Systemy ekspertowe : predykaty

Podobne dokumenty
Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań I i II rzędu

Rachunek zdań I rzędu Aksjomaty rachunku zdań, tautologie Schematy rachunku zdań Dowodzenie poprawności Metoda zerojedynkowa Skrócona metoda

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Rachunek zdań I i II rzędu

LOGIKA Dedukcja Naturalna

Konsekwencja logiczna

Rachunek zdań i predykatów

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1

Dowody założeniowe w KRZ

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Rachunek zdań i predykatów

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

Matematyka ETId Elementy logiki

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Dalszy ciąg rachunku zdań

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

III rok kognitywistyki UAM,

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

4 Klasyczny rachunek zdań

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Rachunek zdao i logika matematyczna

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Logika Radosna 2. Jerzy Pogonowski. KRZ: dowody założeniowe. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

Elementy logiki matematycznej

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Drzewa Semantyczne w KRZ

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Język KRP zadania z rozwiązaniami

Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Zasady krytycznego myślenia (1)

Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

Elementy logiki matematycznej

16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

Lista 1 (elementy logiki)

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

1. Klasyczny Rachunek Zdań

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki matematycznej

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

1 Podstawowe oznaczenia

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki


Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 7. zdanie wynikanie wynikanie logiczne

Drobinka semantyki KRP

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Semantyka rachunku predykatów

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Logika Matematyczna (2,3)

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Matematyka dla biologów skrót wykładu 1.

Transkrypt:

Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 16 kwietnia 2012

Skrócona zero-jedynkowa Schematy wnioskowania metoda założeniowa

Metoda zero-jedynkowa p (q p) (p q) p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q) [( p r) (p r)] {(p q) [(r s) ( q s)]} ( p r)

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) (p q)] (q p)] [(p q) r] [(q r) ( p q)]

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

Metoda założeniowa - opiera się na pewnych regułach zwanych schematami pierwotnymi: Reguła Odrywania (RO) : (a b) a b Reguła dołączania koniunkcji (DK) : (a) (b) (a b) Reguła opuszczania koniunkcji (OK) : (a b) a Reguła opuszczania koniunkcji II(OK) : (a b) b Reguła dołączania alternatywy (DA) : p (p q) Reguła dołączania alternatywy II (DA) : q (p q) Reguła opuszczania alternatywy (OA) : ((p q) p) q Reguła opuszczania alternatywy (OA) : ((p q) q) p Reguła dołączania równoważności (DE) : ((p q) (q p)) (p q) Reguła opuszczania równoważności (OE) : (p q) (p q) Reguła opuszczania równoważności II (OE) : (p q) (q p)

Przykład: ((p q) (q r)) (p r) 1 założenie pierwsze : (p q) 2 założenie drugie : (q r) 3 poprzednik tezy : p Jak otrzymać następnik tezy, czyli r? 4 RO dla 1 i 3 daje q 5 RO dla 2 i 4 daje r Otrzymaliśmy r - koniec dowodu.

Przykład 2: (dowodzenie nie wprost) ((p q) q) p 1 założenie: (p q) 2 założenie: q 3 założenie dowodu nie wprost p 4 RO dla 1 i 3 q - co jest sprzeczne z 2. Twierdzenie prawdziwe, ponieważ otrzymaliśmy sprzeczność.

Sylogizm warunkowy: Jeśli przez kilka dni będzie silny mróz, to będzie gruby lód na stawie. Jeśli będzie gruby lód na stawie, to dzieci będą jeździć na łyżwach na stawie. jeśli przez kilka dni będzie silny mróz, to dzieci będa jeździć na łyżwach na stawie. Oznaczmy: silny mróz przez kilka dni : p gruby lód na stawie : q dzieci jeżdżą na łyżwach na stawie r Czyli mamy: p q q r p r

Reguła modus tollens: 1 p q q - p

Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p

Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p 3 p q q - p

Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p 3 p q q - p 4 p q q - p

Wnioskowanie według trzeciego schematu modus tollens: Jeśli Jan i Piotr są równieśnikami, to Jan nie jest starszy od Piotra Jan jest starszy od Piotra Jan i Piotr nie są rówieśnikami

Przykład 3: p q r s - (p r) (q s) Wypiszmy założenia: 1 zqałożenie : p q 2 założenie : r s 3 założenie : (p r) 4 Opuszczenie koniunkcji 3 p 5 Opuszczenie koniunkcji 3 r 6 Reguła odrywania : 1 i 4 q 7 Reguła odrywania : 2 i 5 s 8 Dołączanie koniunkcji 6 i 7 q s

Przykład wnioskowania według schematu: Jeśli jest zimno, to trzeba ubrać płaszcz Jeśli pada deszcz, to trzeba zabrać parasol jeśli jest zimno i pada deszcz to trzeba ubrać płaszcz i zabrać parasol.

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa:

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q 7 Opuszczanie alternatywy 3 i 5 : q

Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q 7 Opuszczanie alternatywy 3 i 5 : q 8 sprzeczność 6 i 7. Sprzeczność, czyli udowodniliśmy schemat.

Przykład wnioskowania dla powyższego schematu: Jeśli pacjent ma zapalenie oskrzeli, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Jeśli pacjent ma zapalenie płuc, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. pacjent ma zapalenie płuc lub pacjent ma zapalenie oskrzeli. Zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę.

Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p

Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p

Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p 3 Dołączenie alternatywy 1 : p q

Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p 3 Dołączenie alternatywy 1 : p q 4 opuszczenie alternatywy 3 i 2 : q

Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q

Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r)

Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p

Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q

Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q 5 Opuszczanie koniunkcji 2 : r

Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q 5 Opuszczanie koniunkcji 2 : r 6 Dołaczanie koniunkcji 4 i 5 :q r

Metoda założeniowa: p q r p (q r)

Metoda założeniowa: p q r p (q r) 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 Reguła odrywania : 1 i 3 : q

Metoda założeniowa: p q r p (q r) 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 Reguła odrywania : 1 i 3 : q 5 Dołaczanie koniunkcji 2 i 4 : q r

Metoda założeniowa [(p q) (q r) r] p [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] [(p q) r] [p (q r)] [(p r) (q r) (p q)] r

Przykłady: Zapisz schemat za pomocą zmiennych logicznych. Określ wszystkie zmienne występujące w schemacie. Uzupelnij brakujące części schematu. Oceń, czy uzupełniony schemat jest prawdziwy. Następnie udowodnij metodą założeniową.... Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać

Przykłady: Zapisz schemat za pomocą zmiennych logicznych. Określ wszystkie zmienne występujące w schemacie. Uzupelnij brakujące części schematu. Oceń, czy uzupełniony schemat jest prawdziwy. Następnie udowodnij metodą założeniową.... Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać Jeżeli lubię gdy jest ciepło, to lubię lato Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać

Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa:

Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p

Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 RO 1 i 3 : q

Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 RO 1 i 3 : q 5 DK 2 i 4 : q r

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać...

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać... Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać Jeśli lubię, gdy jes ciepło, to lubię się opalać

p q q r p r Metoda założeniowa:

p q q r p r Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : q r 3 założene : p

p q q r p r Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : q r 3 założene : p 4 RO 1 i 3 q 5 RO 2 i 4 r

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa:

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q 3 zał. nie wprost q

Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q 3 zał. nie wprost q 4 RO 1 i 3 q sprzeczność z 2.

Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony...

Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony... Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony Polecę samolotem

Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie -...

Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie -... Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie - Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni

Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa:

Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r q 3 założenie : p r

Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r q 3 założenie : p r 4 OK 3 : r 5 RO : 2 i 4 q

Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje -...

Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje -... Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje - Jeżeli są zaspy i temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to autobus nie poojedzie i śnieg nie stopnieje

p q r s (p r) (q s) Metoda założeniowa:

p q r s (p r) (q s) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r s 3 założenie : p r 4 OK 3 : p 5 OK 3 : r 6 RO 1 i 4 : q 7 RO 2 i 5 : s 8 DK 6 i 7: q s

Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia...

Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia... Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia Czytam książkę

Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia... Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia Czytam książkę p p q Metoda założeniowa: 1 założenie : p 2 założenie p 3 Dołączanie alternatywy 1 : p q 4 Opuszczanie alternatywy 3 i 2: q

Przydatne prawa: 1 Prawo negowania koniunkcji : (p q) ( p q) 2 Prawo negowania implikacji : (p q) (p q) 3 Prawo łączności koniunkcji i alternatywy : [(p q) r] [p (q r)] 4 Prawo negowania członów równoważności : (p q) ( p q) 5 Prawo komutacji : [p (q r)] [q (p r)] 6 Prawo eksportacji i importacji [(p q) r] [p (q r)] 7 Dylemat konstrukcyjny złożony: p q r s q s p r 8 Prawo zastępowania implikacji: (p q) (p q) (p q) ( p q)

Rachunek predykatów II rzędu (tylko informatyka): Kwantyfikatorem ogólnym nazywamy wyrażenia dla każdego. Wyrażenie z kwantyfikatorem: kwantyfikatora zmiennej wyrażenie zdaniowego Zmienna, do której odnosi sią kwantyfikator, nazywamy zmienną wiązaną. Reguły zamiany: x P(x) x P(x)

Przykład: Jakiś przedmiot jest zielony. Istnieje przedmiot, który jest zielony dwie zmienne: przedmiot, kolor zielony wypisujemy predykaty jednoargumentowe(dla każdej zmiennej) podajemy predykaty dwuargumentowe

Przykład: Jakiś przedmiot jest zielony. Istnieje przedmiot, który jest zielony dwie zmienne: przedmiot, kolor zielony wypisujemy predykaty jednoargumentowe(dla każdej zmiennej) podajemy predykaty dwuargumentowe x [P(x) Q(x)]

Przykłady: Jakiś Polak jest bogaty. Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca. Jakiś Polak jest przystojny i bogaty.

Złożone przykłady: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas Wypisujemy zmienne nazwowe: 1 x - Kubuś 2 y - Antykubuś 3 z - czas teraz zmienne predykatowe (predykaty jednoargumentowe) 1 K(x) - x jest Kubusiem 2 A(y) - y jest Antykubusiem 3 C(z) - z jest czasem predykaty dwuargumentowe, łączące zmienne: 1 W(x,y) - x widział y 2 G(y,z) - y gonił z

Przykład cd. Kubuś jest jeden, czyli istnieje; Antykubuś jest jeden - istnieje; czas jest jeden - istnieje; Teraz możemy zapisać całe zdanie po kolei: istnieje x, taki, że x jest Kubusiem: x K(x) istnieje x, że x jest Kubusiem i istnieje y, że y jest Antykubusiem x K(x) y A(y) istnieje x...istnieje y...x widział y, czyli x K(x) y A(y) W (x, y) dodajemy jeszcze: istnieje czas, czyli x K(x) y A(y) W (x, y) z C(z) i połączenie między czasem z a y: x K(x) y A(y) W (x, y) z C(z) G(y, z) wszystko z nawiasami: x {K(x) y [A(y) W (x, y) z (C(z) G(y, z))]}

Przykład 2: Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez człowieka zmienne: 1 x - mis; 2 y - miodek; 3 z - człowiek; zmienne predykatowe: 1 M(x) - x jest misiem 2 U(y) - y jest miodkiem 3 C(z) - z jest człowiekiem zmienne predykatowe drugiego rzędu: 1 Z(x,y) - x zjada y 2 W(y,z) - z wyprodukowal y

dla każdego misia: x M(x) nie istnieje miodek: y U(y) do tego x zjada y ; x M(x) y U(y) Z(x, y) do tego istnieje człowiek: x M(x) y U(y) Z(x, y) z C(z); no i z wyprodukował y: x M(x) y U(y) Z(x, y) z C(z) W (y, z) nawiasy: x {M(x) y [U(y) Z(x, y) z (C(z) W (y, z))]}

Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami

Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem

Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami

Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami x (C(x) A(x)) Żaden człowiek nie jest aniołem

Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami x (C(x) A(x)) Żaden człowiek nie jest aniołem x (C(x) A(x))

Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu

Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu 1 x - mędrzec 2 y - film 3 M(x) - x jest mędrcem 4 F(y) - y jest filmem 5 O(x,y) - x obejrzał y

Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu 1 x - mędrzec 2 y - film 3 M(x) - x jest mędrcem 4 F(y) - y jest filmem 5 O(x,y) - x obejrzał y 6 x[m(x) y (F (y) O(x, y))]

Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada

Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x

Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x 5 x[c(x) y (C(y) S(y, x))] Wszyscy ludzie są sąsiadami wszystkich.

Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x 5 x[c(x) y (C(y) S(y, x))] Wszyscy ludzie są sąsiadami wszystkich. 1 x[c(x) y (C(y) S(y, x))]

Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają.

Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają. 1 x - Naukowiec 2 y - pogląd 3 z - Naukowiec 4 M(x,y) - x ma y 5 Z(z,y) - z zgadza się z y

Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają. 1 x - Naukowiec 2 y - pogląd 3 z - Naukowiec 4 M(x,y) - x ma y 5 Z(z,y) - z zgadza się z y x {N(x) y [P(y) M(x, y) z (N(z) Z(z, y))]}

Zadania egzaminacyjne: Każdy pies jest ssakiem Każdy kot jest ssakiem żaden pies nie jest kotem Zakładamy: x - zwierzę P(x) - zwierzę jest psem S(x) - zwierzę jest ssakiem K(x) - zwierzę jest kotem to teraz możemy zapisać: x (P(x) S(x)) x (K(x) S(x)) x (P(x) K(x))

Usunięcie kwantyfikatorów jest możliwe tylko wtedy, gdy są one jednolite!!! P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Sprawdamy schemat metodą zero-jedynkową, lub skróconą zero-jedynkową.

Usunięcie kwantyfikatorów jest możliwe tylko wtedy, gdy są one jednolite!!! P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Sprawdamy schemat metodą zero-jedynkową, lub skróconą zero-jedynkową. Schemat jest zawodny. Koniec zadania.

Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy:

Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy: x zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to teraz możemy zapisać:

Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy: x zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to teraz możemy zapisać: x (R(x) S(x)) x (W (x) R(x)) x (W (x) S(x))

Bez kwantyfikatorów:

Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne:

Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne: r s w r w s Sprawdzamy schemat metodą zerojedynkową, lub skróconą.

Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne: r s w r w s Sprawdzamy schemat metodą zerojedynkową, lub skróconą. Schemat ok, więc udowadniamy metodą założeniową.

Przekształcanie tekstu - prawo rozdzielności kwantyfikatorów: x (α(x) β(x)) ( x α(x) x β(x)) Przyjmujjąc: x - budynek. α(x) - budynek zbudowany z cegły. β(x) - budynek jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna. Jeżli każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od budynku zbudowanego z drewna (założenie) To każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od każdego domu zbudowanego z drewna (teza).

Szum informacyjny:...zdaniem pana Nowaka, znanego inżyniera i specjalisty w dziedzinie budowy i utrzymania domów trudno jest przeceniać znaczenie podstawowego budulca. Prawidłowo zaprojektowane i wykonane domy drewniane są znacznie bardziej energooszczędne niż domy, do budowy których użyto znacznie bardziej popularnej cegły. Jednak niezależnie od rodzaju stosowanych zabezpieczeń, jeżeli dla każdego domu prawdą jest, że budynek zbudowany z cegły jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna. Uogólniając, można stwierdzić, że każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy niż każdy dom zbudowany z drewna. W sumie trudno jest nie przyznać racji naszemu specjaliście. Patrząc wstecz, wygląda na to, że jako pierwszy docenił to król Kazimierz Wielki, który zastał Polskę drewnianą, a zostawił murowaną. Dzięki Niemu do dziś możemy podziwiać przepiękne zamczyska lub też ruiny tych, które nie miały szczęścia oprzeć się wielu najeźdźcom... Następny etap to wygładzanie tekstu : każdy zamieniamy na wszystkie każdy na jakikolwiek

x (α(x) β(x)) ( x α(x) x β(x)) Przyjmując: x - budynek. α(x) - budynek zbudowany z cegły. β(x) - budynek jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna.

Uwzględniając powyższe oznaczenia zapisujemy schemat w postaci słownej. Jeżli każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od budynku zbudowanego z drewna, to: Jeżli istnieje dom zbudowany z cegły to istnieje budynek trwalszy od domu zbudowanego z drewna.