Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 7. zdanie wynikanie wynikanie logiczne
|
|
- Liliana Jabłońska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD 7 zdanie wynikanie wynikanie logiczne 1
2 Katedra Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Uniwersytet Łódzki ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok. 13 tel dyŝur: poniedziałki, godz [w razie potrzeby dyŝur będzie dłuŝszy] 2
3 Definicja wynikania Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, jeśli implikacja Z W jest zdaniem prawdziwym na mocy związku jaki zachodzi między tym o czym orzeka zdanie W a tym o czym orzeka zdanie Z. Z nazywamy racją, a W następstwem. Z definicji wynikania wnioskujemy, iŝ istnieją róŝne rodzaje wynikania W z Z w zaleŝności od rodzaju związku będącego podstawą prawdziwości implikacji Z W. 3
4 Związek zachodzący między Z i W, będący podstawą prawdziwości Z W moŝe być: - przyczynowo-skutkowy (ze względu na wiedzę o rzeczywistości) Jeśli zaleję herbatę zimną wodą, to jej nie zaparzę. - strukturalny (w sensie czasu lub przestrzeni) Jeśli wczoraj był poniedziałek, to jutro jest środa. (takŝe analityczny) Jeśli obraz a wisi nad obrazem b, to obraz b wisi pod obrazem a. (takŝe analityczny) Jeśli stoję twarzą na północ, to po prawej ręce mam wschód. - tetyczny (ze względu na obowiązywanie pewnych norm) Jeśli w sklepie płacę za towar, to część mojej zapłaty jest przeznaczona na podatek. - analityczny (ze względu na sens słów - węŝsze rozumienie analityczności) Jeśli ta figura jest kwadratem, to [ta figura] ma cztery boki równe. - logiczny (ze względu na budowę zdań - nieprecyzyjne określenie, patrz dalej) Jeśli Jan jest łysym adwokatem, to Jan jest adwokatem. (Jeśli Jan jest łysy i Jan jest adwokatem, to Jan jest adwokatem.) W kaŝdym powyŝszym przykładzie, pierwsze podkreślenie oznacza Z (rację) drugie zaś W (następstwo). 4
5 Definicja wynikania logicznego 1. Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja jest prawdą logiczną. Symbolicznie Z W. Z W Z to przesłanka (załoŝenie), zaś W to wniosek. 2. Zdanie W wynika logicznie ze zdań Z 1,...,Z n (ze zbioru zdań {Z 1,...,Z n }) wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja (Z 1... Z n ) Z jest prawdą logiczną. Symbolicznie {Z 1,...,Z n } W. Z 1,...,Z n to przesłanki (załoŝenia), zaś W to wniosek. 5
6 Wnioskowanie dedukcyjne (dedukcja) to wnioskowanie w którym wniosek wynika logicznie z przesłanek. Wnioskowanie niezawodne to takie, które od prawdziwym przesłanek zawsze prowadzi do prawdziwych wniosków. Dedukcja jest wnioskowaniem niezawodnym. 6
7 Zadanie 1. Czy zdanie Ulice są mokre wynika logicznie ze zdania Deszcz pada? p - Deszcz pada q - Ulice są mokre Zatem, czy p q jest tautologią? p q 0 - załoŝenie dowodu nie wprost 1 0 Schemat ten nie jest tautologią, gdyŝ istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym: p/ 1, q/0 (deszcz pada a mimo to ulice nie są mokre, np. z powodu ich zadaszenia - konstrukcja moŝliwego świata) Zatem zdanie q nie wynika ze zdania p (oczywiście!). Uwaga: W świecie, w którym Ŝadna ulica nie jest zadaszona, zdanie Ulice są mokre wynika ze zdania Deszcz pada. Nie jest to jednak wynikanie logiczne, lecz wynikanie przyczynowoskutkowe, ustalone na mocy wiedzy o świecie. 7
8 Zadanie 2. Czy zdanie Ulice są mokre wynika logicznie ze zdania Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre? p - Deszcz pada q - Ulice są mokre Zatem, czy (p q) q jest tautologią? (p q) q załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartość q 4 0 Schemat (p q) q nie jest tautologią, gdyŝ istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym: p/0, q/0. Zatem, zdanie q nie wynika logicznie ze zdania p q (oczywiście!). Zdanie Ulice są mokre nie wynika logicznie ze zdania wyraŝającego jedynie zaleŝność tego, Ŝe ulice są mokre od tego, Ŝe deszcz pada. Sam związek nie wystarcza, bo w świecie bez zadaszonych ulic związek ten jest prawdziwy zawsze, a więc i wtedy, gdy deszcz nie pada. 8
9 Zadanie 3. Czy zdanie Ulice są mokre wynika logicznie ze zdań Deszcz pada oraz Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre? p - Deszcz pada q - Ulice są mokre Zatem, czy (p (p q)) q jest tautologią? (p (p q)) q załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartości p i q sprzeczność Schemat (p (p q)) q jest tautologią, gdyŝ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p q}. Symbolicznie: {p, p q} q. Jest to reguła odrywania (Modus Ponens). p, p q (inny zapis) q 9
10 Zadanie 4. Czy zdanie Nieprawda, Ŝe deszcz pada wynika logicznie ze zdań Nieprawda, Ŝe ulice są mokre oraz Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre? p - Deszcz pada q - Ulice są mokre Zatem, czy ( q (p q)) p jest tautologią? ( q (p q)) p załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartości p i q sprzeczność Schemat ( q (p q)) p jest tautologią, gdyŝ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań { q, p q}. Symbolicznie: { q, p q} p. Jest to reguła Modus Tollens. q, p q (inny zapis) p 10
11 Zadanie 5. Czy zdanie Jestem w czytelni wynika logicznie ze zdań Jestem w czytelni lub w katalogach oraz Nieprawda, Ŝe jestem w katalogach? p - Jestem w czytelni q - Jestem w katalogach Zatem, czy ((p q) q) p jest tautologią? ((p q) q) p załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartości p i q sprzeczność Schemat ((p q) q) p jest tautologią, gdyŝ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p q, q}. Symbolicznie: {(p q), q} p. Jest to reguła odłączania alternatywy. p q, q p q, p (inny zapis) (takŝe) p q 11
12 Zadanie 6. Czy zdanie Jan ma tysiąc dolarów lub Jan ma tysiąc złotych wynika logicznie ze zdania Jan ma tysiąc dolarów? p - Jan ma tysiąc dolarów q - Jan ma tysiąc złotych Zatem, czy p (p q) jest tautologią? p (p q) załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartość p sprzeczność Schemat p (p q) jest tautologią, gdyŝ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {(p q), q}. Symbolicznie: {p} p q (p p q). Jest to reguła dołączania alternatywy. p p q (inny zapis) p q q (takŝe) 12
13 Zadanie 7. Czy zdanie Jan jest złodziejem i mordercą wynika logicznie ze zdania Jan jest złodziejem? p - Jan jest złodziejem q - Jan jest mordercą Zatem, czy p (p q) jest tautologią? p (p q) załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartość p 4 0 Schemat p (p q) nie jest tautologią, gdyŝ istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym: p/1, q/0 (świat, w którym Jan jest złodziejem i nie jest mordercą). Zatem, zdanie p q nie wynika logicznie ze zdania p. 13
14 Zadanie 8. Czy zdanie Jan jest złodziejem wynika logicznie ze zdania Jan jest złodziejem i mordercą? p - Jan jest złodziejem q - Jan jest mordercą Zatem, czy (p q) p jest tautologią? ( p q) p załoŝenie dowodu nie wprost przepisujemy wartość p sprzeczność Schemat (p q) p jest tautologią, gdyŝ nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zdania p q: reguła odłączania koniunkcji: {p q} p (p q p). p q p (inny zapis) p q q (takŝe) 14
15 Zadanie 9. Czy zdanie Jan jest złodziejem i mordercą wynika logicznie ze zdań Jan jest złodziejem i Jan jest mordercą? p - Jan jest złodziejem q - Jan jest mordercą Zatem, czy (p q) p q jest tautologią? Oczywiście, Ŝe TAK. Zatem, zdanie p q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, q}: reguła dołączania koniunkcji: {p, q} p q. p, q p q (inny zapis) Fakt ten moŝna dowodzić w oparciu o sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny: p (q (p q)). 15
16 Zadanie 10. NiŜej przypomniany dowcip z PRL-u jest dowodem na to, Ŝe posługujemy się logiką (rozumiemy logikę), bez względu na to, czy logikę lubimy, czy nie Student kupił ksiąŝkę do logiki i przed księgarnią spotkał kolegę ze szkoły podstawowej, który obecnie jest milicjantem. M(ilicjant): Co to za ksiąŝka? S(tudent): Do logiki. M: Co to jest logika? S: To nauka o poprawnym myśleniu. M: Jakie myślenie jest poprawne? S: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium? M: Tak. S: Skoro masz akwarium, to lubisz rybki. M: Tak! S: Skoro lubisz rybki, to lubisz wypić. M: Tak! S: Skoro lubisz wypić, to lubisz dziewczyny. M: Zgadza się! Fantastyczna jest ta logika! TeŜ kupię tę ksiąŝkę! Gdy milicjant wrócił na komendę z ksiąŝką do logiki, kolega milicjant pyta go M2: Co to za ksiąŝka? M: Do logiki. M2: Co to jest logika? M: To nauka o poprawnym myśleniu. M2: Jakie myślenie jest poprawne? M: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium? M2: Nie. M: To ty jesteś gejem! 16
17 Analiza logiczna dowcipu: p - M ma akwarium; q - M lubi rybki; s - M lubi wypić; r - M lubi dziewczyny A. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p q, q s, s r}? TAK, bo: (p (p q) (q s) (s r)) r załoŝenie dowodu nie wprost patrz przypis przepisujemy wartości p i r przepisujemy wartość q przepisujemy wartość s sprzeczność B. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań { p, p q, q s, s r}? NIE, bo: ( p (p q) (q s) (s r)) r załoŝenie dowodu nie wprost patrz przypis przepisujemy wartości p i r przypisujemy wartość fałszu zdaniom q i s Podstawienie obalające: p/0, q/0, s/0, r/1. 17
18 Niezbędny komentarz do powyŝszej analizy. Oczywiście, to tylko dowcip, więc nie kaŝde ze zdań p q, q s, s r musi być uznane za prawdziwe! Ponadto, ma tu miejsce błąd ekwiwokacji: zamiast jednego zdania q, powinny być dwa róŝne zdania q 1 oraz q 2 - w innym znaczeniu lubi się rybki, hodując je w akwarium, w innym zaś, gdy się je traktuje jako zakąskę. 18
19 tautologie KRZ reguły KRZ p p p p (p p) (p p) p p p p ((p q) (q p)) (p q) {p q, q p} p q (p q) ((p q) (q p)) {p q} (p q) (q p) (p q) (q p) p q q p (p q) ( q p) p q q p p ( p q) {p, p} q (p q) ( p q) (p q) p q prawdy logiczne zawsze moŝna dodać do przesłanek* p p p q (p q) (q p) p q q p (p q) p q p q, q p p q p q q p p, p q 19
20 (p q) ( p q) (p q) p q (p q) (p q) (p q) p q ((p q) (q s) p) s {p q, q s, p} s ((p q) (q s)) ( s p) {p q, q s, s} p (p q) p q p q, q s, s p (p q) p q p q, q s, p s W powyŝszej tabeli podwójna kreska w ułamku wyraŝającym regułę oznacza, Ŝe ułamek ten wyraŝa dwie reguły: w jednej licznik jest przesłanką, a mianownik wnioskiem, w drugiej mianownik jest przesłanką, a licznik wnioskiem. Wnioskowanie KRZ jest monotoniczne, tzn. jeśli X Y i X p, to Y p. *Wniosek Zatem, w szczególności, jeśli jakieś zdanie wynika ze zbioru pustego, to wynika z kaŝdego zbioru przesłanek, bo zbiór pusty zawiera się w kaŝdym zbiorze przesłanek. zbiór przesłanek wniosek 20
21 Wynikania logiczne oparte na wielu logikach formalnych, w tym logice klasycznej, są monotoniczne, tzn. poszerzenie zbioru przesłanek o nowe przesłanki poszerza dotychczasowy zbiór wniosków (konsekwencji). Fakt ten odróŝnia te wynikania od zwykłego rozumowania człowieka, które jest niemonotoniczne. Przykład na niemonotoniczność ludzkiego rozumowania: poszerzanie zbioru przesłanek wnioski I. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do kawiarni x. II. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio ubrać, z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do kawiarni x. niską temperaturę. w2 - Musze się cieplej ubrać. III. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje niską temperaturę. z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz. IV. z1 - O godzinie t mam spotkanie w kawiarni x z osobą y. z2 - (przed wyjściem z domu) Termometr wskazuje niską temperaturę. z3 - (przed wyjściem z domu) Zaczął padać deszcz. z4 - (miałem rozmowę telefoniczną z osobą z) Osoba y miała wypadek samochodowy i leŝy w szpitalu. w1 - O odpowiedniej godzinie muszę się odpowiednio ubrać, wyjść z domu o odpowiedniej godzinie i pójść do kawiarni x. w2 - Muszę się cieplej ubrać. w3 - Muszę zabrać parasol. Do tego miejsca rozumowanie jest monotoniczne. w4 - Moje spotkanie o godzinie t w kawiarni x z osobą y nie odbędzie się. Zatem, wnioski w1-w3 przestają być waŝne - rozumowanie przestaje być monotoniczne. 21
22 Zadanie 11. WykaŜemy, Ŝe świat nie jest Absolutem. Jeśli bowiem świat byłby Absolutem, to jeśli byłby ponadto stworzony, to musiałby sam się stworzyć. Lecz to ostatnie oznaczałoby, Ŝe świat ma początek. Jednak wówczas świat nie moŝe być wieczny. Z drugiej strony jasne jest, Ŝe Absolut nie moŝe nie być wieczny. Ponadto, jeśli świat istnieje, to musiał mieć kiedyś początek. Jeśli, natomiast, nie istnieje, to tym bardziej nie moŝe być Absolutem. p - świat jest Absolutem p 1 - świat jest stworzony p 2 - świat sam się stworzył p 3 - świat ma początek p 4 - świat jest wieczny p 5 - świat istnieje {p (p 1 p 2 ), p 2 p 3, p 3 p 4, p p 4, p 5 p 3, p 5 p} p 22
23 {p (p 1 p 2 ), p 2 p 3, p 3 p 4, p p 4, p 5 p 3, p 5 p} p (p (p 1 p 2 )) (p 2 p 3 ) (p 3 p 4 ) (p p 4 ) (p 5 p 3 ) ( p 5 p)) p Przesłanki pierwsza i druga nie są wykorzystane w analizie. Zatem, wniosek p wynika logicznie takŝe ze zbioru mniejszego, czyli z {p 3 p 4, p p 4, p 5 p 3, p 5 p}. 23
24 Zadanie 12. WykaŜemy, Ŝe następujący zbiór zdań tworzy wypowiedź sprzeczną: Jeśli świat jest wieczny, to nie ma początku lub końca. Z drugiej strony, świat jest wieczny lub ma zarazem początek i koniec. Nie jest prawdą, Ŝe stworzoność świata implikuje to Ŝe nie ma on początku. Ponadto, świat nie jest stworzony, o ile załoŝymy, Ŝe jest wieczny wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma końca. p 1 - świat jest wieczny p 2 - świat ma początek p 3 - świat ma koniec p 4 - świat jest stworzony {p 1 ( p 2 p 3 ), p 1 (p 2 p 3 ), (p 4 p 2 ), (p 1 p 3 ) p 4 } 24
25 {p 1 ( p 2 p 3 ), p 1 (p 2 p 3 ), (p 4 p 2 ), (p 1 p 3 ) p 4 } p 1 ( p 2 p 3 ) p 1 (p 2 p 3 ) (p 4 p 2 ) (p 1 p 3 ) p zał zał
26 Nie istnieje podstawienie, przy którym wszystkie cztery formuły zamienią się w zdania prawdziwe. Nie jest więc moŝliwe, aby wszystkie cztery zdania były jednocześnie prawdziwe. Oznacza to, Ŝe tekst jest sprzeczny. 26
27 Elementy Klasycznej Logiki Kwantyfikatorów x, y, z - zmienne nazwowe - kwantyfikator ogólny dla kaŝdego... - kwantyfikator szczegółowy dla pewnego..., istnieje... takie, Ŝe... P(x), Q(y) - formuły jednej zmiennej (wyraŝają własności) P(x,y), Q(y,z) - formuły dwóch zmiennych (wyraŝają relacje, związki) P(x,y,x), Q(y,z,x) - formuły trzech zmiennych (wyraŝają relacje, związki) x P(x) czytamy dla kaŝdego x, P(x) x P(x) czytamy dla pewnego x, P(x) lub istnieje x takie, Ŝe P(x) x P(x) {x: P(x)} = Dz (Dz - dziedzina rozwaŝań) x P(x) {x: P(x)} Dz x P(x) {x: P(x)} x P(x) {x: P(x)} = x P(x) {x: P(x)} = Dz x P(x) {x: P(x)} 27
28 zdanie prawdziwe zdanie fałszywe x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) 28
29 Objaśnienie. Czarna kropka na diagramie oznacza niepustość zbioru, do którego naleŝy. Szare wypełnienie oznacza pustość zbioru wypełnionego tym kolorem. Negacja zdań skwantyfikowanych: x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) Zatem, x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) 29
30 Zadanie: Jak brzmi zaprzeczenie zdania: 1. KaŜdy adwokat kiedyś obroni jakiegoś oskarŝonego. 2. śaden prokurator nie wycofa nigdy Ŝadnego aktu oskarŝenia. 3. Pewien sędzia wydał kiedyś [jakiś] niesprawiedliwy wyrok. 1. x A y T z Os Obr(x,y,z) x A y T z Os Obr(x,y,z) x A y T z Os Obr(x,y,z) Odp: Pewien adwokat nigdy nie obroni Ŝadnego oskarŝonego. 2. x Pr y T z Akt W(x,y,z) x Pr y T z Akt W(x,y,z) x Pr y T z Akt W(x,y,z) Odp: Pewien prokurator kiedyś wycofa jakiś akt oskarŝenia. 3. x A y T z NW Wyd(x,y,z) x A y T z NW Wyd(x,y,z) x A y T z NW Wyd(x,y,z) Odp: śaden sędzia nigdy nie wydał [Ŝadnego] niesprawiedliwego wyroku. 30
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoPiotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 8. klasyczny rachunek kwantyfikatorów klasyczny rachunek nazw
WYKŁAD 8 klasyczny rachunek kwantyfikatorów klasyczny rachunek nazw 1 lukowski@filozof.uni.lodz.pl Katedra Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Uniwersytet Łódzki ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro,
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Bardziej szczegółowoRachunek zdao i logika matematyczna
Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoZdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych w nim wyrażeń).
Tautologia to schemat zdań wyłącznie prawdziwych. Kontrtautologia to schemat zdań wyłącznie fałszywych. Zdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoUwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a
Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoReguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoLOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ
LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 18 grudnia 2013 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Wnioskowanie 18 grudnia 2013 1 / 12 Zarys 1 Wnioskowanie Definicja Schemat wnioskowania
Bardziej szczegółowoPiotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 12. rozumowania
WYKŁAD 12 rozumowania 1 lukowski@filozof.uni.lodz.pl Katedra Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Uniwersytet Łódzki ul. Kopcińskiego 16/18, I piętro, pok.13 tel. 635-61-34 dyŝur: poniedziałki,
Bardziej szczegółowoZdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych w nim wyrażeń).
Tautologia to schemat zdań wyłącznie prawdziwych. Kontrtautologia to schemat zdań wyłącznie fałszywych. Zdanie analityczne (prawda analityczna) to zdanie, które jest zawsze prawdziwe (na mocy znaczeń użytych
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoPrzykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoPiotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 14. przykłady odpowiedzi na moŝliwe pytania egzaminacyjne
WYKŁAD 14 przykłady odpowiedzi na moŝliwe pytania egzaminacyjne 1 Uwaga: na egzaminie mogą pojawić się pytania nie uwzględnione w przedstawionych niŝej przykładach. 2 ZADANIE 1 1. Podaj definicję wyraŝeń:
Bardziej szczegółowoćwiczenia 15 zaliczenie z oceną
Wydział: Prawo i Administracja Nazwa kierunku kształcenia: Prawo Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. dr hab. Kazimierz Pawłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoWSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE
27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).
Bardziej szczegółowoWybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Bardziej szczegółowowypowiedzi inferencyjnych
Wnioskowania Pojęcie wnioskowania Wnioskowanie jest to proces myślowy, w którym na podstawie mniej lub bardziej stanowczego uznania pewnych zdań zwanych przesłankami dochodzimy do uznania innego zdania
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 15 zaliczenie z oceną
Wydział: Prawo i Administracja Nazwa kierunku kształcenia: Prawo Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. dr hab. Kazimierz Pawłowski Poziom studiów (I lub II stopnia): Jednolite magisterskie Tryb
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoLista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
Bardziej szczegółowoNOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 5. Układ przesłanek jest sprzeczny, gdy ich koniunkcja jest kontrtautologią.
Błędy popełniane przy wnioskowaniach: 1) Błąd formalny popełniamy twierdząc, że dane wnioskowanie jest dedukcyjne w sytuacji, gdy schemat tego wnioskowania jest zawodny, tj. gdy wniosek nie wynika logicznie
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki. Logika Matematyczna. Marcelina Borcz.
5 marca 2009 Spis treści 1 2 3 4 5 6 Logika (z gr. logos - rozum) zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika matematyczna,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Gry plan: jak używamy terminu wynikanie w potocznych kontekstach? racja, następstwo i związki
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowo4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoZastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania
Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać
Bardziej szczegółowoDalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Bardziej szczegółowoCzyli o tautologiach, kontrtautologiach i zbiorach zdań semantycznie niesprzecznych część II.
Czyli o tautologiach, kontrtautologiach i zbiorach zdań semantycznie niesprzecznych część II TYP 2 KONTRTAUTOLOGIK POSPOLITY Jego cechą charakterystyczną jest wypowiadanie zdao będących wyłącznie schematami
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów skrót wykładu 1.
Matematyka dla biologów skrót wykładu 1. Dariusz Wrzosek Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski, Banacha 2, 02-097 Warszawa pokój
Bardziej szczegółowoLogika dla socjologów
Logika dla socjologów Część 6: Modele rozumowań. Pojęcie wynikania Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Modele rozumowań 2 Wynikanie 3 Rozumowania poprawne
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:
LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 10. WNIOSKOWANIE W LOGICE ROZMYTEJ Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska WNIOSKOWANIE W LOGICE DWUWARTOŚCIOWEJ W logice
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoPiotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 13. metodologia nauk
WYKŁAD 13 metodologia nauk 1 Uwaga organizacyjna (oczywista): Na egzamin przychodzimy z indeksem. Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest wpis zaliczający ćwiczenia. Osoba nie mająca przy sobie indeksu
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowo14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII
14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII Cele Pojęcie wynikania logicznego i równoważności logicznej w systemie SD. Umiejętność wykazywania zachodzenia relacji
Bardziej szczegółowoElementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoSTANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI. METODY HEURYSTYCZNE wykład 6. (alternatywa dla s) (zdef. poprzez klasę s) GAUSSOWSKA F.
METODY HEURYSTYCZNE wykład 6 STANDARDOWE FUNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI 2 GAUSSOWSKA F. PRZYNALEŻNOŚCI F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s środek; a określa szerokość krzywej 3 4 F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY π F. PRZYNALEŻNOŚCI
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I
Wprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan: definicja pojęcia wnioskowania wypowiedzi inferencyjne i wypowiedzi argumentacyjne
Bardziej szczegółowoKonspekt do wykładu z Logiki I
Andrzej Pietruszczak Konspekt do wykładu z Logiki I (z dnia 24.11.2006) Poprawność rozumowania. Wynikanie Na wykładzie, na którym omawialiśmy przedmiot logiki, powiedzieliśmy, że pojęcie logiki wiąże się
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Bardziej szczegółowoPiotr Chrząstowski-Wachtel Warsaw University, SWPS. Dlaczego informatycy tak lubią logikę?
Piotr Chrząstowski-Wachtel Warsaw University, SWPS Dlaczego informatycy tak lubią logikę? Logika Jedna z najstarszych dyscyplin naukowych Zajmuje się wnioskowaniem odkrywaniem nowych faktów na podstawie
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Bardziej szczegółowoCzyli o tautologiach, kontrtautologiach i zbiorach zdań semantycznie niesprzecznych część II.
Czyli o tautologiach, kontrtautologiach i zbiorach zdań semantycznie niesprzecznych część II TYP 3 SPRZECZNIK WREDNAWY Ten typ jest bardziej rozmowny. Wypowiada zazwyczaj kilka zdao. Ich cechą jest to,
Bardziej szczegółowoKrakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2012/2013
Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 01/013 WydziałPrawa, Administracji i Stosunków Miedzynarodowych Kierunek
Bardziej szczegółowo