Rachunek zdań i predykatów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek zdań i predykatów"

Transkrypt

1 Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak-Brzezińska 27 kwietnia Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logików w następujący sposób: kwantyfikator ogólny, zapisywany jako, czytany jako: dla każdego... kwantyfikator szczegółowy (egzystencialny), zapisywany jako, czytany jako: istnieje taki..., że... NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i oznaczamy je małymi literami w następujący sposób : x, y, z... PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymi NA- ZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami: P, Q, R, S... Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE (zapisuje się to zawsze tak: P(x) ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI (zapis : P(x, y)). SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawartość zdania, np.: x P(x) - czytaj jako: Dla każdego x, x jest Ptakiem y Q(y) - czytaj jako: Istnieje taki y, że y jest Kurą 1.1 Przykład Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze tylko te wszystkie podmioty (rzeczowniki), w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisową: x, y -istota z - czas Dalej powinnością nasza jest utworzenie zmiennych predykatowych (PREDY- KATóW), którymi są zawsze: 1

2 1. informacje o występowaniu podmiotu w zdaniu (PREDYKATY JEDNO- ARGUMENTOWE - bo jedna zmienna w nawiasie); 2. te części zdania, które występują pomiędzy NAZWAMI, łącząc je ze sobą w spójną całość (PREDYKATY DWUARGUMENTOWE - bo dwie zmienne w nawiasie): Obawa rodzaje występują zawsze w formie twierdzącej! K(x) - x jest Kubusiem A(y) - y jest Antykubusiem C(z) - z jest czasem Tych jest zawsze tyle, ile nazw znaleźliśmy w badanym zdaniu) W(x, y) - x widział y G(y, z) - y gonił z (TYCH JEST O JEDEN MNIEJ, NIż ILOść NAZW W BADANYM ZDA- NIU) 3. następnie przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę ułatwiającą nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów : (Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas. 4. Mamy teraz pewność, że: Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : Istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki z, ze z jest czasem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. - przystępujemy wiec do zapisania naszego zdania w postaci schematu kwantyfikatorowego : ale po kolei... x {K(x) y [A(y) W(x, y) z (C(z) G(y, z)]} x K(x) czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem... x {K(x) y [A(y)... czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem... Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator x {K(x) y [A(y) W(x, y)... 2

3 co czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y... Kolejny krok to konieczność przedstawienia w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - czasu, który jest tu nierozłącznie związany z Antykubusiem - to on figluje z nim. Pamiętamy oczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotąd napisaliśmy x {K(x) y [A(y) W(x, y) z (C(z)... czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem... No i nie pozostało nam nic innego, jak dopełnienie schematu relacja zachodząca pomiędzy Antykubusiem i czasem - y gonił z, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to mały kwantyfikator : x {K(x) y [A(y) W(x, y) z (C(z) G(y, z)]} co czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem i y gonił z. 1.2 Przykład 2 Tym razem dostaliśmy takie zdanie: Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. Wypisujemy zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze te wszystkie podmioty (rzeczowniki), w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisowa x - zwierze y - produkt z - istota M(x) - x jest misiem UWAGA! Mimo, ze w zdaniu są misie - słowo informujące o zbiorowym charakterze występującej tu nazwy, my umieszczamy w predykacie ZAWSZE nazwę w formie liczby pojedynczej : mis. PAMIETAJ! U(y) - y jest miodkiem C(z) - z jest Człowiekiem Z(x, y) - x zjada y W(z, y) - z wyprodukował y x {M(x) y [u(y) Z(x, y) z (C(z) W(z, y)]} Negacja jest konieczna, ponieważ w naszym zdaniu jest jednoznaczne zaprzeczenie temu, że istnieje jakiś miodek ludzkiej produkcji, który odważyłby się zjeść wszystkie misie... 3

4 2 Zadania do wykonania przez studentów 1. Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem. ] x - istota A(x) - x jest Aniołem x (C(x) A(x)) 2. Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest Człowiekiem i nie jest Aniołem. ] x - istota A(x) - x jest Aniołem x (C(x) A(x)) Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem. 3. Wszyscy Ludzie są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Każda istota, która jest Człowiekiem, jest jednocześnie Aniołem. ] x - istota A(x) - x jest Aniołem x (C(x) A(x)) 4. Żaden Człowiek nie jest Aniołem. mówiąc w uproszczeniu: WARIANT I - Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie jest Aniołem. lub też: WARIANT II - Nie istnieje istota, która jest zarazem Człowiekiem i Aniołem. x - istota A(x) - x jest Aniołem (a) wariant I x (C(x) A(x)) Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x nie jest Aniołem. 4

5 (b) wariant II x (C(x) A(x)) Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem i x jest Aniołem. 5. Tylko Ludzie są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Każda istota, która jeśli jest Człowiekiem, to jest jednocześnie Aniołem. ] x - istota A(x) - x jest Aniołem x (C(x) A(x)) Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem. 6. Nie tylko Ludzie są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która nie jest Człowiekiem i jest Aniołem. ] x - istota A(x) - x jest Aniołem x ( C(x) A(x)) 7. Każda Polka jest córka jakiejś Europejki. [ mówiąc w uproszczeniu: Dla każdej Polki istnieje taka (przynajmniej jedna) Europejka, dla której ona jest córka. ] x - Polka y - Europejka Z(x) - x jest Polką Z(y) - y jest Europejką C(x, y) - x jest córką y x [Z(x) y (Z(y) C(x, y)) Dla każdego x, jeżeli x jest Polka, to istnieje taki y, ze y jest Europejka i x jest córka y. 8. Pewna Polka nie jest córką żadnej Europejki. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka Polka, ze nie istnieje inna (przynajmniej jedna) Europejka, której ona jest córką. ] x - Polka y - Europejka Z(x) - x jest Polką Z(y) - y jest Europejką C(x, y) - x jest córką y x [Z(x) y (Z(y) C(x, y)] Istnieje taki x, ze x jest Polką, i nie istnieje taki y, że y jest Europejką i x jest córką y. 5

6 9. Pewna Europejka nie ma córki pośród Polek. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka Europejka, że każda Polka nie jest jej córką. ] x - Europejka y - Polka Z(x) - x jest Europejką Z(y) - y jest Polką C(y, x) - y jest córką x x [Z(x) y (Z(y) C(x, y)] Istnieje taki x, że x jest Europejką, i dla każdego y, jeżeli y jest Polką, to y nie jest córką x. 10. Pewien Mędrzec nie obejrzał żadnego filmu. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taki Mędrzec, który nie obejrzał żadnego z wszystkich filmów. ] x - Mędrzec y - film M(x) - x jest mędrcem F(y) - y jest filmem O(x, y) - x obejrzał y x [M(x) y (F(y) O(x, y)] Istnieje taki x, że x jest Mędrcem, i dla każdego y, jeżeli y jest filmem, to x nie obejrzał y. 11. Pewien Człowiek nie ma Sąsiada. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taki Człowiek, który nie ma żadnego Sąsiada. ] W schemacie sformułujemy część zdania tak : nie istnieje (nawet jeden) Sąsiad. x - Człowiek y - Człowiek C(x) - x jest człowiekiem C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x x [C(x) y (C(y) S(y, x)] Istnieje taki x, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest Człowiekiem i y jest Sąsiadem x. 12. Wszyscy Ludzie są Sąsiadami wszystkich. [ mówiąc w uproszczeniu: Każdy Człowiek, jest Sąsiadem każdego Człowieka. ] x - Człowiek y - Człowiek C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x x [C(x) y (C(y) S(y, x)] Dla każdego x, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest Człowiekiem, to y jest Sąsiadem x. 6

7 13. Nikt nie ma Sąsiada. [ mówiąc w uproszczeniu: Nie istnieje taki Człowiek, który nie ma żadnego Sąsiada. ] x - Człowiek y - Człowiek C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x x [C(x) y (C(y) S(y, x)] Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest Człowiekiem i y nie jest Sąsiadem x. 14. Wszyscy przeczytali jakaś książkę. [ mówiąc w uproszczeniu: Każdy Człowiek, przeczytał (przynajmniej jedna) książkę. ] x - Człowiek y - książka C(x) - x jest człowiekiem F(y) - y jest książką O(x, y) - x przeczytał y x [C(x) y (F(y) O(x, y)] Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to istnieje taki y, że y jest książką i x przeczytał y. 15. Jest film, którego nie obejrzeli wszyscy Ludzie. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taki film, którego nie obejrzał każdy Człowiek. ] x - film y - Człowiek F(x) - x jest filmem C(y) - y jest człowiekiem O(y, x) - y obejrzał x x [F(x) y (C(y) O(y, x)] Istnieje taki x, że x jest filmem, i dla każdego y, jeżeli y jest Człowiekiem, to y nie obejrzał x. 16. Żaden z nas nie przeczytał wszystkich książek. [ mówiąc w uproszczeniu: Dla każdego człowieka prawdą jest, że nie przeczytał on wszystkich książek. bądź inaczej mówiąc: Nie istnieje człowiek który przeczytał wszystkie książki ]. Zapiszemy to zdanie w znaczeniu: dla każdego człowieka istnieje conajmniej jedna taka książka, której on nie przeczytał. x - Człowiek y - książka F(y) - y jest książką O(x, y) - x przeczytał y x [C(x) y (F(y) O(x, y)] 7

8 Dla każdego x, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest książką, to x nie przeczytał y. 17. Wszyscy Naukowcy maja poglądy, z którymi wszyscy Naukowcy się nie zgadzają. [ mówiąc w uproszczeniu: Każdy Naukowiec ma (przynajmniej jeden) pogląd, z którym inni (gazdy) Naukowcy się nie zgadzają. ] x - Naukowiec y - pogląd z - Naukowiec N(x) - x jest Naukowcem P(y) - y jest poglądem N(z) - z jest Naukowcem M(x, y) - x ma y Z(z, y) - z zgadza się z y x {N(x) y [P(y) M(x, y) z (N(z) Z(z, y)]} co czytamy jako: Dla każdego x, jeśli x jest Naukowcem, to istnieje taki y, że y jest poglądem i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Naukowcem, to z nie zgadza się z y. 18. Pewni Naukowcy maja poglądy, z którymi żaden Człowiek się nie zgadza. [ czyli: Istnieje taki (przynajmniej) jeden Naukowiec, który ma (przynajmniej) jeden pogląd, z którym ani jeden Człowiek się nie zgadza. ] x - Naukowiec y - pogląd z - Człowiek N(x) - x jest Naukowcem P(y) - y jest poglądem C(z) - z jest Naukowcem M(x, y) - x ma y Z(z, y) - z zgadza się z y. x {N(x) y [P(y) M(x, y) z (C(z) Z(z, y)]} co czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Naukowcem i istnieje taki y, ze y jest poglądem, i x ma y, i nie istnieje taki z, ze z jest Człowiekiem, i z zgadza się z y. 19. Pewien Człowiek ma przekonania, z którymi identyfikują się wszyscy Ludzie. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taki Człowiek, który ma (przynajmniej jedno) przekonanie, z którym identyfikuje się każdy Człowiek. ] x - Człowiek y - przekonanie z - Człowiek P(y) - y jest przekonaniem C(z) - z jest Człowiekiem 8

9 M(x, y) - x ma y I(z, x) - z identyfikuje się z y x {C(x) y [P(y) M(x, y) z (C(z) I(z, y)]} co czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem, i istnieje taki y, ze y jest przekonaniem, i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Człowiekiem, to z identyfikuje się z y. 20. Zdanie: Są ubrania stworzone przez Dyktatorów mody, którzy nie są pozbawieni zmysłu użytkowości. [ inaczej mówiąc: Istnieje takie (przynajmniej) jedno ubranie, które zostało stworzone przez (przynajmniej) jednego Dyktatora mody, którym nie jest pozbawiony (jednego) zmysłu użytkowości. ] x - ubranie y - Dyktator mody z - cecha U(x) - x jest ubraniem D(y) - y jest Dyktatorem mody P(z) - z jest zmysłem użytkowości K(y, x) - y stworzył x N(y, z) - y jest pozbawiony z x {U(x) y [D(y) K(y, x) z (P(z) N(y, z)]} co czytamy jako Istnieje taki x, ze x jest ubraniem i istnieje taki y, ze y jest Dyktatorem mody, i y stworzył x, i nie istnieje taki z, ze z jest zmysłem użytkowości, i y jest pozbawiony z. 21. Zdanie: Żaden Człowiek nie zniszczy bezzasadnie Istoty, która ma w sobie wszystkie pierwiastki życia. [czyli: Nie istnieje taki Człowiek, który zniszczy bezzasadnie (jedną) Istotę, która ma w sobie każdy pierwiastek życia. ] x - Człowiek y - Istota z - symptom I(y) - y jest Istota P(z) - z jest pierwiastkiem życia Z(x, y) - x zniszczy bezzasadnie y M(y, z) - y ma w sobie z x {C(x) y [I(y) Z(x, y) z (P(z) M(y, z)]} co czytam jako: Nie istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i istnieje taki y, ze y jest Istota, i x zniszczy bezzasadnie y, i dla każdego z, jeżeli z jest pierwiastkiem życia, to y ma w sobie z. 9

10 2.1 Ćwiczenia z rachunku kwantyfikatowów Zapisywanie zdań języka polskiego w języku kwantyfikatorowym: 1. Jakiś przedmiot jest zielony. 2. Jakiś Polak jest bogaty. 3. Jakiś Polak jest przystojny i bogaty. 4. Jakiś Polak nie jest bogaty. 5. Jan zna jakiegoś Niemca. 6. Jan nie zna jakiegoś Niemca. 7. Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca. 8. Jakiś Polak nie zna jakiegoś Niemca. 9. Żaden Polak nie jest bogaty. 10. Żaden Polak nie zna żadnego Niemca. 11. Jan nie zna żadnego Niemca. 12. Jakiś Polak nie zna żadnego Niemca. 13. Każdy Polak jest bogaty. 14. Każdy Polak zna jakiegoś Niemca. 15. Każdy Polak jest przystojny lub bogaty. 16. Jan zna każdego Niemca. 17. Każdy Polak nie zna każdego Niemca. 18. Każdy Polak zna jakiegoś Niemca. 19. Każdy Polak nie zna żadnego Niemca. 3 Zadania egzaminacyjne typ I - usuwanie kwantyfikatorów Każdy pies jest ssakiem Każdy kot jest jest ssakiem żaden pies nie jest kotem Jeśli założymy, że: x - zwierzę P(x) - zwierzę jest psem 10

11 S(x) - zwierzę jest ssakiem K(x) - zwierzę jest kotem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x (P(x) S(x)) x (K(x) S(x)) x (P(x) K(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie): P(x) S(x) K(x) S(x) P(x) K(x) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest zawodny(dla prawdziwych P(x), K(x) oraz S(x)). Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Jeśli założymy, że: x - zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x (R(x) S(x)) x (W(x) R(x)) x (W(x) S(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie): R(x) S(x) W(x) R(x) W(x) S(x) 11

12 Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to: r s w r w s * * metodą założeniową wprost 1 r s (zał.) 2 w r (zał.) 3 w (zał.) 4 r RO(2,3) 5 r s ZI(1) 6 r s PN(5) 7 s OK(6) metodą założeniową niewprost 1 r s (zał.) 2 w r (zał.) 3 (w s) (DN) 4 ( w s) ZI(3) 5 w s NA(4) 6 w s PN(5) 7 s OK(6) 8 w OK(6) 9 r RO(2,8) 10 r s ZI(1) 11 r s PN(10) 12 s OK(11) SPRZECZNE 7 i 12. Nie każdy czlowiek jest pijakiem Każdy pijak jest człowiekiem nie każdy człowiek jest człowiekiem Jeśli założymy, że: x - istota C(x) - istota jest człowiekiem P(x) - istota jest pijakiem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x (C(x) P(x)) x (P(x) C(x)) x (C(x) C(x)) 12

13 Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatory szczegółowe. Teraz schemat wygląda następująco: x (C(x) P(x)) x (P(x) C(x)) x (C(x) C(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: (C(x) P(x)) P(x) C(x) (C(x) C(x)) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to: (c p) p c (c c) Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco: 1 (c p) (zał.) 2 p c (zał.) 3 (c c) (DN) 4 c c ZI(3) 5 c OK(4) 6 c OK(4) SPRZECZNE 5 i 6, zatem schemat jest niezawodny. typ II - wyszukiwanie schematów wnioskowania w tekście i usuwanie kwantyfikatorów W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:...znowu toczą się spory dotyczące wyższości samochodów nad motocyklami. W zasadzie trudno zrozumieć ludzi, którzy kruszą kopie z powody tak błahego problemu. Co innego, gdyby chodziło o możliwość stworzenia pojazdu uniwersalnego, takiego, który mógłby być w zależności od potrzeby - albo motocyklem, albo samochodem. Jakoś do tej pory było rzeczą oczywistą, że każdy pojazd o ile ma cztery koła (oczywiście na których jeździ) to nie jest już motocyklem. W związku z tym jak ktoś zauważył jeżeli wychodząc na ulicę zobaczymy samochód to po jakimś czasie powinniśmy zobaczyć również jakiś jednoślad... 13

14 Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Każdy pojazd, który ma cztery koła, nie jest motocyklem. Istnieje istnieje taki pojazd który jest samochodem, to istnieje także i taki który jest motocyklem. x - pojazd S(x) - pojazd x ma 4 koła M(x) - pojazd x jest motocyklem (jednośladem) Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: x (S(x) M(x)) x S(x) x M(x) W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:...za niedługo na nasze szczęście wejdą w życie nowe przepisy normalizacyjne. Skończą się więc problemy z włączaniem urządzeń elektrycznych. Do tej pory trafiały się wtyczki nie pasujące do gniazdek lub dla odmiany - gniazdka, do których za nic nie dało się włożyć wtyczki. Nie było oczywistym, że jeśli mamy wtyczki pasujące do każdego gniazdka w naszym domu to i każde gniazdko (znajdujące się np. w pokoju w pracy) będzie na tyle podobnie zbudowane, że wtyczka w naszym ekspresie (pasująca do gniazdek w domu) da się bez problemów do niego włączyć... Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Istnieją gniazka nie pasujące do wtyczek i wtyczki nie pasujące do gniazdek. Nieprawdą jest, że dla każdego gniazka i wtyczki pasują one do siebie i udaje się włożyć wtyczki do gniazdek. x - wtyczka y - gniazdko P(x, y) - wtyczka x pasuje do gniazka y W(y, x) - do gniazka y da się włożyć wtyczkę x Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: x y (P(x, y) W(y, x)) ( x y (P(x, y) W(y, x))) W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:...z badań form fonograficznych przeprowadzonych w sklepach muzycznych (a dotyczących sprzedaży płyt) można wysunąć ciekawe wnioski. Mianowicie, jeżeli można znaleźć płytę, którą każ- 14

15 dy ze słuchaczy uważa za najlepszą to znaczy, że każdy z miłośników muzyki ma pewną upatrzoną płytę, którą chciałby mieć w swojej domowe kolekcji. Wygląda więc na to, że przemysł fonograficzny nie musi obawiać się kłopotów z popytem na rynku... Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Jeżeli istnieje płyta taka, że dla każdego jest ona interesująca, z tego wynika, że dla każdego słuchacza istnieje płyta, którą chciałby mieć. x - płyta y - człowiek N(x, y) - płyta x jest uznana za najlepszą przez człowieka y C(x, y) - płyta x jest pożądana przez człowieka y Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: x y N(x, y) y x C(x, y) W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:...mogłoby się wydawać, że nic nie jest w stanie nas już zdziwić - a jednak...o ile dobrze wiadomo, maskotką najbliższej olimpiady mającej odbyć się w Australii ma być właśnie jeden z - powiedzmy dziwolągów natory. Jest to zwierze znoszące jajka i nie będące ptakiem.początkowo wydaje się to być niedorzecznością, jak to: nie ptak i znosi jajka? Taka sytuacja może się zdarzyć wtedy i tylko wtedy, gdy nie każde zwierze znoszące jajka jest ptakiem.a takim właśnie zwierzęciem jest dziobak - owa maskotka przyszłej olimpiady. Jest również przykładem tzw. żywej skamieniałości - pozostałości po prehistorycznych zwięrzętach żyjących kiedyś na Ziemi... Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Istnieje zwierzę znoszące jajka i nie będące ptakiem. Wynika z tego, że nie każde zwierze, które znosi jajka, jest ptakiem.. x - zwierzę J(x) - zwierzę x znosi jajka P(x) - zwierzę x jest ptakiem Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: 15

16 x (J(x) P(x)) x (J(x) P(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatory szczegółowe. Teraz schemat wygląda następująco: x (J(x) P(x)) x (J(x) P(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: J(x) P(x) (J(x) P(x)) Uproszczony zapis schematu to: j p (j p) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco: 1 j p (zał.) 2 j p (DN) 4 j OK(1) 5 p OK(1) 6 j MT(2,5) SPRZECZNE 4 i 6, zatem schemat jest niezawodny. W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:...ostatnio przysłuchiwałem się rozmowie kilku studentów. Jak można się domyślić, rozmowa dotyczyła zaliczeń i egzaminów (wiadomo - sesja!). Zastanawiali się, po co właściwie są egzaminy, skoro zaliczenia są jakby przed egzaminami. Wydaje się, że każdy student, który otrzymał zaliczenie (okupione bezsennymi nocami poświęconymi na przygotowanie do niezliczonej liczby kolokwiów), powinien mieć opanowany materiał na tyle dobrze, żeby zdać egzamin.niestety, rzeczywistość nie jest aż tak kolorowa. Z rozmowy wynikało, że nie zawsze można znaleźć studenta, który otrzymał zaliczenie i który byłby jednocześnie studentem mającym zdany egzamin. I kto tu mówi o beztroskim życiu studentów!!!... Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane. Rozwiązanie: schemat wnioskowania: Każdy student który ma zaliczenie, powinien mieć i zdany egzamin. Wynika z tego jednak tylko tyle, że nie każdy student ma zaliczenie i zdany egzamin. x - student Z(x) - student x zdobył zaliczenia 16

17 E(x) - student x zdał egzamin Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco: x (Z(x) E(x)) x (Z(x) E(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatory szczegółowe. Teraz schemat wygląda następująco: x (Z(x) E(x)) x (Z(x) E(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: (Z(x) E(x)) (Z(x) E(x)) Uproszczony zapis schematu to: (z e) (z e) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest zawodny. 17

Rachunek zdań I rzędu Aksjomaty rachunku zdań, tautologie Schematy rachunku zdań Dowodzenie poprawności Metoda zerojedynkowa Skrócona metoda

Rachunek zdań I rzędu Aksjomaty rachunku zdań, tautologie Schematy rachunku zdań Dowodzenie poprawności Metoda zerojedynkowa Skrócona metoda Rachunek zdań I rzędu Aksjomaty rachunku zdań, tautologie Schematy rachunku zdań Dowodzenie poprawności Metoda zerojedynkowa Skrócona metoda zerojedynkowa Metoda założeniowa Rachunek zdań II rzędu Rachunek

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe : predykaty

Systemy ekspertowe : predykaty Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 16 kwietnia 2012 Skrócona zero-jedynkowa Schematy wnioskowania metoda założeniowa Metoda zero-jedynkowa p (q p) (p q) p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q)

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań I i II rzędu

Rachunek zdań I i II rzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku predykatów

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 7 kwietnia 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 7 kwietnia 2008 1 1 Logika - Wprowadzenie 1.1 Słowniczek pojęć z logiki Język - jest to system znaków. Znak - def. Znak jest to przedmiot, który ma charakter

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań I i II rzędu

Rachunek zdań I i II rzędu RachunekzdańIiIIrzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel(32)2918381,Fax(32)2918283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku

Bardziej szczegółowo

WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ

WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ 43 Załącznik nr 4 WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ Lp. Rodzaj ochrony Lokalizacja 1) Powierzchnia ogółem w ha 1 Ochrona ścisła Oddziały 1b, 1c, 1d, 1f, 1g, 1h, 1i, 1j,

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

Język KRP zadania z rozwiązaniami

Język KRP zadania z rozwiązaniami Język KRP zadania z rozwiązaniami Michał Lipnicki 1 Napisz schematy poniższych zdań w języku KRP. (1) Stefan pije. (2) Stefan pije z Romanem. (3) Stefan pije i zakąsza. (4) Stefan pije lub Roman zakąsza.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

17. PODSTAWY SYMBOLIZACJI

17. PODSTAWY SYMBOLIZACJI 17. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W przeciwieństwie do logiki zdań, w której symbolizacja jest przedsięwzięciem raczej prostym, w logice kwantyfikatorów symbolizacja wymaga sporej wiedzy logicznej. Niekiedy aby

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

Jak Arabowie rozwiązywali równania?

Jak Arabowie rozwiązywali równania? Jak Arabowie rozwiązywali równania? Agnieszka Niemczynowicz Katedra Fizyki Relatywistycznej Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Niezwykła Matematyka 2016 Co to jest równanie? Kilka dygresji z logiki.

Bardziej szczegółowo

16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW

16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16.1. Cele zrozumienie, w jakim sensie logika kwantyfikatorów jest poszerzeniem logiki zdań umiejętność symbolizacji prostych zdań indywiduowych i skwantyfikowanych

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość

Bardziej szczegółowo

ZESTAWIENIE I ANALIZA PRÓBNEGO EGZAMINU Z JĘZYKA NIEMIECKIEGO UCZNIÓW III KLAS GIMNAZJUM IM. JANA PAWŁA II W BUDZOWIE

ZESTAWIENIE I ANALIZA PRÓBNEGO EGZAMINU Z JĘZYKA NIEMIECKIEGO UCZNIÓW III KLAS GIMNAZJUM IM. JANA PAWŁA II W BUDZOWIE ZESTAWIENIE I ANALIZA PRÓBNEGO EGZAMINU Z JĘZYKA NIEMIECKIEGO UCZNIÓW III KLAS GIMNAZJUM IM. JANA PAWŁA II W BUDZOWIE 15 listopada 2012 roku w Gimnazjum w Budzowie odbył się próbny egzamin gimnazjalny

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów

Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Informatyka I: Instrukcja 4.2

Informatyka I: Instrukcja 4.2 Informatyka I: Instrukcja 4.2 1 Wskaźniki i referencje - bezboleśnie Nauczyliśmy się do tej pory, że funkcje w języku C mogą zwracać wartość. Co jednak, gdybyśmy chcieli napisać funkcję, która rozwiąże

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE? S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne.

Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne. Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne. PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW LP PRAWO NAZWA 1 A B = B A A

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Elementy sylogistyki

Kultura logiczna Elementy sylogistyki Kultura logiczna Elementy sylogistyki Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 15 III 2010 Plan wykładu: Podział wnioskowań Sylogizmy Poprawność sylogizmów i niezawodność trybów PODZIAŁ WNIOSKOWAŃ

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a

Bardziej szczegółowo

Czyli ABC logiki predykatów

Czyli ABC logiki predykatów Czyli ABC logiki predykatów PROBLEM POLICJI PRL ma nowego gangstera, Udało się go złapać, Złożył następujące zeznanie: Popełniłem wszystkie przestępstwa z użyciem dwustronnego kilofa. W ostatnim napadzie

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.

Logika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja

Bardziej szczegółowo

23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI

23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI 23. PODSTAWY SYMBOLIZACJI W LOGICE RELACJI Logika relacji jest pewnym poszerzeniem logiki predykatów. Również w logice relacji musimy opanować pewne podstawowe chwyty, które pozwolą nam dokonywać symbolizacji.

Bardziej szczegółowo

Tab. 1 Tab. 2 t t+1 Q 2 Q 1 Q 0 Q 2 Q 1 Q 0

Tab. 1 Tab. 2 t t+1 Q 2 Q 1 Q 0 Q 2 Q 1 Q 0 Synteza liczników synchronicznych Załóżmy, że chcemy zaprojektować licznik synchroniczny o następującej sekwencji: 0 1 2 3 6 5 4 [0 sekwencja jest powtarzana] Ponieważ licznik ma 7 stanów, więc do ich

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

PODZIAŁ LOGICZNY. Zbiór Z. Zbiór A. Zbiór B

PODZIAŁ LOGICZNY. Zbiór Z. Zbiór A. Zbiór B Fragment książki Jarosława Strzeleckiego Logika z wyobraźnią. Wszelki uwagi merytoryczne i stylistyczne proszę kierować pod adres jstrzelecki@uwm.edu.pl PODZIAŁ LOGICZNY I. DEFINICJA: Podziałem logicznym

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)

W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja) Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Kazanie na uroczystość ustanowienia nowych animatorów. i przyjęcia kandydatów do tej posługi.

Kazanie na uroczystość ustanowienia nowych animatorów. i przyjęcia kandydatów do tej posługi. SŁUŻYĆ JEDNEMU PANU. Kazanie na uroczystość ustanowienia nowych animatorów i przyjęcia kandydatów do tej posługi. Katowice, krypta katedry Chrystusa Króla, 18 czerwca 2016 r. "Swojemu słudze Bóg łaskę

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących

Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących Zestaw 1 Zadanie 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących zdań: a) p (q r). b) Jeśli x + y = 1, to x 2 + y 2 1. c) Jeśli 2 + 2 = 4, to 3 + 3 = 8. Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do egzaminu z logiki

Materiały pomocnicze do egzaminu z logiki Materiały pomocnicze do egzaminu z logiki 1. Informacja o treści pytań Egzamin jest ustny. Obejmuje następujące tematy. A) Analiza poprawności syntaktycznej na przykładzie podanego zdania. B) Zapis podanego

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów

Niepewności pomiarów Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania

Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania Laboratorium 9 Prolog podstawy 1. Podstawy Prologu Programowanie w Prologu polega na deklarowaniu: Faktów dotyczących pewnych obiektów z analizowanego

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki a tablice Wskaźniki i tablice są ze sobą w języku C++ ściśle związane. Aby się o tym przekonać wykonajmy cwiczenie.

Wskaźniki a tablice Wskaźniki i tablice są ze sobą w języku C++ ściśle związane. Aby się o tym przekonać wykonajmy cwiczenie. Część XXII C++ w Wskaźniki a tablice Wskaźniki i tablice są ze sobą w języku C++ ściśle związane. Aby się o tym przekonać wykonajmy cwiczenie. Ćwiczenie 1 1. Utwórz nowy projekt w Dev C++ i zapisz go na

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. II Elementy sylogistyki

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. II Elementy sylogistyki Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. II Elementy sylogistyki Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Co dzisiejsza historia mieć będzie wspólnego z Arystotelesem? 2 Plan gry:

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo