Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz Połacik rok akademicki 2012/2013 semestr forma studiów sposób ustalania oceny końcowej modułu zimowy stacjonarne ocena z egzaminu Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest otrzymanie przez pozytywnej oceny z konwersatorium potwierdzone wpisem do indeksu. 2. Opis zajęć dydaktycznych i pracy Wykład WMat_fs_1 prowadzący treści zajęć Tomasz Połacik, polacik@math.us.edu.pl Treści przewidziane na poszczególne wykłady: 1. Język logiki zdań. Tautologie klasycznej logiki zdań. Reguły, niezawodność reguł wnioskowania. Formalizacja wnioskowań. 2. Język klasycznej logiki kwantyfikatorów. Nieformalne pojęcia modelu logiki pierwszego rzędu. Tautologie klasycznej logiki kwantyfikatorów. 3. Podstawowe intuicje związane z pojęciem zbioru, paradoks Russella. Definiowanie zbiorów. Równość zbiorów i ich inkluzja. Zbiór potęgowy. Suma i przekrój dowolnej (niepustej) rodziny zbiorów. Związki między prawami algebry zbiorów i prawami logiki. 4. Pojęcie funkcji. Dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości. Ciągi. Indeksowane rodziny zbiorów. 5. Funkcje różnowartościowe i,,na. Bijekcje. Złożenie funkcji. Funkcja odwrotna. Obrazy i przeciwobrazy względem funkcji i ich własności. Indukcja. Definicje indukcyjne. 6. Pojęcie równoliczności. Przykłady zbiorów równolicznych i nierównolicznych. Metoda przekątniowa. Twierdzenie Cantora. 7. Porównywanie mocy zbiorów. Twierdzenie Cantora-Bernsteina. 8. Zbiory skończone i przeliczalne. Operacje niewyprowadzające poza klasę zbiorów przeliczalnych. Przykłady zbiorów przeliczalnych. 9. Zbiory nieprzeliczalne i mocy kontinuum. Operacje niewyprowadzające poza klasę zbiorów mocy kontinuum. Hipoteza Kontinuum. 10. Pojęcie relacji i ich własności. Złożenie relacji i relacja odwrotna. Relacje równoważności. Klasy abstrakcji i Zasada abstrakcji. Konstrukcje ilorazowe i ich wykorzystanie do konstrukcji zbiorów liczbowych. 11. Pojęcie relacji częściowego i liniowego porządku. Elementy maksymalne,
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 2 metody prowadzenia zajęć dydaktycznych (kontaktowych) pracy własnej opis pracy własnej minimalne, największy i najmniejszy i ich wzajemne relacje. Kresy. 12. Porządki gęste i ciągłe. Izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych. 13. Dobre porządki. Twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu. 14. Lemat Kuratowskiego-Zorna i jego zastosowania. 15. Równoważność Pewnika wyboru, Lematu Kuratowskiego-Zorna i Twierdzenia Zermelo. Uwagi o aksjomatyce teorii mnogości. Jak w opisie modułu Student przyswaja materiał przedstawiony na wykładzie, samodzielnie studiuje wskazane przykłady z podręcznika W. Guzicki, P. Zakrzewski Wstęp do matematyki oraz samodzielnie uzupełnia wiedzę z podręcznika i polecanej literatury uzupełniającej. organizacja zajęć Wykład odbywa się w piątki, w godzinach 10.15-11.45, w sali 420. obowiązkowa uzupełniająca adres strony www zajęć W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN. Konwersatorium prowadzący WMat_fs_2 treści zajęć 1. Tautologie klasycznej logiki zdań, metody sprawdzania czy formuła jest tautologią. Wprowadzenie metody tableaux. 2. Reguły wnioskowania, wykształcenie intuicji dotyczących wynikania logicznego i poprawności wnioskowań, dowody wprost i niewprost. 3. Język logiki kwantyfikatorów. Formalizacja wypowiedzi w języku naturalnym za pomocą formuł języka logiki kwantyfikatorów i interpretacja formuł języka logiki kwantyfikatorów w języku naturalnym. Intuicyjne pojęcia spełniania i prawdziwości formuł i zdań w różnych modelach teorii matematycznych. 4. Metoda tableaux dla formuł z kwantyfikatorami. Równoważność formuł logiki kwantyfikatorów i tautologie klasycznej logiki kwantyfikatorów. 5. Definiowanie zbiorów, równość i inkluzja. Algebra zbiorów. Zbiór potęgowy. Związek praw algebry zbiorów z prawami logiki. 6. Pojęcie funkcji. Ciągi, indeksowane rodziny zbiorów. Funkcje różnowartościowe i na, obrazy i przeciwobrazy.
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 3 7. Sprawdzian pisemny. 8. Pojęcie równoliczności zbiorów. Porównywanie mocy zbiorów. 9. Metoda przekątniowa. Zadania z wykorzystaniem Twierdzenia Cantora i Twierdzenia Cantora-Bernsteina. 10. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne - przykłady i własności. 11. Pojęcie relacji; podstawowe własności relacji. Relacje równoważności, klasy abstrakcji, zasada abstrakcji. 12. Relacje porządku; porządki częściowe i liniowe. Elementy maksymalne, minimalne, największy i najmniejszy. Diagramy Hassego. Supremum i infimum zbioru. 13. Indukcja matematyczna; dowody indukcyjne. Definicje rekurencyjne funkcji. 14. Sprawdzian pisemny. 15. Zbiory dobrze uporządkowane. Zastosowania Lematu Kuratowskiego- Zorna. metody prowadzenia zajęć dydaktycznych (kontaktowych) pracy własnej opis pracy własnej organizacja zajęć obowiązkowa uzupełniająca Jak w opisie modułu 60 Student przygotowuje zagadnienia teoretyczne przedstawione na wykładzie oraz samodzielnie rozwiązuje wskazane przez prowadzącego konwersatorium zadania. Konwersatoria według harmonogramu zajęć dla poszczególnych grup. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, PWN. I. Ławrow, Ł. Maksimowa, Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i teorii algorytmów, PWN. W. Marek, M. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN. adres strony www zajęć 3. Opis sposobów efektów kształcenia modułu Aktywność na zajęciach WMat_w_1 zajęć osoby przeprowadzające Wmat_fs_2
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 4 Znajomość pojęć i twierdzeń dotyczących określonej partii materiału. Umiejętność prezentacji wskazanych przez prowadzącego konwersatorium zadań ze zbioru W. Guzicki, P. Zakrzewski Wstęp do matematyki. Zbiór zadań i literatury uzupełniającej. Oceniany jest stopień, w jakim student potrafi przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje. Student przedstawia na tablicy przygotowane uprzednio rozwiązania zadań domowych, odpowiada na pytania dotyczące pojęć i faktów związanych z bieżącym materiałem. Student przygotowuje pisemnie rozwiązania wskazanych zadań domowych. Ocena aktywności na zajęciach stanowi 20% końcowej oceny zaliczenia. Sprawdziany pisemne WMat_w_2 zajęć osoby przeprowadzające Informacje Wmat_fs_2 Znajomość pojęć i twierdzeń dotyczących określonej partii materiału. Umiejętność rozwiązywania problemów matematycznych. Poprawne przedstawianie rozumowań matematycznych. Ocenie podlega stopień opanowania umiejętności i wiedzy sprecyzowanych w efektach kształcenia modułu dotyczących odpowiedniego zakresu materiału. Warunkiem uzyskania pozytywnej oceny jest zaliczenie (na ocenę przynajmniej dostateczną) każdego z dwóch sprawdzianów. Skala ocen: poniżej 50% - niedostateczny, od 50% i poniżej 60% - dostateczny, od 60% i poniżej 70% - plus dostateczny, od 70% i poniżej 80% - dobry, od 80% i poniżej 90% - plus dobry, od 90% - bardzo dobry. Student samodzielnie rozwiązuje na zajęciach zestaw zadań dotyczący określonego materiału omówionego uprzednio na zajęciach. Ocena każdego ze sprawdzianów pisemnych stanowi 40% końcowej oceny zaliczenia.
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 5 Egzamin zajęć osoba przeprowadzająca WMat_fs_1 Tomasz Połacik, polacik@math.us.edu.pl WMat_w_3 Znajomość twierdzeń podanych na wykładzie i umiejętność stosowania ich w konkretnych sytuacjach. Znajomość pojęć podanych na wykładzie oraz umiejętność podawania odpowiednich przykładów i kontrprzykładów. Umiejętność rozwiązywania problemów o zróżnicowanym stopniu trudności dotyczących materiału przedstawionego na wykładzie. Wymagana jest umiejętność czytelnego i poprawnego formułowania rozumowań. Ocena końcowa składa się z oceny części testowej i części zadań otwartych egzaminu w proporcji 40% i 60%. Egzamin pisemny składa się z dwóch części. Część pierwsza obejmuje około 10 zadań testowych dotyczących pojęć i faktów przedstawionych na wykładzie. W teście tym student wykazuje się posiadaną wiedzą oraz umiejętnością jej wykorzystywania w prostych sytuacjach. Nie jest wymagane prezentowanie rozumowań prowadzących do rozwiązania problemów. Część druga obejmuje około 5 zadań otwartych. Wymagane jest przedstawienie szczegółowych rozumowań. Rozwiązania zadań wymagają z reguły dłuższej argumentacji. Poszczególne zadania dotyczyć mogą szerszego kontekstu, w szczególności mogą wymagać wiedzy z różnych zakresów, na przykład pojęć i faktów dotyczących mocy i relacji.