Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1
Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących: a. średniej z rozkładu normalnego b. porównaniu dwóch średnich z rozkładów normalnych c. porównaniu dwóch wariancji z rozkładów normalnych d. porównaniu dwóch frakcji z rozkładów dwupunktowych
Testowanie hipotezy 1. Formułujemy hipotezę zerową H 0. Wybieramy test do zbadania hipotezy 3. Przyjmujemy poziom istotności α (wyznaczamy obszar krytyczny testu) 4. Losowujemy próbę 5. Wyznaczamy wartości testu dla wylosowanej próby 6. Formułujemy wniosek odnośnie hipotezy (hipotezę odrzucamy/nie odrzucamy) 3
Hipoteza alternatywna H 1 Hipoteza alternatywna, ozn. H 1 przyjmujemy ją przy odrzuceniu H 0 Mówimy: Weryfikujemy hipotezę zerową H 0 przeciwko hipotezie alternatywnej H 1 4
Błędy wnioskowania STAN RZECZYWISTY H 0 prawdziwa H 0 nieprawdziwa (fałszywa) ODRZUCIĆ H 0 błąd I rodzaju, pstwo = α wniosek prawidłowy WNIOSEK NIE ODRZUCAĆ H 0 wniosek prawidłowy błąd II rodzaju, pstwo = β 5
Moc testu Procedury testowe konstruowane są w taki sposób, aby przy ustalonej wartości α, wartość β była jak najmniejsza. Moc testu = 1- β (pstwo odrzucenia fałszywej hipotezy zerowej). 6
Było: Hipoteza H 0 : µ = µ 0 Założenia: 1. cecha X ~ N(µ, σ ), µ, σ - nieznane. próba losowa: x 1, x,..., x n ; n liczebność próby H 0 : µ = µ 0 (porównanie z normą) test t - Studenta; poziom istotności α Funkcja testowa: t emp = x s µ 0 n 7
Wnioskowanie 1: Hipoteza H 0 : µ = µ 0 cd. jeżeli t emp > t α,v= n-1, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. Wnioskowanie (równoważne z wnioskowaniem 1): jeżeli wartość p < α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. 8
Przykład H 0 : µ = 00 Cecha X masa owocu pewnej odmiany. Załóżmy, że X ~ N(µ, σ ), gdzie µ, σ nieznane Hipoteza zerowa H 0 : µ = 00 Test t -Studenta, poziom istotności α =0,05 Próba: 191,; 193,0; 195,1; 184,3; 197,6; 00,8; 194,; 198,7; 189,5; 00, 9
Parametry próby: n=10, Przykład H 0 : µ = 00 cd. x = 194, 46 g, s = 5,19 g Wartość empiryczna funkcji testowej: t emp x µ = 0 n = s 194,46 00 = 5,19 10 = 3,3755 Wartość krytyczna funkcji testowej t α,v = n-1 = t 0,05, 9 =,6 10
Przykład H 0 : µ = 00 cd. Wnioskowanie 1 (wniosek statystyczny): t emp =3,3375>,6 = t 0,05,9, zatem hipotezę zerową H 0 odrzucamy. Wniosek merytoryczny: nie można przyjąć, że średnia masa owocu tej odmiany wynosi 00 g. 11
Wartości krytyczne rozkładu t-studenta X ~ t ν - X zmienna losowa o rozkładzie t-studenta z liczbą stopni swobody v, α - poziom istotności, t α, ν - wartość krytyczna - liczba taka, że P( X > t α, ν ) = α ν \ α 0,400 0,300 0,00 0,100 0,050 0,05 0,010 0,005 0,001 1 1,3764 1,966 3,0777 6,3137 1,706 5,4519 63,6559 17,311 636,5776 1,0607 1,386 1,8856,900 4,307 6,054 9,950 14,089 31,5998 3 0,9785 1,498 1,6377,3534 3,184 4,1765 5,8408 7,453 1,944 4 0,9410 1,1896 1,533,1318,7765 3,4954 4,6041 5,5975 8,6101 5 0,9195 1,1558 1,4759,0150,5706 3,1634 4,031 4,7733 6,8685 6 0,9057 1,134 1,4398 1,943,4469,9687 3,7074 4,3168 5,9587 7 0,8960 1,119 1,4149 1,8946,3646,841 3,4995 4,094 5,4081 8 0,8889 1,1081 1,3968 1,8595,3060,7515 3,3554 3,835 5,0414 9 0,8834 1,0997 1,3830 1,8331,6,6850 3,498 3,6896 4,7809 10 0,8791 1,0931 1,37 1,815,81,6338 3,1693 3,5814 4,5868 11 0,8755 1,0877 1,3634 1,7959,010,5931 3,1058 3,4966 4,4369 1 0,876 1,083 1,356 1,783,1788,5600 3,0545 3,484 4,3178 1
Przykład ilustracja graficzna Ozn.: t emp = X µ S n f(x) y = f (x) funkcja gęstości rozkładu t-studenta z v=9 stopniami swobody 0 wartości t 13
Przykład ilustracja graficzna cd. y = f (x) funkcja gęstości rozkładu t-studenta z v = 9 stopniami swobody α 0, 05 Pole = = = 0, 05 Pole=1-α=0,95 α 0, 05 Pole = = = 0, 05 - t 0,05, 9 = -,6 0 t 0,05,9 =,6 wartości t obszar dopuszczenia hipotezy obszar odrzucenia hipotezy (krytyczny) 14
Przykład ilustracja graficzna cd. y = f (x) funkcja gęstości rozkładu t-studenta z v = 9 stopniami swobody Pole = wartość p Pole = α = 0,05 -t emp =-3,34 - t kryt = -,6 0 t kryt =,6 t emp =3,34 wartości t 15
Hipoteza zerowa H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 hipoteza zerowa hipoteza alternatywna 16
Przykład 1. H 0 : µ = µ 0 Średnia zawartość skrobi w bulwach ziemniaków w pewnym rejonie uprawy kształtuje się na poziomie 18%. Hodowca nowej odmiany twierdzi, że zawartość skrobi u tej odmiany jest mniejsza niż 18%. Pobrano 10-elementową próbę, w której średnia wyniosła 16%, a odchylenie standardowe 3%. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę na poziomie istotności 0,05. Przyjmij, że zawartość skrobi ma rozkład normalny z nieznanymi parametrami. 17
Było: testowanie hipotezy H 0 : µ = µ 0 Założenia: 1. cecha X ~ N(µ, σ ), µ, σ - nieznane. próba losowa: x 1, x,..., x n ; n liczebność próby H 0 : µ = µ 0 (porównanie z normą) test t - Studenta; poziom istotności α Funkcja testowa: t emp = x s µ 0 n 18
Było: testowanie hipotezy H 0 : µ = µ 0 cd. Wnioskowanie 1: jeżeli t emp > t α,v= n-1, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. Wnioskowanie (równoważne z wnioskowaniem 1): jeżeli wartość p < α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. 19
Było: testowanie hipotezy H 0 : µ = µ 0 cd. H 0 odrzucamy, na rzecz H 1, gdy: H 1 : µ > µ 0, t emp > t α, n-1 H 1 : µ < µ 0, t emp < -t α, n-1 H 1 : µ µ 0, t emp > t α, n-1 w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. 0
Przykład. H 0 : µ = µ 0 Norma zawartości ołowiu w żywności wynosi 1,50 mg na 1 kg suchej masy. Na pięciu plantacjach porzeczki czarnej usytuowanych w niewielkiej odległości od drogi o dużym natężeniu ruchu wykonano oznaczenia zawartości tego metalu w owocach i otrzymano wyniki: x = 1, 65, s = 0,1359. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że zawartość ołowiu jest w normie przeciwko alternatywie, że zawartość ołowiu przekracza normę. Przyjmij, że zawartość ołowiu ma rozkład normalny z nieznanymi parametrami. 1
Hipoteza H 0 : µ 1 = µ Założenia: 1. cecha X 1 ~N(µ 1, σ ), cecha X ~N(µ, σ ), µ 1, µ, σ - nieznane parametry,. pobrano n 1 elementową próbę z pierwszej populacji oraz n -elementową próbę z drugiej populacji H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ test t-studenta, poziom istotności α
3 Hipoteza H 0 : µ 1 = µ cd. Funkcja testowa: r emp s x x t 1 = gdzie: + = 1 1 1 n n s s e r błąd stand. różnicy średnich, ( ) ( ) 1 1 1 1 1 + + = n n n s n s s e wspólna wariancja;
Hipoteza H 0 : µ 1 = µ cd. Wnioskowanie 1: jeżeli t emp >t α, v = n1+n-, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. Wnioskowanie : jeżeli p < α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. 4
Przykład 3. Hipoteza H 0 : µ 1 = µ cd. Porównywano odmiany bobiku A oraz B pod względem średniej liczby nasion w strąku. Otrzymano wyniki: x A = 4,05 s A =, 89 n = 0 x B = 3, 53 s B =, 981 n = 15 A Zweryfikuj odpowiednią hipotezę na poziomie istotności 0,05. Przyjmij, że badane cechy mają niezależne rozkłady normalne z jednakowymi wariancjami. (Zapisz hipotezę zerową, alternatywną, nazwę testu statystycznego, wartość funkcji testowej, wniosek statystyczny i merytoryczny) B 5
Hipoteza H 0 : σ 1 = σ Założenia: 1. cecha X 1 ~N(µ 1, σ 1 ), cecha X ~N(µ, σ ), µ 1, µ, σ 1, σ - nieznane parametry,. pobrano n 1 elementową próbę z pierwszej populacji oraz n elementową próbę z drugiej populacji. H 0 : σ 1 = σ H 1 : σ 1 σ test F-Fishera, poziom istotności α. 6
Hipoteza H 0 : σ 1 = σ cd. Funkcja testowa: F emp = max ( s min ( s 1 1,, s s ) ) 7
Hipoteza H 0 : σ 1 = σ Wnioskowanie 1: jeżeli F emp > F α/, v licz, v mian, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. UWAGA: v licz liczba stopni swobody dla licznika, v mian - liczba stopni swobody dla mianownika, v i = n i 1. 8
Hipoteza H 0 : σ 1 = σ Wnioskowanie : jeżeli wartość p < α, to hipotezę H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. 9
Przykład 4. Hipoteza H 0 : σ 1 = σ Z dwóch zbiorników wodnych pobrano siedmioelementowe próbki wody do analizy gęstości fitoplanktonu na podstawie koncentracji zielononiebieskich alg. Otrzymano wyniki: 1, s = 6 9495, s = 40 148. Na poziomie istotności, 0,1 zweryfikuj hipotezę o jednakowej zmienności fitoplanktonu w obu zbiornikach wobec hipotezy alternatywnej zakładającej, że zmienność jest różna. Przyjmij, że gęstości mają niezależne rozkłady normalne. (Zapisz hipotezę zerową, alternatywną, nazwę testu statystycznego, wartość funkcji testowej, wniosek statystyczny i merytoryczny) 30
Hipoteza H 0 : p 1 = p Założenia: 1. cecha X 1 ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem p 1,. cecha X ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem p, 3. pobrano n 1 elementową próbę z pierwszej populacji oraz n elementową próbę z drugiej populacji, k i liczba elementów wyróżnionych w i-tej próbie; p = i k n i i p = k n 1 1 + + k n 31
Hipoteza H 0 : p 1 = p cd. H 0 : p 1 = p H 1 : p 1 p test przybliżony u (dla dużych prób), poziom istotności α. Funkcja testowa: u emp = p p 1 p 1 1 ( 1 p) + n n 1 3
Wnioskowanie: jeżeli Hipoteza H 0 : p 1 = p cd. u emp α, to hipotezę H 0 u 1 odrzucamy, w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić. 33
Przykład 5. Hipoteza H 0 : p 1 = p W dwóch dzielnicach miasta przeprowadzono ankietę na temat sortowania odpadków w gospodarstwach domowych. Otrzymano następujące wyniki: w pierwszej na 10 ankietowanych gospodarstw w 55 sortowano odpadki, natomiast w drugiej na 130 gospodarstw w 51 sortowano odpadki. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikuj hipotezę o jednakowej frakcji gospodarstw sortujących odpadki w obu miastach. 34