdziwe, to q może być jakiekolwiek). Zdanie p q jest: prawdziwe, gdy oba zdania są prawdziwe, gdy oba zdania są fałszywe oraz gdy zdanie p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe, fałszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszywe. v(p) v(q) v(p q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 31

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zdań logicznych używamy nawiasów, np.: ( p), (p q) r, (p q) (q r). 32