W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa S opuszczoną z wierzchołka na ścianę S. Oblicz długości odcinków W, W i SW. Na początku przypomnijmy kilka pojęć i twierdzeń geometrii przestrzennej. rzypuśćmy, że prosta przebija płaszczyznę w punkcie. Mówimy, że prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jeśli jest prostopadła do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie i przechodzącej przez punkt. Twierdzenie 1. rzypuśćmy, że prosta przebija płaszczyznę w punkcie oraz =. rzypuśćmy następnie, że punkty współliniowe K, L i M leżą na płaszczyźnie oraz prosta jest prostopadła do prostych K i L. Wówczas prosta jest prostopadła do prostej M. owód. ołączmy punkty i z punktami K, L i M (zobacz rysunek). L M K Wówczas trójkąty K i K są przystające na podstawie cechy przystawania K (mają wspólny bok K, równe boki i oraz równe kąty proste K i K). Zatem K = K. odobnie trójkąty L i L są przystające, a więc L = L. Stąd wynika, że trójkąty KL i KL są przystające na podstawie cechy przystawania. Zatem KM = KM. Teraz zauważamy, że trójkąty KM i KM są przystające na podstawie cechy przystawania K. więc M = M. Wreszcie stąd wynika, że
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony trójkąty M i M są przystające (na podstawie cechy przystawania ). Zatem M = M. onieważ są to kąty przyległe, więc są proste. Udowodniliśmy zatem, że proste i M są prostopadłe. To kończy dowód. Zauważmy następnie, że jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest prostopadła do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie. Nie jest więc konieczne, by prosta leżąca na płaszczyźnie przechodziła przez punkt. Na poniższym rysunku prosta jest prostopadła do prostej L, zaś prosta L i KM są równoległe. Zatem prosta jest prostopadła do prostej KM. L M K Twierdzenie 1 może być zatem sformułowane nieco ogólniej: Twierdzenie. rzypuśćmy, że prosta przebija płaszczyznę oraz jest prostopadła do dwóch nierównoległych prostych leżących na płaszczyźnie. Wówczas prosta jest prostopadła do płaszczyzny. Udowodnimy następnie tzw. twierdzenie o trzech prostopadłych. Twierdzenie 3. rzypuśćmy, że prosta przebija płaszczyznę w punkcie. Załóżmy następnie, że prosta nie jest prostopadła do płaszczyzny. Niech punkt K będzie rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę ; zatem prosta K jest rzutem prostej na płaszczyznę. Niech wreszcie punkt M leży na płaszczyźnie. Wówczas prosta M jest prostopadła do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej K. owód. Zauważmy najpierw, że prosta K jest prostopadła do płaszczyzny, a więc w szczególności jest prostopadła do prostej M (zobacz rysunek). K M
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 3 Załóżmy teraz, że proste i M są prostopadłe. Wówczas prosta M jest prostopadła do dwóch nierównoległych prostych leżących na płaszczyźnie K, mianowicie do prostych i K. Zatem jest prostopadła do prostej K. Odwrotnie, jeśli prosta M jest prostopadła do prostej K, to jest prostopadła do nierównoległych prostych K i K. Jest zatem prostopadła do płaszczyzny K, a więc w szczególności do prostej. To kończy dowód. W rozwiązaniu zadania 8 skorzystamy z następującego twierdzenia. Twierdzenie 4. rzypuśćmy, że dany jest prostopadłościan (zobacz rysunek). rzypuśćmy następnie, że z wierzchołka prowadzimy wysokość W ostrosłupa (opuszczoną na podstawę ). Wówczas punkt W jest ortocentrum trójkąta. W owód. oprowadźmy z wierzchołka wysokość trójkąta. ołączmy punkt z punktem i następnie poprowadźmy z wierzchołka wysokość V trójkąta (zobacz rysunek). V rosta jest rzutem prostokątnym prostej na płaszczyznę podstawy dolnej prostopadłościanu. onadto proste i są prostopadłe. Zatem z twierdzenia o trzech prostopadłych proste i też są prostopadłe (czyli że odcinek jest wysokością trójkąta ). Stąd wynika, że prosta jest prostopadła do płaszczyzny ; w szczególności jest prostopadła do prostej V. To znaczy, że prosta V jest prostopadła do nierównoległych prostych i leżących na płaszczyźnie, a więc jest prostopadła do tej płaszczyzny. To dowodzi, że punkt V pokrywa się z punktem W, a więc punkt W leży na wysokości trójkąta. W analogiczny sposób dowodzimy, że punkt W leży na pozostałych dwóch wysokościach, a więc jest ortocentrum trójkąta.
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 4 Teraz rozwiążemy zadanie ogólniejsze od zadania 8. Zadanie 8a. any jest prostopadłościan (zobacz rysunek) o następujących długościach krawędzi: = = a, = = b oraz = = c. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa S opuszczoną z wierzchołka na ścianę S. Oblicz długości odcinków W, W i SW. c W b a Rozwiązanie. Zaczniemy od obliczenia długości boków trójkąta. Korzystając trzykrotnie z twierdzenia itagorasa, otrzymujemy: = a + b, = b + c oraz = a + c. Następnie obliczamy długość odcinka. rzypomnijmy sobie, że ten odcinek jest wysokością trójkąta prostokątnego. ługość tego odcinka możemy łatwo obliczyć, obliczając dwoma sposobami pole trójkąta. Mamy więc skąd 1 = 1, = = ab a + b. Z twierdzenia itagorasa dla trójkąta dostajemy teraz = + = a b a + b + c = a b + a c + b c a + b, czyli = a b + a c + b c a + b. Teraz możemy obliczyć długość odcinka W. W tym celu obliczamy dwoma sposobami pole trójkąta prostokątnego. Mamy zatem 1 W = 1,
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 5 czyli Stąd otrzymujemy a b + a c + b c a + b W = W = abc a b + a c + b c. ab a + b c. Wreszcie możemy obliczyć długość odcinka W. Mianowicie znów korzystamy z twierdzenia itagorasa, tym razem dla trójkąta W. Mamy więc W = W = c = a b c + a c 4 + b c 4 a b c a b + a c + b c = a b c a b + a c + b c = c (a b + a c + b c ) a b c a b + a c + b c = a c 4 + b c 4 a b + a c + b c = c 4 (a + b ) a b + a c + b c, czyli W = c a + b a b + a c + b c. Otrzymany wzór możemy zapisać w innej postaci. W tym celu najpierw obliczymy pole trójkąta, obliczając dwoma sposobami objętość ostrosłupa. 1 3 W = 1 3 = 1 6 = 1 6 abc. Stąd otrzymujemy czyli Inaczej mówiąc, abc a b + a c + b c = 1 abc, = 1 a b + a c + b c. a b + a c + b c =. Mamy zatem Teraz zauważmy, że W = c. c = (a + c ) + (b + c ) (a + b ) = +, skąd ostatecznie dostajemy W = ( + ) 4.
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 6 ługość odcinka W została wyrażona za pomocą długości boków trójkąta i pola tego trójkąta. Zamieniając w otrzymanym wzorze kolejność wierzchołków, otrzymujemy analogiczne wzory na długości odcinków W i W : W = ( + ) 4, W = ( + ) 4. ługości odcinków W, W i W możemy także wyrazić za pomocą długości krawędzi a, b i c prostopadłościanu: W = W = W = b a + c a b + a c + b c, a b + c a b + a c + b c, c a + b a b + a c + b c. To kończy rozwiązanie zadania. Rozwiązanie zadania 8 otrzymujemy podstawiając a = b = 1 oraz c = 1. Mamy wówczas a + b = oraz a + c = b + c = 5 4. onadto Stąd dostajemy a b + a c + b c = 1 + 1 4 + 1 4 = 3. W = W = W = 5 4 = 3 1 4 3 5 = 3 = 4 3 30 6, = 3 6. Interesujące jest to, że istnieje wiele trójek liczb całkowitych (a, b, c) takich, że liczba a b + a c + b c jest kwadratem. W dodatku na końcu tego tekstu znajduje się lista wszystkich takich trójek (a, b, c), spełniających dwa warunki: 1 a b c 10, liczby a, b i c nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Weźmy z tej listy jedną taką trójkę i zobaczmy, jak wygląda rozwiązanie odpowiedniego zadania.
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 7 Zadanie 8b. any jest prostopadłościan (zobacz rysunek) o następujących długościach krawędzi: a = = = 4, b = = = 3 oraz c = = = 1. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa opuszczoną z wierzchołka na ścianę. Oblicz długości odcinków W, W i W. c W b a Rozwiązanie. Najpierw obliczamy a b + a c + b c = 16 9 + 16 + 9 = 169 = 13. Zatem W = W = W = a b + c a b + a c + b c = 16 10, 13 b a + c a b + a c + b c = 9 17 13, c a + b a b + a c + b c = 5 13.
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 8 odatek. Lista wszystkich trójek liczb całkowitych (a, b, c), spełniających trzy warunki: liczba a b + a c + b c jest kwadratem liczby całkowitej, 1 a b c 10, liczby a, b i c nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. a b c a b + a c + b c 1 1 3 1 3 7 1 8 18 1 3 4 13 1 4 5 1 1 5 6 31 1 6 7 43 1 7 8 57 1 8 9 73 1 9 10 91 3 5 19 3 9 33 5 7 39 7 9 67 3 4 7 37 3 5 8 49 3 7 10 79 4 5 9 61 4 7 7 63 6 7 7 77 6 7 9 93 6 8 9 10