Plan prezentacji Logika rodzaje Logika klasyczna Logika wielowartościowa Logika rozmyta Historia powstania Definicje Zbiory rozmyte Relacje rozmyte Systemy rozmyte Modele Zastosowanie w optymalizacji przykłady
Logika - rodzaje Klasyczna Wielowartościowa
Logika klasyczna Dwuwartościowa (binarna) Prawo wyłączonego środka (ang. The law of excluded middle )
Logika wielowartościowa Przykłady: Logika trójwartościowa (stworzona przez Jana Łukasiewicza) możliwe trzy logiczne wartości: P(1)- zdanie, którego wszystkie kryteria są spełnione, F(0)- zdanie, którego żadne z kryteriów nie jest spełnione, T(1/2)- zdanie, którego tylko niektóre kryteria są spełnione. Logika rozmyta możliwa nieskooczona ilośd logicznych wartości
Logika rozmyta - historia Stworzona w 1973 roku przez prof. Lofti A. Zadeh (University of California, Berkeley) Pierwotnie wzorowana na sposobie, w jaki myśli człowiek
Logika rozmyta Cytat: B. Russel w Vagueness "The law of the excluded middle is true when precise symbols are employed but it is not true when symbols are vague, as, in fact, all symbols are. W logice rozmytej nie obowiązuje zasada wyłączonego środka.
Logika rozmyta Zbiory rozmyte Porównanie z logiką klasyczną: Zbiór klasyczny i funkcja przynależności. Zbiór rozmyty i funkcja przynależności.
Logika rozmyta Zbiory rozmyte Poszczególne zbiory mogą nachodzid siebie. Stopieo w jakim są wzajemnie powiązane definiuje entropia rozmycia. Zbiory rozmyte odpowiadające określonej wartości temperatury.
Logika rozmyta Zbiory rozmyte Funkcja przynależności µ A - określa stopieo, w jakim element x należy do zbioru A : X [0,1 ]; A X przestrzeo zdarzeo, A zbiór rozmyty Stopieo przynależności to nie prawdopodobieostwo; np. łysy w 80% to nie to samo co łysy 4 na 5 razy. x X
Logika rozmyta Zbiory rozmyte Baza (ang. Support) wartości x, dla których f-cja przynależności jest większa od 0. supp(a) = { x X : A (x) > 0 } Jądro (ang. Core) wartości x, dla których funkcja przynależności jest równa 1. core(a) = { x X : A (x) = 1 } α-cięcie (ang. α-cut) wartości x, dla których funkcja przynależności jest więszka od α. A a = { x X : A (x) > a } α = 0.6 Wysokośd (ang. Height) wartośd x, dla której funkcja przynależności przyjmuje wartośd maksymalną. Gdy wysokośd jest równa 1, zbiór nazywamy normalnym. h A = max x ( A (x))
Logika rozmyta Zbiory rozmyte Funkcja przynależności - przykład µ(x) 1 0.5 0 Jądro X - cięcie Baza
Logika rozmyta Zbiory rozmyte Typy funkcji przynależności: (x) 1 Trapezoid: <a,b,c,d> (x) 1 Gauss: N(c,σ 2 ) 0 a b c d x 0 c x (x) 1 Trójkątna: <a,b,c> (x) 1 Crisp: <a,b> (x) 1 Singleton: (a,1) i (b,0.5) 0 a b x 0.5 0 a b c x 0 a b x
Logika rozmyta - Arytmetyka Porównanie z logiką klasyczną: a b OR AND 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Arytmetyka logiki klasycznej a b OR AND x 1 x 2 Max(x 1, x 2 ) Min(x 1, x 2 ) Arytmetyka logiki rozmytej
Logika rozmyta System rozmyty Kroki działania: 1. Fuzyfikacja 2. Wnioskowanie rozmyte (Inferencja) 3. Defuzyfikacja
System rozmyty 1. Fuzyfikacja Cel: Wyznaczenie funkcji przynależności sygnałów wejsciowych do zbiorów rozmytych µ Ai (x i* ), µ Bi (x i* ) na podstawie ich ścisłych wartości x i *
Systemy rozmyte 1. Fuzyfikacja Metoda: zdefiniowanie zbiorów rozmytych sygnałów wejściowych (wybór typów funkcji przynależności oraz ich baz)
Systemy rozmyte 1. Fuzyfikacja Zasady: Do każdej wartości wejściowej możemy przyporządkowad co najmniej jeden zbiór rozmyty. (Kompletnośd) Suma poziomów przynależności do wszystkich zbiorów jest równa jedności (Suma do jedności)
Systemy rozmyte 2. Wnioskowanie Cel: Wyznaczenie funkcji przynależności sygnału wyjściowego µ wyn (y) na podstawie funkcji przynależności sygnałów wejściowych µ Ai (x i* ), µ Bi (x i* )
Systemy rozmyte 2. Wnioskowanie Metoda 3 kroki: 1. Zdefiniowanie Wyjściowych zbiorów rozmytych 2. Zdefiniowanie Bazy reguł 3. Określenie Funkcji przynależności wyjścia
Systemy rozmyte 2. Wnioskowanie Metoda: 1. Zdefiniowanie Wyjściowych zbiorów rozmytych (zgodnie z zasadami kompletności oraz sumy do jedności)
Systemy rozmyte 2. Wnioskowanie Metoda: 2. Zdefiniowanie Bazy reguł - zależności logicznych określających związki przyczynowo-skutkowe istniejące w systemie pomiędzy zbiorami rozmytymi wejśd i wyjśd
Systemy rozmyte 2. Wnioskowanie Metoda: 3. Określenie Funkcji przynależności wyjścia (µ wyn (y)) na podstawie poziomów aktywacji konkluzji reguł (czyli zbiorów wyjściowych)
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Cel: Określenie ścisłej wartości sygnału wyjściowego y * na podstawie funkcji przynależności µ wyn (y)
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (1): Środka Maksimum wybór wartości y*, dla której µ wyn (y) przyjmuje wartośd największą. W przypadku większej ilości takich wartości, wybór środkowego elementu.
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (1): Środka Maksimum Zalety: Prostota obliczeniowa Wady: Na wynik wpływa tylko jeden zbiór rozmyty, Przy zmianie stopni aktywacji wynik może się nie zmienid Ryzyko skokowej zmiany wartości wyjściowej (niska czułośd)
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (2): Pierwszego Maksimum wybór wartości y*, dla której µ wyn (y) przyjmuje wartośd największą. W przypadku większej ilości takich wartości, wybór najmniejszego elementu.
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (2): Pierwszego Maksimum Zalety: Prostota obliczeniowa W niektórych przypadkach większa czułośd, niż metody Środkowego Maksium Wady: Na wynik wpływa tylko jeden zbiór rozmyty
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (3): Ostatniego Maksimum wybór wartości y*, dla której µ wyn (y) przyjmuje wartośd największą. W przypadku większej ilości takich wartości, wybór największego elementu.
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (3): Ostatniego Maksimum Zalety: Prostota obliczeniowa W niektórych przypadkach większa czułośd, niż metody Środkowego Maksium Wady: Na wynik wpływa tylko jeden zbiór rozmyty
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (4): Środka Ciężkości wybór wartości y*, będącej środkiem ciężkości powierzchni pod krzywą µ wyn (y). y* y c y wyn wyn ( y) dy ( y) dy
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (4): Środka Ciężkości Zalety: Analizowane wszystkie zbiory wyjściowe Wysoka czułośd Wady: Wysoki poziom skomplikowania obliczeo (niwelowany uproszczonymi metodami obliczania środka ciężkości)
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (5): Singletonów zastąpienie wyjściowych zbiorów rozmytych ich wartościami maksymalnymi m i, a następnie obliczenie wartości y*. y* m j 1 m y j C * j j 1 C * j
Systemy rozmyte 3. Defuzyfikacja Metoda (5): Singletonów Zalety: Prostota obliczeo Analizowane wszystkie zbiory wyjściowe Wysoka czułośd Wady: W niektórych przypadkach mało skuteczna
Logika rozmyta - modele Model Mamdaniego Najczęściej używany Wnioskowanie regułami JEŻELI.. I.. TO.., Wykorzystanie zbiorów rozmytych jako konkluzji reguł Operacje iloczynu za pomocą T-normy (np. min) Operacje sumy za pmocą S-normy (np. max) Wartośd wynikowa wyznaczana za pomocą jednej z przedstawionych wcześniej metod
Logika rozmyta - modele Model Takagi-Sugeno Również często wykorzystywany Wnioskowanie regułami JEŻELI.. I.. TO.., Wykorzystanie funkcji zmiennych wejsciowych jako konkluzji reguł Operacje iloczynu za pomocą T-normy (np.min) Operacje sumy za pmocą S-normy (np. max) Wartośd wynikowa średnia ważona wartości konkluzji reguł (wagami są stopnie aktywacji)
Logika rozmyta - modele Systemy neuro-rozmyte połączenie sieci neuronowych i logiki rozmytej
Logika rozmyta przykłady zastosowao Opis problemu: określenie optymalnego czasu wystąpienia, w zależności od dwóch czynników: ważności informacji, pory dnia (reprezentujacej zmęczenie słuchaczy).
Logika rozmyta przykłady zastosowao Fuzyfikacja ważnośd wystąpienia
Logika rozmyta przykłady zastosowao Fuzyfikacja pora dnia
Logika rozmyta przykłady zastosowao Wnioskowanie Wyjściowe zbiory rozmyte
Ważnośd prezentacji Logika rozmyta przykłady zastosowao Wnioskowanie Baza reguł Pora dnia Bardzo wcześnie Wcześnie Środek dnia Późno Bardzo Późno Mało ważna ŚREDNIO DŁUGO ŚREDNIO DŁUGO ŚREDNIO DŁUGO KRÓTKO KRÓTKO Średnio ważna DŁUGO DŁUGO ŚREDNIO DŁUGO ŚREDNIO DŁUGO KRÓTKO Bardzo ważna DŁUGO DŁUGO DŁUGO ŚREDNIO DŁUGO ŚREDNIO DŁUGO
Logika rozmyta przykłady zastosowao Wnioskowanie Stopieo aktywacji zbiorów PARAMETRY Godzina: 18:55 (Późno 0.1; Bardzo późno 0.9) Stopieo ważności: 32% (Mało ważny 0.9; Średnio ważny 0.1) AKTYWNE REGUŁY Jeżeli (Późno i Mało ważny) wtedy (Krótko) 0.1 Lub Jeżeli (Późno i Średnio ważny) wtedy (Średnio długo) 0.1 Lub Jeżeli (Bardzo późno i Mało ważny) wtedy (Krótko) 0.9 Lub Jeżeli (Bardzo późno i Średnio ważny) wtedy (Krótko) 0.9 Krótko: 0.9 Średnio długo: 0.1 WYNIK
Logika rozmyta przykłady zastosowao Defuzyfikacja określenie czasu wystąpienia Czas trwania wystąpienia = (20 min* 0.9 + 60 min *0.1) / (0.9 + 0.1) = 24 min
Logika rozmyta przykłady zastosowao Opis problemu: dobranie optymalnej mocy (y*) suwnicy portowej w zależności od położenia i kąta wychylenia kontenera (x 1 *, x 2 *).
Logika rozmyta przykłady zastosowao Fuzyfikacja (1): dla sygnału położenie tworzymy zbiory rozmyte odpowiadające odległości do celu (d): DUŻA, ŚREDNIA, ZERO
Logika rozmyta przykłady zastosowao Fuzyfikacja (2): dla sygnału kąt odchylenia (Θ) tworzymy zbiory rozmyte: UJEMNE DUŻE, UJEMNE MAŁE, ZERO, DODATNIE MAŁE, DODATNIE DUŻE
Logika rozmyta przykłady zastosowao Wnioskowanie (1) Wyjściowe zbiory rozmyte
Logika rozmyta przykłady zastosowao Wnioskowanie (2) Baza reguł R1: JEŻELI (d = DUŻA) R2: JEŻELI (d = ŚREDNIA) I (Θ = UJEMNE DUŻE) R3: JEŻELI (d = ŚREDNIA) I (Θ = UJEMNE ŚREDNIE LUB ZERO LUB DODATNIE ŚREDNIE ) R4: JEŻELI (d = ŚREDNIA) I (Θ = DODATNIE DUŻE LUB UJEMNE DUŻE) R5: JEŻELI (d = ZERO) I (Θ = DODATNIE DUŻE LUB DODATNIE ŚREDNIE ) R6: JEŻELI (d = ZERO) I (Θ = ZERO) R7: JEŻELI (d = ZERO) I (Θ = UJEMNE ŚREDNIE ) R8: JEŻELI (d = ZERO) I (Θ = UJEMNE DUŻE) TO (P = DODATNIA DUŻA) TO (P = DODATNIA ŚREDNIA) TO (P = DODATNIA ŚREDNIA) TO (P = UJEMNA ŚREDNIA) TO (P = UJEMNA ŚREDNIA) TO (P = ZERO) TO (P = DODATNIA ŚREDNIA) TO (P = UJEMNA DUŻA)
Logika rozmyta przykłady zastosowao Wnioskowanie (3) stopnie aktywacji konkluzji reguł PARAMETRY Odległośd (d): 30 m (ŚREDNIA 0,66; DUŻA 0,34) Wychylenie (Θ): 5 (ZERO 0,66; DODATNIE ŚREDNIE 0,34) AKTYWNE REGUŁY R1 Jeżeli (d = DUŻA) 0,34 R3 Jeżeli (d = ŚREDNIA) I (Θ = UJEMNE ŚREDNIE LUB ZERO LUB DODATNIE ŚREDNIE) 0,66 WYNIK DODATNIA DUŻA: 0,34 DODATNIA ŚREDNIA: 0,66
Logika rozmyta przykłady zastosowao Defuzyfikacja określenie poziomu mocy suwnicy Poziom mocy suwnicy = (20% * 0,66 + 50% * 0,34) / (0,66 + 0,34) = 30,2%
Logika rozmyta przykłady zastosowao Problemy, w których stosuje się logikę rozmytą: Bardzo skomplikowane obliczenia klasyczne, Ważny jest czas analizy, Ulepszenie systemów sztucznej inteligencji, Interfejs komunikacyjny między maszyną a człowiekiem.
Logika rozmyta przykłady zastosowao System wspomagania hamowania w samochodach (ABS) Tworzenie systemów eksperckich działających w pralkach, lodówkach Produkcja Sake Japonia