Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 16 kwietnia 2012
Skrócona zero-jedynkowa Schematy wnioskowania metoda założeniowa
Metoda zero-jedynkowa p (q p) (p q) p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q) [( p r) (p r)] {(p q) [(r s) ( q s)]} ( p r)
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) ( q p) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) (p q)] (q p)] [(p q) r] [(q r) ( p q)]
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p)
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0
Skrócona metoda zero-jedynkowa Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablica: Skrócona zero-jedynkowa (p q) (q p) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0
Metoda założeniowa - opiera się na pewnych regułach zwanych schematami pierwotnymi: Reguła Odrywania (RO) : (a b) a b Reguła dołączania koniunkcji (DK) : (a) (b) (a b) Reguła opuszczania koniunkcji (OK) : (a b) a Reguła opuszczania koniunkcji II(OK) : (a b) b Reguła dołączania alternatywy (DA) : p (p q) Reguła dołączania alternatywy II (DA) : q (p q) Reguła opuszczania alternatywy (OA) : ((p q) p) q Reguła opuszczania alternatywy (OA) : ((p q) q) p Reguła dołączania równoważności (DE) : ((p q) (q p)) (p q) Reguła opuszczania równoważności (OE) : (p q) (p q) Reguła opuszczania równoważności II (OE) : (p q) (q p)
Przykład: ((p q) (q r)) (p r) 1 założenie pierwsze : (p q) 2 założenie drugie : (q r) 3 poprzednik tezy : p Jak otrzymać następnik tezy, czyli r? 4 RO dla 1 i 3 daje q 5 RO dla 2 i 4 daje r Otrzymaliśmy r - koniec dowodu.
Przykład 2: (dowodzenie nie wprost) ((p q) q) p 1 założenie: (p q) 2 założenie: q 3 założenie dowodu nie wprost p 4 RO dla 1 i 3 q - co jest sprzeczne z 2. Twierdzenie prawdziwe, ponieważ otrzymaliśmy sprzeczność.
Sylogizm warunkowy: Jeśli przez kilka dni będzie silny mróz, to będzie gruby lód na stawie. Jeśli będzie gruby lód na stawie, to dzieci będą jeździć na łyżwach na stawie. jeśli przez kilka dni będzie silny mróz, to dzieci będa jeździć na łyżwach na stawie. Oznaczmy: silny mróz przez kilka dni : p gruby lód na stawie : q dzieci jeżdżą na łyżwach na stawie r Czyli mamy: p q q r p r
Reguła modus tollens: 1 p q q - p
Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p
Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p 3 p q q - p
Reguła modus tollens: 1 p q q - p 2 p q q - p 3 p q q - p 4 p q q - p
Wnioskowanie według trzeciego schematu modus tollens: Jeśli Jan i Piotr są równieśnikami, to Jan nie jest starszy od Piotra Jan jest starszy od Piotra Jan i Piotr nie są rówieśnikami
Przykład 3: p q r s - (p r) (q s) Wypiszmy założenia: 1 zqałożenie : p q 2 założenie : r s 3 założenie : (p r) 4 Opuszczenie koniunkcji 3 p 5 Opuszczenie koniunkcji 3 r 6 Reguła odrywania : 1 i 4 q 7 Reguła odrywania : 2 i 5 s 8 Dołączanie koniunkcji 6 i 7 q s
Przykład wnioskowania według schematu: Jeśli jest zimno, to trzeba ubrać płaszcz Jeśli pada deszcz, to trzeba zabrać parasol jeśli jest zimno i pada deszcz to trzeba ubrać płaszcz i zabrać parasol.
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa:
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q 7 Opuszczanie alternatywy 3 i 5 : q
Dylemat konstrukcyjny prosty: p r q r p q r Metoda założeniowa: 1 założenie : p r 2 założenie :q r 3 założenie : p q 4 założenie nie wprost : r 5 modus tollens 1 i 4 : p 6 modus tollens 2 i 4 : q 7 Opuszczanie alternatywy 3 i 5 : q 8 sprzeczność 6 i 7. Sprzeczność, czyli udowodniliśmy schemat.
Przykład wnioskowania dla powyższego schematu: Jeśli pacjent ma zapalenie oskrzeli, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Jeśli pacjent ma zapalenie płuc, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. pacjent ma zapalenie płuc lub pacjent ma zapalenie oskrzeli. Zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę.
Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p
Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p
Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p 3 Dołączenie alternatywy 1 : p q
Prawo Dunsa Szkota: p p q Metoda założeniowa: 1 założenie p 2 założenie p 3 Dołączenie alternatywy 1 : p q 4 opuszczenie alternatywy 3 i 2 : q
Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q
Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r)
Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p
Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q
Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q 5 Opuszczanie koniunkcji 2 : r
Przykłady dla metody założeniowej: p q (p r) (q r) 1 założenie: p q 2 załozenie: (p r) 3 Opuszczanie koniunkcji 2 : p 4 reguła odrywania 1 i 3 : q 5 Opuszczanie koniunkcji 2 : r 6 Dołaczanie koniunkcji 4 i 5 :q r
Metoda założeniowa: p q r p (q r)
Metoda założeniowa: p q r p (q r) 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 Reguła odrywania : 1 i 3 : q
Metoda założeniowa: p q r p (q r) 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 Reguła odrywania : 1 i 3 : q 5 Dołaczanie koniunkcji 2 i 4 : q r
Metoda założeniowa [(p q) (q r) r] p [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] [(p q) r] [p (q r)] [(p r) (q r) (p q)] r
Przykłady: Zapisz schemat za pomocą zmiennych logicznych. Określ wszystkie zmienne występujące w schemacie. Uzupelnij brakujące części schematu. Oceń, czy uzupełniony schemat jest prawdziwy. Następnie udowodnij metodą założeniową.... Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać
Przykłady: Zapisz schemat za pomocą zmiennych logicznych. Określ wszystkie zmienne występujące w schemacie. Uzupelnij brakujące części schematu. Oceń, czy uzupełniony schemat jest prawdziwy. Następnie udowodnij metodą założeniową.... Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać Jeżeli lubię gdy jest ciepło, to lubię lato Lubię się opalać - Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać
Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa:
Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p
Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 RO 1 i 3 : q
Lubię, gdy jest ciepło : p Lubię lato : q Lubię się opalać : r Zapiszmy schemat: p q r p (q r) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r 3 założenie : p 4 RO 1 i 3 : q 5 DK 2 i 4 : q r
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać...
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać... Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeśli lubię lato, to lubię się opalać Jeśli lubię, gdy jes ciepło, to lubię się opalać
p q q r p r Metoda założeniowa:
p q q r p r Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : q r 3 założene : p
p q q r p r Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : q r 3 założene : p 4 RO 1 i 3 q 5 RO 2 i 4 r
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa:
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q 3 zał. nie wprost q
Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato... - Nie lubię, gdy jest ciepło Jeśli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Nie lubię lata - Nie lubię, gdy jest ciepło Metoda założeniowa: 1 p q 2 q 3 zał. nie wprost q 4 RO 1 i 3 q sprzeczność z 2.
Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony...
Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony... Jeśli nie polecę samolotem, to będę spóźniony Nie będę spóźniony Polecę samolotem
Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie -...
Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie -... Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni Są zaspy śnieżne i autobus nie pojedzie - Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni
Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa:
Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r q 3 założenie : p r
Oznaczmy: Są zaspy śnieżne : p Temperatura nie podnosi się powyżej 0 stopni q Autobus nie przejedzie : r p q r q p r q Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r q 3 założenie : p r 4 OK 3 : r 5 RO : 2 i 4 q
Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje -...
Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje -... Jeżeli są zaspy śnieżne, to autobus nie pojedzie Jeżeli temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to śnieg nie stopnieje - Jeżeli są zaspy i temperatura nie podniesie się powyżej 0 stopni, to autobus nie poojedzie i śnieg nie stopnieje
p q r s (p r) (q s) Metoda założeniowa:
p q r s (p r) (q s) Metoda założeniowa: 1 założenie : p q 2 założenie : r s 3 założenie : p r 4 OK 3 : p 5 OK 3 : r 6 RO 1 i 4 : q 7 RO 2 i 5 : s 8 DK 6 i 7: q s
Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia...
Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia... Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia Czytam książkę
Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia... Oglądam telewizje i słucham radia Nie oglądam telewizji i slucham radia Czytam książkę p p q Metoda założeniowa: 1 założenie : p 2 założenie p 3 Dołączanie alternatywy 1 : p q 4 Opuszczanie alternatywy 3 i 2: q
Przydatne prawa: 1 Prawo negowania koniunkcji : (p q) ( p q) 2 Prawo negowania implikacji : (p q) (p q) 3 Prawo łączności koniunkcji i alternatywy : [(p q) r] [p (q r)] 4 Prawo negowania członów równoważności : (p q) ( p q) 5 Prawo komutacji : [p (q r)] [q (p r)] 6 Prawo eksportacji i importacji [(p q) r] [p (q r)] 7 Dylemat konstrukcyjny złożony: p q r s q s p r 8 Prawo zastępowania implikacji: (p q) (p q) (p q) ( p q)
Rachunek predykatów II rzędu (tylko informatyka): Kwantyfikatorem ogólnym nazywamy wyrażenia dla każdego. Wyrażenie z kwantyfikatorem: kwantyfikatora zmiennej wyrażenie zdaniowego Zmienna, do której odnosi sią kwantyfikator, nazywamy zmienną wiązaną. Reguły zamiany: x P(x) x P(x)
Przykład: Jakiś przedmiot jest zielony. Istnieje przedmiot, który jest zielony dwie zmienne: przedmiot, kolor zielony wypisujemy predykaty jednoargumentowe(dla każdej zmiennej) podajemy predykaty dwuargumentowe
Przykład: Jakiś przedmiot jest zielony. Istnieje przedmiot, który jest zielony dwie zmienne: przedmiot, kolor zielony wypisujemy predykaty jednoargumentowe(dla każdej zmiennej) podajemy predykaty dwuargumentowe x [P(x) Q(x)]
Przykłady: Jakiś Polak jest bogaty. Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca. Jakiś Polak jest przystojny i bogaty.
Złożone przykłady: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas Wypisujemy zmienne nazwowe: 1 x - Kubuś 2 y - Antykubuś 3 z - czas teraz zmienne predykatowe (predykaty jednoargumentowe) 1 K(x) - x jest Kubusiem 2 A(y) - y jest Antykubusiem 3 C(z) - z jest czasem predykaty dwuargumentowe, łączące zmienne: 1 W(x,y) - x widział y 2 G(y,z) - y gonił z
Przykład cd. Kubuś jest jeden, czyli istnieje; Antykubuś jest jeden - istnieje; czas jest jeden - istnieje; Teraz możemy zapisać całe zdanie po kolei: istnieje x, taki, że x jest Kubusiem: x K(x) istnieje x, że x jest Kubusiem i istnieje y, że y jest Antykubusiem x K(x) y A(y) istnieje x...istnieje y...x widział y, czyli x K(x) y A(y) W (x, y) dodajemy jeszcze: istnieje czas, czyli x K(x) y A(y) W (x, y) z C(z) i połączenie między czasem z a y: x K(x) y A(y) W (x, y) z C(z) G(y, z) wszystko z nawiasami: x {K(x) y [A(y) W (x, y) z (C(z) G(y, z))]}
Przykład 2: Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez człowieka zmienne: 1 x - mis; 2 y - miodek; 3 z - człowiek; zmienne predykatowe: 1 M(x) - x jest misiem 2 U(y) - y jest miodkiem 3 C(z) - z jest człowiekiem zmienne predykatowe drugiego rzędu: 1 Z(x,y) - x zjada y 2 W(y,z) - z wyprodukowal y
dla każdego misia: x M(x) nie istnieje miodek: y U(y) do tego x zjada y ; x M(x) y U(y) Z(x, y) do tego istnieje człowiek: x M(x) y U(y) Z(x, y) z C(z); no i z wyprodukował y: x M(x) y U(y) Z(x, y) z C(z) W (y, z) nawiasy: x {M(x) y [U(y) Z(x, y) z (C(z) W (y, z))]}
Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami
Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem
Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami
Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami x (C(x) A(x)) Żaden człowiek nie jest aniołem
Zadania: Istnieją ludzie, którzy są aniołami 1 x - istota 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 A(x) - x jest aniołem 4 x(c(x) A(x)) Istnieją ludzie, którzy nie sa aniołami x (C(x) A(x)) Żaden człowiek nie jest aniołem x (C(x) A(x))
Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu
Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu 1 x - mędrzec 2 y - film 3 M(x) - x jest mędrcem 4 F(y) - y jest filmem 5 O(x,y) - x obejrzał y
Zadania: Pewien mędrzec nie obejrzał żadnego filmu 1 x - mędrzec 2 y - film 3 M(x) - x jest mędrcem 4 F(y) - y jest filmem 5 O(x,y) - x obejrzał y 6 x[m(x) y (F (y) O(x, y))]
Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada
Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x
Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x 5 x[c(x) y (C(y) S(y, x))] Wszyscy ludzie są sąsiadami wszystkich.
Zadania: Pewien człowiek nie ma sąsiada 1 y - człowiek 2 C(x) - x jest człowiekiem 3 C(y) - y jest człowiekiem 4 S(y,x) - y jest sąsiadem x 5 x[c(x) y (C(y) S(y, x))] Wszyscy ludzie są sąsiadami wszystkich. 1 x[c(x) y (C(y) S(y, x))]
Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają.
Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają. 1 x - Naukowiec 2 y - pogląd 3 z - Naukowiec 4 M(x,y) - x ma y 5 Z(z,y) - z zgadza się z y
Zadania: Wszyscy Naukowcy mają poglądy, z którymi wszyscy naukowcy sie nie zgadzają. 1 x - Naukowiec 2 y - pogląd 3 z - Naukowiec 4 M(x,y) - x ma y 5 Z(z,y) - z zgadza się z y x {N(x) y [P(y) M(x, y) z (N(z) Z(z, y))]}
Zadania egzaminacyjne: Każdy pies jest ssakiem Każdy kot jest ssakiem żaden pies nie jest kotem Zakładamy: x - zwierzę P(x) - zwierzę jest psem S(x) - zwierzę jest ssakiem K(x) - zwierzę jest kotem to teraz możemy zapisać: x (P(x) S(x)) x (K(x) S(x)) x (P(x) K(x))
Usunięcie kwantyfikatorów jest możliwe tylko wtedy, gdy są one jednolite!!! P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Sprawdamy schemat metodą zero-jedynkową, lub skróconą zero-jedynkową.
Usunięcie kwantyfikatorów jest możliwe tylko wtedy, gdy są one jednolite!!! P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Sprawdamy schemat metodą zero-jedynkową, lub skróconą zero-jedynkową. Schemat jest zawodny. Koniec zadania.
Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy:
Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy: x zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to teraz możemy zapisać:
Zadanie 2: Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Teraz mamy: x zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to teraz możemy zapisać: x (R(x) S(x)) x (W (x) R(x)) x (W (x) S(x))
Bez kwantyfikatorów:
Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne:
Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne: r s w r w s Sprawdzamy schemat metodą zerojedynkową, lub skróconą.
Bez kwantyfikatorów: R(x) S(x)) W (x) R(x)) W (x) S(x)) zamieniamy na zmienne: r s w r w s Sprawdzamy schemat metodą zerojedynkową, lub skróconą. Schemat ok, więc udowadniamy metodą założeniową.
Przekształcanie tekstu - prawo rozdzielności kwantyfikatorów: x (α(x) β(x)) ( x α(x) x β(x)) Przyjmujjąc: x - budynek. α(x) - budynek zbudowany z cegły. β(x) - budynek jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna. Jeżli każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od budynku zbudowanego z drewna (założenie) To każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od każdego domu zbudowanego z drewna (teza).
Szum informacyjny:...zdaniem pana Nowaka, znanego inżyniera i specjalisty w dziedzinie budowy i utrzymania domów trudno jest przeceniać znaczenie podstawowego budulca. Prawidłowo zaprojektowane i wykonane domy drewniane są znacznie bardziej energooszczędne niż domy, do budowy których użyto znacznie bardziej popularnej cegły. Jednak niezależnie od rodzaju stosowanych zabezpieczeń, jeżeli dla każdego domu prawdą jest, że budynek zbudowany z cegły jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna. Uogólniając, można stwierdzić, że każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy niż każdy dom zbudowany z drewna. W sumie trudno jest nie przyznać racji naszemu specjaliście. Patrząc wstecz, wygląda na to, że jako pierwszy docenił to król Kazimierz Wielki, który zastał Polskę drewnianą, a zostawił murowaną. Dzięki Niemu do dziś możemy podziwiać przepiękne zamczyska lub też ruiny tych, które nie miały szczęścia oprzeć się wielu najeźdźcom... Następny etap to wygładzanie tekstu : każdy zamieniamy na wszystkie każdy na jakikolwiek
x (α(x) β(x)) ( x α(x) x β(x)) Przyjmując: x - budynek. α(x) - budynek zbudowany z cegły. β(x) - budynek jest trwalszy niż budynek zbudowany z drewna.
Uwzględniając powyższe oznaczenia zapisujemy schemat w postaci słownej. Jeżli każdy dom zbudowany z cegły jest trwalszy od budynku zbudowanego z drewna, to: Jeżli istnieje dom zbudowany z cegły to istnieje budynek trwalszy od domu zbudowanego z drewna.