Rachunek zdań I i II rzędu

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek zdań I i II rzędu"

Transkrypt

1 RachunekzdańIiIIrzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel(32) ,Fax(32) Wykład IV

2 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów Rachunek zdań jest także jednym ze sposobów zapisu wiedzy. Można by stwierdzić, ze jest on systemem wyrażeń będących formułami prawdziwymi, w którym nie stosuje się konkretnych zdań, lecz posługuje się tzw. zmiennymi zdaniowymi reprezentującymi zdania. Cała teoria opiera się na klasycznej logice dwuwartościowej, zgodnie z którą, za zmienne zdaniowe można podstawiać takie zdania, którym odpowiada wartość logiczna TRUE(prawda) lub FALSE (fałsz), tzn. takie, które uznane są odpowiednio za prawdziwe lub fałszywe.oprócz wyrażeń prostych, w rachunku zdań tworzone są również wyrażenia złożone. Powstają one z wyrażeń prostych przy wykorzystaniu funktorów zdaniotwórczych(spójników). Klasyczny rachunek zdań stosuje następujące spójniki: negacja (nieprawda, ze), koniunkcja (i), alternatywa (lub), implikacja (jeżeli to), równoważność (wtedy i tylko wtedy gdy).

3 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów To, czy otrzymane w ten sposób wyrażenia są fałszywe czy tez prawdziwe, zależy wyłącznie od prawdziwości lub fałszywości zdań składowych. Zdania, które są prawdziwe niezależnie od wartości logicznej występujących w nich zmiennych zdaniowych, nazywane są tautologiami. Przykładem tautologii jest prawo logiczne: (p q) ( q p) gdzie przyjmując, ze zmienne zdaniowe p i q reprezentują odpowiednio zdania: X jest dzieckiem i X jest niepełnoletni, możemy interpretować pokazaną tautologię jako schemat zdania: jest prawdą, że jeżeli X jest dzieckiem to X jest niepełnoletni, to prawdą jest także stwierdzenie, ze jeżeli X nie jest niepełnoletni to X nie jest dzieckiem.(w potocznym rozumowaniu to znaczy, ze jeżelixjestdorosłytoxniejestdzieckiem,corzeczywiściejestzgodnez rzeczywistością. Rachunek predykatów odgrywa istotna rolę wśród metod reprezentacji wiedzy, stanowiąc podstawę programowania w logice. Rachunek ten jest rozszerzeniem rachunku zdań przez wprowadzenie kwantyfikatorów: 1 :dlakażdego, 2 :istniejetakie,że.

4 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów Predykat- analiza Rachunek zdań wykonuje działania na zdaniach posiadających jakąś wartość logiczną, ale nie wnika w treść tych zdań. Z punktu widzenia gramatyki, predykat pełni rolę orzeczenia i składa się z nazwy i dowolnej liczby argumentów, które są nazywane termami(stałe(symbole) alfanumeryczne, numeryczne, zmienne i wyrażenia). Podstawiając stałe za zmienne otrzymujemy zdania prawdziwe lub fałszywe, dlatego w tak prosty i zrozumiały sposób predykaty interpretują wyrażane zdania. Podstawowe wyrażenia w rachunku zdań noszą nazwę termów, a wyrażenia złożone nazywamy formułami. Z formalnego punktu widzenia predykat rozpatruje się jako funkcję odwzorowującą argumenty predykatu(termy) w wartości TRUE lub FALSEi zapisuje się go podobnie jak funkcję w postaci: PREDYKAT(ARGUMENT). np.:posiada indeks(student), jest synem(adam, Jacek). Predykaty powyższe należy interpretować odpowiednio: student posiada indeks, Adam jest synem Jacka.

5 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów Wyróżnia się rachunek predykatów I-go i II-go rzędu. Rachunek predykatów I-go rzędu operuje na pojęciach abstrakcyjnych, posiada mechanizmy pozwalające opisać prawa, którym podlegają obiekty systemu. Funkcje zdaniowe reprezentowane są za pomocą reguł zawierających implikację.np.: (p q) gdziepiqtopredykaty,toregułapostaci: JeżelipToq. Każda funkcjazdaniowa w której występuje równoważność to dwie reguły. Np.: (p q) gdziepiqtopredykaty,todwiereguły: (p q)oraz (q p). Jednakże, nie wszystkie pojęcia o otaczającej nas rzeczywistości dają się reprezentować w logice. Z tego powodu, nie każda reguła utworzona z predykatu, który nie jest prawem logicznym, jest prawdziwa. Podobnie, nie każda reguła utworzona ze schematu wnioskowania jest prawdziwa, gdyż nie wszystkie schematy wnioskowania są niezawodne. Nie istnieje jednak metoda, która sprostałaby wszystkim wymaganiom.

6 Metody dowodzenia prawdziwości schematów Wnioskowanie jest procesem myślowym, w którym na podstawie uznania pewnych zdań, zwanych przesłankami, dochodzimy do uznania innego zdania, zwanego wnioskiem. Wnioskowanie w systemach ekspertowych oparte jest na logice matematycznej, która bada, czy z założeń wynikają konkluzje, niezależnie od ich prawdziwości lub fałszywości i niezależnie od tego, jakich spraw dotyczą. Zbiór, praktycznie rzecz biorąc, wszystkich metod wnioskowania spotykanych w matematyce, daje tzw. klasyczny system logiki, na który składają się klasyczny rachunek zdań, badający wartość logiczną zdań złożonych(alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność zdań) i klasyczny rachunek kwantyfikatorów. Klasyczne określenie prawdy głosi, że prawdziwe jest zdanie, które opisuje taki stan rzeczy, który istotnie ma miejsce - fałszywe zaś jest zdanie opisujące nieistniejący stan rzeczy. Rozumowanie to opiera się bowiem na tzw. zasadzie dwuwartościowości, która głosi, że każde zdanie ma jedną i tylko jedną z dwóch wartości logicznych: prawdyifałszu.oznaczato,zekażdezdaniejestprawdziwelubfałszyweize żadne zdanie nie jest zarazem prawdziwe i fałszywe.

7 Logika- Wprowadzenie Słowniczek pojęć z logiki Logikę dzielimy na: 1 Semiotykę- bada relacje pomiędzy wyrażeniami językowymi a rzeczywistością pozajęzykową Syntaktyka- dziedzina semiotyki, która bada relacje pomiędzy znakami językowymi ze względu na kształt i bez względu na ich znaczenie Semantyka- bada relacje zachodzące pomiędzy znakami a rzeczami pozajęzyk. Pragmatyka- bada relacje zachodzące pomiędzy znakami językowymi a użytkownikami tych znaków. 2 Logikę formalną- wyznacza niezawodne schematy rozumowe. 3 Metodologię- a) ogólna, b) szczegółowa

8 Logika- Wprowadzenie- cd Słowniczekpojęćzlogiki-cd Zdanie w sensie logicznym- jest to wyrażenie opisujące jakąś sytuację, które jest prawdziwe albo fałszywe. Prawdziwość- zdanie jest prawdziwe jeśli opisuje sytuację, która zachodzi w rzeczywistości pozajęzykowej. Fałszywość- zdanie jest fałszywe jeśli opisuje sytuację, która nie zachodzi w rzeczywistości pozajęzykowej. Ontologiczna zasada niesprzeczności- jest prawdziwa z powodu otaczającej rzeczywistości a nie z powodu autorytetu Arystotelesa. Wartości logiczne są obiektywnymi własnościami zdań. Zdanie hipotetyczne- jest wtedy gdy uznaje się je za prawdopodobnie prawdziwe. Zdanie supozycyjne- jest wtedy gdy jego prawdziwość została założona dla celów jakiejś argumentacji.

9 Logika- Wprowadzenie Słowniczek pojęć z logiki Sensowność- zdanie jest sensowne w jakimś języku gdy jest konstruowane zgodnie z zasadami składniowymi tego języka. Fałszywość- aby dane wyrażenie było fałszywe musi być ono sensowne. Fałsz jest wartością logiczną zdania i należy go odróżnić od nonsensu. Nonsens- wyrażenie jest nonsensem danego języka wtedy gdy nie jest skonstruowane zgodnie z reg. składniowymi tego języka. Niezawodny schemat rozumowy- to taki schemat, w którym prawdziwość przesłania gwarantuje prawdziwość wniosku. Nie możliwe jest by otrzymać prawdziwy wniosek przy fałszywej przesłance. A A. Funktor- wyrażenie, które posiada argumenty i które tworzy razem z tymi argumentami nowe zdanie lub inny funktor. Przyjmuje się, że samodzielnymi kategoriami syntaktycznymi są nazwy i zdania a niesamodzielnymi funktory tzn. ich znaczenie zależy od argumentów. Funktory dzielimy na: zdaniotwórcze, funktorotwórcze, nazwotwórcze. Funktory mogą mieć wiele argumentów np.

10 Logika- Wprowadzenie Słowniczek pojęć z logiki Predykat- jest to funktor zdaniowy od argumentów nazwowowych. Kwantyfikator ogólny(duży) Dla każdego...(tu wstawiamy zmienną)...jest tak, że...(tu stawiamy zasięg) x(gdzie x jest np. człowiekiem) Kwantyfikator szczegółowy(mały lub egzystencjalny): Dla niektórych...( tu wstawiamy zmienną)...jest tak, że...(tu wstawiamy zasięg) x( gdzie x jest człowiekiem) Funktor prawdziwościowy- jest to funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych(tzn.posiadaonwskaźnikz/z 1...Z n)takich,żewartość logiczna zdania utworzonego przez ten funktor zależy wyłącznie od tego jakie są wartości logiczne jego argumentów.

11 Logika- Wprowadzenie Funktor negacji- nieprawda, że p p Funktorkoniunkcji-p q(np.piq) p q p q

12 Logika- Wprowadzenie Funktoralternatywy-p q(plubq) alternatywa zwykła- alternatywa zwykła jest prawdziwa jeżeli przynajmniej p q p q jeden jej człon jest prawdziwy, jest ona przemienna alternatywarozłączna-p q dyzjunkcja- p/q p q p q p q p/q

13 Logika- Wprowadzenie Funktorimplikacji-p q- jeżeliptoq Implikacja jest fałszywa tylko wtedy gdy poprzednik(p) jest prawdą(1). Implikacja nie jest przemienna tzn. wartość poprzednika następnika decyduje o wartości implikacji. p q p q

14 Reguły wnioskowania Reguły wnioskowania w logice to zasady przekształcania zdań, w których wymienia się założenia(uznane za aksjomaty) oraz wskazuje sposoby poprawnego(tj. zgodnego z prawami logiki) wprowadzania nowych twierdzeń. Podstawowe reguły wnioskowania w logice to: Reguły wnioskowania: reguła odrywania- modus ponens reguła modus tollens

15 Reguły wnioskowania Reguła odrywania Reguła odrywania nazywana najczęściej regułą modus ponens, oparta na prawie modus ponendo ponens, zgodnie z którym, jeśli prawdziwa jest implikacja i jej poprzednik, to dozwolone jest zawsze uznanie prawdziwości także i następnika takiej implikacji. Reguła ta ma postać: p q p q imówi,żejeżelizprzesłankipwynikafaktq(pimplikujeq)ipjestprawdziwe, toqtakżeprzyjmujesięzaprawdziwe.natejreguleopierasięproces wnioskowania w przód Np. Jeślijestładnapogoda,toidęnaspacer Dziś jest ładna pogoda Idę na spacer

16 Reguły wnioskowania Reguła modus tollens Reguła modus tollens oparta na prawie logicznym modus tollendo tollens, które stwierdza, ze z implikacji i wyrażenia sprzecznego z jej następnikiem wynika wyrażenie sprzeczne z jej poprzednikiem, a więc stwierdza niezawodność schematów: ((p q) q) p (( p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p Oto przykład wnioskowania podpadającego pod pierwszy schemat: Jeżeli X jest dzieckiem to X jest niepełnoletni Paweł nie jest niepełnoletni Paweł nie jest dzieckiem

17 Rachunek zdań Tautologia - Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących. Wybrane prawa rachunku zdań (p q) = (q p)-prawoprzemiennościkoniunkcji (p q) = (q p)-prawoprzemiennościalternatywy (p q) r =p (q r)-prawołącznościkoniunkcji (p q) r =p (q r)-prawołącznościalternatywy [(p q) r] = [(p r) (q r)]-praworozdzielczościalternatywy [(p q) r] = [(p r) (q r)]-praworozdzielczościkoniunkcji (p p)- prawo wyłączonego środka(tertium non datur) (p p)-prawosprzeczności p (p q)-prawopochłaniania (p q) p-prawopochłaniania

18 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań ( p) p prawo podwójnego zaprzeczenia (p q) ( p q) prawo de Morgana- zaprzeczenie koniunkcji (ekskluzja) (p q) ( p q) prawo de Morgana- zaprzeczenie alternatywy (binegacja) p q ( q p) prawotranspozycji (p q) (p q) prawozaprzeczeniaimplikacji (p q) (q r) (q r) prawoprzechodniościimplikacji [(p q) p] q prawosylogizmukonstrukcyjnego (modus ponendo ponens) [(p q) q] p prawo sylogizmu destrukcyjnego (modus tollendo tollens) [(p q) q] p prawosylogizmualternatywnego (modus tollendo ponens)

19 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań p p prawo tożsamości dla implikacji (p q) (p q) prawoprzeczeniaimplikacji (p q) ( p q) prawoeliminacjiimplikacji (p q) ( q p) prawotranspozycjiprostej [(p q) r] (( r p) q) prawotranspozycjizłożonej [(p q) r] (( r q) p) [(p q) r)] ([p (q r)] prawoeksportacji [p (q r)] [(p q) r] prawoimportacji [p (q r)] [q (p r)] prawokomutacji [(p r) (q r)] [(p q) r] prawołączenia [(p q) r] [(p r) (q r)] praworozłączania [(p q) (p r)] [p (q r)] prawokompozycji

20 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań [(p q] [(r s)] [(p r) (q s)] prawomnożeniaimplikacji [(p q) (q r)] (p r) prawosylogizmu hipotetycznego(koniunkcyjne) (p q) [(q r) (p r)] prawosylogizmu hipotetycznego(bezkoniunkcyjne) {(p q) [(p r) (q r)]} r prawodylematu konstrukcyjnego prostego {(p q) [(p r) (q s)]} (r s) prawodylematu konstrukcyjnego złożonego (p r) [(p r) (r p)] prawoeliminacji równoważności I (p r) [(p r) ( p r)] prawoeliminacji równoważności II

21 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań (p q) p p (q p) p (p q) (p p) q (p p) p p (p q) (p q) p prawosymplifikacji dla koniunkcji prawosymplifikacji dla implikacji (prawo charakterystyki prawdy) prawodunsaszkotai (prawo charakterystyki fałszu) prawodunsaszkotaii prawoclaviusa prawopochłaniania dla alternatywy (prawo addycji) prawopochłaniania dla koniunkcji (prawo symplifikacji dla koniunkcji) (p q) [(p r) (q r)] prawonowegoczynnika (p q) [(p r) (q r)] prawonowegoskładnika

22 Wybrane prawa rachunku zdań kompendium praw rachunko zdań Do nauczenia:! 1 ((p q) p) q-regułaodrywaniaro 2 regułamodustollensmt: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q) q) p 3 ((p q) q) p-regułaopuszczaniaalternatywyoa 4 (p p) q-prawodunsaszkota 5 reguła odrywania koniunkcji OK: (p q) p (p q) q 6 p q (p q)-reguładołączaniakoniunkcjidk 7 (p q) p q-prawozastępowaniaimplikacjizi 8 (p q) p qprawonegowaniakoniunkcjink 9 (p q) p qprawonegowaniaalternatywyna

23 Formuła jest: spełniona przy danym wartościowaniu zmiennych, jeżeli przy tym wartościowaniu ma ona wartość PRAWDY; spełnialna, jeżeli istnieje wartościowanie zmiennych, dla którego ta formuła jest spełniona; prawdziwa(jest tautologią), jeśli jest spełniona dla każdego wartościowania zmiennych; sprzeczna, jeśli nie jest spełniona(ma wartość Fałszu) dla żadnego wartościowania zmiennych.

24 Metoda zero-jedynkowa Przykładamitautologiisąformuły: (p q) ( p q)oraz (p q) p qzwaneprawamidemorgana.abysięotymprzekonać rysujemy tabelkę umieszczając w kolumnach 1 i 2 wartości zmiennych zdaniowychpiq.wkolumnie3umieszczamywartościformułyp qwyliczone z użyciem tabelki dla alternatywy. W kolumnie 4 obliczamy, w oparciu o tabelkę negacji,wartościformuły (p q).kolumny5i6wyznaczamyrównieżw oparciu o tabelkę negacji. Aby wyznaczyć wartości formuły ( p) ( q) korzystamy z wartości zapisanych w kolumnach 5 i 6 i z tabelki koniunkcji. Ostatnią, ósmą kolumnę wyznaczamy przy użyciu tabelki dla równoważności z wartości logicznych zapisanych w kolumnach 4 i 7. Po skonstruowaniu tabelki zauważamy, że dla każdego z czterech możliwych wartościowań zmiennych p i q formuła (p q) ( p) ( q)mawartośćlogicznątrue,jestwięc tautologią.

25

26 Metoda skrócona zero-jedynkowa Sprawdzenie czy formuła jest tautologią można znacznie przyspieszyć, jeśli zamiast bezmyślnie sprawdzać wartość formuły dla wszystkich możliwych wartościowań zmiennych, będziemy świadomie poszukiwać wartościowania, dla którego formuła nie jest spełniona. Ustalenie takiego wartościowania przekona nas, że formuła nie jest tautologią, dojście do sprzeczności zaś że nią jest. Rozważmydlaustaleniauwagiformułę ( p q) (( p q) q). Formuła ta nie jest spełniona, jeśli poprzednik implikacji p q jest prawdziwy przy pewnym wartościowaniu, jej następnik ( p q) q zaś fałszywy przy tym wartościowaniu. Formuła ( p q) q jest fałszywa tylko wówczas,gdy p qjestspełnionaorazσ(q) =F.Ale p qjest spełnionadlaσ(q) =Ftylkowówczas,gdy pniejestspełniona,tj.gdy σ(p) =T.Zauważamynakoniec,żeprzywartościowaniuσ(p) =Tiσ(q) =F nasza wyjściowa formuła istotnie nie jest spełniona, nie jest więc tautologią.

27

28 Dowodzenie prawdziwości schematów wnioskowania Aby udowodnić prawdziwość jakiegoś stwierdzenia, które nie jest aksjomatem (pewnikiem), wystarczy wykorzystać jedną z następujących metod dowodzenia poprawności schematów logicznych: 1 metoda zero-jedynkowa, 2 skrócona metoda zero-jedynkowa, 3 metoda założeniowa.

29 Metoda zerojedynkowa Metoda zerojedynkowa polega na wyznaczaniu wartości logicznej zdania przez wartości logiczne jej składników. Aby rozstrzygnąć, czy dany schemat jest tautologią, nalezy rozważyć wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych zmiennych w niej występujących. Jeżeli w każdym przypadku wartość formuły(wyrażenia logiczne połączone funktorami) wynosi 1, to ta formuła jest tautologią. W tym celu niezbędna jest znajomość tzw. tabel prawdy dla poszczególnych operacji logicznych: sumy logicznej(alternatywy), iloczynu logicznego(koniunkcji), negacji, implikacji. Przedstawione one zostały poniżej w tabeli. Zapamiętaj!! 1=PRAWDA,0=FAŁSZ x y x y x y x x y

30 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r) 0 0 0

31 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

32 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

33 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

34 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

35 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

36 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

37 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

38 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r))

39 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

40 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

41 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

42 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

43 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

44 Metoda zerojedynkowa Wówczas niezawodność schematu postaci: ((p q) (q r)) (p r) będzie wykazana w następujący sposób: p q r p q q r (p q) (q r) p r ((p q) (q r)) (p r) Metoda ta pozwala na jednoznaczne stwierdzenie, czy schemat wnioskowania jest poprawny czy nie, jednakże nie zawsze jest uznawana w pełni formalną i wystarczającą metodę dowodzenia celu. Istnieje także pewnego rodzaju modyfikacja metody zerojedynkowej, noszącą nazwę skróconej metody zerojedynkowej.

45 Skrócona metoda zerojedynkowa Skrócona metoda zerojedynkowa Pozwala ona wykazać, że wyrażenie rachunku zdań o postaci implikacji jest prawem logicznym, w sytuacji, gdy wykluczone jest, by dla jakiegoś układu wartości logicznych przyporządkowanego zmiennym, poprzednik tej implikacji był prawdziwy a jej następnik fałszywy. Metoda ta jest często wykorzystywana, gdyż pozwala na uzyskanie tego samego rezultatu co metoda zerojedynkowa, bez konieczności sprawdzania wszystkich kombinacji zmiennych logicznych. Dzieje się tak dlatego, iz jeśli wszystkie przesłanki mają wartość logiczną 1, to wniosekmusimiećwartość1,lub,zejeśliwniosekmawartośćlogiczną0,to przynajmniej jedna z przesłanek ma wartość 0.

46 Przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: ((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r) krok ?? ! ! 9 1 1! 10 SPRZECZNOŚĆ:q=1iq=0orazr =0ir =1

47 Zastosowania metody zero-jedynkowej Metoda zero-jedynkowa polega na budowie i analizie matrycy logicznej formuły; może być stosowana do: weryfikacji tautologii(dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jest true) weryfikacji niespełnialności(dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jest false) badania równoważności formuł(dla każdej interpretacji wartości logiczne są takie same) weryfikacji logicznej konsekwencji(dla każdej interpretacji prawdziwość formuły musi pociągać prawdziwość jej konsekwencji) wyznaczania interpretacji przy których formuła jest prawdziwa lub fałszywa.

48 Metoda założeniowa Wyróżniamy dwie techniki metody założeniowej: założeniowy dowód ńie wprost założeniowy dowód wprost Metoda założeniowego dowodu ńie wprost poleganatym,żeztwierdzeniawwpostaci w1 (w2 w3...(wn W))wypisujemynajpierwwyrażenia w1,...,wninastępnienegacjęwyrażeniaw.dalszewyrażeniadołączamydo dowodu korzystając z przyjętych reguł i twierdzeń wcześniej udowodnionych. Dowód jest zakończony jeżeli wystapią w nim dwa wyrażenia, z których jedno jest negacją drugiego.

49 Wybrane prawa rachunku zdań kompendium praw rachunko zdań Do nauczenia:! 1 ((p q) p) q-regułaodrywaniaro 2 regułamodustollensmt: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q) q) p 3 ((p q) q) p-regułaopuszczaniaalternatywyoa 4 (p p) q-prawodunsaszkota 5 reguła odrywania koniunkcji OK: (p q) p (p q) q 6 p q (p q)-reguładołączaniakoniunkcjidk 7 (p q) p q-prawozastępowaniaimplikacjizi 8 (p q) p qprawonegowaniakoniunkcjink 9 (p q) p qprawonegowaniaalternatywyna

50 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: ((p q) (q r)) (p r) zapisujemy w następujący sposób: 1 p q

51 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r

52 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN

53 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(1)]

54 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(1)] 5 q r [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(2)]

55 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(1)] 5 q r [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]

56 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)]

57 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)] 8 p r [zprawapodwójnejnegacjipn(7)]

58 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [zregułyzastępowaniaimplikacjizi(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)] 8 p r [zprawapodwójnejnegacjipn(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]

59 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)] 8 p r [zprawapodwójnejnegacjipn(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]

60 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)] 8 p r [zprawapodwójnejnegacjipn(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)]

61 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)] 8 p r [zprawapodwójnejnegacjipn(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)] 12 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(5,10)]

62 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [zregułynegowaniaalternatywyna(6)] 8 p r [zprawapodwójnejnegacjipn(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)] 12 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(5,10)] Zaszłasprzecznośćdlazdań11oraz12,awięcdowódbyłprawdziwy,ajedynie negacji tezy doprowadziła do sprzeczności. Skoro więc zaprzeczona teza jest niemożliwa, to prawdziwa jest niezaprzeczona teza.

63 Metoda założeniowego dowodu wprost Metoda założeniowego dowodu wprost poleganatym,żeztwierdzeniawwpostaci w1 (w2 w3...(wn W))wypisujemynajpierwwyrażenia w1,...,wnpotemzaśwyrażenia,nadołączeniektórychpozwalająprzyjęte reguły. Wolno też dołączyć do dowodu twierdzenia wcześniej udowodnione. Dowódjestzakończony,gdywystąpiwnimwyrażenieW. Można inaczej powiedzieć, że w metodzie założeniowej(wprost) rozpatrywany schemat uznajemy za niezawodny, gdy w wyniku kolejnych działań, podczas których uzyskujemy schematy juz udowodnione jako niezawodne, ostatecznie uzyskamy cel wnioskowania(konkluzję całego wyrażenia). Nie można jednak na niej polegać w przypadku wykazywania zawodności schematów.

64 Metoda założeniowego dowodu wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 p 4 q [ z reguły odrywania RO(1, 3)] 5 r [ z reguły odrywania RO(2, 4)] Zgodnie z metodą założeniową dowód rozpoczynać powinno wypisanie założeń, którymi są przesłanki dowodzonego schematu i poprzednik jej wniosku. Komentarze umieszczone na boku mówią o tym, z których wierszy wcześniejszych kolejne wiersze są otrzymane przy pomocy reguły odrywania. Dowód jest zakończony, gdyż otrzymaliśmy następnik wniosku.

65 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

66 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

67 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

68 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

69 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

70 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok p =1 r =0

71 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

72 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

73 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok czyliq=1?

74 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok czyliq=1?czyq=0?sprzeczność!

75 Metoda założeniowego dowodu ńie wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: (( p q) ( q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 p r DN 4 p [ z reguły odrywania koniunkcji OK(3)] 5 r [z reguły odrywania koniunkcji OK(3)] 6 q [ z reguły opuszczania alternatywy OA(1,4)] 7 r [ z reguły opuszczania alternatywy OA(2,6)] SPRZECZNOŚĆ7Z5.... a więc dowód był prawdziwy, a jedynie negacji tezy doprowadziła do sprzeczności. Skoro więc zaprzeczona teza jest niemożliwa, to prawdziwa jest niezaprzeczona teza.

76 Metoda założeniowego dowodu wprost- przykład Dowód niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) gdzie:teza: (p r) p r p rzapisujemywnastępującysposób: 1 p q założenie 2 q r założenie 3 p założenie 4 q [ z reguły opuszczania alternatywy OA(1,3)] 5 r [ z reguły opuszczania alternatywy OA(2,4)]

77 Rachunek zdań II-go rzędu- Kwantyfikatory Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale(oczywiście logiczne), występujące sobie w(noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logików w następujący sposób: kwantyfikator ogólny, zapisywany jako, czytany jako: dla każdego... kwantyfikator szczegółowy(egzystencialny), zapisywany jako, czytany jako: istniejetaki...,że... NAZWY- są dowolne zmienne- pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i oznaczamy je małymi literami w następujący sposób: x, y, z... PREDYKATY-sątozmienne-własnościNAZWirelacjemiedzytymi NAZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami: P, Q, R, S... Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE (zapisuje się to zawsze tak: P(x)), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI (zapis:p(x,y)). SCHEMAT ZDANIOWY- jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawartość zdania, np.: xp(x)-czytajjako: Dlakażdegox,xjestPtakiem yq(y)-czytajjako: Istniejetakiy,żeyjestKurą

78 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Wypisujemy sobie zmienne nazwowe(nazwy), którymi są zawsze tylko te wszystkie podmioty(rzeczowniki), w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisowa: x-kubuś y-antykubuś z-czas

79 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. 1 Tworzenie zmiennych predykatowych(predykatów): K(x)-xjestKubusiem A(y)- y jest Antykubusiem C(z)-zjestczasem W(x,y)-xwidziały G(y,z)-ygoniłz 2 Przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę ułatwiającą nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów: (Jeden) Kubuś widział(jednego) Antykubusia, goniącego(jeden) czas. Mamy teraz pewność, że: Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki y, że y jest Antykubusiem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki z, że z jest czasem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.

80 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Przystępujemy do zapisania naszego zdania w postaci schematu kwantyfikatorowego: x{k(x) y[a(y) W(x,y) z(c(z) G(y,z)]} gdzie: K(x)-xjestKubusiem A(y)- y jest Antykubusiem C(z)-zjestczasem W(x,y)-xwidziały G(y,z)-ygoniłz

81 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. alepokolei... xk(x) czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem... x{k(x) y[a(y)... czytajjako:istniejetakix,zexjestkubusiemiistniejetakiy,zeyjest Antykubusiem...

82 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator x{k(x) y[a(y) W(x,y)... coczytamyjako: Istniejetakix,zexjestKubusiemiistniejetakiy,zeyjest Antykubusiem i x widział y... Kolejny krok to konieczność przedstawienia w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania- czasu, który jest tu nierozłącznie związany z Antykubusiem- to on figluje z nim. Pamiętamy oczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotąd napisaliśmy x{k(x) y[a(y) W(x,y) z(c(z)... czytamyjako: Istniejetakix,zexjestKubusiemiistniejetakiy,zeyjest Antykubusiemixwidziałyiistniejetakiz,zezjestczasem... Noinie pozostało nam nic innego, jak dopełnienie schematu relacja zachodząca pomiędzy Antykubusiem i czasem- y gonił z, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to mały kwantyfikator: x{k(x) y[a(y) W(x,y) z(c(z) G(y,z)]} coczytamyjako:istniejetakix,żexjestkubusiemiistniejetakiy,żeyjest Antykubusiemixwidziałyiistniejetakiz,żezjestczasemiygoniłz.

83 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. [ (Jeden) Kubuś widział(jednego) Antykubusia, goniącego(jeden) czas. ] x-kubuś y-antykubuś z-czas K(x)-xjestkubusiem A(y)-y jest Antykubusiem C(y)-zjestczasem W(x,y)-xwidziały G(y,z)-ygoniłz x{k(x) y[a(y) W(x,y) z(c(z) G(y,z)]} Istniejetakix,żexjestKubusiemiistniejetakiy,żeyjestAntykubusiemix widziałyiistniejetakiz,żezjestczasemiygoniłz.

84 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. 1 Wypisujemy zmienne nazwowe(nazwy): x-mis y-miodek z-człowiek 2 Tworzymy zmienne predykatowe(predykaty): M(x)-xjestmisiem U(y)-yjestmiodkiem C(z)-zjestCzłowiekiem Z(x,y)-xzjaday W(z,y)-zwyprodukowały x{m(x) y[u(y) Z(x,y) z(c(z) W(z,y)]}

85 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. x{m(x) y[u(y) Z(x,y) z(c(z) W(z,y)]} Negacja jest konieczna, ponieważ w naszym zdaniu jest jednoznaczne zaprzeczenie temu, że istnieje jakiś miodek ludzkiej produkcji, który odważyłby się zjeść wszystkie misie... pokolei... Rozpoczynamy od napisania faktu, że to, co tu dzieje się, dotyczy każdego misia: x{m(x)... UWAGA!Czytasiętotak: Dlakażdegox,xjestmisiem... Terazkolejna NAZWA, która jest wobec misia podrzędną x{m(x) y[u(y)... Dlakażdegox,xjestmisiem,toNIEistniejetakiy,żeyjestmiodkiem...

86 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. Teraz relacja zachodząca miedzy pierwszą i drugą NAZWĄ, pamiętamy, żeby zastosować symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator: x{m(x) y[u(y) Z(x,y)... Dlakażdegox,xjestmisiem,toNIEistniejetakiy,żeyjestmiodkiemix zjaday... Przedstawiamy w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania- Człowieka, który jest tu nierozłącznie związany z miodkiem. Pamiętamy oczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotychczas napisaliśmy(ostatnio wpisaliśmy mały kwantyfikator): x{m(x) y[u(y) Z(x,y) z(c(z)... Dlakażdegox,xjestmisiem,toNIEistniejetakiy,żeyjestmiodkiemix zjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem... Dopełniamy schemat relacja zachodząca pomiędzy Człowiekiem i miodkiem- ź wyprodukował y, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to ostatni mały kwantyfikator: x{m(x) y[u(y) Z(x,y) z(c(z) W(z,y)]} Dlakażdegox,xjestmisiem,toNIEistniejetakiy,żeyjestmiodkiemix zjaday,iistniejetakiz,żezjestczłowiekiem,izwyprodukowały.

87 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. Podsumowując, cala praca powinna wyglądać następująco: Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. [ Dla każdego misia nie istnieje taki(jeden) miodek, który nadawałby się do zjedzenia i zostałby wyprodukowany przez(jednego) Człowieka. ] x-mis y-miodek z-człowiek M(x)-xjestmisiem U(y)-yjestmiodkiem C(z)-zjestCzłowiekiem Z(x,y)-xzjaday W(z,y)-zwyprodukowały x{m(x) y[u(y) Z(x,y) z(c(z) W(z,y)]} Dlakażdegox,jeżelixjestmisiem,toNIEistniejetakiy,żeyjestmiodkiem ixzjaday,iistniejetakiz,żezjestczłowiekiemizwyprodukowały.

88 Ćwiczenia Ćwiczenia

89 Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka(przynajmniej jedna) istota, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem. ] colorbluex- istota C(x)-xjestCzłowiekiem A(x)-xjestAniołem x(c(x) A(x)) - Mały kwantyfikator, bo zdanie nie mówi o wszystkich Ludziach, ale o niektórych z nich. - Koniunkcja, bo to nieodłączna towarzyszka małego kwantyfikatora. -Wobunawiasach x,bowtymprzypadkuchodziojednaitasamaistotę, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem.

90 Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami. [mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka(przynajmniej jedna) istota, która jest Człowiekiem i nie jest Aniołem. ] x-istota C(x)-xjestCzłowiekiem A(x)-xjestAniołem x(c(x) A(x)) colorred Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem.

91 Wszyscy Ludzie są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Każda istota, która jest Człowiekiem, jest jednocześnie Aniołem. ] x-istota C(x)-xjestCzłowiekiem A(x)-xjestAniołem x(c(x) A(x)) - Duży kwantyfikator, bo zdanie mówi o wszystkich Ludziach. - Implikacja, bo to nieodłączna towarzyszka dużego kwantyfikatora. -Wobunawiasach x,bowtymprzypadkuchodziowszystkieitesame istoty, które są jednocześnie ludźmi i Aniołami. Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem.

92 Żaden Człowiek nie jest Aniołem. mówiąc w uproszczeniu: WARIANT I- Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie jest Aniołem. lub też: WARIANT II- Ńie istnieje istota, która jest zarazem Człowiekiem ianiołem. x-istota C(x)-xjestCzłowiekiem A(x)-xjestAniołem 1 warianti x(c(x) A(x)) Dlakażdegox,jeżelixjestCzłowiekiem,toxniejestAniołem. 2 wariantii x(c(x) A(x)) Ńieistniejetakix,żexjestCzłowiekiemixjestAniołem.

93 Znajdowanie schematów wnioskowania i dowody ich niezawodności Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Jeśli założymy, że: x-zwierzę R(x)-zwierzęjestrybą S(x)- zwierzę jest ssakiem W(x)- zwierzę jest wielorybem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x(r(x) S(x)) x(w(x) R(x)) x(w(x) S(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu(w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie): R(x) S(x) W(x) R(x) W(x) S(x)

94 Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to: r s w r w s

95 metodą założeniową wprost 1 r s (zał.) 2 w r (zał.) 3 w (zał.) 4 r RO(2,3) 5 r s ZI(1) 6 r s PN(5) 7 s OK(6) metodą założeniową niewprost 1 r s (zał.) 2 w r (zał.) 3 (w s) (DN) 4 ( w s) ZI(3) 5 w s NA(4) 6 w s PN(5) 7 s OK(6) 8 w OK(6) 9 r RO(2,8) 10 r s ZI(1) 11 r s PN(10) 12 s OK(11) SPRZECZNE7i12.

96 Inny schemat wnioskowania Nie każdy człowiek jest pijakiem Każdy pijak jest człowiekiem nie każdy człowiek jest człowiekiem Jeśli założymy, że: x-istota C(x)- istota jest człowiekiem P(x)- istota jest pijakiem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x(c(x) P(x)) x(p(x) C(x)) x(c(x) C(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatory szczegółowe.

97 Teraz schemat wygląda następująco: x (C(x) P(x)) x(p(x) C(x)) x (C(x) C(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: (C(x) P(x)) P(x) C(x) (C(x) C(x)) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności.

98 Uproszczony zapis schematu to: (c p) p c (c c) Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco: 1 (c p) (zał.) 2 p c (zał.) 3 (c c) (DN) SPRZECZNE 5 i 6, zatem schemat jest niezawodny. 4 c c ZI(3) 5 c OK(4) 6 c OK(4)

99 Podsumowanie 1 Tautologia, Logika dwuwartościowa, tabele prawdy. 2 Metody badania niezawodności schematów wnioskowania: Metoda zerojedynkowa, Skrócona metoda zerojedynkowa. 3 Metody dowodu niezawodności schematów- metoda założeniowa: Założeniowa metoda dowodu wprost, Założeniowa metoda dowodu ńie wprost. 4 Rachunek zdań II-go- kwantyfikatory. 5 Rachunek predykatów- język PROLOG.

100 Literatura Pawlak Z.,(1983) Information Systems- theoretical foundations[polish], WNT, W-wa. Pogorzelski W.A.,(1973), Klasyczny rachunek zdan. Zarys teorii, PWN, Warszawa, Poland Cholewa W., Pedrycz W.,(1987), Systemy doradcze, skrypt Politechniki Śląskiej nr 1447, Gliwice, Poland Cichosz P.,(2001), Systemy uczące się, WNT,Warszawa, Poland Grzegorczyk A.,(1969), Zarys logiki matematycznej, PWN, Warszawa, Poland Paprzycka K., Samouczek logiki zdań i logiki kwantyfikatorów- dostępny na stronie:

Rachunek zdań I i II rzędu

Rachunek zdań I i II rzędu Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283 Wykład IV Teoretyczne podstawy rachunku predykatów

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe : predykaty

Systemy ekspertowe : predykaty Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 16 kwietnia 2012 Skrócona zero-jedynkowa Schematy wnioskowania metoda założeniowa Metoda zero-jedynkowa p (q p) (p q) p (p q) (p q) (p q) (p q) ( p q) (p q)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

Dowody założeniowe w KRZ

Dowody założeniowe w KRZ Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdao i logika matematyczna

Rachunek zdao i logika matematyczna Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki

Bardziej szczegółowo

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?

NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE? S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak-Brzezińska 27 kwietnia 2015 1 Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE

WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE 27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Metodologia prowadzenia badań naukowych Semiotyka, Argumentacja

Metodologia prowadzenia badań naukowych Semiotyka, Argumentacja Semiotyka, Argumentacja Grupa L3 3 grudnia 2009 Zarys Semiotyka Zarys Semiotyka SEMIOTYKA Semiotyka charakterystyka i działy Semiotyka charakterystyka i działy 1. Semiotyka Semiotyka charakterystyka i

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 7 kwietnia 2008 1 1 Logika - Wprowadzenie 1.1 Słowniczek pojęć z logiki Język - jest to system znaków. Znak - def. Znak jest to przedmiot, który ma charakter

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 1 października 2018 Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII

14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII 14. DOWODZENIE V WYNIKANIE LOGICZNE, RÓWNOWAŻNOŚĆ LOGICZNA, DOWODZENIE TAUTOLOGII Cele Pojęcie wynikania logicznego i równoważności logicznej w systemie SD. Umiejętność wykazywania zachodzenia relacji

Bardziej szczegółowo

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA

15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA 15. DOWODZENIE VI WTÓRNE REGUŁY WNIOSKOWANIA I REGUŁY PODSTAWIANIA W systemie SD dla każdego spójnika istnieje reguła wprowadzania i reguła eliminacji tegoż spójnika. Niemniej jednak dowodzenie za pomocą

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 10. WNIOSKOWANIE W LOGICE ROZMYTEJ Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska WNIOSKOWANIE W LOGICE DWUWARTOŚCIOWEJ W logice

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.

Bardziej szczegółowo