Prąd d zmienny prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie. 1
Oś wartości natężenia prądu Oś czasu 2
Definicja natężenia prądu zmiennego i dq = dt 0 q ładunek, t czas Natężeniem prądu nazywamy iloraz wartości ładunku dq przepływającego w jednostce czasu dt przez poprzeczny przekrój przewodnika 3
Prąd elektryczny o sinusoidalnym przebiegu w czasie prąd sinusoidalny Jest to prąd przemienny, czyli symetryczny względem osi czasu, zmieniający się w czasie wg zależności gdzie ( t) i = I sin ω m i-natężenie prądu (prąd) -wartość chwilowa, Im-amplituda prądu (największa wartość funkcji sinusoidalnej), ω - pulsacja t czas 4
prąd i 15 10 5 0-5 -10-15 kąt ω t 0 90 180 270 360 Wykres prądu sinusoidalnego w funkcji kąta. Strzałki pokazują umowny kierunek ruchu ładunków. 5
15 10 prąd i 5 0-5 kąt ω t 0 90 180 270 360 450 540 630 720 810 900 990 1080-10 -15 6
Z wzoru wynika, że ( t) i = I ω m sin wielkość zawarta w nawiasie (ωt) jest argumentem funkcji trygonometrycznej, a więc jest kątem, czyli jest drogą kątową. Droga kątowa = prędkość kątowa x czas = ω t α Oznacza to, że ω ma sens prędkości kątowej 7
Można również napisać i = I ( α ) m sin Jednostką α (kąta) jest radian lub stopień. Zależność pomiędzy miarą kąta wyrażoną w stopniach i w radianach jest następująca: kąt w radianach = (kąt w stopniach/180). π o 45 α = 45 α = π = 180 π 4 8
15 10 Im prąd i 5 0-5 -10 kąt ωt 0 90 180 270 360 π -15 Wykres prądu sinusoidalnego w zależności od kąta wyrażonego w stopniach i w radianach. 9
Okres Okres T jest odstępem pomiędzy jednakowymi wartościami prądu sinusoidalnego (rosnącego lub malejącego). Np. pomiędzy odpowiednimi wartościami zerowymi (rysunek). Miarą okresu jest czas., po którym następuje powtórzenie przebiegu. Miarą okresu jest również kąt (okres odpowiada kątowi 2π lub 360 stopniom). 10
prąd i 15 10 5 0-5 -10-15 Im T π T/2 kąt ωt 0 90 180 270 360 π 180 o 1 / 2 T 2π Sinusoida z zaznaczonymi wielkościami na osi czasu. ½okresu (1/2T) odpowiada: 180 w stopniach π w radianach 1 okres (T) odpowiada: 360 w stopniach 2π w radianach 11
Częstotliwość Częstotliwość f jest wielkością określającą ile pełnych okresów przebiegu sinusoidalnego przypada na 1 sekundę. Częstotliwość f = 1 T T = 0, 02s 1 1 f = = = 50Hz T 0,02 12
1kHz = 10 3 Hz 1MHz = 10 6 Hz 1GHz = 10 9 Hz 13
15 10 prąd i 5 0-5 kąt ω t 0 90 180 270 360-10 -15 Częstotliwość 50Hz i 150Hz Częstotliwość 50Hz i 150Hz 14
15 10 prąd i 5 0-5 kąt ω t 0 90 180 270 360-10 -15 Częstotliwość 50Hz i 250Hz 15
15 10 prąd i 5 0-5 kąt ω t 0 90 180 270 360-10 -15 Częstotliwość 50Hz, 150Hz i 250Hz 16
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/wave_frequency.gif 17
Fale radiowe 3kHz 3THz 18
Podział pasma radiowego Nazwa fal Częstotliw ość Długość Nazwa angielska Skrót angielski 3-30 Hz 10-100 tys. km Extremely low frequency ELF 30-300 Hz 1-10 tys. km Super low frequency SLF 300-3000 Hz 100-1000 km Ultra low frequency ULF fale myriametrowe, fale bardzo długie 3-30 khz 10-100 km Very low frequency VLF fale kilometrowe, f ale długie 30-300 khz 1-10 km Low frequency LF 19
Nazwa fal Częstotliw ość Długość Nazwa angielska Skrót angielski fale hektometrowe, fale średnie 300-3000 khz 100-1000 m Medium frequency MF fale dekametrowe, fale krótkie 3-30 MHz 10-100 m High frequency HF fale metrowe, fale ultrakrótkie 30-300 MHz 1-10 m Very high frequency VHF 20
Nazwa fal Częstotliw ość Długość Nazwa angielska Skrót angielski fale decymetrowe 300-3000 MHz 100-1000 mm Ultra high frequency UHF fale centymetrowe 3-30 GHz 10-100 mm Super high frequency SHF fale milimetrowe 30-300 GHz 1-10 mm Extremely high frequency EHF fale submilimetrow e 300-3000 GHz 100-1000µm 21
Faza początkowa Pokazane dotychczas przebiegi sinusoidalne były narysowane w taki sposób, że miejsce zerowe sinusoidy przypadało w początku układu współrzędnych. Jest to wygodny sposób prezentowania przebiegu sinusoidalnego, bowiem w jego opisie matematycznym nie występuje tzw przesunięcie fazowe, czyli dodatkowy kąt ilustrujący odłegłość przejścia sinusoidy przez zero od początku układu wpspółrzędnych, Przykłady: 22
Faza początkowa równa zeru Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta 0 do 360 stopni 1,5 1 0,5 0-0,5 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390-1 -1,5 ( t) i = I ω m sin 23
Faza początkowa równa zeru Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta -360 do +360 stopni 1,5 1 0,5 0-360 -270-180 -90 0 90 180 270 360-0,5-1 -1,5 ( t) i = I ω m sin 24
Faza początkowa nie jest równa zeru 1,5 1 0,5 0-360 -270-180 -90 0 90 180 270 360-0,5-1 -1,5 Faza początkowa o = 30 ψ ( ) i = I sin ωt + 30 m 25
Faza początkowa nie jest równa zeru 1,5 1 0,5 0-360 -270-180 -90 0 90 180 270 360-0,5-1 -1,5 Faza początkowa o = 60 ψ ( ) i = I sin ωt 60 m 26
Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym 15 I m kąt ωt prąd i 0-180 -90 0 90 180 270 360-15 φ=45 0 o ψ = 45 i = I sin( ω t + ψ ) m i = Im sin( ωt + 45) 27
Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym 15 kąt ωt prąd i 0-180 -90 0 90 180 270 360 φ=-45 0 i = Im sin( ωt 45) -15 i = I sin( ωt ψ ) m o ψ = 45 I m 28
Zakres zmian od ψ = 0 doψ = 360 o 29
Przesunięcie fazowe Dwie wielkości sinusoidalne mogą być w fazie tj. φ1=φ2 lub mogą być przesunięte względem siebie w fazie φ1 φ2. 2 1,5 1 0,5 0-360 -270-180 -90-0,5 0 90 180 270 360-1 -1,5-2 Sinusoidy znajdujące się w fazie ψ1 =ψ 2 = 60 o 30
Sinusoidy przesunięte względem siebie w fazie o ψ1 = 30 2 1,5 1 0,5 ψ o 2 = 60 0-360 -270-180 -90-0,5 0 90 180 270 360-1 Różnica faz = przesunięcie fazowe ϕ = ψ1 ψ 2 = ϕ 30 0-1,5 ( 60-2 0 ) = o 90 31
Ilustracja przesunięcia fazowego na wykresie wskazowym I m1 I m2 o ϕ = 30 i = Im1 sin t ( ω + 1) 1 ψ i = I sin t ( ω + 2) 2 m2 ψ 32
Modyfikacja poprzedniego wykresu o ψ1 = 0 ( 30) i sin 1 = Im1 ωt + I m1 o ϕ = 30 I m2 ( t) i Im sin ω 2 = 2 33
2 1,5 1 0,5 0-360 -270-180 -90-0,5 0 90 180 270 360-1 -1,5-2 ( 30) i1 = Im1 sin ωt ( t) i Im sin ω niebieski 2 = czerwony 2 34
Wartości zastępcze prądu zmiennego Operowanie wartością chwilową prądu zmiennego jest bardzo kłopotliwe. Wartość ta nie odzwierciedla bezpośrednio działania energetycznego prądu, które jest efektem jego przepływu w dłuższym czasie. W związku z tym wprowadzono bardzo wygodną metodę zastępowania wielkości chwilowych przez wielkości uśrednione w czasie. Takimi wielkościami uśrednionymi są: wartość skuteczna prądu sinusoidalnego, wartośćśrednia prądu sinusoidalnego 35
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego DEFINICJA Wartością skuteczną prądu sinusoidalnego nazywamy taką wartość prądu stałego, który płynąc przez rezystor w czasie t=t wywołuje wydzielenie się takiej samej ilości energii cieplnej jak prąd sinusoidalny. Porównanie I R Przy prądzie stałym można napisać: A = RI 2 T 36
i R Energia przy prądzie zmiennym zmienia się w czasie, wobec zmian wartości prądu. Jej wartość chwilowa Jest proporcjonalna do kwadratu wartości chwilowej prądu. W dłuższym czasie przyjętym do rozważań, a mianowicie w czasie okresu T, jej wartość jest równa: A = T 2 Ri dt = 0 R T 0 i 2 dt Założono tutaj, że rezustancja R=const. 37
Ponieważ dążymy do uzyskania równoważności obu przypadków (prąd stały, prąd zmienne) z punktu widzenia energetycznego przyjmujemy, że przy prądzie zmiennym i odpowiednim prądzie stałym wydziela się taka sama energia cieplna. T 2 R i dt = 0 RI 2 T Otrzymujemy ogólną (niezależną od przebiegu prądu zmiennego) definicję wartości skutecznej prądu zmiennego I = 1 T T 0 i 2 dt 38
W przypadku prądu o przebiegu sinusoidalnym podstawiamy ( t) i = I sin ω m I T 1 2 2 = I m sin ( ωt)dt T 0 I T 1 2 = I m sin ( ωt)dt T 0 39
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego I = I 2 m 2 = I m 2 0,707 Interpretację wartości skutecznej prądu przedstawia rysunek poniżej. I m ~i^2 prąd i, kwadrat i I kąt ω t 0 90 180 270 360 i -20 40
Wartość średnia prądu zmiennego Wartościąśrednią wielkości zmiennej w czasie nazywamy wyrażenie I sr = 1 T T 0 idt W przypadku prądu sinusoidalnego (przemiennego) wartość średnia jest równa 0. Wynika to z wykresu funkcji sinusoidalnej, która jest symetryczna ( z przesunięciem o T/2) względem osi czasu. W praktyce wielkość ta ma znaczenie nie dla pełnego okresu, lecz dla T/2, co dotyczy przypadku prostowania prądu zmiennego za pomocą tzw. prostowników. Wtedy definicja wartości średniej jest następująca 41
I sr T T 2 2 2 2 = idt = T T 0 0 I m sin 2 π ( ωt) dt = I m 0,637 I m 1 0 prąd i, I, Isr 0 I Isr ką t ω t 0 9 0 1 8 0 2 7 0 3 6 0-1 0 42
Podsumowanie 1. Wielkości sinusoidalne mogą mieć różne częstotliwości, różne fazy początkowe, różne przesunięcia fazowe oraz różne amplitudy. 2. W praktyce, zwykle rozważamy sinusoidy o jednakowych częstotliwościach (częstotliwość techniczna 50Hz) o różnych amplitudach, przesunięte w fazie. 3. W celu uproszczenia możliwości operowania prądem sinusoidalnym wprowadza się zastępczą wielkość o nazwie wartość skuteczna prądu, która odpowiada prądowi zmiennemu z punktów widzenia efektu energetycznego. 43
4. Uproszczenie ilustracji graficznych wartości prądów, ich przesunięcia fazowego umożliwia przedstawienie prądów na wykresie wskazowym. Wartość skuteczna (lub rzadziej maksymalna) prądu jest tu przedstawiana w postaci strzałki o długości proporcjonalnej do wartości prądu. 5. Usytuowanie strzałki (wskazu) na płaszczyźnie w odniesieniu do osi poziomej określa fazę początkową, zaś w odniesieniu do innego wskazu, określa przesunięcie fazowe pomiędzy wskazami. 44
Podsumowanie dc. Wszystkie dotychczas pokazane wykresy, zależności i metody dotyczące prądów odnoszą się w tym samym stopniu napięć: Wyróżniamy zatem w odniesieniu do prądów i napięć: Wartości chwilowe i, u Wartości maksymalne I m, U m Wartości skuteczne I, U 45
Sinusoida napięcia i sinusoida prądu U I w 2 1,5 1 0,5 0-360 -270-180 -90-0,5 0 90 180 270 360-1 -1,5-2 46
Elementy pasywne w obwodach prądu zmiennego Rezystancja (rezystor, opornik) R[ Ω] Indukcyjność (cewka) L[ H ] Pojemność (kondensator) C[ F] 47
Funkcje energetyczne elementów pasywnych Rezystor (R): W rezystorze następuje przetwarzanie energii elektrycznej na energię cieplną. Cewka (L) W cewce, energia związana z przepływem prądu elektrycznego, jest magazynowana w polu magnetycznym. Kondensator (C) W kondensatorze, energia związana z ładunkami na okładkach jest magazynowana w polu elektrycznym. 48
Trzy elementy pasywne R, L, C odgrywają w obwodach prądu zmiennego zasadniczą rolę przy tworzeniu pola magnetycznego elektrycznego (elektromagnetycznego) i przekształcaniu energii elektrycznej na energię cieplna. Zależność wartości R, L, C elementów pasywnych od ich parametrów materiałowych i konstrukcji 49
Rezystor: Rezystor (opornik) charakteryzuje wartość rezystancji (oporności). W przypadku oporników wykonanych z drutu obowiązuje tu zależność: S ρ R = l ρ s [ Ω] l R = l ρ S 50
Wartość rezystancji jest tym większa im dłuższy jest drut, z którego wykonany jest rezystor, im większa jest jego rezystywność oraz im mniejszy przekrój poprzeczny drutu. Cewka Cewka (solenoid) jest scharakteryzowana przez wartość jej indukcyjności L. Wielkość ta jest zależna od liczby zwojów cewki (z) jej wymiarów geometrycznych (długość i przekrój) oraz od ośrodka, w którym wytwarzane jest pole magnetyczne (rdzeń cewki) L z 2 µ µ o r l [ H] S 51
µ o µ r przenikalność magnetyczna względna przenikalność magnetyczna Np. dla próżni (powietrze) µ r 1 Ferromagnetyk (np. żelazo) µ r 1000 5000 itp 52
Indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym jest wielokrotnie większa od indukcyjności cewki bez rdzenia. Przenikalność magnetyczna rdzenia jest zależna od natężenia pola magnetycznego, jest więc zależna od natężenia prądu w cewce. Dlatego też indukcyjność cewki z rdzeniem nie jest stała, lecz zależy od prądu. L Fe z 2 µ o µ r s ( i) l 53
Kondensator S Jest scharakteryzowany przez wartość pojemności C d Zależy ona od powierzchni okładek S, odległości pomiędzy okładkami d oraz o środowiska wypełniającego przestrzeń między okładkami ε ε rs C = o d [ F] 54
εo ε r Stała dielektryczna Względna przenikalność dielektryczna ε r 1 kilkanascie W celu uzyskania dużej pojemności należy umieszczać okładki o dużej powierzchni (duże S), blisko siebie (małe d) Podsumowanie W obwodach padu zmiennego istotną rolę odgrywają trzy elementy pasywne: R, L, C 55
Reaktancje Symbol ogólny X W obwodzie prądu zmiennego na indukcyjności L oraz na pojemności C istnieją napięcia, zależne od przebiegu prądu w czasie. Na indukcyjności u L = L di dt Na pojemności 1 u c = idt C 56
W przypadku prądu o przebiegu sinusoidalnym ( t) i = Im sin ω Otrzymujemy dla indukcyjności u L = L d [ I sin( ωt) ] m dt = I m ( ) ( ) ωl cos ωt u L = I m X L cos ( ωt) 57
X L = ωl [ Ω] Reaktancja indukcyjna Stąd U = IX L L Prawo Ohma dla indukcyjności I = U X L L 58
Otrzymujemy dla pojemności u c 1 = C I m 1 ωc ( ) ( ) sin ωt dt = I m cos ωt u c = I m X C cos ( ωt) 59
X C 1 = ω C [ Ω] Reaktancja pojemnościowa Stąd U = IX C C Prawo Ohma dla pojemności I = U X C C 60
Podsumowanie: Przy prądzie zmiennym- sinusoidalnym, na indukcyjności i pojemności istnieją napięcia UL i UC proporcjonalne do wartości reaktancji XL i XC. Reaktancje XL i XC zależą od pulsacji, czyli od częstotliwości prądu. ω = 2πf X = ωl L 1 X = C ωc Związki pomiędzy wartościami skutecznymi napięć i prądów można zapisać w postaci analogicznej do prawa Ohma. I = U X L L I = U X C C 61