dr hab. Dariusz Piwczyński, prof. nadzw. UTP

Transkrypt

1 dr hab. Dariusz Piwczyński, prof. nadzw. UTP

2 NIEZBĘDNE DO ZROZUMIENIA WYKŁADU POJĘCIA Doświadczenie jednogrupowe (jednopróbkowe), dwugrupowe (dwupróbkowe) Doświadczenie niezależne i wiązane (zależne, sparowane) Populacja próbna i generalna Mała i duża próba Wariancja Rozkład normalny

3 PO CO HIPOTEZY? DO... badania założeń dotyczących średniego poziomu cechy w populacji generalnej: wydajność mleka dla określonej rasy bydła wynosi 8100 kg oceny różnicy między dwiema grupami: czy istnieje różnica między liczbą oddechów koni przed i 30 minut po treningu? badania zależności między cechami: czy istnieje zależność pomiędzy ilością wypalanych papierosów a zachorowalnością na nowotwór płuc? porównania rozkładów zmiennych: badamy czy zmienna przyrosty dobowe posiada rozkład zgodny z normalnym

4 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH polega na doborze określonego schematu postępowania zwanego testem statystycznym, który rozstrzyga, przy jakich wynikach z próby sprawdzoną hipotezę należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia

5 HIPOTEZY MOŻEMY PODZIELIĆ NA: parametryczne, tj. takie, które dotyczą wartości parametrów statystycznych populacji, np. średniej arytmetycznej czy odchylenia standardowego nieparametryczne dotyczą postaci rozkładu zmiennej lub losowości próby

6 RODZAJE HIPOTEZ Hipoteza, która podlega sprawdzeniu zwana jest hipotezą zerową (H 0 ) Konkurencyjną dla niej hipotezą jest hipoteza alternatywna (H 1 )

7 HIPOTEZY JEDNOSTRONNE I DWUSTRONNE Na podstawie pewnych przesłanek zakładamy, że masa ciała samic gatunku kret wynosi 9 g. H 0 : µ = 9 g Alternatywna hipoteza: H 1 : µ < 9 g (hipoteza jednostronna) H 1 : µ > 9 g (hipoteza jednostronna) H 1 : µ 9 g (hipoteza dwustronna)

8 HIPOTEZA ZEROWA Hipotezę zerową, dotyczącą wartości oczekiwanych (przeciętnych) można zapisać następująco: H 0 : μ 1 = μ np. zakładamy, że średnia masa ciała klaczy ogierów rasy wielkopolskiej (w populacji generalnej) jest taka sama. H 0 : E(X 1 ) = E(X ) ~ H 0 : μ 1 = μ

9 ZAŁOŻENIE! Przystępując do weryfikacji hipotezy zerowej, zakładamy, iż jest ona prawdziwa

10 BŁĄD PIERWSZEGO RODZAJU (α) Polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, mimo że jest ona prawdziwa. Błąd ten zwany jest poziomem istotności. Najczęściej przyjmuje wartości 0,05; 0,01 czy 0,001. Poziom istotności wskazuje, na jak mały błąd zgadzamy się przy weryfikacji hipotezy zerowej. Poziom istotności określa dopuszczalną częstość wystąpienia wyników niezgodnych z przyjętymi założeniami na skutek losowego charakteru próby

11 Polega na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy jest ona w rzeczywistości fałszywa

12 Hipoteza zerowa Decyzja Przyjąć H 0 Odrzucić H 0 prawdziwa decyzja prawidłowa błąd I rodzaju fałszywa błąd II rodzaju decyzja prawidłowa

13 1-, jest to prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa, a hipoteza alternatywna jest prawdziwa. Testem najmocniejszym jest ten, którego, przy ustalonym poziome istotności α, wartość jest najmniejsza

14 MOC TESTU TEST T-STUDENTA

15 MOC TESTU ANALIZA WARIANCJI Title 'Ustalenie mocy testu - analiza nwariancji'; proc glmpower data = moc.kret; class plec poraroku siedlisko; model masa = plec poraroku plec*poraroku siedlisko; power stddev = ntotal = 111 power =.; run;

16 Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej. Wybór testu lub testów określających reguły postępowania przy weryfikacji hipotezy zerowej. Określenie poziomu istotności, a tym samym wyznaczenie obszaru krytycznego hipotezy. Formułowanie na podstawie wyników z próby, testu i przyjętych założeń - wniosku końcowego

17 Zbiór wszystkich wartości danej statystyki, dla których hipoteza zerowa jest odrzucana

18 POJEDYNCZA PRÓBA, ROZKŁAD NORMALNY, ZNANE σ u x 0 n Obliczone u porównujemy z wartością tablicową u α. Jeżeli u u α to mamy podstawę do odrzucenia hipotezy zerowej

19 σ x μ u 0 s n Obliczone u porównujemy z wartością tablicową u α. Jeżeli u u α to mamy podstawę do odrzucenia hipotezy zerowej

20 0,10 0,05 0,0 0,01 0,001 u 1,645 1,960,36,576 3,91 =ROZKŁ.NORMALNY.S.ODWR(0.005)

21

22 σ x t 0 S x S x s n S x średni błąd średniej arytmetycznej

23

24 µ µ

25 Wartości krytyczne rozkładu t-studenta można otrzymać w wyniku zastosowania funkcji: =rozkład.t.odwr.ds(α; ν)

26

27 Ponieważ obliczona wartość statystyki t jest większa niż wartość krytyczna, odrzucamy hipotezę H 0. Nie mamy podstaw do stwierdzenia, że przeciętna masa samic w populacji generalnej to 9 g

28

29

30

31

32 Pr prawdopodobieństwo (pvalue) błąd z jakim należy się liczyć odrzucając hipotezę zerową prawdopodobieństwo otrzymania wyniku

33 DOŚWIADCZENIE DWUGRUPOWE Formułujemy hipotezę zerową i alternatywną H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ

34 Rozkład normalny? TAK Czy znane wariancje (pop. generalnej? NIE Duże próby? n 1 i n 30 (50)? NIE Czy równe wariancje? TAK Test U TAK Test Z NIE Testy nieparametryczne NIE Test t dla nierównych wariancji TAK Test t dla równych wariancji

35 ISTOTA PORÓWNAŃ NAJMNIEJSZA ISTOTNA RÓŻNICA (NIR, LSD) wks S D Jest to wartość różnicy między średnimi, która może być jeszcze uznana za wartość losową. Jeśli różnica między średnimi jest większa niż NIR to znaczy, że są efektem czynnika kontrolowanego w doświadczeniu. x x wks S 1 D x x 1 S D wks wks wartość krytyczna danej statystyki, np. t-studenta, u

36 1. DWIE PRÓBY, NIERÓWNE WARIANCJE TEST T DLA NIERÓWNYCH WARIANCJI (TEST COCHRANA-COXA) Statystyka testująca t t x 1 x S D S D S 1 x n 1 S n x S D średni błąd różnicy średnich Rozkład statystyki testującej: t-studenta

37 USTALENIE LICZBY STOPNI SWOBODY n x S 1 n 1 n x S 1 n 1 n x S n x S ν

38 TEST T Statystyka testująca t t x 1 x S D S D (n 1 1) S1 (n x 1 (n n 1) S ) x n n 1 1 n n Rozkład statystyki testującej: t-studenta o = n 1 + n

39 3.ROZKŁAD NORMALNY, ZNANE WARIANCJE ODNOSZĄCE SIĘ DO POPULACJI GENERALNEJ (TEST U) Statystyka testująca: U x 1 σ n 1 1 x σ n Rozkład statystyki testującej: N(0; 1)

40 4. ROZKŁAD DOWOLNY, DUŻE PRÓBY, NIE JEST ZNANA WARIANCJA Statystyka testująca: Z S1 n x x 1 1 x S n x Rozkład statystyki testującej: N(0; 1)

41 Naszym zamiarem jest porównanie samic i samców gatunku kret w zakresie masy ciała. Próby są małe (n < 30), zakładamy że cecha posiada rozkład zgodny z normalnym. Nie znamy wariancji w populacji generalnej. Z kolei wariancje populacji próbnych są różne. H 0 : µ = µ ; H 1 : µ µ

42 PRZYKŁAD CD., TEST DLA RÓŻNYCH WARIANCJI (COCHRANA-COXA ) Z jakich wzorów korzystamy? S D S x 1 x x t SD n1 S x 87,68 73,76 4,46 n 1 58,8 17 3,145 74,1 17 4, ,8 74, , ν 74,1 17 4,

43 ,8 74, , ν 74,1 17 4,478 t 0, , , ,064,064 Obliczona wartość statystyki t to 3, =ROZKŁAD.T.ODW(0.05;4)

44 Ze względu na fakt, iż obliczona wartość statystyki t jest większa niż wartość krytyczna przy p = 0,01 odrzucamy hipotezę zerową. Stwierdzamy tym samym, że grupy różnią się między sobą wysoko istotnie

45 TEST DLA DWÓCH WARIANCJI Zanim przystąpimy do zbadania hipotezy zerowej dotyczącej wartości przeciętnych, musimy zweryfikować hipotezę dotyczącą podobieństwa wariancji! Jednym z kryteriów uwzględnianych w trakcie doboru właściwego testu do porównania dwóch wartości oczekiwanych jest ustalenia czy wariancje odnoszące się do tychże porównywanych populacji są jednakowe

46 Hipoteza zerowa o równości wariancji w porównywanych populacjach posiada następującą postać: H 0 : σ 1 = σ Hipoteza alternatywna zakładająca różnice w zakresie zmienności: H 1 : σ 1 σ

47 Wykorzystywana jest do weryfikacji hipotezy o równości dwóch wariancji S S 1 F x x Jeżeli wariancje porównywanych grup nie są sobie równe, to w powyższym wzorze, w liczniku umieszczamy wariancję o wyższej wartości!!! Obliczoną wartość statystyki porównujemy z wartością tablicową ustaloną dla określonego poziomu istotności i liczby stopni swobody

48

49 Mamy podstawę do odrzucenia H 0 zakładającej podobieństwo wariancji w grupie samic i samców! W praktyce oznacza, że zmienność masy ciała samic i samców w populacji generalnej jest różna

50

51 Obliczone prawdopodobieństwo jest mniejsze niż 0,01 (oczywiście mniejsze niż 0,05) zatem mamy podstawę do odrzucenia H 0 i przyjęcia H 1. Co to oznacza? Możemy uznać, że przeciętna masa ciała samic i samców w populacji generalnej jest różna!

52 Stwierdzamy, że różnica między płciami w zakresie masy ciała jest wysoko istotna

53

54

55

56 3. odczytujemy zatem wyniki dotyczące testu t dla wariancji Nierównych 1. Rozstrzygamy czy wariancje są równe?. Nie są!

57

58 wartości cechy, które oddalone od krawędzi skrzynki więcej niż wynosi półtora odstępu międzykwartylowego (1,5 x IQR)

59 Wymiary grubości rogówki (mierzonej w jej centrum, μm) oka ludzkiego przed założeniem szkieł kontaktowych (GL0) i po tygodniach ich noszenia (GL)

60 Hipotezę zerowa zakładamy, że grubość rogówki oka ludzkiego przed założeniem i po dwóch tygodniach noszenia szkieł kontaktowych jest taka sama. H 0 : µ 1 = µ Hipoteza alternatywna zakładamy, że grubość rogówki oka ludzkiego przed założeniem i po dwóch tygodniach noszenia szkieł kontaktowych jest różna. H 1 : µ 1 µ

61 t x S d d x d średnia z indywidualnych różnic między wymiarami grubości rogówki w terminach kontroli S d S d n błąd standardowy różnicy S d wariancja zmiennej d i

62 nasze dane

63 Tworzymy zmienną d i d i = GL0 GL

64 Obliczamy średnią kolumny d i S Obliczamy wariancję kolumny d i d x d n 1 x n d x d 107,86 S d S d n 4,909 Obliczamy błąd standardowy różnicy 16,19 3,13 Obliczamy statystykę t x t S d d 4,909 3,13 1,

65 Obliczona wartość statystyki t: t = 1,56 Wartość krytyczna t (0,05; 1) =,080 Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, ponieważ obliczona przez nas wartość statystyki t jest mniejsza niż wartość krytyczna odczytana przy poziomie istotności 0,05 i liczbie stopni swobody 1. Można zatem stwierdzić, że noszenie soczewek kontaktowych nie wpływa statystycznie na zmianę grubości rogówki

66 Wykorzystujemy funkcję t.test() T.TEST() T.TEST(B:B3;C:C3;;1) Obliczone prawdopodobieństwo jest większe niż 0,05. Nie ma podstaw do odrzucenia H 0. T.TEST Koniecznie musimy wpisać 1 w miejsce Typ oznacza to doświadczenie wiązane

67 Wybieramy rodzaj analizy statystycznej Wybieramy typ testu t

68

69

70

71 Test dla jednego wskaźnika struktury

72 Czy można przyjąć, że 50% ludzi uważa się za szczęśliwych w życiu?

73 Zadajemy pytanie, zestawiamy wyniki!!! Szczęśliwi Nieszczęśliwi

74 Szczęśliwi Nieszczęśliwi Suma końcowa m Stosunek 0,786 0,

75 Hipoteza ta zakłada, że wskaźnik struktury (udział osób szczęśliwych) jest równy określonej wartości p 0, tj. H 0 : p = 0,5 (H 1 : p 0,5) u m p0 n p 0 1 p n 0 m liczba osobników posiadających daną cechę, n liczebność całej populacji

76 Obliczoną wartość statystyki u porównujemy z wartością krytyczną u. u m n p ,5 1 p 0,51 0,5 n p ,56 u 0,05 = 1,96 Obliczona wartość statystyki u jest większa niż wartość tablicowa, zatem odrzucamy hipotezę zerową, że 50% ludzi jest szczęśliwych

77 Test dla dwóch wskaźników struktury

78 Czy udział szczęśliwych kobiet jest taki sam jak szczęśliwych mężczyzn?

79 Uwzględniliśmy płeć badanych osób. Płeć Szczęśliwi Nieszczęśliwi Suma końcowa Kobiety Mężczyźni Suma końcowa

80 Uwzględniliśmy płeć badanych osób. Płeć Szczęśliwi, % Kobiety (p 1 ) 0,771 Mężczyźni (p ) 0,

81 Hipoteza zerowa zakłada, że proporcja szczęśliwych kobiet jest taka sama jak szczęśliwych mężczyzn, czyli: H 0 : p 1 = p Hipoteza alternatywna: H 1 : p 1 p

82 u pˆ p 1 p 1 1 pˆ n1 n 1 Wskaźnik struktury dla obydwu grup: pˆ m n 1 1 m n

83 Wskaźnik struktury dla obydwu grup: u pˆ p 1 n 0,771 0,8 1 0, ,786 pˆ p 1 1 n ,048 pˆ m n 1 m n ,

84 Obliczoną wartość statystyki u porównujemy z wartością krytyczną u 0,05. u = -1,048; u 0,05 = 1,96 Obliczona wartość statystyki u jest mniejsza niż wartość krytyczna nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Uznajemy zatem, że stopnień odczuwania jest taki sam u obojga płci

85 P P m n 68 1, u α m n 1 n m n p p 0,786-0,043 < p < 0,786+0,043 0,743 < p < 0,89 m n u α 68 1, m n 1 n m n 1 α ,

86 Jeżeli z populacji, w której zmienna losowa posiada rozkład z wartością oczekiwaną i wariancją, pobierzemy próbę odpowiednio liczną składającą się z n elementów, to średnia arytmetyczna obserwacji ma w przybliżeniu rozkład normalny z parametrami i. n Wynika z tego, że zmienna losowa posiada rozkład normalny standaryzowany. x μ σ n

87 Mała próba n < 30 Duża n 30 Dla małych prób statystyka t ma rozkład t-studenta. W przypadku dużych prób przechodzi w rozkład normalny zmienna u posiadać będzie rozkład normalny