Algebra I. Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

Algebra I Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2012/2013 Ewa Cygan Wersja z 4 października 2012

Spis treści Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia.................. i 1 Podstawy teorii liczb 1 1.1 Podzielność w Z.................................. 1 1.2 NWD i NWW w Z................................ 2 1.3 Rozszerzenie algorytmu Euklidesa........................ 5 1.4 O liczbach pierwszych i ich własnościach.................... 6 1.5 Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach.......... 9 1.6 Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania.................. 12 1.7 Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera................. 14 2 Działania i ich własności 16 2.1 Podstawowe przykłady działań.......................... 17 3 Elementy teorii grup 21 3.1 Podstawowe definicje i przykłady........................ 22 3.2 Homomorfizmy grup............................... 28 3.3 Generatory grup................................. 31 3.4 Grupa ilorazowa.................................. 39 3.5 Twierdzenia o homomorfizmach grup...................... 45 3.6 Grupy permutacji S n............................... 46 A Aneks - teoria liczb 51 A.1 Algorytm Euklidesa................................ 51 A.2 O identyczności Bezouta słów kilka........................ 53 A.3 O równania diofantycznych............................ 54 A.4 O zasadniczym twierdzeniu arytmetyki..................... 54 A.5 O chińskim twierdzeniu o resztach........................ 55 A.6 Małe twierdzenie Fermata i Twierdzenie Eulera-Fermata, historia, dowody i zastosowania.................................... 55 B Przykłady zadań 59 B.1 Przykłady z rozwiązaniami do części I...................... 59 B.2 Przykładowy zestaw zadań na 1 sprawdzian.................. 62 i

ii Spis treści Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia 1. Moc zbioru X oznaczamy przez X lub #X. 2. Funkcja signum jest określona na R następująco 1, gdy a < 0, sgn(a) := 0, a = 0, 1, gdy a > 0. Ponadto przyjmujemy oznaczenia: P = zbiór liczb pierwszych = {2, 3, 5,...}, N = zbiór liczb naturalnych = {1, 2,...}, N 0 = zbiór liczb naturalnych z zerem = {0, 1, 2,...}, Z = zbiór liczb całkowitych, Z = Z \ {0} Q = zbiór liczb wymiernych, Q = Q \ {0} R = zbiór liczb rzeczywistych, R = R \ {0} C = zbiór liczb zespolonych, C = C \ {0}. Wypowiemy teraz podstawowe 2 twierdzenia, których znajomość zakładamy dalej. Twierdzenie 0.0.1 (zasada indukcji matematycznej). Jeśli dla pewnego k 0 N 0 zachodzi własność W (k 0 ) oraz dla każdego k k 0 : [jeśli zachodzi W (k) to zachodzi W (k + 1)] (czyli z prawdziwości własności dla k wynika prawdziwość tej własności dla (k + 1)) to własność W zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej n k 0. Twierdzenie 0.0.2 (zasada minimum). Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych posiada element najmniejszy, (tzn. mniejszy lub równy od każdej liczby z tego zbioru)

Rozdział 1 Podstawy teorii liczb 1.1 Podzielność w Z Definicja 1.1.1 (podzielność w Z). Niech a, b Z. Mówimy, że b dzieli a (lub inaczej b jest dzielnikiem a) gdy istnieje c Z : a = bc. Oznaczenie: b a. Uwaga 1.1.2 (własności podzielności w Z). Niech a, b, c, m, n - liczby całkowite. Wtedy: (a) 1 a, a 0, (b) jeśli 0 a, to a = 0, (c) relacja podzielności na Z jest zwrotna i przechodnia, (d) (b a i a b) wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, (e) jeśli c a, c b, to c (am + nb), (f) jeśli a b i b 0, to 1 a b. Twierdzenie 1.1.3 (algorytm dzielenia z resztą). Niech a, b - liczby całkowite, b 0. Wtedy istnieje para (q, r) Z Z: (1) a = bq + r, (2) r < b. Liczbę q nazywamy wynikiem dzielenia zaś r resztą z dzielenia. Twierdzenie 1.1.4 (algorytm dzielenia z resztą - wersja B). Niech a, b - liczby całkowite, b 0. Wtedy: ( ) istnieje dokładnie jedna para (q, r) Z Z taka, że: (1) a = bq + r, (2) 0 r < b. ( ) jeśli dodatkowo b a, to istnieją dokładnie dwie pary (q, r) takie, że (1) a = bq + r, (2) r < b. Dowód. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia 1.1.4 (wynika z niej natychmiast tw. 1.1.3). Istnienie reszty Niech S := {a kb, k Z, a kb 0} - jest to niepusty podzbiór N 0, wobec tego ma on element najmniejszy,(0.0.2) który oznaczymy jako r. Element ten jest więc postaci 1

2 Podstawy teorii liczb r = a qb dla pewnego q całkowitego i automatycznie spełnia nierówność: 0 r oraz a = qb + r. Pozostaje jedynie pytanie, czy r < b. Udowodnimy tę część niewprost. Gdyby r b, to r b 0 oraz r b = a qb b = a (q + sgn(b))b, więc r b S oraz r b < r, (skoro b 0 to b to co najmniej 1), sprzeczność z wyborem r. Jednoznaczność reszty nieujemnej Przypuśćmy, (dla dowodu niewprost) że a = bq 1 +r 1 = bq 2 +r 2, 0 r 1 < b, 0 r 2 < b i niech np. r 1 < r 2, czyli q 1 q 2 0. Wtedy b(q 1 q 2 ) = r 2 r 1 i mamy: b b q 1 q 2 = r 2 r 1 = (r 2 r 1 ) < b sprzeczność. Zachęcam do udowodnienia we własnym zakresie drugiej części twierdzenia 1.1.4. 1.2 NWD i NWW w Z W szkole średniej spotkaliśmy się z pewnością z pojęciem największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności. Przypomnimy tu więc znaną definicję w wersji teorioliczbowej. Trzeba jednak pamiętać, że odpowiednie pojęcia w wersji algebraicznej definiowane będą nieco inaczej ze względu na podstawowy problem: rozważając struktury algebraiczne nie możemy na ogół mówić pojęciu najmniejszy, czy największy, musimy przy definicjach uciekać się do innych własności. Definicja 1.2.1 (NWD, NWW, względna pierwszość). ( ) Największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1,..., a r Z, (zakładamy, że przynajmniej jedna z liczb jest niezerowa) nazywamy największą liczbę całkowitą, która dzieli wszystkie a 1,..., a r. 1 Oznaczenie : NWD(a 1,..., a r ) (w literaturze również: (a 1,..., a r )) ( ) Najmniejszą wspólną wielokrotnością niezerowych liczb całkowitych a 1,..., a r nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która jest podzielna przez każdą z liczb a 1,..., a r. Oznaczenie : NWW(a 1,..., a r ) (w literaturze również: [a 1,..., a r ]) ( ) (liczby względnie pierwsze) Liczby a 1,..., a r Z, a 1 0 nazywamy względnie pierwszymi, gdy NWD(a 1,..., a r ) = 1. Przypomnimy teraz jak można obliczać największy wspólny dzielnik. Rozważmy przypadek dwóch liczb: a, b Z. Oczywiście, jeśli a Z, b = 0, to NWD(a, b) = a. Załóżmy więc, że obie liczby są niezerowe i przypomnijmy algorytm służący do wyliczania wówczas NWD. Choć omawiany niżej algorytm nie jest algorytmem we współczesnym sensie tego słowa, to jednak zgodnie z tradycją zachował swą nazwę: algorytm Euklidesa. Więcej o algorytmie poczytać można w aneksie A.1 ( 1 )Zauważmy, że stwierdzenie największa ma tutaj sens: rozważamy naturalny porządek w zbiorze liczb całkowitych, zaś potencjalne dzielniki są ograniczone z góry przez a i

1.2. NWD i NWW w Z 3 Uwaga 1.2.2 (Algorytm). 2 Euklidesa 3 dla liczb całkowitych. Ustalmy dwie liczby całkowite a, b Z. Przyjmijmy: r 1 := a, r 0 := b. Krok 1: Zgodnie z algorytmem dzielenia z resztą (1.3.(B) ( )) istnieją liczby całkowite q 1, r 1 Z takie, że: (1) a = r 1 = q 1 b + r 1, (2) 0 r 1 < r 0 = b. Jeśli r 1 = 0, kończymy algorytm. Jeśli r 1 0, to wykonujemy Krok 2. Krok 2: Istnieją liczby całkowite q 2, r 2 Z : (1) r 0 = q 2 r 1 + r 2, (2) 0 r 2 < r 1 < r 0 = b. Jeśli r 2 = 0, to kończymy algorytm. Jeśli r 2 0, to kontynuujemy analogicznie. Ogólnie, mając r i 2, r i 1 takie, że r i 1 0, wykonujemy kolejny krok: Krok (i>1): Istnieją liczby całkowite q i, r i Z: (1) r i 2 = q i r i 1 + r i, (2) 0 r i < r i 1. Ze względu na nierówności: 0 r i < r i 1 istnieje N(a, b) N takie, że r N(a,b)+1 = 0 ale r N(a,b) 0. Liczbę N(a, b) N będziemy nazywać dalej długością algorytmu dla liczb a i b, (długość może być równa zero, gdy b a), zaś r(a, b) := r N(a,b) wynikiem tego algorytmu. W tak opisanym algorytmie r(a, b) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a, b. Z dowodem tego faktu zapoznać się można np. w A.1. Jest to jednak dla nas krok pomocniczy, celem jest udowodnienie tożsamości Bacheta-Bezouta. 1.2.4 Warto w tym momencie zwrócić uwagę na jeden fakt, który znajdzie swoje uogólnienie w teorii pierścieni. Nie bez przyczyny przypominamy znany algorytm Euklidesa tak dokładnie. Przyglądając się bowiem uważnie przebiegowi algorytmu zauważymy, że reszty pojawiające się w każdym kroku spełniają zależność: r i+1 < r i, słowem za każdym razem obniżana jest wartość funkcji dla reszty. W przyszłości będziemy chcieli prześledzić taki sam algorytm w pierścieniach (gdzie w analogii do dodawania i mnożenia liczb będziemy mieć zadane w pewien sposób dodawanie i mnożenie elementów) tzw. euklidesowych, zastępując moduł wartością pojawiającej się tam funkcji ϕ. Zauważymy wówczas, że w taki sam jak wyżej sposób będziemy mogli znaleźć NWD elementów pierścienia euklidesowego, (choć należy zwrócić uwagę na różnicę w definicji tych pojęć w sensie algebraicznym i w sensie teorioliczbowym). Studiując teorię pierścieni euklidesowych warto wrócić do dowodów przedstawianych poniżej i zauważyć, iż możemy je przeprowadzić w analogiczny sposób w sytuacji algebraicznej. ( 2 )Nazwa algorytm pochodzi od brzmienia fragmentu nazwiska arabskiego matematyka Muhammada ibn Musa al.-chorezmiego, którego uznaje się za prekursora metod obliczeniowych w matematyce. Żył on na przełomie VIII i IX wieku, przyczynił się do upowszechnienia systemu dziesiętnego oraz wprowadził stosowanie zera jako symbolu oznaczającego nic ( 3 )Euklides: matematyk grecki, głównie działający w Aleksandrii, (ok.364-300 p.n.e. dokładne daty nie są znane), autor jednego z najbardziej znanych dzieł matematycznych: Elementy

4 Podstawy teorii liczb Twierdzenie 1.2.3. Z: a, b Z T: (1) r(a, b) = NWD(a, b), (2) Istnieją liczby k, l Z takie, że r(a, b) = ka + lb, (szczególny przypadek identyczności Bacheta-Bezouta 1.2.4. Dowód. A.1 Przejdziemy teraz do wspomnianej identyczności Bezouta, (zob. A.2) Twierdzenie 1.2.4 (identyczność Bacheta-Bezouta). Z: a 1,..., a n Z, (co najmniej jedna z nich jest niezerowa) T: Istnieją liczby k 1,..., k n Z: NWD(a 1,..., a n ) = k 1 a 1 +... + k n a n. Dowód. Najpierw udowodnimy naszą własność dla dwóch liczb a, b z których co najmniej jedna jest niezerowa. Rozważmy zbiór T = {ax + by : ax + by > 0, x, y Z}. Oczywiście, jedna z liczb ±a, ±b należy do naszego zbioru bo któraś z liczb a, b jest niezerowa. Wobec tego zbiór ten jest niepusty, zawiera wyłącznie liczby naturalne, posiada w takim razie element najmniejszy, 0.0.1 powiedzmy d. Istnieją więc liczby x 0, y 0 Z takie, że d = ax 0 + by 0. Udowodnimy, że d jest poszukiwanym największym wspólnym dzielnikiem a i b. Udowodnimy najpierw, że d a. Z algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że istnieją q, r takie, że 0 r < d, że a = dq + r. Wobec tego r = a dq = a(1 qx 0 ) bqy 0. Jeśli r > 0, to r T i jest to element mniejszy od d, sprzeczność. W takim razie r = 0 i oznacza to, że d a. Analogicznie dowodzimy, że d b. Załóżmy teraz, że 0 < t jest taką liczbą całkowitą, która dzieli i a i b. To oznacza, że a = tm, b = tn, skąd d = ax 0 + by 0 = t(mx 0 + ny 0 ) czyli t d, wobec czego t d. Przypuśćmy teraz, że n > 2 i twierdzenie mamy udowodnione dla mniej niż n liczb. Wprowadźmy następujące oznaczenia: d 0 := NW D(a 1,..., a n 1 ) > 0, d := NW D(NW D(a 1,..., a n 1 ), a n ) > 0. Zgodnie z założeniem indukcyjnym wiemy, że istnieją l 1,..., l n 1, k, l Z takie, że ( ) d 0 = l 1 a 1 +... + l n 1 a n 1, d = kd 0 + la n. Udowodnimy, że d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1,..., a n, (przy okazji udowodnimy własność rekurencyjnego obliczania NWD). Z definicji wynika, że d dzieli d 0 oraz a n. Ponieważ d 0 dzieli każde a i dla i = 1,..., n 1, z przechodniości relacji podzielności d jest wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb a 1,..., a n. Z drugiej strony jeśli d N jest wspólnym dzielnikiem a 1,..., a n, to z ( ) mamy, że d d 0 a tym samym dzieli d. Oznacza to, że d d i wobec tego d =NWD(a 1,..., a n ).

1.2. NWD i NWW w Z 5 Jednocześnie ponownie dzięki ( ) wiemy, że d = kd 0 +la n = k(l 1 a 1 +...+l n 1 a n 1 )+la n i przyjmując k i := kl i dla i = 1,..., n 1 i k n := l mamy tezę. Bezpośrednio, z dowodu i twierdzenia otrzymujemy kolejne wnioski. Wniosek 1.2.5. Z: a 1,..., a r Z, a 1 0. T: (1) Liczby a 1,..., a r są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby całkowite k 1,..., k r takie, że: ( ) 1 = k 1 a 1 +... + k r a r. (2) Jeśli r > 2, to NWD(NWD(a 1,..., a r 1 ), a r )=NWD(a 1,..., a r ), (3) Jeśli (a, b) = 1 i a bc, to a c. Odnotujmy jeszcze w tym miejscu, że wyznaczanie NWD liczb całkowitych można też przeprowadzić za pomocą ich rozkładu na liczby pierwsze, jeśli a = sgn(a)p k 1 1... p ks s zaś b = sgn(b)p l 1 1... p ls s, (zakładamy, że p i p j dla i j, k i 0 oraz t i =max(k i, l i ) > 0 dla każdego i) to NWD(a, b) = p t 1 1... p ts s. Nie wspominamy dokładniej o tej metodzie, gdyż odwołuje się ona do zasadniczego twierdzenia arytmetyki, o którym opowiemy za chwilę. Z podstawowych informacji odnotujmy na zakończenie wniosek o zależności NWD(a, b) i NWW(a, b). Wniosek 1.2.6. Dla liczb a, b N zachodzi równość: NWD(a, b) NWW(a, b) = ab. Dowód. A.2 Zastosowania tożsamości Bezouta: liniowe równania diofantyczne. Nazwą liniowe równanie diofantyczne określamy równanie postaci: ax + by = c gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, zaś poszukiwane rozwiązania też należą do Z. Bezpośrednio z identyczności Bezouta łatwo wynika wniosek dotyczący istnienia rozwiązań liniowych równań diofantycznych, (zob. A.3). Wniosek 1.2.7. Liniowe równanie diofantyczne ax + by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy d =NWD(a, b) c. Oczywiście równanie takie, jeśli posiada rozwiązanie, to ma ich nieskończenie wiele - znając jedno szczególne (x 0, y 0 ) otrzymujemy postać ogólną: (x 0 + kb, y d 0 + ka ), k Z. d

6 Podstawy teorii liczb 1.3 Rozszerzenie algorytmu Euklidesa Pod pojęciem rozszerzenia algorytmu Euklidesa kryje się bądź to wzbogacanie algorytmu o dodatkowe informacje jakie przy jego wykonywaniu otrzymamy, bądź też jego modyfikacje prowadzące do wniosków algebraicznych w szerszych strukturach. W tej wstępnej części omówimy najprostsze rozszerzenie: pozwalające wyliczać jednocześnie przedstawienie Bezouta liczb a i b i tym samym też często wykorzystywaną, zwłaszcza w kryptografii odwrotność modulo zadanej liczby, (o ile oczywiście taka istnieje). Przedstawienie NWD dwóch liczb za pomocą kombinacji liczb wyjściowych można oczywiście uzyskać wracając krok po kroku drogą wykonywanego algorytmu, ale jest to jednak dość żmudna operacja. Możemy uprościć sobie nieco tę procedurę wyrażając w każdym kroku powstałą resztę jako kombinację liczb a i b. Procedurę tę opiszemy na przykładzie: Przykład 1.3.1. Chcemy wyliczyć NWD(720, 546) oraz przedstawić je w postaci Bezouta, (tak nazywać będziemy poszukiwaną kombinację). Wypiszmy, dla przejrzystości kolejne kroki w tabeli: 720 546 720 1 0 546 0 1 Wiemy teraz, że 720 = 1 546 + 174, mnożymy więc drugi wiersz przez 1 i odejmujemy od pierwszego dostając: 720 546 546 0 1 174 1 1 Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 174 = 1 720+( 1) 546 w postaci kombinacji wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy, że 546 = 3 174 + 24. Ponownie więc mnożymy drugi wiersz ostatniej tabeli przez 3 i odejmujemy od pierwszego. 720 546 174 1 1 24 3 4 skąd 24 = ( 13) 720 + 4 546. Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 174 = 7 24 + 6 i otrzymamy: 720 546 24 3 4 6 22 29 Jak widać teraz już po wydzieleniu 24 przez 6 jako resztę otrzymamy zero, wobec tego NWD(720, 546) = 6 i otrzymaliśmy też: 6 = 22 720 + ( 29) 546.

1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach 7 1.4 O liczbach pierwszych i ich własnościach Zacznijmy od przypomnienia definicji liczby pierwszej - podstawowej cegiełki budującej liczbę całkowitą. Definicja 1.4.1 (liczba pierwsza). Liczbę całkowitą p Z nazywamy liczbą pierwszą, jeśli (1) p > 1 oraz (2) d p, d > 0 = d = 1 lub d = p. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy dalej przez P. Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą złożoną. Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do następującego wniosku. Własność 1.4.2. (1) Jeśli p P, k Z, to NWD(p, k) = 1 lub NWD(p, k) = p. (2) Jeśli p P, k 1,..., k n Z, p k 1... k n, to p k i dla pewnego i = 1,..., n. Warto zaznaczyć, że 1.4.2(2) jest własnością charakteryzującą liczby pierwsze - moglibyśmy stosując tę własność wprowadzić definicję liczby pierwszej. Jest to o tyle ciekawe z naszego punktu widzenia, że w przyszłości własność braku istotnego rozkładu elementu (jak to jest w przypadku liczby pierwszej, gdzie rozkłada się ona wyłącznie na iloczyn p 1, względnie ( p) ( 1)) oraz 1.4.2(2) okażą się być niestety nierównoważne w ogólniejszych strukturach. Doprowadzą nas one do definicji odpowiednio elementów nierozkładalnych i elementów pierwszych, (por. III). Własność 1.4.2(2) w wersji dla n = 2 to nic innego jak wspomniany wcześniej Lemat Euklidesa, który pojawia się w VII Księdze Elementów, sformułowany dla przypadku dwóch liczb. Gauss 4 w swoim dziele Disquisitiones arithmeticae wypowiada lemat Euklidesa i dowodzi przy jego pomocy twierdzenie o rozkładzie liczb całkowitych na liczby pierwsze, z którego to twierdzenia bezpośrednio wynika też gaussowskie uogólnienie lematu Euklidesa. Jak się często podkreśla lemat Gaussa pojawia się już jednak wcześniej w pracy Nouveaux éléments de mathématiques Jeana Presteta 5 z XVII wieku. Definicja, którą wprowadzimy teraz zapewne będzie lekko razić przerostem formy nad treścią. Znów wytłumaczeniem niech będą nasze przyszłe zamierzenia, gdzie słowo jedność oznaczać będzie znacznie szerszą klasę elementów niż jest to w przypadku zbioru Z. Definicja 1.4.3 (jedność w Z). Jednościami w Z nazywamy liczby 1 i 1. Zbiór jedności w Z będziemy oznaczać przez U(Z) := { 1, 1}. ( 4 )Carl Friedrich Gauss: matematyk, fizyk i astronom niemiecki, (1777-1855), książę matematyków ( 5 )Jean Prestet: matematyk francuski, (1648-1690)

8 Podstawy teorii liczb Definicja 1.4.4 (rozkład jednoznaczny). Niech k Z. Mówimy, że k posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych, jeśli (1) istnieją p 1,..., p r P, u U(Z) takie, że k = u p 1... p r, (2) dla dowolnych dwóch układów p 1,..., p r P, q 1,..., q s P, u, v U(Z) takich, że k = u p 1... p r = v q 1... q s mamy r = s oraz istnieje σ - bijekcja zbioru {1,..., r} na siebie taka, że: i {1,..., r} : p i = q σ(i). Twierdzenie 1.4.5 (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). A.4 Każda niezerowa liczba całkowita, nie będąca jednością w Z posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych. Dowód. Wystarczy oczywiście wykazać twierdzenie dla liczb naturalnych większych od jedynki. W naturalny sposób dowód rozbija się na dwie części: wykazanie istnienia rozkładu i wykazanie jego jednoznaczności. Istnienie. Indukcja względem n: dla n = 2 teza jest spełniona. Załóżmy tezę dla liczb naturalnych m takich, że 1 < m < n. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to dowód zakończony. Jeśli n nie jest liczbą pierwszą, to n = ab, gdzie 1 < a < n i 1 < b < n wobec tego z założenia indukcyjnego a i b są liczbami pierwszymi bądź iloczynami takich. Stąd również n jest iloczynem liczb pierwszych. Jednoznaczność Ponownie indukcja względem n. Dla n = 2 jednoznaczność rozkładu jest oczywista ze względu na pierwszość tej liczby. Zakładając tezę dla liczb mniejszych lub równych (n 1) gdzie n > 2 przypuśćmy, że dla n, mamy dwa rozkłady: n = p 1... p r = q 1... q s gdzie p i, q j P oraz p 1... p r, q 1... q s. Oczywiście możemy przyjąć, że r > 1 w przeciwnym razie mamy do czynienia z liczbą pierwszą. Niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą n, skąd p dzieli p i dla pewnego i, (1.4.2(2)) skąd p = p i czyli z minimalności p mamy p = p 1, analogicznie p = q 1. Niech teraz m := n p < n. Wobec tego mamy rozkład: m = p 2... p r = q 2... q s. Z założenia indukcyjnego otrzymujemy r = s i istnieje bijekcja σ zbioru {2,..., n} na siebie, (permutacja tego zbioru) taka, że i {2,..., r} p i = q σ(i). Przyjmując σ(1) = 1, σ(i) = σ(i), dla i > 1 otrzymujemy poszukiwaną permutację zbioru {1,..., n}. Twierdzenie 1.4.6 (Euklides). Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach 9 Dowód. Przypuśćmy dla dowodu niewprost, że P = {p 1,..., p r }. Przyjmijmy m := p 1... p r + 1. Żadne p i nie dzieli liczby m, (w przeciwnym razie dzieliłoby jedynkę). Niech p będzie liczbą pierwszą dzielącą m, (taka istnieje na mocy 1.4.5). Wobec tego p / P i p jest liczbą pierwszą, co prowadzi do sprzeczności. W tej chwili istnieje całe multum dowodów nieskończoności zbioru wszystkich liczb pierwszych. Zaprezentowany powyżej dowód, w dość podobnej wersji jak w Elementach jest uznawany za pierwszy zapisany dowód przeprowadzony metodą niewprost i choćby z tego powodu jest tym dowodem, z którym warto się zapoznać. Liczby pierwsze obecnie to punkt wyjścia do analizy całego bogactwa problemów nie tylko stricte teorioliczbowych, o których nie sposób opowiedzieć w kilku słowach. Wspomnieć jednak wypada o wciąż udoskonalanych testach pierwszości, których celem jest zbadanie pierwszości zadanej liczby, (nie zaś jej rozkład na liczby pierwsze co jest zagadnieniem znacznie trudniejszym). Już w okolicach 200 p.n.e. grecki matematyk Eratosthenes 6 wprowadził metodę wyznaczania liczb pierwszych nie większych od ustalonej liczby n zwaną odtąd sitem Eratosthenesa. Jej działanie jest niezwykle proste - wypisujemy wszystkie liczby od 2 do n następnie zakreślamy 2 jako liczbę pierwszą i wykreślamy jej wszystkie wielokrotności. Potem zakreślamy pierwszą pozostałą liczbę i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności i tak kontynuujemy aż nie ma nietkniętych liczb mniejszych lub równych od n. W ten sposób otrzymamy tablicę liczb pierwszych nie większych od liczby wyjściowej. Obecne, o wiele bardziej zaawansowane metody testowania pierwszości dzielą się na dwa rodzaje: testy deterministyczne i probablistyczne. Do tych pierwszych zaliczyć można m.in. test Lucasa-Lehmera, 7 (przy użyciu tego testu znaleziono największe liczby pierwsze, test dotyczy badania pierwszości tzw. liczb Mersenne a) 8, czy niektóre testy oparte na krzywych eliptycznych. Testy probablistyczne, choć nie pozwalają na zdecydowanie z pewnością, czy dana liczba jest pierwsza mają tę przewagę, że zwykle są dużo szybsze od testów deterministycznych. Liczby, którym udaje się przejść pozytywnie test probablistyczny, ale mimo to okazują się być jednak liczbami złożonymi znane są w kontekście liczb pseudopierwszych. Istnieje wiele różnych rodzajów takich liczb, z których bodaj najbardziej znane to liczby pseudopierwsze Fermata, które mimo iż pozostają liczbami złożonymi to spełniają założenia Małego Twierdzenia Fermata, o którym opowiemy dalej. Przy okazji testów probablistycznych wypada wspomnieć o dwóch testach: teście Rabina-Millera, który jest wyjątkowo efektywnym testem probablistycznym oraz o tzw. teście AKS (od nazwisk twórców: Manindra Agrawala, Neeraja Kayala i Nitina Saxena, 2002), który to test deterministyczny sprawdza pierwszość zadanej liczby w czasie wielomianowym, słowem jego czas działania jest ograniczony za pomocą zależności wielomianowej od rozmiaru danych wejściowych. Do czasu pojawienia się tego testu zasadniczo nie było dowodu na to, iż test pierwszości zadanej liczby jest problemem rozwiązywalnym w czasie wielomianowym mimo, iż uważano że taka możliwość istnieje. ( 6 )Eratosthenes: grecki matematyk, poeta, geograf, astronom i filozof (276-194 p.n.e.) ( 7 )Edouard Lucas, matematyk francuski 1842-1891, Derrick Henry Lehmer, matematyk amerykański, 1905-1991 ( 8 )Liczby Mersenne a: liczby postaci 2 p 1, gdzie p jest liczbą pierwszą, nazwane tak na cześć matematyka francuskiego Marina Mersenne a, autora pierwszej tablicy liczb pierwszych tego typu, (niestety zawierającą błędy) - Marin Mersenne: matematyk, filozof i teolog francuski, (1588-1648)

10 Podstawy teorii liczb 1.5 Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach Na pierwszej stronie swego dzieła Disquisitiones Arithmeticae Gauss wprowadza pojęcie kongruencji, czyli jak to określać będziemy dalej przystawania. Dzięki zastosowaniu tej notacji wiele własności i twierdzeń otrzymało prostszą postać, ale też znacznie ułatwiło to przeprowadzanie wielu operacji matematycznych. Definicja 1.5.1 (relacja przystawania modulo). Niech m N. Mówimy, że liczby całkowite k, l przystają modulo m, gdy m (k l). Oznaczenie: k l(mod m). Liczbę m nazywa się modułem kongruencji. Uwaga 1.5.2. Relacja przystawania modulo m jest relacją równoważności w zbiorze liczb całkowitych. Klasę równoważności liczby k Z w relacji modulo m oznaczamy [k] m zaś zbiór wszystkich klas równoważności w relacji modulo m oznaczamy Z m. Często zapisujemy po prostu Z m = {0,..., m 1} mając na myśli za każdym razem klasę równoważności reprezentowaną przez daną liczbę, (na podstawie algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że liczby 0,..., m 1 wyczerpują wszystkie klasy równoważności). Pierwsza bardzo istotna dla dalszego ciągu uwaga, to fakt, że relacja przystawania modulo, jak łatwo sprawdzić jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, co pozwoli dalej określić poprawnie takie właśnie działania na zbiorze Z m. Konkretnie mówią nam o tym własności 1.5.3 Własność 1.5.3. Z: n N, k, l, k, l Z takie, że k k (mod n) i l l (mod n). T: (1) k ± l k ± l (mod n), (2) kl k l (mod n). Dowód. Ćwiczenie. Kolejny zestaw podstawowych własności kongruencji będziemy wykorzystywać dalej m.in. w rozwiązywaniu układów równań kongruencyjnych. Własności te łatwo wynikają z zastosowania zasadniczego twierdzenia arytmetyki 1.4.5 lub np. tożsamości Bezouta. 1.2.4 Własność 1.5.4. (1) Jeśli k, l Z, m Z takie, że m kl oraz m i k są względnie pierwsze, to m l. (lemat Gaussa) (2) Jeśli a, m N, k, l Z to ak al(mod am) k l(mod m), (3) Jeśli m N, a, k, l Z takie, że NWD(a, m) = 1, to ak al(mod m) k l(mod m). (4) Jeśli a 1,..., a r Z, k Z względnie pierwsza z a i dla i = 1,..., r, to k jest względnie pierwsza z iloczynem a 1... a r.

1.5. Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach 11 (5) Jeśli m 1,..., m r Z - parami względnie pierwsze, k Z taka, że m i k dla każdego i = 1,..., r, to m 1... m r k. Dowód. Ćwiczenie. Przejdziemy teraz do rozważania równań oraz układów równań kongruencyjnych. Łatwo sprawdzić kiedy jedno równanie postaci ax b(mod m) posiada rozwiązanie całkowite - warunkiem koniecznym i wystarczającym na podstawie tożsamości Bezouta jest, aby NWD(a, m) b. Własność 1.5.5. Niech a, b Z, m N. Wtedy istnieje rozwiązanie kongruencji ax b(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) b. Dowód. Zauważmy, że istnienie rozwiązania naszej kongruencji jest równoważne temu, że istnieje x Z takie, że m ax b co z kolei jest równoważne stwierdzeniu, iż istnieje y Z takie, że ax b = my czyli ax my = b. Jeśli więc NWD(a, m) nie dzieli b to lewa strona jest podzielna przez d zaś prawa nie, więc nie może istnieć rozwiązanie naszej kongruncji. Z drugiej strony jeśli b = cd to wystarczy zastosować identyczność Bezouta i znaleźć α, β Z takie, że d = αa + βm. Domnażając obie strony przez c dostajemy równość: b = cαa + cβm, czyli x = cα jest rozwiązaniem naszej kongruencji. Interesować nas będzie teraz poszukiwanie rozwiązania układów równań kongruencyjnych, (liniowych). Podstawowym tutaj twierdzeniem jest wspomniane w tytule chińskie twierdzenie o resztach. Twierdzenie 1.5.6 (chińskie o resztach, TCR). A.5 Z: m 1,..., m r N - parami względnie pierwsze, k 1,..., k r Z. T: (1) Istnieje l Z takie, że l k i (mod m i ) dla każdego i = 1,..., r. (2) Jeśli l, l spełniają (1), to l l (mod m) gdzie m = m 1... m r. Dowód. Niech m := m 1... m r oraz s i := m m i. Wtedy s i jest iloczynem liczb m j dla j i wobec tego jest iloczynem liczb względnie pierwszych z m i. Z 1.5.4(4) wynika, że również m i i s i są względnie pierwsze. Wobec tego istnieją a 1,..., a r, b 1,..., b r Z takie, że a i m i + b i s i = 1 dla i = 1,..., r. Określmy teraz l := k 1 (b 1 s 1 ) +... + k r (b r s r ). Wykażemy, że takie właśnie l spełnia warunki tezy. Ustalmy i 0 {1,..., r}. Wtedy l k i0 = k 1 (b 1 s 1 ) +... + k i0 (b i0 s i0 1) +... + k r (b r s r ). Ale m i0 a i0 m i0 = 1 b i0 s i0 oraz s i dla i i 0 są podzielne przez m i0 czyli l k i0 (mod m i0 ), czego oczekiwaliśmy. Niech teraz l spełnia również tę kongruencję, to oznacza, że l l jest podzielne przez każde m i. Wobec tego z 1.5.4(5) wynika, że l l jest podzielne przez iloczyn m 1... m r i mamy tezę.

12 Podstawy teorii liczb Zauważmy przy okazji, że dowód twierdzenia chińskiego o resztach dostarcza nam konkretnego algorytmu znajdowania rozwiązania układu kongruencji. Przykład zastosowania TCR: Rozwiązać układ kongruencji: x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 1 (mod 7) Podać rozwiązanie ogólne oraz znaleźć najmniejszą liczbę naturalną będącą rozwiązaniem szczególnym. Co zrobić, gdy moduły kongruencji nie są parami względnie pierwsze? Oczywiście zawsze można sprowadzić układ do sytuacji, gdy moduły kongruencji są potęgami liczb pierwszych, a następnie pozbyć się zbędnych potęg, (o ile oczywiście układ otrzymany nie okazuje się sprzeczny). Można też stosować metody, które pozwalają na rozwiązywanie takich układów bez ich wcześniejszego sprowadzania do sytuacji parami względnie pierwszych modułów kongruencji. Przykład 1.5.7. x 7 (mod 8) x 9 (mod 10) x 14 (mod 15) Układ ten jest równoważny układowi x 7 (mod 8) x 4 (mod 5) x 2 (mod 3) Możemy też startowy układ, (bez jego równoważnego przekształcania) rozwiązać następująco: x = 7+8k, czyli 7+8k 9 (mod 10) skąd 8k 2 (mod 10) co daje 4k 1 (mod 5). Mnożymy obie strony kongruencji przez 4 i mamy k 4 (mod 5), skąd k = 4 + 5l i x = 39 + 40l. Podstawiamy do ostatniego równania i dostajemy 39 + 40l 14 (mod 15), skąd 10l 5 (mod 5) co jest równoważne 2l 1 (mod 3). Mnożąc przez 2 mamy wreszcie l = 2 + 3s i ostatecznie x = 119 + 120s, s Z. Oczywiście w przypadku tego akurat układu łatwo zgadnąć jedno z rozwiązań, ale nie zawsze jest to od razu możliwe:) 1.6 Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania Zaczniemy od zapoznania się z najważniejszą dla naszych dalszych zastosowań, (w szczególności w teorii grup oraz w wykorzystaniu dalej m.in. w teorii ciał, teorii Galois) funkcją arytmetyczną 9. Funkcję tę można definiować na różne sposoby, ale postawimy tu standardową definicję teorioliczbową. ( 9 )funkcja o dziedzinie N i wartościach zespolonych

1.6. Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania 13 Definicja 1.6.1 (funkcja Eulera). Niech ϕ : N N będzie funkcją przypisującą liczbie n liczbę względnie pierwszych z nią liczb całkowitych k [0, n). Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera. Własność 1.6.2. (1) ϕ(1) = 1, (zero jest względnie pierwsze z jedynką). (2) Niech p - liczba pierwsza. Wtedy: ϕ(p) = p 1 = p(1 1 ), (tylko zero nie jest p względnie pierwsze z p). (3) Niech p - liczba pierwsza, k N. Wtedy ϕ(p k ) = p k p k 1 = p k (1 1 ), gdyż mamy p p k 1 liczb całkowitych takich, że 0 l < p k, które są podzielne przez p. Udowodnimy teraz, że funkcja ϕ jest funkcją multliplikatywną (uwaga: nie jest to funkcja całkowicie multiplikatywna - tzn. jej multiplikatywność ogranicza się do względnie pierwszych argumentów, takie rozróżnienie w teorii liczb jest bardzo ważne). W dowodzie wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach. Twierdzenie 1.6.3 (multiplikatywność funkcji Eulera). Z: m, n N - względnie pierwsze. T: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Dowód. Niech I := {k [0, m) : NWD(k, m) = 1}, J := {l [0, n) : NWD(l, n) = 1} A := {s [0, m n) : NWD(s, m n) = 1}. Wtedy oczywiście #(I J) = ϕ(m)ϕ(n), zaś #(A) = ϕ(mn). Skonstruujemy bijekcję między zbiorami I J i A. Zgodnie z twierdzeniem chińskim o resztach dla dowolnej pary liczb (k, l) I J istnieje dokładnie jedna liczba z k,l taka, że 0 z k,l < mn oraz { z k,l k(mod m) z k,l l (mod n) (jedyność wynika z żądania, aby 0 z k,l < mn). Liczba ta jest względnie pierwsza z m (bo k była) oraz z n (bo l była) stąd jest względnie pierwsza z mn. Mamy więc dobrze określone odwzorowanie: (1) Φ jest injekcją. Φ : I J (k, l) z k,l A. Niech bowiem z k,l = z k,l i na przykład 0 k < k < m. Wtedy m (z k,l k) i m (z k,l k ) skąd m (k k), co prowadzi do sprzeczności. (2) Φ jest surjekcją. Jeśli bowiem z A, to z = Φ(k, l) gdzie k := z(mod m) zaś l := z(mod n). Łatwo sprawdzić, że (k, l) I J. Wobec tego ϕ(m)ϕ(n) = #(I) #(J) = #(I J) = #(A) = ϕ(mn). Wniosek 1.6.4. ϕ(n) = n ( ) 1 1, dla dowolnego n N. p p n, p P

14 Podstawy teorii liczb Udowodnimy teraz własność funkcji Eulera, która wykorzystana zostanie w drugiej części wykładu przy badaniu własności tak zwanej grupy multiplikatywnej ciała skończonego 10 Własność 1.6.5. Z: n N, ϕ - funkcja Eulera. T: d n ϕ(d) = n. Dowód. Zauważmy, że n to moc zbioru A = {0, 1, 2,..., n 1}. Rozbijemy zbiór A na sumę rozłącznych podzbiorów mocy ϕ(d), po wszystkich naturalnych dzielnikach d liczby n. Dla 0 < d, d n określmy N d := {x [0, n) : NWD(x, n) = n }. Zbiory te stanowią d rozbicie A na zbiory rozłączne, więc n = #A = #( N d ) = #N d. Wystarczy wobec tego wykazać, że #N d = ϕ(d). d n, 0<d d n, 0<d Ustalmy d i zauważmy, że x N d wtedy i tylko wtedy, gdy n = n d, x = n k, dla d d pewnego k takiego, że 0 k < d (bo x < n) oraz NWD(k, d) = 1, bo n jest największym d wspólnym dzielnikiem x i n. Wobec tego takich x-ów jest ϕ(d), czyli #N d = ϕ(d). 1.7 Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera Zaczniemy od sformułowania tzw. Małego Twierdzenia Fermata, którego w tym momencie dowodzić nie będziemy, ale któremu (wraz z wybranymi dowodami) poświęcimy osobną opowieść w aneksie. W tej chwili wykorzystamy fakt, że dziś możemy na niego patrzeć jak na wniosek z ogólniejszego twierdzenia Eulera, choć historycznie rzecz ujmując to MTF było pierwszą udowodnioną własnością. Więcej o tym małym wielkim twierdzeniu poczytać można w rozdziale A.6 Twierdzenie 1.7.1 (Małe twierdzenie Fermata=MTF). Jeśli p - liczba pierwsza, k Z to (1) Jeśli k jest wzgędnie pierwsza z p, to k p 1 1(mod p) (2) k p k(mod p). Uogólnieniem powyższej własności jest następne Twierdzenie Eulera (nazywane też Twierdzeniem Eulera-Fermata), które wykorzystuje wprowadzone wcześniej pojęcie funkcji Eulera. Twierdzenie 1.7.2 (Twierdzenie Eulera). Jeśli m N, k Z - względnie pierwsza z m, to k ϕ(m) 1(mod m). Dowód. Jest to oczywiste gdy m = 1, wobec tego załóżmy, że m > 1. Niech I := {j [0, m) : NWD(j, m) = 1}. Wówczas #I = ϕ(m). Jeśli j jest liczbą względnie pierwszą z m, to także kj ma tę własność. Dla każdego j I istnieje 0 r j < m takie, że kj = mq j + r j, dla pewnego q j. Oczywiście z tej równości wynika, że r j I. Zauważmy, że I j r j I ( 10 )Jeśli K ciało, to jest to grupa (K, )

1.7. Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera 15 jest bijekcją. Istotnie dla i < j ze zbioru I reszty r i, r j muszą być różne, gdyż w przeciwnym wypadku k(j i) = m(q j q i ), czyli k(j i) byłoby podzielne przez m - sprzeczność. Wobec tego z = j = r j i jest to liczba względnie pierwsza z m. Otrzymujemy w j I j I ten sposób układ ϕ(m) kongruencji kj r j (mod m). Mnożąc stronami kongruencje kj r j (mod m) dla wszystkich j I dostajemy: k ϕ(m) z z(mod p) gdzie z jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych z I. Ale z jest względnie pierwsza z m, skąd z własności kongruencji mamy k ϕ(m) 1(mod m). Jak widać, jeśli m jest liczbą pierwszą jak w Twierdzeniu Fermata, dostajemy dokładnie tezę tego twierdzenia, gdyż ϕ(m) wtedy jest równe m 1.

Rozdział 2 Działania i ich własności Definicja 2.0.3 (działanie). Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś X X := {(x, y) : x X, y X} iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie przypisujące parze elementów z X, (czyli elementowi z X X) element z X: nazywamy działaniem na zbiorze X. ( 1 ) : X X (x, y) x y X Przykład 2.0.4. (i) R R (x, y) x y R jest działaniem na zbiorze liczb rzeczywistych, (iloczyn liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą) (ii) N N (x, y) x y Z NIE jest działaniem na zbiorze N gdyż może parze liczb naturalnych przypisać liczbę ujemną. Definicja 2.0.5 (rodzaje działań). Niech : X X (x, y) x y X będzie działaniem na zbiorze X. (i) Działanie nazywamy łącznym gdy x, y, z X : (x y) z = x (y z) (ii) Działanie nazywamy przemiennym gdy x, y X : x y = y x (iii) Element e X nazywamy elementem neutralnym działania gdy x X : x e = e x = x ( 2 ) (iv) Jeśli dla działania istnieje element neutralny e, to dla dowolnego x X element x nazywamy elementem symetrycznym do elementu x względem działania jeśli x x = x x = e, ( 3 ) (v) Jeśli na zbiorze X zadane są dwa działania: oraz to działanie nazywamy rozdzielnym względem działania gdy: x, y, z X : (x y) z = (x z) (y z) i z (x y) = (z x) (z y) ( 1 )czasem fakt, że para punktów z X przechodzi na punkt z X nazywa się wewnętrznością działania ( 2 )uwaga: element neutralny nie zawsze musi istnieć, np. w N nie istnieje element neutralny dodawania ( 3 )uwaga: element symetryczny może dla pewnych elementów istnieć, dla innych nie np. w zbiorze Z z działaniem mnożenia dla 1 element symetryczny istnieje ale nie istnieje np. dla 2 16

2.1. Podstawowe przykłady działań 17 2.1 Podstawowe przykłady działań I. Kanoniczne przykłady liczbowe (1) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach N, Z, Q, R, C. (2) Działania mnożenia wprowadzone na zbiorach Z, Q, R, C. II. Działania w zbiorach macierzy Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia w tzw. zbiorach macierzy. Będziemy rozważać dwa podstawowe działania na macierzach, które znają Państwo z algebry liniowej. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych, (tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych). Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A będziemy oznaczać przez M n (A). Na zbiorze tym rozważać będziemy działanie dodawania macierzy. Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych 4 wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A oznaczać będziemy GL n (A). W zbiorze tym rozważać będziemy działanie mnożenia macierzy. III. Zbiory odwzorowań i działania na nich Definicja 2.1.1 (permutacje zbioru). Jeśli X jest zbiorem niepustym, zaś f : X X jest bijekcją zbioru X na samego siebie to odwzorowanie takie będziemy nazywać permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X będziemy oznaczać przez S(X). Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego. Definicja 2.1.2 (permutacje). Rozważmy zbiór n-elementowy: {1, 2,..., n}. Każde odwzorowanie tego zbioru przypisujące jego elementowi dokładnie jeden element tego zbioru nazywać będziemy permutacją zbioru {1,..., n} i zwyczajowo oznaczać będziemy takie odwzorowania przez greckie literki np. σ Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco: ( ) 1 2... n σ = σ(1) σ(2)... σ(n) gdzie oznaczenie to mówi, że nasze odwzorowanie σ przeprowadza 1 na σ(1), 2 na σ(2) itd. aż do n na σ(n). Zbiór permutacji zbioru X będziemy zawsze rozważać z działaniem g f := g f. składania tzn. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,..., n} będziemy dalej oznaczać przez S n. ( 4 )Pamiętamy, że macierz nieosobliwa to macierz o wyznaczniku różnym od zera

18 Działania i ich własności Tabela działania na zbiorze Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela tego działania - tzw. tabliczka Cayleya. Arthur Cayley - matematyk i prawnik angielski (1821-1895) znany m.in. z prac na temat teorii grup, o której zaczniemy mówić na kolejnym wykładzie. Od niego pochodzi m.in. dowód faktu, że każda grupa (zbiór z działaniem łącznym, dla którego istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny) może być traktowana jako część grupy permutacji. ( 1 2 3 3 2 1 ), σ 4 = Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w grupie permutacji: Tabela działania składania/mnożenia permutacji ( 3 elementowych ) 1 2 3 S 3 = {σ 1, σ 2,..., σ 6 } gdzie σ 1 = id, σ 2 =, σ 2 1 3 3 = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, σ 1 3 2 5 =, σ 3 1 2 6 = 2 3 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 2 σ 2 σ 1 σ 5 σ 6 σ 3 σ 4 σ 3 σ 3 σ 6 σ 1 σ 5 σ 4 σ 2 σ 4 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 2 σ 3 σ 5 σ 5 σ 4 σ 2 σ 3 σ 6 σ 1 σ 6 σ 6 σ 3 σ 4 σ 2 σ 1 σ 5 IV. Kongruencje i działania modulo Definicja 2.1.3 (zbiór reszt modulo). Niech m N, k Z. Zbiór takich liczb całkowitych l które dają tę samą resztę z dzielenia przez m jak liczba k, (inaczej: l k (mod m)) nazywamy klasą równoważności liczby k modulo m i oznaczać ją będziemy dalej [l] m. Zbiór wszystkich takich klas oznaczamy Z m. Uwaga 2.1.4. (i) Każdy ze zbiorów Z m jest m-elementowy jako, że mamy m różnych reszt z dzielenia przez m. (ii) Często piszemy Z m = {0, 1, 2,..., m 1} zamiast Z m = {[0] m, [1] m,..., [m 1] m } - pamiętać jednak należy, że wtedy oznaczenie 0 mówi, że mamy na myśli wszystkie liczby podzielne przez m itd. Na zbiorze Z m będziemy wprowadzać dwa działania: dodawania i mnożenia. Definicja 2.1.5. (i) Dla [k] m, [l] m Z m definiujemy: [k] m + [l] m := [k + l] m (ii) Dla [k m ], [l] m Z definiujemy: [k] m [l] m := [k l] m Uwaga 2.1.6. Zauważmy, że działania wykonujemy więc w ten sposób, że dodajemy/mnożymy zadane liczby i potem bierzemy resztę z dzielenia wyniku przez m. Powyższa definicja działań w Z m ma sens, tzn. jeśli weźmiemy liczby reprezentujące te same klasy z Z m to wynik działania będzie taki sam - jak wiemy to z części poświęconej teorii liczb.

2.1. Podstawowe przykłady działań 19 Zobaczmy to na przykładzie: [3] 5 = [8] 5, [2] 5 = [12] 5 - gdy wymnożymy mamy: [3] 5 [2] 5 = [6] 5 = [1] 5 i analogicznie [8] 5 [12] 5 = [96] 5 = [1] 5. ( ) Tabela działania mnożenia modulo 5 w Z 5 = {1, 2, 3, 4} 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Ćwiczenia do części 2 (pytania o własności działań dotyczą własności z def. 2.0.5) Ćwiczenie 2.1. Sprawdzić, które z poniższych odwzorowań są działaniami na zbiorze X. W przypadku gdy jest to działanie sprawdzić jakie własności spełnia. (1) X = R, x y := x y x 2 + y 2, (2) X = Z, m n := (m + n)/2, (3) X = Z, m n := 1, (4) X = Q, a b c d 2ad + 3bc :=. bd Ćwiczenie 2.2. W przypadku poniższych działań sprawdzić, czy są one łączne, przemienne, posiadają w podanych zbiorach element neutralny, a w przypadku gdy tak jest czy każdy z elementów posiada element symetryczny: (1) x y := y na R, (2) m n := 3 mn na N, (3) x y := 2x 2y + 6 na R \ {2}. (4) x y := y x na Q+. Ćwiczenie 2.3. Niech T := {A M 2 (R) : A = [ a 0 0 0 (a) sprawdzić, że mnożenie macierzy jest działaniem na T, ], dla pewnego a R}. (b) wykazać, że mnożenie macierzy w M 2 (R) nie jest przemienne ale działanie to jest przemienne na T, (c) sprawdzić, czy w obu zbiorach istnieją elementy neutralne względem mnożenia. Ćwiczenie 2.4. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla zbioru funkcji X = {f a,b (x) = ax + b, a R, b R} z działaniem składania funkcji tzn. (f g)(x) = f(g(x)). Ćwiczenie 2.5. Sprawdzić dla jakich n N działanie składania permutacji w zbiorze S n jest przemienne.

20 Działania i ich własności Ćwiczenie 2.6. Niech P będzie zbiorem wszystkich odwzorowań ze zbioru Z w Z. Na zbiorze P określimy dwa działania: dodawania odwzorowań - (f + g)(x) := f(x) + g(x) oraz składania odwzorowań - (f g)(x) := f(g(x)). Sprawdzić, czy zachodzi tu rozdzielność dodawania względem składania. Ćwiczenie 2.7. W zbiorze Z[i] = {a + bi, a, b Z} wprowadzamy dwa działania: dodawanie i mnożenie liczb zespolonych. Sprawdzić, które z własności spełniają te działania. Wyznaczyć wszystkie elementy, które posiadają element symetryczny względem mnożenia. Ćwiczenie 2.8. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla dodawania modulo m w Z m oraz które własności działania mnożenia modulo m zachodzą dla dowolnego Z m oraz osobno w przypadku gdy m jest liczbą pierwszą (tzn. jedynymi jej podzielnikami są m i 1). Ćwiczenie 2.9. Rozważmy zbiór wektorów: R 3 := {(a, b, c) : a, b, c R}. Na zbiorze tym określimy mnożenie wektorów w następujący sposób (iloczyn wektorowy): ( [ ] [ ] [ ]) v2 v (v 1, v 2, v 3 ) (w 1, w 2, w 3 ) := det 3 v1 v, det 3 v1 v, det 2 w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 Tak określone działanie na R 3 nazywamy iloczynem wektorowym - jego efektem jest wektor prostopadły do obu wyjściowych wektorów. Sprawdzić, czy jest to działanie łączne i czy jest to działanie przemienne. Ćwiczenie 2.10. (a) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne i posiada element neutralny, to element ten jest jedyny. (b) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne, posiada element neutralny zaś element x posiada element symetryczny to element ten jest jedyny.

Rozdział 3 Elementy teorii grup Korzeni teorii grup doszukiwać się należy bardzo głęboko w rozwoju relacji między pojęciami klasycznej algebry, arytmetyki i geometrii - do powstania podstaw pojęcia grupy doprowadziły w dużej mierze próby znalezienia wspólnego opisu własności teorioliczbowych i geometrycznych. Te dwa elementy, wspierane bodźcem poszukiwania rozwiązań równań wyższych stopni zostały w końcu sprowadzone do wspólnej płaszczyzny tworząc zręby m.in. języka teorii grup. Postęp czyniony w badaniach geometrii nieeuklidesowych, dalej prace Gaussa, Eulera, Lagrange a ( 1 ) i wielu innych nad rozwiązalnością równań stopnia co najmniej 5 legły u podstaw badań Galois ( 2 ) i Abela. ( 3 ) Od czasu tych dwóch matematyków całe pokolenia następców podejmowały idee przez nich zapoczątkowane rozwijając teorię grup i ciał - by wspomnieć Dedekinda, ( 4 ) Kroneckera,( 5 ) Jordana, ( 6 ).... To oni wzbogacili wprowadzane wcześniej pojęcia i stosowali już teorię grup w mniej lub bardziej znanej nam dziś formie. Konkretny wkład każdego z nich (albo większości) poznamy w dalszym ciągu wykładu. W przeciągu wieków pojęcie grupy przeszło długą ewolucję zanim nabrało współczesnego kształtu, a i dziś możliwe są dwa różne podejścia do charakteryzacji struktury grupowej. My oprzemy się na aksjomatycznym pojęciu grupy. ( 7 ) ( 1 )Joseph Louis Lagrange - matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, pracujący głównie we Francji, (1736-1813) ( 2 )Evariste Galois: matematyk francuski, Mozart matematyki, zginął mając zaledwie 21 lat, (1811-1832) pozostawiając po sobie ogromny wkład w rozwój teorii grup i nowoczesnej teorii równań algebraicznych ( 3 )Niels Henrik Abel - matematyk norweski (1802-1829) ( 4 )Julius Wilhelm Richard Dedekind - matematyk niemiecki, (1831-1916) ( 5 )Leopold Kronecker - matematyk niemiecki (1823-1891) ( 6 )Marie Eddemond Camille Jordan - matematyk francuski, (1838-1922) ( 7 )Pojęcie grupy, jeszcze nienazwane, wystąpiło po raz pierwszy u Lagrange a (grupa permutacji n elementów). W swoim Disquisitiones Gauss wykorzystuje grupę addytywną i multiplikatywną pierścienia reszt modulo m, bada też grupy klas form kwadratowych. Dość często autorstwo terminu grupa przypisuje się Galois tym niemniej nie jest to chyba do końca poprawne, gdyż co prawda użył on w jednym ze swoich rękopisów określenia groupe, ale tę samą nazwę zastosował do tego, co dziś określamy jako warstwy grupy względem podgrupy (będzie o tym mowa dalej na wykładzie), miał więc chyba bardziej na myśli po prostu zbiór niż to co my rozumiemy jako grupę, czyli zbiór z działaniem o konkretnych własnościach. Z pewnością formalnym twórcą pojęcia grupy abstrakcyjnej jest Arthur Cayley, który zdefiniował je w 1854 roku w swoim pierwszym artykule o teorii grup opublikowanym w Philosophical Magazine. Do tego czasu zajmowano się jedynie grupami permutacji n elementów. Dalej należy obecną formę pojęcia grupy wiązać z pracami Kroneckera, Burnside a, von Dycka i H.M. Webera. 21

22 Elementy teorii grup 3.1 Podstawowe definicje i przykłady Pojęcie grupy Definicja 3.1.1 (grupa). Niech G będzie zbiorem niepustym, zaś : G G (x, y) x y G działaniem (2.0.3) na G, dla którego zachodzą następujące własności: (1) jest ono łączne, (2) posiada element neutralny e G, (3) każdy element x G posiada element symetryczny x G. Wtedy parę (G, ) nazywamy grupą z działaniem. Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa G zamiast grupa (G, ). W domyśle jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem. Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową. Uwaga 3.1.2. (i) Jeśli określone na G działanie spełnia jedynie warunek łączności, to parę (G, ) nazywamy półgrupą (ii) Jeśli (G, ) jest półgrupą i dodatkowo istnieje w G element neutralny działania to (G, ) nazywamy monoidem Definicja 3.1.3 (rząd grupy). O grupie G mówimy, że jest skończona, gdy zbiór G ma skończoną ilość elementów. Wówczas ilość tę, czyli #G nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy G. Jeśli zbiór G ma nieskończoną ilość elementów, to mówimy, że G jest grupą o rzędzie nieskończonym i piszemy: G =. Przykład 3.1.4. (i) (Z, +), (Q, +), (R, +), C, +) e = 0, element symetryczny = liczba przeciwna - grupy abelowe. (ii) (Q, ), (R, ), (C, ) e = 1, element symetryczny = odwrotność liczby, - grupy abelowe z mnożeniem. (iii) Grupy reszt modulo: (Z n, + n ), gdzie [k] n + n [l] n := [k + l] n - grupa abelowa. (Z n, n), gdzie [k] n n [l] n := [k l] n - grupa abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy n P, (U(Z n ), n) - grupa reszt modulo n liczb względnie pierwszych z n (tzn. takich, których największy wspólny dzielnik z n jest równy 1). W dalszej części wykładu, jeśli będziemy mieć do czynienia z elementami zbioru Z n to ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: + i pamiętając o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo n.

3.1. Podstawowe definicje i przykłady 23 (iv) Grupy macierzy: (M n (G), +) - grupa macierzy kwadratowych wymiaru n o wspøłczynnikach z G, gdzie G oznacza grupy addytywne Z, Q, R lub C, (działanie: dodawanie macierzy). Jeśli F = Q, R, C to (GL n (F ), ) - grupa nieosobliwych macierzy kwadratowych wymiaru n o współczynnikach z F, (v) Grupy symetryczne (ogólne grupy permutacji): Niech E oraz S(E) := S E := {f : E E : f bijekcja}. Wtedy (S E, ) jest grupą nazywaną grupą symetryczną. Dla E := {1,..., n} grupę S E oznaczamy S n i nazywamy grupą permutacji n- elementowych. Elementy grupy S n nazywamy permutacjami i zazwyczaj oznaczamy małymi literami greckimi. ( 8 ) W przypadku gdy E jest zbiorem n-elementowym grupę S E oznaczać będziemy przez S n - grupa permutacji n-elementowych. Warto pamiętać, że często pod pojęciem grupy permutacji rozumie się dowolną grupę, której elementy tworzą permutacje zadanego zbioru a działanie jest ich składaniem. (vi) Grupa diedralna (dihedral( 9 )) - grupa symetrii wielokąta foremnego z działaniem składania. Można spotkać się z dwoma notacjami dla tej grupy: D n oraz D 2n gdzie ta ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii n-kąta foremnego, (grupa taka złożona jest z n odbić i n-obrotów, (w tym obrotu o 360 stopni - identyczność). W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa mnożenie jedynka grupy element odwrotny Oznaczenie x y lub xy 1 G lub 1 x 1 Tabela 3.1: Notacja multiplikatywna. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa dodawanie zero grupy element przeciwny Oznaczenie x + y 0 G lub 0 x Tabela 3.2: Notacja addytywna. Często notacja addytywna stosowana jest w przypadku, gdy grupa jest abelowa. Na wykładzie w dalszym ciągu teorii grup będziemy stosować notację multiplikatywną, (za wyjątkiem jednego rozdziału) oraz skrótowo operować wyrażeniem grupa G zamiast grupa ( 8 )Taka notacja przyjęła się za klasycznym podręcznikiem H.Wielandta,F inite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964 ( 9 )Dihedral group - określenie to oznacza dokładnie grupę dwuścianu