hipotez statystycznych

Transkrypt

1 Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi. W jaki sposób ma to zrobić? Krok 1. Zakładamy, że partia ma wadliwość 2%. Krok 2. Pobierana jest próba elementów z partii towaru (np. 100 elementów). k P {X = k} P {X k} W Z W SEI Statystyka 64

2 Krok 3 (wnioskowanie). Zaobserwowano k = 7 wadliwych: 1. Przypuszczenie jest słuszne i próba pechowa lub 2. Próba jest dobra, a przypuszczenie złe. Uznać twierdzenie producenta za nieprawdziwe! Zaobserwowano co najmniej siedem wadliwych Wnioski jak wyżej Ostatecznie: Po zaobserwowaniu więcej niż sześciu wadliwych elementów raczej uznać twierdzenie producenta za nieprawdziwe. W przeciwnym przypadku można uznać twierdzenie producenta za uzasadnione. W Z W SEI Statystyka 65

3 Hipotezą statystyczną nazywamy dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa cechy w populacji. Oznaczenie H 0 Testem hipotezy statystycznej nazywamy postępowanie mające na celu odrzucenie lub nie odrzucenie hipotezy statystycznej. Statystyką testową nazywamy funkcję próby na podstawie której wnioskuje się o odrzuceniu lub nie hipotezy statystycznej. Rzeczywistość: Wniosek o hipotezie H 0 hipoteza H 0 nie odrzucać odrzucić prawdziwa prawidłowy nieprawidłowy nieprawdziwa nieprawidłowy prawidłowy W Z W SEI Statystyka 66

4 Błędem I rodzaju nazywamy błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa. Błędem II rodzaju nazywamy błąd wnioskowania polegający na nieodrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa. Poziomem istotności nazywamy dowolną liczbę z przedziału (0, 1) określającą prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju. Oznaczenie: α Mocą testu nazywamy prawdopodobieństwo odrzucenia testowanej hipotezy, gdy jest ona nieprawdziwa, czyli prawdopodobieństwo nie popełnienia błędu II rodzaju. Oznaczenie: 1 β W Z W SEI Statystyka 67

5 Rozkład normalny Porównanie z normą H 0 : µ = µ 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test Studenta (poziom istotności α) Próba: X 1,..., X n Statystyka testowa t emp = X µ 0 S Wartość krytyczna t(α; n 1) n. Jeżeli t emp > t(α; n 1), to hipotezę H 0 : µ = µ 0 odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 68

6 Przykład. Przypuszczenie: maszyna pakująca kostki masła nastawiona na jednostkową masę 250 g uległa po pewnym czasie rozregulowaniu. W celu weryfikacji tego przypuszczenia z bieżącej produkcji pobrano próbę otrzymując wyniki 254, 269, 254, 248, 263, 256, 258, 261, 264, 258. Czy można na tej podstawie sądzić, że maszyna uległa rozregulowaniu? Populacja: paczkowane kostki masła Cecha X: masa kostki masła Założenie: cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Formalizacja: Rozregulowanie maszyny może być interpretowane jako odejście od nominalnej wagi. Zatem należy zbadać, czy średnia µ wynosi 250, czyli weryfikujemy hipotezę H 0 : µ = 250 W Z W SEI Statystyka 69

7 Technika statystyczna: test Studenta (test t) poziom istotności α = 0.05 Obliczenia x = 258.5, s 2 = 36.05, t emp = 4.47 Wartość krytyczna: t(0.05; 9) = Odpowiedź: hipotezę odrzucamy Wniosek: maszyna uległa rozregulowaniu W Z W SEI Statystyka 70

8 Moc testu Moc testu = 1 P {błąd II rodzaju} Moc testu = P {odrzucenie nieprawdziwej H 0 } Moc testu Studenta hipotezy H 0 : µ = µ 0 M(µ) = P { t emp > t(α; n 1) X N(µ, σ 2 )} M(µ 0 ) = α n = 10 n = 20 n = 30 W Z W SEI Statystyka 71

9 Przedział ufności a test hipotezy H 0 : µ = µ 0 Cecha X N(µ, σ 2 ) H 0 : µ = µ 0 H 0 nie odrzucamy na poziomie istotności α µ 0 t emp < t(α; n 1) t(α; n 1) < X µ 0 S ( n < t(α; n 1) X t(α; n 1) S n, X + t(α; n 1) S n ) µ 0 należy do przedziału ufności na poziomie ufności 1 α W Z W SEI Statystyka 72

10 H 0 : µ µ 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test Studenta (poziom istotności α) Próba: X 1,..., X n Statystyka testowa t emp = X µ 0 S Wartość krytyczna t(2α; n 1) n. Jeżeli t emp > t(2α; n 1), to hipotezę H 0 : µ µ 0 odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 73

11 H 0 : σ 2 = σ 2 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test chi kwadrat (poziom istotności α) Próba: X 1,..., X n Statystyka testowa χ 2 emp = varx σ 2 0 Wartości krytyczne χ 2 ( 1 α 2 ; n 1) oraz χ 2 ( α 2 ; n 1) Jeżeli χ 2 emp < χ 2 ( 1 α 2 ; n 1) lub χ 2 emp > χ 2 ( α 2 ; n 1), to hipotezę H 0 : σ 2 = σ 2 0 odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 74

12 H 0 : σ 2 σ 2 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test chi kwadrat (poziom istotności α) Próba: X 1,..., X n Statystyka testowa χ 2 emp = varx σ 2 0 Wartość krytyczna χ 2 (α; n 1) Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; n 1), to hipotezę H 0 : σ 2 σ 2 0 odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 75

13 Przykład. Na podstawie obserwacji prowadzonych przez długi okres czasu stwierdzono, że dzienny udój uzyskiwany w pewnym stadzie krów jest wielkością losową, zaś przeciętny dzienny udój mleka wyraża sie liczbą z przedziału (900, 1200). Rachunek finansowy pokazał, że produkcja mleka jest opłacalna, jeżeli całkowity dzienny udój będzie wynosił nie mniej niż d = 700 l mleka przez co najmniej 280 dni w roku. W jaki sposób można zbadać, czy produkcja mleka jest opłacalna? Populacja: Cecha: całkowity dzienny udój Założenia: Cecha X ma rozkład N(µ, σ 2 ) µ d = 900 µ µ g = 1200 W Z W SEI Statystyka 76

14 Formalizacja problemu P {X d} p = P {X d} = 1 F ( ) d µ σ 1 F ( ) d µd σ 1 F ( ) d µd σ 1 p F ( ) d µd σ 1 p d µ d σ d, µ d oraz p są ustalone, więc F 1 (1 p) = u 1 p σ 2 σ 2 0 = ( ) 2 d µd = u 1 p Produkcja mleka jest opłacalna, jeżeli wariancja σ 2 dziennych udojów jest większa niż σ 2 0 = H 0 : σ W Z W SEI Statystyka 77

15 Rozkład dwupunktowy Porównanie z normą H 0 : p = p 0 Cecha X ma rozkład D(p) Próba: X 1,..., X n (X i = 0 lub = 1) Statystyka testowa Y = n i=1 X i Jeżeli Y k 1 lub Y k 2, to hipotezę H 0 : p = p 0 należy odrzucić. Liczby k 1 oraz k 2 dobrane są tak, że jeżeli Y jest zmienną losową o rozkładzie B(n, p 0 ), to P {Y k 1 lub Y k 2 } α W Z W SEI Statystyka 78

16 H 0 : p = p 0 Test przybliżony (poziom istotności α) Przypadek: n duże Statystyka testowa u emp = Y np 0 np0 (1 p 0 ) Wartość krytyczna u 1 α/2 Jeżeli u emp > u 1 α/2, to H 0 : p = p 0 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 79

17 H 0 : p p 0 Test przybliżony (poziom istotności α) Przypadek: n duże Statystyka testowa u emp = Y np 0 np0 (1 p 0 ) Wartość krytyczna u 1 α Jeżeli u emp > u 1 α, to H 0 : p p 0 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 80

18 Przykład. W swojej ofercie sprzedaży stawu rybnego jego właściciel podaje, iż w stawie żyje co najmniej tysiąc karpi. Potencjalny nabywca zainteresowany jest sprawdzeniem prawdziwości tego twierdzenia. W tym celu wyłowiono sto karpi i po zaobrączkowaniu ich wpuszczono je z powrotem do stawu. Po jakimś czasie ponownie odłowiono sto ryb i stwierdzono, że wśród nich jest piętnaście zaobrączkowanych. Czy w świetle uzyskanych wyników można reklamę uznać za prawdziwą? Populacja: ryby w stawie Cecha: zaobrączkowanie ryby Założenia: Cecha X ma rozkład D(p) W Z W SEI Statystyka 81

19 Formalizacja problemu Jeżeli w stawie żyje co najmniej N ryb, to odsetek zaobrączkowanych jest co najwyżej 100/N. Zgodnie z twierdzeniem właściciela, N 1000, czyli odsetek ryb zaobrączkowanych nie przekracza 0.1. Technika statystyczna Przybliżony test hipotezy H 0 : p 0.1 Poziom istotności: α = 0.05 Obliczenia u emp = Y = 15 n = 100 Y np 0 np0 (1 p 0 ) = = Wartość krytyczna: u = Odpowiedź: hipotezę odrzucamy Wniosek: należy uznać, że ogólna liczb ryb w stawie jest mniejsza niż podana w ofercie W Z W SEI Statystyka 82

20 Porównanie dwóch rozkładów normalnych Założenia: 1. X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2) 2. X 1, X 2 są niezależne Czy µ 1 = µ 2? Czy σ 2 1 = σ 2 2? Próby: X 11,..., X 1n1 ; X 21,..., X 2n2 X 1, varx 1, s 2 1 = varx 1 n 1 1 X 2, varx 2, s 2 2 = varx 2 n 2 1 W Z W SEI Statystyka 83

21 H 0 : µ 1 = µ 2 Założenie σ 2 1 = σ 2 2 Test Studenta (poziom istotności α) Statystyka testowa t emp = X 1 X 2 S r S r = S 2 e ( 1 n n 2 ), S 2 e = varx 1 + varx 2 n 1 + n 2 2 Wartość krytyczna t(α; n 1 + n 2 2) Jeżeli t emp > t(α; n 1 + n 2 2), to hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 84

22 H 0 : µ 1 = µ 2 Bez założenia σ 2 1 = σ 2 2 Test V Behrensa Fishera (poziom istotności α) Statystyka testowa V = X 1 X 2 S r S r = S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 Wartość krytyczna V (α; n 1 1, n 2 1, c) (n 1 n 2 ) c = S 2 1/n 1 S 2 1 /n 1 + S 2 2 /n 2 Jeżeli V > V (α; n 1 1, n 2 1, c), to hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 85

23 Przykład. Porównać przeciętne osiągnięcia punktowe pań i panów na klasówce ze statystyki Panowie: n 1 = 138, x1i = , varx 1 = Panie: n 2 = 162, x2i = , varx 2 = Populacja 1: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Populacja 2: Słuchaczki podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce Założenia: cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ 1, σ 2 1) cecha X ma w populacji 2 rozkład N(µ 2, σ 2 2) σ 2 1 = σ 2 2 Zadanie: zweryfikować hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 Technika statystyczna: test t poziom istotności 0.05 W Z W SEI Statystyka 86

24 Obliczenia s 2 r = x 1 = x 2 = = ( ) 162 t emp = = Wartość krytyczna t(0.05; 298) 1.96 Odpowiedź: hipotezy nie odrzucamy Wniosek. Średnie ilości punktów uzyskiwane przez panie i panów można traktować jako porównywalne. W Z W SEI Statystyka 87

25 Przedział ufności a test hipotezy H 0 : µ 1 = µ 2 Cecha X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2), σ 2 1 = σ 2 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 nie odrzucamy na poziomie istotności α t emp < t(α; n 1 + n 2 2) t(α; n 1 + n 2 2) < X 1 X 2 S r < t(α; n 1 + n 2 2) 0 ( X1 X 2 ± t(α; n 1 + n 2 2)S r ) 0 należy do przedziału ufności na poziomie ufności 1 α W Z W SEI Statystyka 88

26 Przykład. Porównać wartości średnie dwóch cech X 1 oraz X 2 o rozkładach normalnych. H 0 : µ 1 = µ 2 Test V Behrensa Fishera (α = 0.05) Próby: n 1 = 20 x 1 = s 2 1 = n 2 = 20 x 2 = s 2 2 = V = = = 4.19 c = 15.41/ / /20 = = 0.15 Wartość krytyczna V (0.05; 19, 19, 0.15) = 2.06 Ponieważ V > V (0.05; 19, 19, 0.15), więc hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 89

27 H 0 : µ 1 µ 2 Założenie σ 2 1 = σ 2 2 Test Studenta (poziom istotności α) Statystyka testowa t emp = X 1 X 2 S r Wartość krytyczna t(2α; n 1 + n 2 2) Jeżeli t emp > t(2α; n 1 + n 2 2), to hipotezę H 0 : µ 1 µ 2 odrzucamy Bez założenia σ 2 1 = σ 2 2 Test V Behrensa Fishera (poziom istotności α) Statystyka testowa V = X 1 X 2 S r Wartość krytyczna V (2α; n 1 1, n 2 1, c) (n 1 n 2 ) Jeżeli V > V (2α; n 1 1, n 2 1, c), to hipotezę H 0 : µ 1 µ 2 odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 90

28 H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 1 S 2 2 Wartości ( krytyczne F 1 α ) 2 ; n 1 1, n 2 1 ( α F 2 ; n 1 1, n 2 1) Jeżeli F emp < F lub F emp > F ( 1 α ) 2 ; n 1 1, n 2 1 ( α 2 ; n 1 1, n 2 1) to hipotezę H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 91

29 Uwaga F (1 α; u, v) = 1 F (α; v, u) Reguła: większa wariancja do licznika. Jeżeli S 2 1 > S 2 2, to wyznaczana jest statystyka F emp = S2 1 S 2 2 i hipoteza jest odrzucana, gdy F emp > F ( α 2 ; n 1 1, n 2 1) Jeżeli zaś S 2 1 < S 2 2, to wyznaczana jest statystyka F emp = S2 2 S 2 1 i hipoteza jest odrzucana, gdy F emp > F ( α 2 ; n 2 1, n 1 1) W Z W SEI Statystyka 92

30 Przykład. Dla sprawdzenia stabilności pracy maszyny pobrano dwie próbki: pierwszą w początkowym okresie eksploatacji oraz drugą po miesięcznym okresie pracy tej maszyny. Wykonano pomiary wylosowanych produktów i otrzymano wyniki: n 1 = 25, x 1 = 3.24, s 2 1 = oraz n 2 = 19, x 2 = 3.19, s 2 2 = Zbadać na tej podstawie czy maszyna nie rozregulowała się w trakcie pracy. Populacja 1 produkcja maszyny w początkowym okresie Populacja 2 produkcja maszyny po miesiącu eksploatacji Cecha X pomiar produktu Założenia cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ 1, σ 2 1) cecha X ma w populacji 2 rozkład N(µ 2, σ 2 2) W Z W SEI Statystyka 93

31 Formalizacja Stabilność pracy maszyny może być mierzona podobieństwem wytwarzanych produktów: im własności produktów są do siebie bardziej zbliżone, tym bardziej stabilna jest praca maszyny. Podobieństwo takie jest wyrażane wariancją cechy. Zatem stabilność pracy można wyrazić liczbowo jako wariancję interesującej cechy produktu, a problem stabilności jako zagadnienie weryfikacji hipotezy H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 Technika statystyczna Test F (poziom istotności α = 0.10) Obliczenia F emp = s2 2 s 2 1 = Wartość krytyczna F (0.05; 19, 24) = Odpowiedź: hipotezy nie odrzucamy Wniosek: można uznać że maszyna nie rozregulowała się w trakcie pracy W Z W SEI Statystyka 94

32 H 0 : σ 2 1 σ 2 2 Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 1 S 2 2 Wartość krytyczna F (α; n 1 1, n 2 1) Jeżeli F emp > F (α; n 1 1, n 2 1) to hipotezę H 0 : σ 2 1 σ 2 2 odrzucamy Uwaga W tym przypadku zasada większa wariancja do licznika nie ma sensu. W Z W SEI Statystyka 95

33 Porównanie dwóch rozkładów dwupunktowych Założenia: 1. X 1 D(p 1 ), X 2 D(p 2 ) 2. X 1, X 2 są niezależne H 0 : p 1 = p 2 Test przybliżony (poziom istotności α) ˆp 1 = k 1 n 1, ˆp 2 = k 2 n 2, ˆp = (k 1 + k 2 ) (n 1 + n 2 ) Statystyka testowa u emp = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ) u emp u 1 α/2 = H 0 : p 1 = p 2 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 96

34 Przykład. Celem badania było porównanie przygotowania z matematyki kandydatów na studia będących absolwentami liceów oraz techników. W tym celu spośród kandydatów zdających matematykę wylosowano 400 absolwentów liceów oraz 600 absolwentów techników. W wylosowanej grupie stwierdzono, że 385 absolwentów liceów oraz 501 absolwentów techników rozwiązało test wstępny. Czy można na tej podstawie sądzić, że przygotowanie w obu grupach absolwentów jest jednakowe? Populacja 1: absolwenci liceów zdający egzamin wstępny Populacja 2: absolwenci techników zdający egzamin wstępny Cecha X: umiejętność rozwiązania testu (tak/nie) Założenia: cecha X ma w populacji 1 rozkład D(p 1 ) cecha X ma w populacji 2 rozkład D(p 2 ) Formalizacja Weryfikacja hipotezy H 0 : p 1 = p 2 W Z W SEI Statystyka 97

35 Technika statystyczna Test przybliżony (poziom istotności α = 0.05) Obliczenia n 1 = 400 k 1 = 385 ˆp 1 = 385/400 = n 2 = 600 k 2 = 501 ˆp 2 = 501/600 = u emp = ˆp = ( )/( ) = ( ) ( ) = Wartość krytyczna u = 1.96 Odpowiedź: hipotezę H 0 : p 1 = p 2 odrzucamy Wniosek: przygotowanie absolwentów liceów i techników z matematyki nie jest takie same. W Z W SEI Statystyka 98

36 H 0 : p 1 p 2 Test przybliżony (poziom istotności α) ˆp 1 = k 1 n 1, ˆp 2 = k 2 n 2, ˆp = (k 1 + k 2 ) (n 1 + n 2 ) Statystyka testowa u emp = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ) u emp u 1 α = H 0 : p 1 p 2 odrzucamy W Z W SEI Statystyka 99

37 Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia: 1. X i N(µ i, σi 2 ), i = 1,..., k 2. X 1,..., X k są niezależne Czy µ 1 = = µ k? Czy σ 2 1 = = σ 2 k? Próby: X i1,..., X ini, i = 1,..., k X i, varx i, s 2 i = varx i n i 1 ; i = 1,..., k W Z W SEI Statystyka 100

38 H 0 : µ 1 = = µ k Założenie σ 2 1 = = σ 2 k Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 a S 2 e S 2 a = 1 k 1 k n i ( X i X) 2 i=1 S 2 e = 1 N k k n i (X ij X i ) 2 i=1 j=1 X i = 1 n i n i X ij, X = 1 N k n i X ij j=1 i=1 j=1 N = k n i i=1 W Z W SEI Statystyka 101

39 Jeżeli F emp > F (α; k 1, N k), to hipotezę H 0 : µ 1 = = µ k odrzucamy. Wniosek praktyczny: przynajmniej jedna ze średnich µ 1,..., µ k jest inna od pozostałych Model analizy wariancji X ij = µ i + ε ij Błąd losowy ε ij N(0, σ 2 ) Przykłady Plenność kilku odmian pewnej rośliny uprawnej Wydajność pracowników kilku zakładów pracy Zarobki kilku grup społecznych Czynnik: odmiana, zakład, grupa Poziomy czynnika: badane odmiany, badane zakłady, badane grupy W Z W SEI Statystyka 102

40 Model analizy wariancji X ij = µ + a i + ε ij a i efekt i tego poziomu czynnika: k i=1 a i = 0 H 0 : a 1 = = a k = 0, H 0 : Tabela analizy wariancji k a 2 i = 0 i=1 Źródło Stopnie Sumy Średnie F emp zmienności swobody kwadratów kwadraty Czynnik k 1 vara S 2 a = vara k 1 Błąd losowy N k vare S 2 e = vare N k Ogółem N 1 vart S2 a/s 2 e vara = k n i ( X i X) 2, vare = i=1 k n i (X ij X i ) 2, i=1 j=1 k n i vart = (X ij X) 2, i=1 j=1 vara + vare = vart W Z W SEI Statystyka 103

41 Grupy jednorodne podzbiory średnich, które można uznać za takie same Procedury porównań wielokrotnych postępowanie statystyczne zmierzające do podzielenia zbioru średnich na grupy jednorodne Procedury: Tukeya, Scheffégo, Bonfferroniego, Duncana, Newmana Kuelsa i inne. Ogólna idea procedur porównań wielokrotnych (n 1 = = n k ) N IR najmniejsza istotna różnica Jeżeli X i X j < NIR, to uznajemy, że µ i = µ j. Jeżeli X i X j < NIR X i X l < NIR X l X j < NIR, to uznajemy, że µ i = µ j = µ l. Badając w ten sposób wszystkie pary średnich próbkowych otrzymujemy podział zbioru średnich na grupy jednorodne. W Z W SEI Statystyka 104

42 Procedura Tukeya Założenie: n 1 = = n k = n NIR = t(α; k, N k)s e 1 n t(α; k, N k) wartość krytyczna studentyzowanego rozstępu Przypadek nierównolicznych prób Jedna z modyfikacji procedury Tukeya NIR ij = t(α; k, N k)s e 1 2 ( 1 n i + 1 n j ) W Z W SEI Statystyka 105

43 Przykład. Przeprowadzić analizę porównawczą wyników punktowych klasówki w grupach studenckich. Populacje Możemy wyodrębnić dziesięć populacji indeksowanych numerami grup studenckich Cecha X Ilość punktów uzyskanych na klasówce Założenia cecha X ma w i tej populacji rozkład N(µ i, σ 2 i ) (i = 1,..., 10) σ 2 1 = = σ 2 10 Formalizacja weryfikacja hpotezy H 0 : µ 1 = = µ 10 Techniki statystyczna Jednoczynnikowa analiza wariancji Porównania szczegółowe Poziom istotności 0.05 W Z W SEI Statystyka 106

44 Obliczenia i n i xi x 2 i i n i x i n i ( x i x) 2 varx i N =300 x= vara= vare= vart = /300 = W Z W SEI Statystyka 107

45 Tabela analizy wariancji Źródło Stopnie Sumy Średnie Femp zmienności swobody kwadratów kwadraty Grupa Błąd losowy Ogółem Wartość krytyczna F (0.05; 9, 290) = Odpowiedź: hipotezę H 0 : µ 1 = = µ 10 odrzucamy Wniosek: przynajmniej jedna grupa uzyskała inną średnią liczbę punktów niż pozostałe W Z W SEI Statystyka 108

46 Wyznaczenie grup jednorodnych Procedura Tukeya (α = 0.05) Wartość krytyczna: t(0.05; 10, 290) = NIR = = i x i W Z W SEI Statystyka 109

47 W Z W SEI Statystyka 110

48 Porównanie wariancji Cecha X i ma rozkład normalny N(µ i, σi 2) Średnie µ i oraz wariancje σi 2 są nieznane H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k Test Bartletta (poziom istotności α) Statystyka testowa M = (N k) ln ( 1 N k k k (n i 1)Si 2 i=1 ) i=1 (n i 1) ln S 2 i S 2 i = 1 n i 1 n i j=1 (X ij X i ) 2 Jeżeli M > m(α), to H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k odrzucamy. W Z W SEI Statystyka 111

49 m(α) = 1 c 1 c [(c 1 c 3 )m 1 (α; k, c 1 ) + (c 3 c)m 2 (α; k, c 1 )] c 1 = k i=1 1 n i 1 1 N k c 3 = k i=1 1 (n i 1) 1 3 (N k), 3 c = c 3 1/k 2, m 1 (α; k, c 1 ), m 2 (α; k, c 1 ) są stablicowane Jeżeli wszystkie n i > 4, to statystyka testowa M 1 + c 1 /(3(k 1)) ma w przybliżeniu rozkład chi kwadrat z k 1 stopniami swobody. Jeżeli c 1 = 0, to m 1 (α; k, c 1 ) = m 2 (α; k, c 1 ) = χ 2 (α; k 1) W Z W SEI Statystyka 112

50 Przypadek n 1 = = n k = n Test Cochrana (poziom istotności α) Statystyka testowa G = S 2 max S S2 k S 2 max = max{s 2 1,..., S 2 k} Jeżeli G > g(α; k, n), to H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k odrzucamy Wartości krytyczne g(α; k, n) są podane w tablicach W Z W SEI Statystyka 113

51 Przypadek n 1 = = n k = n Test Hartleya (poziom istotności α) Statystyka testowa F max = S2 max S 2 min S 2 min = min{s 2 1,..., S 2 k} Jeżeli F max > f max (α; k, n), to H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k odrzucamy Wartości krytyczne f max (α; k, n) są podane w tablicach W Z W SEI Statystyka 114

52 Przykład. W celu porównania zróżnicowania cen targowiskowych na jaja w czterech województwach w Polsce z każdego województwa wylosowano pewne ilości targowisk i zanotowano przeciętne ceny jaj na tych targowiskach. Po odpowiednich przeliczeniach uzyskano nastepujące wyniki Województwo Liczba targowisk n i Wariancja s 2 i Czy można na tej podstawie uznać, że zróżnicowanie cen w badanych województwach jest takie same? Populacje Są cztery populacje: targowiska w badanych województwach Cecha X przeciętna cena jaj na targowisku Założenie cecha w i tej populacji ma rozkład N(µ i, σ 2 i ) (i = 1, 2, 3, 4) W Z W SEI Statystyka 115

53 Formalizacja Miernikiem zróżnicowania cechy jest jej wariancja. Zatem problem analizy porównawczej zróżnicowania cen można zapisać jako zagadnienie weryfikacji hipotezy H 0 : σ 2 1 = = σ 2 4 Technika statystyczna Test Bartletta (poziom istoności α = 0.05) Obliczenia n i (n i 1)s 2 i (n i 1)lns 2 i 1/(n i 1) 1/(n i 1) Razem M = (26 4) ln ( ) = c 1 = c 3 = (26 4) = (26 4) 3 = c = = W Z W SEI Statystyka 116

54 Wartość krytyczna m(0.05) = m 1 (0.05; 4, ) = m 2 (0.05; 4, ) = ( ) ( ) = Odpowiedź: nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy Wniosek: zróżnicowanie cen targowiskowych w badanych województwach można uznać za takie same. W Z W SEI Statystyka 117